函数与方程思想总结很好很全面
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y ＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】.关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根.(1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k＝时，方程(*)有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；(3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k＜时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x2－1|＝t的解有8个答案：1234【例2】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，］成立，则a 的最小值为_____________解答：１.分离变量，有a≥－(x＋)，x∈(０，］恒成立.右端的最大值为－，a≥－.2. 看成关于a的不等式，由f(0)≥0，且f()≥0可求得a的范围.3.设f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.f(x)＝x2＋1，g(x)＝－ax，则结合图形(象)知原问题等价于f()≥g()，即a≥－.【例3】设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ，则a b +=_________ 解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=, 根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+.函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有于是,()()()111,f a f b f b -=--=-因而得11. 2.a b a b -=-+=【例5】若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________解答：圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2，∴222a b +≤，∴241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0， ∴2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭，a k b =-，∴2323k -≤≤+， 直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________ 解答：根据已知等式,画出以()2,0为圆心,以3为半径的圆,则y x的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率. 显然,y x 的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 33π= 【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________ 解答：由题意，， 因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切． 【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此,充要条件是0<b 且0=c对任意【例9】.设函数)(x f ＝x 2－1，x ∈),23(+∞，)(4)1()(4)(2m f x f x f m m x f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ∪解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得x 2－2x －3≥0，因为x 2＞0，所以1－＋4m 2≥，设g(x)＝，x ∈.于是题目化为1－＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈恒成立的问题．为此需求g(x)＝，x∈的最大值．设u＝，则0＜u≤.函数g(x)＝h(u)＝3u2＋2u在区间上是增函数，因而在u＝处取得最大值．h＝3×＋＝，所以1－＋4m2≥g(x)max＝，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，因此实数m的取值范围是m∈∪.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－＋4m2≥g(x)，对任意x∈恒成立的问题．为此需求g(x)＝，x∈的最大值．设t＝2x＋3，则t∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝＝.因为函数t＋在(3，＋∞)上是增函数，所以当t＝6时，t＋取得最小值6＋.从而h(t)有最大值＝.所以1－＋4m2≥g max(x)＝，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，因此实数m的取值范围是m∈∪.(解法3)不等式化为f(x－1)＋4f(m)－f＋4m2f(x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，整理得x2－2x －3≥0，令F(x)＝x2－2x－3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈恒成立，必须使F 为最小值， 即实数m 应满足解得m 2≥，因此实数m 的取值范围是m ∈∪.【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ，每月的增加投入百分率为r ．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故W>N1.(2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x xx f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解答：1.(0,1)解析：f(x)＝(x≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x－1)3(x＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)．2.10解析：S9＝S4,9a1＋d＝4a1＋d，a1＝1，d＝－；由1＋(k－1)＋1＋3×＝0，得k＝10.本题也可用数列性质解题，S9＝S4a7＝0.3.(－∞，0)解析：由题意可知f′(x)＝3ax2＋，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0a＝－(x＞0)a∈(－∞，0)．4.(－∞，－1)解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－－＜0恒成立，显然m≠0.所以当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m无解，综上所述实数m的取值范围是m＜－1.解答题题型一构造函数与方程思想【例1】已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m>0(1)若m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2)如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m的取值范围；(3)如果函数f(x)的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．解答：(1)证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x2)＝3x－x3，因为f′(x)＝3－3x2＝3(1－x2)>0，所以f(x)是增函数，(2)解：令g(x)＝x|x2－3|，x≥0，则g(x)＝当0≤x≤时，g′(x)＝3－3x2，由g′(x)＝0得x＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，]上是减函数．当x>时，g′(x)＝3x2－3>0，所以g(x)在[，＋∞)上是增函数，所以x∈[0，]时，g(x)max＝g(1)＝2，g(x)min＝g(0)＝g()＝0，所以0<m<1不符合题意，1≤m≤符合题意．当m>时，在x∈[0，]时，f(x)∈[0,2]，在x∈[，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m3－3m≤2，(m－2)(m＋1)2≤0，解得<m≤2.综上，m的取值范围是[1,2]．(3)由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m－m3，当1≤m≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2.由题意知2＝λm2，即λ＝，m∈[1,2]时这是减函数，∴λ∈.当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m3－3m，由题意知m3－3m＝λm2，即λ＝m－，这是增函数，∴λ∈.综上，当m＝2时，实数λ取最小值为.变式训练已知函数g(x)＝xlnx，设0＜a＜b，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式．证明：g(x)＝xlnx，g′(x)＝lnx＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g，则F′(x)＝g′(x)－2′＝lnx－ln.当0＜x＜a时，F′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x＞a时，F′(x)＞0，因此F(x)在(a，＋∞)上为增函数．从而，当x＝a时，F(x)有极小值F(a)．因为F(a)＝0，b＞a，所以F(b)＞0，即0＜g(a)＋g(b)－2g.再构造函数G(x)＝F(x)－(x－a)ln2，则G′(x)＝lnx－ln－ln2＝lnx－ln(a＋x)．当x＞0时，G′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数．因为G(a)＝0，b＞a，所以G(b)＜0，即g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.综上得0＜g(a)＋g(b)－2g＜(b－a)ln2.【例2】已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x 平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0)．设函数f(x)＝.(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值(2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．解：(1)设g(x)＝ax2＋bx＋c，则g′(x)＝2ax＋b；又g′(x)的图象与直线y＝2x平行，∴2a＝2，a＝1.(1分) 又g(x)在x＝－1取极小值，－＝－1，b＝2，∴g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，c＝m；(2分)f(x)＝＝x＋＋2，设P(x0，y0)，则|PQ|2＝x＋(y0－2)2＝x＋2＝2x＋＋2m≥2＋2m，(4分)当且仅当2x02＝时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值.当m>0时，2m＋2m＝2，∴m＝－1(6分)当m<0时，－2m＋2m＝2，∴m＝－－1(7分)(2)由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0，得(1－k)x2＋2x＋m＝0.(*)当k＝1时，方程(*)有一解x＝－，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝－；(8分)当k≠1时，方程(*)有二解Δ＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；(10分)若m<0，k<1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点，x＝＝；(12分)当k≠1时，方程(*)有一解Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－，函数y＝f(x)－kx有一个零点，x＝.(14分)【例3】．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围．分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件．解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为[－1，1]．（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f(x)的值域为[a，b]，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根．设f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2.法一：当时有解得．当有此时不等式组无解．综上所述，．法二：只需满足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题．题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】．设a>b>c，且a＋b＋c=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：．证明：，且．从而．故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得．．可见，是的二次函数．由及，得，解得．在上是减函数，，即．题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】．已知函数f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)．(1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2＋cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m．（1）证明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，∴＜A＋B＜π．∴tan(A＋B)＜0，即．∴∴m≥5．(2)证明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1，∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0．即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但x max=3，∴m≥x max=3．(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=，且≥2，∴当sinα=－1时，f(sinα)有最大值8．即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】．直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】．如图，已知面，于D，．（1）令，，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴．∴．．∵为在面上的射影．∴，即．∴．即的最大值为，等号当且仅当时取得．（2）．令，解得：，与交集非空．∴满足条件的点Q存在．点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键．。
函数和方程的思想方法总结
函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。
在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。
下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。
一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。
在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。
例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。
我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。
2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。
这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。
例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。
我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。
3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。
通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。
例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。
二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。
解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。
例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。
对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。
2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。
在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。
例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。
3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。
我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
高中数学知识点总结及公式大全
高中数学知识点总结及公式大全高中数学是学生们进一步深入研究数学的重要阶段，既是基础知识的巩固与拓展，也是前沿数学思想的引领。
本文将对高中数学的各个知识点进行详细介绍，并列出相关公式，以帮助学生更好地掌握数学知识。
一、函数与方程1. 函数函数是数学中最基本的概念之一。
函数是一种映射关系，它将一个自变量的取值通过某种规则映射到一个因变量的值上。
常见函数类型：(1) 一次函数：y = kx + b （k为斜率，b为截距）(2) 二次函数：y = ax^2 + bx + c （a、b、c为常数）(3) 指数函数：y = a^x （a>0且a≠1）(4) 对数函数：y = loga(x) （a>0且a≠1）(5) 幂函数：y = x^a （a为实数且a≠0,1）2. 方程方程是数学中一个重要的概念，它表示等式两边的表达式相等。
常见方程类型：(1) 一元一次方程：ax + b = 0 （a、b为常数）(2) 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c为常数）(3) 一元高次方程：P(x) = 0（P(x)为多项式函数）(4) 二元一次方程组：{ax + by = c; dx + ey = f} （a、b、c、d、e、f为常数）(5) 二元二次方程组：{ax^2 + by^2 = c; dx + ey = f} （a、b、c、d、e、f为常数）二、数列与数学归纳法1. 数列数列是按照一定规律排列的一系列数。
常见数列类型：(1) 等差数列：an = a1 + (n-1)d （a1为首项，d为公差，n为项数）(2) 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （a1为首项，q为公比，n为项数）(3) 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （a1 = 1, a2 = 1, n ≥ 3）2. 数学归纳法数学归纳法是数学中一种证明方法，通过证明当某个命题对于第一个自然数成立，并假设对于任意正整数n成立时，能够证明对于n+1也成立。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。
方程与函数转换思想总结
方程与函数转换思想总结方程与函数是数学中的两个基本概念，它们之间存在着紧密的关联和转换关系。
方程是描述数学关系的式子，函数则是一种特殊的方程，描述了输入-输出的对应关系。
方程与函数转换思想包括方程转化为函数的思想和函数转化为方程的思想。
方程转化为函数的思想是指将方程转化为函数的形式，从而更好地研究和利用方程的性质。
具体而言，可以通过以下几种方法将方程转化为函数：首先，可以将方程表示为函数的图像。
例如，对于一元方程y=f(x)，可以将其表示为函数y=f(x)的图像，从而直观地了解方程的解集和图像的性质。
其次，可以将方程转化为显式函数或隐式函数。
对于一元方程y=f(x)，如果能将y表示为x的函数形式，即y=g(x)，那么方程就转化为了显式函数。
而对于隐式函数，可以通过一些技巧将方程转化为y=f(x)的形式，从而更好地研究和解决问题。
另外，可以通过反函数的思想将方程转化为函数。
对于一元方程y=f(x)，如果存在反函数x=g(y)，那么方程就可以转化为函数x=g(y)，从而更好地求解方程的解集。
函数转化为方程的思想是指将函数表达式转化为方程，从而求解函数的性质和解集。
具体而言，可以通过以下几种方法将函数转化为方程：首先，可以通过函数的性质将函数转化为方程。
例如，对于奇偶函数，可以利用函数的对称性质将函数转化为方程，求解函数的对称轴和零点等信息。
其次，可以通过函数的图像将函数转化为方程。
例如，对于函数y=f(x)，可以通过观察函数的图像，求解函数的最值、极值、单调性等问题。
另外，可以通过函数的表达式将函数转化为方程。
例如，对于复合函数，可以通过将函数表达式进行反向求解，得到符合条件的方程。
综上所述，方程与函数转换思想是数学中重要的思想方法，可以帮助我们更好地研究和理解数学问题。
通过方程转化为函数和函数转化为方程，我们可以从不同的角度分析和解决问题，发现问题的本质和潜在规律，提高数学分析和解决问题的能力。
因此，掌握方程与函数转换思想对于数学学习和应用都具有重要意义。
二次函数与二次方程全面解析与总结
二次函数与二次方程全面解析与总结二次函数与二次方程是高中数学中的重要内容，通过对其进行全面解析与总结，可以更好地理解其性质和特点，并为解题提供更加便捷的方法。
本文将从二次函数和二次方程的定义、性质、图像、解的求法以及应用等方面进行详细分析。
1. 二次函数的定义与性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，其开口方向取决于a的正负。
通过研究二次函数的性质，我们可以更好地理解它的变化规律。
例如，二次函数的顶点坐标即为抛物线的最值点，其横坐标为-x坐标轴与抛物线的对称轴的交点，纵坐标则是在对称轴上的函数值。
2. 二次函数的图像在分析二次函数的图像时，我们可以通过计算顶点、根的求法以及对称轴的确定来描绘出具体的抛物线形状。
特别地，当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。
对称轴方程的求法为x = -b / (2a)。
借助这些关键点，我们可以直观地绘制出二次函数的图像，从而更清晰地理解函数的性质。
3. 二次方程的定义与解的求法二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
解二次方程的方法有很多，例如因式分解、配方法、完成平方、求根公式等。
具体选择解的方法需要根据方程类型和题目要求来决定。
其中，求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 是解二次方程最常用的方法之一，但也需要注意判断方程是否有实根、重根还是虚根。
4. 二次函数与二次方程的应用二次函数和二次方程在实际问题中有广泛的应用。
例如，通过二次函数可以描述物体的抛物线运动、计算天体的轨迹等；而二次方程则可用于解决几何问题、物理问题以及经济学模型等。
通过将实际问题转化为二次函数或二次方程的形式，我们可以更加灵活地进行解题，并更好地分析问题的本质。
综上所述，二次函数与二次方程是高中数学中的重要知识点，通过全面解析与总结可以更好地理解和应用。
多项式函数与多项式方程详细解析与总结
多项式函数与多项式方程详细解析与总结多项式函数与多项式方程是高中数学中的重要内容，也是数学模型中常见的形式之一。
本文将详细解析多项式函数与多项式方程的概念、性质、求解方法等，并对其进行总结，以便读者能够全面了解和掌握这一知识点。
一、多项式函数的概念与性质多项式函数是指由常数项、各种系数和幂函数的乘积组成的函数。
其一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为变量。
多项式函数的性质包括：1. 定义域：多项式函数在实数范围内均有定义，其定义域为一切实数。
2. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由各项次数的奇偶性决定。
若所有项次数都为偶数，则函数为偶函数；若所有项次数都为奇数，则函数为奇函数。
3. 零点与因式分解：多项式函数的零点就是方程f(x) = 0的解。
根据因式定理，如果x-a是多项式函数的一个零点，那么(x-a)就是函数的一个因式。
二、多项式方程的概念与解法多项式方程是指将一个多项式函数与零相等的表达式。
其一般形式为：anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为未知数。
多项式方程的求解可以通过如下步骤进行：1. 化简与转化：将多项式方程进行化简、整理，使其成为标准形式，即将方程的各项按照幂次从高到低排列，并使最高次的系数为1。
2. 因式分解：尝试对多项式方程进行因式分解，找出其中的因式，从而得到方程的根。
根据因式定理和余式定理，可以简化求解过程。
3. 数值解法：对于无法通过因式分解得到解的多项式方程，可以利用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括二分法、牛顿法等。
三、多项式函数与多项式方程的应用多项式函数与多项式方程在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 数据拟合：多项式函数可以用来拟合实验数据或观测数据，通过确定合适的多项式函数来描述数据间的关系。
初中数学老师工作总结范文(3篇)
初中数学老师工作总结范文与数学基础知识一样,数学思想也是数学的重要内容之一。
重视与加强中学数学思想的教学,这对于抓好双基,培养能力以及培养学生的数学素质都具有十分重要的作用。
本人结合几年的初中数学教学实践,认为初中数学常见的数学思想有以下几种：一.字母代数思想用字母代替数字,是初中生最先接触到的数学思想,也是初等代数以至整个数学最重要最基础的数学思想。
在初中数学中,用字母代替数字,各种量、量的关系、量的变化以及量与量之间进行推理与演算,都是以符号形式（包括数字、字母、图形和图表以及各种特定的符号）来表示的,即进行着一整套的形式化的数学语言。
例如：用∣a︱表示某个数的绝对值,用-a表示某个数的相反数,用an表示n个a连续相乘的积,用s=40t 表示路程与时间的关系,用一对有序实数对（x,y）表示某个点在平面直角坐标系中的位置。
用字母表示数是从算术到代数的重要转折点,但是,它的学习是建立在算术学习基础上的。
教师应当通过具体数字运算,让学生观察,总结规律,形成对“用字母表示数”的必要性的认识。
实际上,过去学过的运算律（交换律、结合律、分配律等）、简单几何图形的面积、行程问题等知识,都能说明用字母表示数的重要意义：普遍性、应用的广泛性等。
总之,要学好初中数学首先必须掌握好用字母代替数的数学思想。
二.化归转换思想化归,即转化与归结的意思。
把有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去,从而求得问题解决的思想。
人们在研究运用数学的长期实践中,获得了大量的成果,也积累了丰富的经验,许多问题的解决已经形成了固定的方法模式和约定俗成的步骤。
人们把这种有规定的解决方法和程序的问题,叫做规范问题,而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的过程称为问题的化归。
例如,对于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程）,人们已经掌握了等式基本性质、求根公式等理论,因此,求解整式方程的问题是规范问题,而把有关分式方程通过去分母转化为整式方程的过程,就是问题的规范化。
高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结
高一数学知识点梳理：二次函数与一元二次方程_知识点总结亲爱的同学们，大家好!在度过一个平安、愉快的暑假之后，我们满怀新的希望，迎来了生机勃勃的新学期！现在请跟着我，一起熟悉高一数学知识点梳理。
二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0，k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。