RLS自适应滤波

RLS 自适应滤波
一、RLS 自适应算法
最小二乘(LS)法是一种典型的有效的数据处理方法，既可用于静态系统，又可用于动态系统：既可用于线性系统，又可用于非线性系统；既可用于离线估计，又可用于在线估计。

递归最小二乘(Recursive Least Square ，RLS)是最小乘法的一种快速算法，它包含时间递归最小二乘(TRLS)算法和阶数递归最小二乘(ORES)算法两方面内容，一般前者适用于动态系统辨识和在线估计，后者适用于静态系统辨识和离线估计。

与LMS 算法相比，RLS 算法有着非常快的收敛速度。

在快速收敛算法的推导中，我们采用最小二乘法。

因此，将直接处理接收数据，使二次性能指数最小，而以前是使平方误差的期望值最小。

这意味着，用时间平均而不是统计平均来表示性能指数。

基于时间平均的最小平方误差被定义如下：
()2
1)(i e n J i
n n
i -=∑=λ
（1）
式中，λ是接近1,但是小于1的加权因子，称作遗忘因子。

其中估计误差定义为
()()())(i x n w i d i e H
-= n i ≤≤0 （2）
且
()()()()[]T
N i x i x i x i x 1,,1,+--=Λ （3）
式中，x(i)是i 时刻的输入数据向量，w(n)是n 时刻的新的抽头增益向量。

因而e(i)是用n 时刻的抽头增益向量测试i 时刻的旧数据所得的误差，J(n)是在所有旧数据上用新抽头增益所得的累计平方误差。

要完成RLS 算法就要找到均衡器的抽头增益向量w(n)，使得累计平方误差J(n)最小。

为了测试新的抽头增益向量，会用到那些先前的数据。

而因子λ会在计算时更依赖于新近的数据，也就是说，J(n)会丢掉非稳定环境中的较旧的数据。

如果信道是稳定的，那么λ可以设为1。

为了获得J(n)的最小值，可使J(n)的梯度为0,即()
()0=∂∂
n J n w ，通过运算可知：
()()()n r n w n R =∧
（4） 式中，()n w ∧
是RLS 均衡其的最佳抽头增益向量。

()()()i x i x n R T n
i i n *1∑=-=λ （5）
()()()i x n d n r n
i i n *1
∑=-=λ （6）
式(5)中的方阵R(n)是输入数据向量x(i)的确定相关矩阵，式(6)中向量r(n)是输入向量x(i)和期望输出d(n)之间的确定互相关矩阵。

要用式(4)计算均衡器的抽头增益向量∧w ，就需要计算
()n R 1
-。

从式(5)中R(n)的定义可知，我们可以得到关于R(n-1)的递归公式。

()()()()n x n x n R n R T +-=1λ （7） 由于式(7)中的三项都是N×N 的方阵，我们可以使用方程倒数的引理得到()n R 1
-递归公式：
()()()()()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+----=----n n R n x n x n R n R n R T μλλ11111111
（8） 式中
()()()()n x n R n x n T 11
-=-μ （9）
根据上述递归公式，可知：
()()()()1,*1-+-=n n e n g n w n w （10） 式中
()()()()n n x n R n g μλ+=-1 （11）
综上所推导可以得出RLS 直接算法，其步骤如下： 步骤一 初始化：
()()()δδ,0,0001I R g w ===- 是一个正常数 步骤二 更新：n=1,2…
()()()n x n w n y T
1-= ()()()n y n d n e -=
()()()()()()n x n R n x n x n R n g T 111
1-+-=--λ ()()()()()[]111
11
1
---=
---n R n x n g n R n R T λ
()()()()n e n g n w n w *1+-=
RLS直接算法流程图如下图1。

图1 RLS算法流程图
二、MATLAB实验仿真
实验仿真为从噪声中提取信号，程序如下：
clear all;
clc;
N=1000;
n=0:N-1;
a=0.5; %遗忘因子
t=n/N;
d=(sin(12*pi*t))'; %参考信号
xn=(0.8*randn(1,length(t)))'; %随机噪声信号
x=d+xn; %加噪声输入信号
N=10;
M=length(x);
w=(zeros(1,N))';
p=0.1*eye(N,N);
y=(zeros(1,M))';
e=(zeros(1,M))';
%RLS自适应滤波算法for n=N:M
u=x(n:-1:n-N+1);
e(n)=d(n)-w'*u;
k=(p*u)/(a+u'*p*u);
p=(1/a)*(p-k*u'*p);
w=w+k*conj(e(n));
y(n)=w'*u;
end
%作图
figure(1)
subplot(2,1,1);
plot(xn),grid;
xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');
title('xn noise signial'); subplot(2,1,2);
plot(d,'r'),grid;
xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');
title('d reference signial');
figure(2)
subplot(3,1,1);
plot(x),grid;
xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude');
title('x input signial'); subplot(3,1,2);
plot(y);
xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude'); grid;
title('output signial'); subplot(3,1,3);
plot(e,'r');
xlabel('Samples'); ylabel('Amplitude'); grid;
title('error signial');
仿真结果如下，由结果可知，λ是一个可以改变均衡器性能的抽头系数。

如果信道是非时变的，那么λ可以设为1。

而通常的λ取值为0.8<λ<1。

λ值对收敛速率没有影响，但是它影响着RLS 算法的跟踪能力。

λ值越小，均衡器的跟踪能力更强。

但是，如果λ值太小，均衡器将会不稳定。

100
200
300
400
500600700
800
900
1000
-4-202
4Samples
A m p l i t u d e xn noise signial
100
200
300
400
500600700
800
900
1000
-1-0.500.5
1Samples
A m p l i t u d e
d referenc
e signial
图2 随机噪声信号和参考信号
100
200
300
400
500600700
800
900
1000
-50
5Samples A m p l i t u d e
x input signial
100
200
300
400
500600700
800
900
1000
-20
2Samples A m p l i t u d e
output signial
100
200
300
400
500600700
800
900
1000
-50
5Samples
A m p l i t u d e
error signial
图3 加噪声输入信号、输出信号和误差信号。