2019-2020学年湖南省娄底市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．（5分）已知3()n a x x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( )A ．34B C ．1 D 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．637．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( )A ．21- B ．21-C ．31- D ．31- 9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰ ．14．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是 ．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 （用数字回答）．16．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ． （1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z 满足2(1)4z i i +=，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．2B ．2-C ．2i -D ．2i【解答】解：由2(1)4z i i +=，得2442(1)2i iz i i===+， ∴2z =．故选：A ．2．（5分）已知命题:p x R ∀∈，2230x x -+…；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是( ) A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝【解答】解：2223(1)20x x x -+=-+>Q ，∴命题:p x R ∀∈，2230x x -+…为真命题；由22a b <，不一定有a b <，如1a =，2b =-，则命题q ：若22a b <，则a b <为假命题． p q ∴∨为真命题；()p q ∨⌝为真命题；p q ⌝∨为假命题；()p q ⌝∨⌝为真命题．故选：C ．3．（5分）已知3()n ax x+的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为( ) A ．20B ．30C ．40D ．50【解答】解：由题意可得：232n =，(1)243n a +=， 解得5n =，2a =．∴展开式中通项公式351541552()()2k kk k k k k T x x x--+==痧，令1547k -=，解得2k =．7x ∴的系数225240==ð． 故选：C ．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了( ) A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{}n a ，且公比为12， 6Q 天后共走了378里，1661(1)2378112a S -∴==-， 解得1192a =，∴第三天走了23111()1924824a a =⨯=⨯=， 故选：B ．5．（5分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为( ) A ．34BC ．1 D【解答】解：由题意可得，2sin sin sin B A C =， 由正弦定理可得，2b ac =， 又2c a =，则可得b =，由余弦定理可得2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===，所以sin B ==． 故选：B ．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的6n =，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否故15S =时，满足条件S p < 31S =时，不满足条件S p <故S 的最小值31 故选：C ．7．（5分）已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m 的值为( ) x1 2 34 y0.11.8 m4A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.8【解答】解：由题意， 2.5x =，代入线性回归方程为ˆ 1.31y x =-，可得 2.25y =， 0.1 1.844 2.25m ∴+++=⨯， 3.1m ∴=．故选：B ．8．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，直线3y x =与C 相交于A ，B两点，且AF BF ⊥，则C 的离心率为( ) A ．212- B ．21- C ．31- D ．31-【解答】解：由222213x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得223x a b =±+，分别代入2233ab y a b=±+，22(3A a b∴+，223)3ab a b+，22(3B a b-+，223)3ab a b-+，∴22(3AF c a b=++u u u r，223)3ab a b+，22(3BF c a b=-+u u u r，223)3ab a b-+，∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b =--=++u u u r u u u r g ，2222243a b c a b ∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-， 两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得2423e =- 31e ∴=-，故选：D ．9．（5分）如图，在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r ，则AC AD u u u r u u u rg 的值为( )A ．3B ．8C ．12D ．16【解答】解：Q 在ABC ∆中，,3,||2AD AB DC BD AD ⊥==u u u r u u u r u u u r，∴()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g(4)AB BD AD =+u u u r u u u r u u u r g [4()]AB AD AB AD =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g (34)AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g 234AB AD AD =-+u u u r u u u r u u u r g204216=+⨯=； 故选：D ．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且~(3000X N ，250)．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )（参考数据：若2~(,)X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=„，(22)0.9544P X μσμσ-<+=„，(33)0.9974)P X μσμσ-<+=„ A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.9772【解答】解：1(3100)(3000250)1[1(22)]0.97722P X P X P X μσμσ=+⨯=---<+=剟?，故选：D ．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④【解答】解：设电线杆的下端分别为B ，D 且高度分别为a ，b 以B 为原点，BD 所在直线为y 轴建系，由仰角的正切相等知||||a PD b PB =，设(0D ，)(t P x ，)y ⇒= 则当a b =时，点P 的轨迹为BD 的垂直平分线， 当a b ≠时，点P 的轨迹为圆，故选：A ．12．（5分）已知{|()0}P f αα==，{|()0}Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”若2020()log (1)f x x =-与2()(x g x x ae e =-为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e 【解答】解：易知函数()f x 只有一个零点2，故{2}P =，由题意知|2|1β-<，即13β<<．由题意知，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()0xg x x ae =-=，得2xx ae =，所以2x x a e=．记2()((1,3))x x h x x e =∈，则222(2)(),(1,3)()x x x xxe e x x x h x x e e --'==∈．所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 所以24()(2)h x h e =„，而3219114(1),(3),()(2)h h h x h e e e e e==><=„， 所以实数a 的值范围为214(,]e e ．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）30|1|x dx -=⎰52． 【解答】解：3132100011|1|(1)(1)()|(2x dx x dx x dx x x -=-+-=-+⎰⎰⎰23115)|22x x -=． 故答案为：5214．（5分）已知函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是3π．【解答】解：函数cos y x =与sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，所以cossin(2)66ππϕ==⨯+，所以：(0)32ππϕφ=<<．故答案为：3π． 15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为 70 （用数字回答）． 【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形， 该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点， 故交点个数为4870C =． 故答案为：7016．（5分）已知,,(0,)2παβγ∈，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最【解答】解：由题意，知222sin sin sin 1αβγ++=，由基本不等式可知sin sin αβγ+„，同理sin sin βγα+„，sin sin γαβ+„，上述式子相加可得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++所以cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D AB P --的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ．由于AB r ππ==，AD π=，所以这实际上是一个正方形． 所以曲线Γ的长度为2BD π． （2）当2πθ=时，点1B 恰好为AB 的中点，所以P 为11B C 中点，故点1C 到平面APB 的距离与点1B 到平面APB 的距离相等． 连接AP 、BP ，OP ．由1AB B P ⊥且11AB A B ⊥知：AB ⊥平面APB ，从而平面11A B P ⊥平面APB ． 作1B H OP ⊥于H ，则1B H ⊥平面APB ，所以1B H 即为点1B 到平面APB 的距离． 在Rt △1OB P 中，·1111,2OB B P BB π===， 所以22241()2OP ππ+=+=于是：111221244OB B PB H OPπππ⨯⨯===++．所以，点1C 到平面APB 24π+．（3）由于二面角1D AB B --为直二面角，故只要考查二面角1P AB B --是否为4π即可． 过1B 作1B Q AB ⊥于Q ，连接PQ ．由于1B Q AB ⊥，1B P AB ⊥，所以AB ⊥平面1B PQ ，所以AB PQ ⊥． 于是1PQB ∠即为二面角1P AB B --的平面角． 在Rt △1PB Q 中，·111sin ,B Q B P BB θθ===． 若14PQB π∠=，则需11B P B Q =，即sin θθ=．令()sin (0)f x x x x π=-<<，则()cos 10f x x '=-<， 故()f x 在(0,)π单调递减．所以()(0)0f x f <=，即sin x x <在(0,)π上恒成立． 故不存在(0,)θπ∈，使sin θθ=．也就是说，不存在(0,)θπ∈，使二面角1D AB B --为4π．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a >，2211n n n S a S λ++=-，其中λ为常数．（1）证明：12n n S S λ+=+；（2）是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：11n n n a S S ++=-Q ，2211nn n S a S λ++=-， ∴2211()nn n n S S S S λ++=--， 11(2)0n n n S S S λ++∴--=， 0n a ∴>，10n S +∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+（2）解：12n n S S λ+=+Q ，12(2)n n S S n λ-=+…， 相减得：12(2)n n a a n +=…，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，21,1(1)2,2n n n a n λ-=⎧∴=⎨+⎩…， 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，22(1)(1)λλ∴+=+，1λ∴=经检验得符合题意．19．（12分）如图，过抛物线22(0)y px p =>上一点(1,2)P ，作两条直线分别交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求12y y +的值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距(1b ∈-，3]时，求ABP ∆面积ABP S ∆的最大值．【解答】解：（1）Q 点(1,2)P 在抛物线上，222p ∴=，解得2p =． 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ． 则1112(1)1PA y k x x -=≠-，2222(1)1PB y k x x -=≠-， PA Q 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，PA PB k k ∴=-．由1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均在抛物线上，得2114y x =，①2224y x =②122(2)y y ∴+=-+，124y y ∴+=-．（2）由①-②得直线AB 的斜率为1AB k =-．因此设直线AB 的方程为y x b =-+，由直线与抛物线方程联立，消去y 得22(24)0x b x b -++=，由△0>，得1b >-，这时1224x x b +=+，212x x b =， ||421AB b =+P 到直线AB 的距离为2d ，所以22(1)(3)ABP S b b ∆=+- 令2()(1)(3)([1,3])f x x x x =+-∈-， 则由()(31)(3)0f x x x '=--=，得13x =或3x =， 当1(1,)3x ∈-时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当1(3x ∈，3)时，()0f x '>，所以()f x 单调递减，故()f x 的最大值为25627，故ABP ∆面积ABP S ∆32320．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ （2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：所以2K 的观测值()()()()120801001003k a b c d a c b d ===++++⨯⨯⨯， 因为2K 的观测值41.3233k =>， 由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则m n ξ=+， 根据已知条件可得1ξ=，2，3，4，5，12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ======g ，12121123223222323254543(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=g g ， (3)(1P P m ξ===，1)(2n P m =+=，1)(3n P m =+=，0)n =1221022323223233325554715C C C C C C C C C C C =++=g ， 21032113223222323254541(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ=====+===+=g g ； 03223232541(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ======g ， 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）已知函数()1f x xlnx ax =++，a R ∈．（1）当时0x >，若关于x 的不等式()0f x …恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 【解答】解：（1）由()0f x …，得10(0)xlnx ax x ++>…． 整理，得1a lnx x -+„恒成立，即1()min a lnx x-+„． 令1()F x lnx x =+．则22111()x F x x x x-'=-=． ∴函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴函数1()F x lnx x=+的最小值为F （1）1=． 1a ∴-„，即1a -…．a ∴的取值范围是[1-，)+∞．（2）Q24nn +为数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．∴只需证明2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++即可．由（1），当1a =-时，有10xlnx x -+…，即1lnx x x-…． 令11n x n +=>，即得11111n n ln n n n +>-=++． ∴2211111()1(1)(2)12n lnn n n n n n +>>=-+++++． 现证明211(1)n ln n n n +<+，即2==(*) 现证明12(1)lnx x x x<->．构造函数1()2(1)G x x lnx x x=--…， 则2221221()10x x G x x x x-+'=+-=…． ∴函数()G x 在[1-，)+∞上是增函数，即()G x G …（1）0=． ∴当1x >时，有()0G x >，即12lnx x x<-成立．令x =(*)式成立． 综上，得2111(1)(2)(1)n ln n n n n n +<<+++．对数列1(1)(2)n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭，21n ln n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭分别求前n 项和， 得2223122421n n nln ln ln n n n +<++⋯+<++． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩． （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． 【解答】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，曲线C 的普通方程为2214y x -=，故曲线C 的右顶点(0,1)到直线l的距离d =． （2）将直线l的参数方程改为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 并代入2214y x -=，得2320t --=，设其两根为1t ，2t，则12t t +=，1223t t =-， 122||||||3PA PB t t ∴==g ． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a ca b c b+++…； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c x y z ++++的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，1b a c b a b ca b c b a b c b+++=++-++12=…，当且仅当b a b ca b c b +==+时取等号， ∴2b a c a b c b +++…．． （2）由柯西不等式可得2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++…， Q 222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，结合上述不等式取等号， 可设(0)a b ck k x y z===>，即a kx =，b ky =，c kz =， 2222222()a b c k x y z ∴++=++，249k ∴=，∴23k =， ∴23a b c k x y z ++==++．。
湖南省娄底地区2019-2020年度高三上学期期末数学试卷(理科)A卷
湖南省娄底地区2019-2020年度高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M={x∈Z|﹣3＜x＜0}，N={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A . {﹣2}B . {﹣2，﹣1}C . {﹣2，﹣1，0}D . {﹣2，﹣1，0，1}2. （2分） (2016高二下·赣州期末) =（）A . 1﹣2iB . 1+2iC . ﹣ iD . + i3. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R），若x=x0是函数f（x）的一条对称轴，且tanx0=3，则点（a，b）所在的直线为（）A . x﹣3y=0B . x+3y=0C . 3x﹣y=0D . 3x+y=04. （2分）已知向量= (－3 ,2 ) , =(x,－4) , 若，则x=（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2016高一下·永年期末) 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1 ， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（）A . s1＞s2B . s1=s2C . s1＜s2D . 不确定6. （2分） (2016高三上·新津期中) 在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=240，则a9﹣ a11的值为（）A . 30B . 31C . 32D . 337. （2分）(2020·茂名模拟) 下列函数图象中，函数的图象不可能的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（）A . 0.59B . 0.54C . 0.8D . 0.159. （2分） (2018高一下·长阳期末) 设x ， y满足，则z＝2x－y的最小值为（）A . ﹣5B . ﹣4C . 4D . 010. （2分）(2018·雅安模拟) 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .11. （2分）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1 ， a3 ，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A . 13，12B . 13，13C . 12，13D . 13，1412. （2分）设函数f（x）=+lnx，则（）A . x=为f（x）的极小值点B . x=2为f（x）的极大值点C . x=为f（x）的极大值点D . x=2为f（x）的极小值点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·高淳期末) 在△ABC中角A，B，C对应边分别为a，b，c，若，那么c=________．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 二项式（x+ ）6的展开式中的常数项为________．15. （1分）三棱锥A﹣BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为________16. （1分） (2019高三上·鹤岗月考) 在中，角所对的边分别为的平分线交于点D ，且，则的最小值为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB+ccosC=acosA，试判断△ABC的形状．18. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知数列{an}中的前n项和为Sn= ，又an=log2bn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．19. （10分） (2016高二上·衡水期中) 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2 ，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H= ．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．20. （10分）(2017·内江模拟) 某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天气温，得到如下统计表：8月18日8月25日曰期8月1曰8月7日8月14日平均气温（℃）3330323025用电量（万度）3835413630xiyi=5446， xi2=4538， = ， = ﹣（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象預报9月3日的平均气温是23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）（2）请从表中任选两天，记用电量（万度）超过35的天数为ξ，求ξ的概率分布列，并求其数学期望和方差．21. （10分） (2015高二下·射阳期中) 如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3 ．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？22. （10分） (2017高二下·中原期末) 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣ =0，M为l3与C的交点，求M的极径．23. （5分）已知函数 f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式 f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较 2（a+b）与ab+4的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学理科试题
娄底市2019年下学期高三教学质量检测试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 2B. -2C. 2i -D. 2i2.已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∨B. ()p q ∨⌝C. p q ⌝∨D. ()p q ⌝∨⌝3.已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ） A. 20B. 30C. 40D. 504.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ） A. 192B. 48C. 24D. 885.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ）A.34B.C. 1D.6.执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是( )A 15B. 16C. 31D. 327.已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-，则m 的值为（ ）A. 3.1B. 2.9C. 2D. 38.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A12B.1C.D.19.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3DC BD =u u u v u u u v ，2AD =u u uv ，则AC AD ⋅u u u v u u u v 的值为（ ）.A. 3B. 8C. 12D. 1610.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50X N :.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,X Nμσ:，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A. 0.0456B. 0.6826C. 0.9987D. 0.977211.在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②④12.已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与()2xg x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A. 214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ B. 214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C. 242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.31x dx -⎰值为______.14.已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______.15.一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）.16.已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .（1）求曲线Γ的长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离.18.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.19.如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 20.为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：21.已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<+++<++L ．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数）. （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.选修4-5：不等式选讲23.（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b++≥+；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：222222496a b cx y zax by cz⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b cx y z++++的值.。
【精准解析】湖南省娄底市2020届高三上学期期末教学质量检测数学理科试题
x3
a x
5
因为
x3
a x
5
展开式各项系数和为
243
令 x 1 ,代入可得 1 a5 243 35
解得 a 2
所以二项式为
x3
2 xLeabharlann 5 则该二项式展开式的通项为 Tr 1 C5r
x3
5r
2 x
r
2r C5r x154r
所以当展开式为 x7 时,即 x154r x7
-2-
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数 z .结合共轭复数的定义即可得 z .
【详解】将式子 z 1 i2 4i 化简可得
z
4i
1 i2
4i 2i
2
根据共轭复数定义可知 z 2
故选:A 【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.
2.已知命题 p ： x R ， x2 2x 3 0 ；命题 q：若 a2 b2 ，则 a b ，下列命题为假命
a1q n 1
代入可得 a3
192
1 2
2
48
故选:B
【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前 n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于
基础题.
5. ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，若 sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，
-3-
且 c 2a ，则 sin B 的值为（ ）
3
A.
4
B. 7
C. 1
4
【答案】B
【解析】
【分析】
D. 3 3
根据 sin A , sin B , sin C 成等比数列,再由正弦定理可得 b2 ac .结合 c 2a ,代入余弦定理,
20-20学年湖南省娄底市高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年湖南省娄底市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={−1,1}，N={x|1x<2}，则下列结论正确的是()A. N⊆MB. M⊆NC. M∩N=⌀D. M∪N=R2.复数1+bi1−i的实部和虚部相等，则实数b的值为()A. 0B. 17C. −17D. −13.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是()A. m⊥α，α⊥β，m//n⇒n//βB. m//α，α∩β=n⇒n//mC. α//β，m//α，m⊥n⇒n⊥βD. m⊥α，n⊥β，m//n⇒α//β4.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为()A. 92，94B. 99，86C. 92，86D. 95，915.己知圆x2+y2=4与直线x+y−t=0，则，“t=2√2”是“直线与圆相切“的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.数列{a n}为等差数列，若a2+a8=23π，则tan(a3+a7)的值为()A. √33B. −√33C. √3D. −√37.设函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=log a(x+b)的图象可能是()A. B.C. D.8.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A. √22B. √32C. √3−√2D. √3−19.已知函数f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，则f(−π3)=()A. −π6B. −√3π6C. π6D. √3π610.圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为()A. mm+n B. nm+nC. 4mm+nD. 4nm+n11.已知P为双曲线x29−y216=1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为()A. 2B. 3C. 32D. √13212.已知实数a,b满足，c∈R，则√(a−c)2+(b+c)2的最小值为()A. 12B. √22C. 3√22D. 92二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=√20，a⃗⋅b⃗ =4，则|a⃗−b⃗ |=______ ．14.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是____；表面积是____15.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cosB=35，则c=__________．16.已知函数f(x)=2×9x−3x+a2−a−3，当0≤x≤1时，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为______________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如下表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩(分)8085719287学生乙的成绩(分)9076759282(1)根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？(2)若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？18.如图，直棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AB=2．AC=CB=√22(1)证明：DC⊥DE；(2)求三棱锥C−A1DE的体积．19.已知{a n}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．20. 已知函数f(x)=xlnx −a2x 2有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)设g(x)=f(x)−x 22，讨论函数g(x)的零点个数．21. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)上一点P(m,2m)(m ≠0)到其焦点的距离为174．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若斜率为2的直线l 交C 于A 、B 两点，设Q 为C 上一点，C 在Q 处的切线与直线l 平行，且AQ ⊥BQ ，求直线AB 的方程．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为(1,0)，直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ．(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)直线l和曲线C交于A，B两点，求1|MA|2+1|MB|2的值．23.(Ⅰ)解不等式|x−1|+|2x+1|>3(Ⅱ)如果a，b∈[−1,1]，求证|1+ab4|>|a+b2|-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合M={−1,1}，N={x|1x <2}={x|x<0或x>12}，则M⊆N，故A错误；M⊆N，故B正确；M∩N={−1,1}，故C错误；M∪N=N，故D错误．故选：B．由集合M={−1,1}，N={x|1x <2}={x|x<0或x>12}，逐一判断即可得答案．本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分式不等式的解法，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由已知列式求得b值．解：∵1+bi1−i =(1+bi)(1+i)(1−i)(1+i)=1−b2+1+b2i，且复数1+bi1−i的实部和虚部相等，∴1−b2=1+b2，即1−b=1+b，∴b=0．故选：A．3.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解：对于A，m⊥α，α⊥β，m//n⇒n//β或n⊂β，不正确；对于B，m//α，m⊂β，α∩β=n⇒n//m，不正确；对于C，α//β，m//α，m⊥n⇒n、β位置关系不确定，不正确；对于D，m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α//β，正确，故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了众数与中位数的定义与应用问题，是基础题．根据茎叶图中的数据，写出中位数和众数．解：根据成绩统计的茎叶图知，这组数据按从小到大的顺序排列后，排在中间的数为92，即中位数是92；这组数据出现次数最多的是86，即众数是86．故选C．5.答案：A解析：根据直线和圆相切可得d=r，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．，解：由圆心到直线的距离d=√2=2，即|t|=2√2，则t=±2√2，若直线与圆相切，则√2则“t=2√2”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，故选：A．6.答案：D解析：解：由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8=23π，所以tan(a3+a7)=tan23π=−√3，故选：D．由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8，代入tan(a3+a7)求值即可．本题考查等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．7.答案：C解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于中档题．根据函数y=sinax+b(a>0)的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a(x+b)的单调性及图象特征，从而得出结论．解：由函数y=sinax+b(a>0)的图象可得0<b<1，2π<2πa <3π，即23<a<1．故函数y=log a(x+b)是定义域内的减函数，且过定点(1−b,0)，故选C．8.答案：D解析：本题主要考查了椭圆的几何性质，以及椭圆定义的应用．设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=√3c，由椭圆的定义知2a=|DF1|+ |DF2|=√3c+c，根据离心率公式求得答案．解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，则|DF1|=c，|DF2|=√3c.由椭圆定义得，2a=|DF1|+|DF2|=√3c+c，所以e=ca =3+1=√3−1，故选D．9.答案：A解析：本题考查三角函数的奇偶性及计算，先通过函数为奇函数f(x)=−f(−x)，求出a的值，再求出答案即可，属于简单题．解：∵f(x)=axsinx+xcosx(a∈R)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)，即axsinx+xcosx=−a(−x)sin(−x)+xcos(−x)，解得a=0，∴f(x)=xcosx，f(−π3)=−π6．故选A．10.答案：C解析：本题主要考查与面积有关的几何概型，属于中档题．由0<x<1,0<y<1,可得(x,y)在以1为边长的正方形内，因为x，y，1组成锐角三角形，1为最大边，(x,y)在以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆外，利用几何概率公式列方程即可求解．解：设所写的两个数为x，y，则0<x<1，0<y<1，(x,y)在以1为边长的正方形内，∵x,y,1组成锐角三角形，1为最大边，∴x2+y2−1>0,x2+y2>1,(x,y)在以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆外，解得故选C．11.答案：B解析：本题考查双曲线的概念，方程和性质，涉及直角三角形的内切圆半径的求法，属中档题，由题意知△AF1P为直角三角形，设内切圆半径为r，则|PF1|+|PA|−|AF1|=2r，，然后结合双曲线的方程，定义进行转化得到|AF2|−|AF1|=2r−6，根据双曲线的对称性可得|AF2|=|AF1|，进而得到r的值．解：由双曲线x 29−y 216=1知，a =3．设△APF 1的内切圆半径为r ，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PA =90∘， ∴|PF 1|+|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|PF 2|+2a +|PA|−|AF 1|=2r ， ∴|AF 2|−|AF 1|=2r −6，由图形的对称性知，|AF 2|=|AF 1|， ∴2r −6=0，解得r =3， 故选B ．12.答案：C解析：本题主要考查函数的化归与转化思想，本题较难，突破口于将函数问题转化为解析几何问题来求解． 本题将最值转化为曲线上点到直线的距离问题，用到切线方程.属于较难题． 解：分别设，y =−x ，则√(a −c)2+(b +c)2可表示曲线上的点(a,b )到直线y =−x 上的点(c,−c )的距离，则√(a −c)2+(b +c)2的最小值表示曲线上与直线y =−x 平行的切线到直线y =−x 的距离，，∴f′(x)=4x −5x =−1，解得x =1，则当a =1，b =f (1)=2时，取到最小值，则曲线过点(1,2)的切线方程为y −2=−(x −1)，即x +y −3=0， 则直线x +y −3=0到直线y =−x 的距离d =√2=3√22， 故√(a −c)2+(b +c)2的最小值为3√22， 故选C ．13.答案：2解析：解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+8=20；∴a⃗2+b⃗ 2=12；∵|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =12−8=4；∴|a⃗−b⃗ |=2；故答案为：2由题意知，充分利用公式|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ 化简求解；本题主要考查了向量的运算公式，以及对向量数量积运算的掌握，属基础题．14.答案：163；16+8√2解析：由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，利用面积公式即可求得表面积．解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面ABC，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是2，棱柱高为4，棱锥的高是4，∴底面面积S=12×2×2=2，∴几何体的体积V=2×4−13×2×4=163，表面积为：S=2+2√2×4+12×2×4+12×2×4+12×2√2×√(2√5)2−(√2)2=16+8√2故答案为163；16+8√2．15.答案：7解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理即可求b的值，利用余弦定理即可解得c的值．解：∵cosB=35，a=5，A=π4，∴sinB=√1−cos2B=45，∴由正弦定理可得：b=asinBsinA =5×45√22=4√2，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，即：32=25+c2−6c，解得：c=7或−1(舍去)．故答案为7．16.答案：{a|a<−1或a>2}解析：本题考查不等式的恒成立问题，指数函数及其性质，属于中档题．令t=3x，则1≤t≤3，则f(t)=2t2−t+a2−a−3在[1,3]上大于0恒成立，求出f(t)的最小值可得答案．解：∵当0≤x≤1时，f(x)>0恒成立，∴令t=3x，则1≤t≤3，则f(t)=2t2−t+a2−a−3在[1,3]上大于0恒成立，∵f(t)在[1,3]上为增函数，∴当t=1时，f(t)取最小值，为f(1)=a2−a−2．令f(1)>0，解得a>2或a<−1，故答案为a>2或a<−1，故答案为{a|a<−1或a>2}=83，17.答案：解：(1)学生甲的平均成绩为x1=80+85+71+92+875=83，学生乙的平均成绩为x2=90+76+75+92+825×[(83−80)2+(83−85)2+(83−71)2+(83−92)2+(83−87)2]=学生甲的成绩方差为s12=1550.8，×[(83−90)2+(83−76)2+(83−75)2+(83−92)2+(83−82)2]=学生乙的成绩方差为s22=1548.8，因为x1=x2,s12>s22，所以学生乙的成绩比较稳定，所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．(2)记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A，B，C，d，e，共5种情况，学生乙恰好抽中会的备选题，有A，B，C，共3种情况，．所以学生乙进入复赛的概率P1=35方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，Ade，Bde，Cde，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种情况，所以．学生乙进入复赛的概率P2=710因为P1<P2，所以学生乙选择方案2进入复赛的可能性更大．解析：本题考查平均数、方差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)分别求出学生甲的平均成绩和学生乙的平均成绩，学生甲的成绩方差和学生乙的成绩方差，由x1=x2,s12>s22，得到学生乙的成绩比较稳定，从而选学生乙参加物理竞赛比较合适．(2)记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙.方案2：学生乙从5道从5道备选题中任意抽出1道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率P1=35.因为P1<P2，所以学生乙选备选题中任意抽出3道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率P2=710择方案2进入复赛的可能性更大．18.答案：证明：(1)由AC=CB=√22AB，AC2+CB2=AB2故△ABC为等腰直角三角形又由D是AB的中点，知CD⊥AB，又∵直棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1，又∵AB，AA1⊂面A1ABB1，AB∩AA1=A∴CD⊥面A1ABB1，又∵DE⊂面A1ABB1，故DC⊥DE；(2)由(1)知CD⊥面A1ABB1，且CD=√2在Rt△A1AD中，AA1=2，AD=√2，故A 1D=√6在Rt△BDE中，BE=1，BD=√2，故DE=√3Rt△A1B1E中，A1B1=2√2，B1E=1故A 1E=3∵A1E2=A1D2+DE2故三角形△A1DE为直角三角形故V C−A1DE =13⋅CD⋅12⋅A1D⋅DE=13⋅√2⋅12⋅√6⋅√3=1．解析：(1)由韦达定理可得△ABC为等腰直角三角形，进而可得CD⊥AB，结合直棱柱的特征可得CD⊥AA1，结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面A1ABB1，进而由线面垂直的定义可得DC⊥DE；(2)由(1)可得CD⊥面A1ABB1，即CD为棱锥的高，求出三角形△A1DE的面积后，代入棱锥的体积公式，可得三棱锥C−A1DE的体积．本题考查的知识点是线面垂直的判定定理及性质，棱锥的体积，其中证明出直线CD⊥面A1ABB1，是解答的关键．19.答案：解：(Ⅰ){a n}是公比为q的等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列，可得a1+a4=2(a3+1)，即有2+2q3=2(2q2+1)，解得q=2(0舍去)，则a n=2⋅2n−1=2n；(Ⅱ)b n=na n=n⋅2n，则前n项和S n=1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n，2S n=1⋅22+2⋅23+⋯+n⋅2n+1，相减可得−S n=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简可得S n=(n−1)⋅2n+1+2．解析：(Ⅰ){a n}是公比为q的等比数列，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，即可得到所求通项；(Ⅱ)求得b n=na n=n⋅2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列中项性质，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=lnx+1−ax，因为f(x)有两个不同的极值点，则f′(x)有两个不同的零点．令f′(x)=0，则lnx+1−ax=0，即，设，则直线y=a与函数y=ℎ(x)的图象有两个不同的交点，，由ℎ′(x)>0，得lnx<0，即0<x<1，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，从而ℎ(x)max=ℎ(1)=1．因为当0<x<1e 时，ℎ(x)<0；当x>1e时，ℎ(x)>0；当x→+∞时，ℎ(x)→0，所以a的取值范围是(0,1)；(Ⅱ)因为x1，x2为f(x)的两个极值点，则x1，x2为直线y=a与曲线y=ℎ(x)的两个交点的横坐标，由(I)可知1e<x1<x2，且，因为当0<x<x1或x>x2时，，即f′(x)<0，当x1<x<x2时，，即f′(x)>0，则f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，所以f(x)的极小值点为x1，极大值点为x2，当0<x≤1时，因为lnx≤0，0<a<1，x2>1，则g(x)=xlnx−a2x2−x22<0，所以g(x)在区间(0,1]内无零点，因为，a=ℎ(x2)，则①当lnx2>2，即x2>e2时，g(x2)>0．又0<a<1，则e a2>1，所以g(e a2)=e a2(lne a2−a2e a2)−x22=a2e a2(1−e a2)−x22<0，此时，g(x)在(1,x2)和(x2,+∞)内各有1个零点，且a<ℎ(e2)=3e，②当lnx2=2，即x2=e2时，g(x2)=0，此时g(x)在(1,+∞)内有1个零点，且a=ℎ(e2)=3e2，③当0<lnx2<2，即1<x2<e2时，g(x2)<0，此时g(x)在(1,+∞)内无零点，且a>ℎ(e2)=3e2，综上分析，当0<a<3e2时，g(x)有2个零点；当a=3e2时，g(x)有1个零点；当3e<a<1时，g(x)没有零点．解析：本题主要考查函数零点的判断以及函数极值与单调性之间的关系，利用导数是解决本题的关键，考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．(Ⅰ)根据函数极值与导数之间的关系，进行求解即可；(Ⅱ)求g(x)的解析式，求函数的导数，根据函数单调性极值关系判断函数零点个数即可．21.答案：解：(Ⅰ)抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=−p2，抛物线上一点P(m,2m)(m≠0)到焦点的距离为174，由定义可得2m+p2=174，且m 2=4pm ， 解得p =12，m =2， 则抛物线的方程为x 2=y ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +t ， 代入曲线C ：y =x 2，可得x 2−2x −t =0，设A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，即有x 1+x 2=2，x 1x 2=−t ， 再由y =x 2的导数为y′=2x ，设Q(m,m 2)，可得Q 处切线的斜率为2m ， 由C 在Q 处的切线与直线AB 平行，可得2m =2， 解得m =1，即Q(1,1)，由AQ ⊥BQ 可得，k AQ ⋅k BQ =−1， 即为x 12−1x1−1⋅x 22−1x2−1=−1，化为x 1x 2+(x 1+x 2)+1=−1， 即为−t +2+1=−1， 解得t =4．则直线AB 的方程为y =2x +4．解析：本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线的点斜式，一元二次方程的解法，考查函数与方程思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得抛物线的准线方程，运用抛物线的定义和点在抛物线上，解方程可得m ，p ，进而得到抛物线方程；(Ⅱ)设Q(m,m 2)，求出y =x 2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m ，即有Q 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得x 1，x 2的关系式，再由直线AB ：y =2x +t 与y =x 2联立，运用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程． 22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (t 为参数)；转换为直角坐标方程为：x −y −1=0， 曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cosθ．转换为直角坐标方程为：y 2=2x ． (Ⅱ)将直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)；代入y 2=2x ，得到：t 2−2√2t −4=0(t 1和t 2为A 、B 对应的参数) 所以：t 1+t 2=2√2，t 1⋅t 2=−4， 则：1|MA|2+1|MB|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵|x −1|+|2x +1|>3，x ≥1时，x −1+2x +1>3，解得：x >1， −12<x <1时，1−x +2x +1>3，无解， x ≤−12时，1−x −2x −1>3，解得：x <−1 故不等式的解集是{x|x <−1或，x >1}； (Ⅱ)若证明|1+ab 4|>|a+b 2|，只需(1+ab 4)2>(a+b 2)2， 只需1+ab 2+(ab)216>a 24+ab 2+b 24，只需1+(ab)216>a 2+b 24，只需16+a 2b 2>4(a 2+b 2)， ∵a ，b ∈[−1,1]，∴a 2b 2∈[0,1]，a 2+b 2∈[0,2]， 故16+a 2b 2>4(a 2+b 2)成立， 故a ，b ∈[−1,1]时，|1+ab 4|>|a+b 2|.解析：(Ⅰ)通过讨论x的范围，解不等式，取交集即可；(Ⅱ)根据分析法证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
2019-2020学年湖南省娄底市高三(上)期末数学试卷(理科)及答案
2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．504．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．637．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.88．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣19．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．1610．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.977211．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为（用数字回答）．16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84121．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）2＝4i，则复数z的共轭复数＝（）A．2B．﹣2C．﹣2i D．2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）2＝4i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为假命题的是（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．￢p∨q D．￢p∨（￢q）【分析】利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0，∴命题p：∀x∈R，x2﹣2x+3≥0为真命题；由a2＜b2，不一定有a＜b，如a＝1，b＝﹣2，则命题q：若a2＜b2，则a＜b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨（￢q）为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨（￢q）为真命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为（）A．20B．30C．40D．50【分析】由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n，a．再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n＝32，（1+a）n＝243，解得n＝5，a＝2．∴展开式中通项公式T k+1＝（x3）5﹣k＝2k x15﹣4k，令15﹣4k＝7，解得k＝2．∴x7的系数＝＝40．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6＝，解得a1＝192，∴第三天走了a3＝a1×＝192×＝48，故选：B．【点评】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则sin B的值为（）A．B．C．1D．【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解．【解答】解：由题意可得，sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得，b2＝ac，又c＝2a，则可得b＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）A．7B．15C．31D．63【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Sn循环前/0 1第一圈是1 2第二圈是3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故S＝15时，满足条件S＜pS＝31时，不满足条件S＜p故S的最小值31故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7．（5分）已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x 的线性回归方程为＝1.3x﹣1，则m的值为（）x1234y0.1 1.8m4A．2.9B．3.1C．3.5D．3.8【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．【解答】解：由题意，＝2.5，代入线性回归方程为＝1.3x﹣1，可得＝2.25，∴0.1+1.8+m+4＝4×2.25，∴m＝3.1．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y＝与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为（）A．B．﹣1C．D．﹣1【分析】可解得点A、B坐标，由AF⊥BF，得•＝0，把b2＝a2﹣c2代入该式整理后两边同除以a4，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围【解答】解：由，消y可得得（3a2+b2）x2＝a2b2，解得x＝±，分别代入y＝±，∴A（，），B（﹣，﹣），∴＝（+c，），＝（c﹣，﹣），∴•＝c2﹣﹣＝0，∴c2＝，（*）把b2＝a2﹣c2代入（*）式并整理得4a2c2﹣c4＝4a2（a2﹣c2），两边同除以a4并整理得e4﹣8e2+4＝0，解得e2＝4﹣2∴e＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．（5分）如图，在△ABC中，，则的值为（）A．3B．8C．12D．16【分析】结合已知得到＝﹣3+4代入数量积的计算即可【解答】解：∵在△ABC中，，∴＝（+）•＝（+4）•＝[+4（﹣）]•＝（﹣3+4）•＝﹣3+42＝0+4×22＝16；故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10．（5分）通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X，且X～N（3000，502）．则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（）（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.0456B．0.6826C．0.9987D．0.9772【分析】利用正态分布的对称性来求解．【解答】解：P（X≤3100）＝P（X≤3000+2×50）＝1﹣[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝0.9772，故选：D．【点评】本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11．（5分）在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是（）①直线②圆③椭圆④抛物线A．①②B．①③C．①②③D．②④【分析】先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹【解答】解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|＝b|PB|，设D（0，t）P（x，y）⇒a＝b则当a＝b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．【点评】本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12．（5分）已知P＝{α|f（α）＝0}，Q＝{β|g（β）＝0}，若存在α∈P，β∈Q，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n距零点函数”若f（x）＝log2020（x﹣1）与g（x）＝x2﹣ae x（e为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，即．构造函数，结合导数可判断单调性，进而可求．【解答】解：易知函数f（x）只有一个零点2，故P＝{2}，由题意知|2﹣β|＜1，即1＜β＜3．由题意知，函数g（x）在（1，3）内存在零点，由g（x）＝x2﹣ae x＝0，得x2＝ae x，所以．记，则．所以当x∈（1，2）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（2，3）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；所以，而，所以实数a的值范围为．故选：B．【点评】本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）|x﹣1|dx＝．【分析】将：∫03|x﹣1|dx转化成∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．【解答】解：∫03|x﹣1|dx＝∫01（1﹣x）dx+∫13（x﹣1）dx＝（x﹣x2）|01+（x2﹣x）|13＝．故答案为：【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．（5分）已知函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．【分析】直接利用函数的图象的应用求出结果．【解答】解：函数y＝cos x与，它们的图象有一个横坐标为的交点，所以cosφ），所以：φ＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．（5分）一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为70（用数字回答）．【分析】要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案【解答】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为．故答案为：70【点评】本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题16．（5分）已知，且cos2α+cos2β+cos2γ＝2，则的最小值为．【分析】根据基本不等式可知，同理可得sinβ+sinγ≤，sinγ+sinα≤，进一步求出的最小值．【解答】解：由题意，知sin2α+sin2β+sin2γ＝1，由基本不等式可知，同理，，上述式子相加可得，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．（1）求曲线Γ长度；（2）当时，求点C1到平面APB的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB 的距离与点B1到平面APB的距离相等．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．【解答】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．由于AB＝πr＝π，AD＝π，所以这实际上是一个正方形．所以曲线Γ的长度为BD＝π．（2）当θ＝时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．连接AP、BP，OP．由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．在Rt△OB1P中，，所以．于是：．所以，点C1到平面APB的距离为．（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可．过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．于是∠PQB1即为二面角P﹣AB﹣B1的平面角．在Rt△PB1Q中，．若，则需B1P＝B1Q，即sinθ＝θ．令f（x）＝sin x﹣x（0＜x＜π），则f′（x）＝cos x﹣1＜0，故f（x）在（0，π）单调递减．所以f（x）＜f（0）＝0，即sin x＜x在（0，π）上恒成立．故不存在θ∈（0，π），使sinθ＝θ．也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D﹣AB﹣B1为．【点评】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，S n2＝a n+12﹣λS n+1，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用已知条件通过a n+1＝S n+1﹣S n，推出S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，然后证明：S n+1＝2S n+λ；（2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，，∴，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1＝2S n+λ．（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n＝，若使{a n}是等比数列则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．【点评】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y1+y2的值；（2）若直线AB在y轴上的截距b∈（﹣1，3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．【分析】（1）把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k P A和k PB，根据倾斜角互补可知k P A＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值；（2）表示出面积，利用导数方法求△ABP面积S△ABP的最大值．【解答】解：（1）∵点P（1，2）在抛物线上，∴22＝2p，解得p＝2．设直线P A的斜率为k P A，直线PB的斜率为k PB．则k P A＝（x1≠1），k PB＝（x2≠1），∵P A与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A＝﹣k PB．由A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，得y12＝4x1，①y22＝4x2②∴y1+2＝﹣（y2+2），∴y1+y2＝﹣4．（2）由①﹣②得直线AB的斜率为k AB＝﹣1．因此设直线AB的方程为y＝﹣x+b，由直线与抛物线方程联立，消去y得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，由△＞0，得b＞﹣1，这时x1+x2＝2b+4，x1x2＝b2，|AB|＝4，又点P到直线AB的距离为d＝，所以S△ABP＝，令f（x）＝（x+1）（3﹣x）2（x∈[﹣1，3]），则由f′（x）＝（3x﹣1）（x﹣3）＝0，得x＝或x＝3，当x∈（﹣1，）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，当x∈（，3）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递减，故f（x）的最大值为，故△ABP面积S△ABP的最大值为．【点评】本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力．20．（12分）响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．附：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.05 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841【分析】（1）根据所给条件，制作列联表，求出K2的观测值，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关．（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据所给条件，制作列联表如下：男女总计喜欢阅读古典文学6436100不喜欢阅读古典文学5644100总计12080200所以K2的观测值，因为K2的观测值，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m人，女代表n人，则ξ＝m+n，根据已知条件可得ξ＝1，2，3，4，5，，，P（ξ＝3）＝P（m＝1，n＝1）+P（m＝2，n＝1）+P（m＝3，n＝0）＝+＝，；，所以ξ的分布列是：ξ12345p所以．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+1，a∈R．（1）当x＞0时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）当n∈N*时，证明：．【分析】（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由为数列的前n项和，为数列的前n项和．因此只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx ﹣x+1≥0，即．令，即得＝．可得＝．现证明，即＝＝．通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明．【解答】解：（1）由f（x）≥0，得xlnx+ax+1≥0（x＞0）．整理，得恒成立，即．令．则．∴函数F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴函数的最小值为F（1）＝1．∴﹣a≤1，即a≥﹣1．∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．（2）∵为数列的前n项和，为数列的前n项和．∴只需证明即可．由（1），当a＝﹣1时，有xlnx﹣x+1≥0，即．令，即得＝．∴＝．现证明，即＝＝．（*）现证明．构造函数（x≥1），则＝．∴函数G（x）在[﹣1，+∞）上是增函数，即G（x）≥G（1）＝0．∴当x＞1时，有G（x）＞0，即成立．令，则（*）式成立．综上，得．对数列，，分别求前n项和，得．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（参数为t），曲线C的参数方程为（参数为φ）．（1）求曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）若点P的坐标为（1，1），设直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【分析】（1）先求出直线l和曲线C的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C的右顶点到直线l的距离；（2）将直线l的方程改写为，然后代入曲线C中，再根据|P A|•|PB|＝|t1t2|求出|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，曲线C的普通方程为，故曲线C的右顶点（1，0）到直线l的距离．（2）将直线l的参数方程改为，并代入，得，设其两根为t1，t2，则，，∴|P A|•|PB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c都是正实数，证明：；（2）已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组：，求的值．【分析】（1）直接利用三元基本不等式求出的最小值，即可证明；（2）柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，再结合方程组即可得到a，b，c之间的关系，进一步求出的值．【解答】解：（1）由三元基本不等式知，＝≥，当且仅当，即a＝b且c＝0时取等号，∴．（2）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，∵，结合上述不等式取等号，可设（k＞0），即a＝kx，b＝ky，c＝kz，∴a2+b2+c2＝k2（x2+y2+z2），∴4＝9k2，∴，∴．【点评】本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。
2019-2020学年湖南省娄底市高三(上)期末数学试卷(文科)及答案
2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．N∩M＝∅D．M∩N＝R2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数b等于（）A．3B．1C．D．3．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是（）A．若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n⊥α4．（5分）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A．95，94B．92，86C．99，86D．95，915．（5分）已知a，b都是实数，p：直线x+y＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切；q：a+b ＝2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知等差数列{a n}的前13项之和为，则tan（a6+a7+a8）等于（）A．B．C．﹣1D．17．（5分）已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）A．﹣B．﹣1C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝ax sin x+x cos x（a∈R）为奇函数，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法．下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值．假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．11．（5分）P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（）A．2B．3C．D．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b＝0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．14．（5分）已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且a cos B ＝3b cos A，则△ABC的面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝，若对任意x∈[﹣1﹣a，a﹣1]，不等式f（x ﹣a）≥[f（x）]2恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分. 17．（12分）某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩（分）8085719287学生乙的成绩（分）9076759282（1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？（2）若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？18．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D 是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．19．（12分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对于数列，若存在一个区间M，均有A i∈M，（i＝1，2，3…），则称M为数列的“容值区间”，设，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．21．（12分）已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB 的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，圆C1：x2+y2＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ+sinθ）＝9．（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点M是C2上一动点，求点M到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式||x+1|﹣|x﹣1||＜2的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若a，b，c∈A，求证：2019-2020学年湖南省娄底市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．N∩M＝∅D．M∩N＝R【分析】利用集合的包含关系即可求解．【解答】解：∵，∴M⊆N，故选：B．【点评】本题主要考查了集合的基本关系，是基础题．2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数b等于（）A．3B．1C．D．【分析】直接利用复数的除法运算化简为复数的代数形式，然后由实部等于虚部列式求b 得值．【解答】解：＝．因为复数的实部与虚部相等，所以，解得b＝3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是（）A．若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n⊥α【分析】在A中，由面面垂直的性质定理得α∥β；在B中，m与α的位置关系不确定，从而m∥α不一定成立；在C中，由于m与n几何位置关系不确定，从而α∥β的条件不具备；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解答】解：由三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，知：在A中，若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则由面面垂直的性质定理得α∥β，故A正确；在B中，∵m与α的位置关系不确定，∴m∥α不一定成立，故B错误；在C中，由于m与n几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．（5分）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A．95，94B．92，86C．99，86D．95，91【分析】根据茎叶图中的数据，写出中位数和众数．【解答】解：根据成绩统计的茎叶图知，这组数据按从小到大的顺序排列后，排在中间的数为92，即中位数是92；这组数据出现次数最多的是86，即众数是86．故选：B．【点评】本题考查了众数与中位数的定义与应用问题，是基础题．5．（5分）已知a，b都是实数，p：直线x+y＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切；q：a+b ＝2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线和圆相切的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若直线x+y＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2相切，则圆心（a，b）到直线的距离d＝＝，即|a+b|＝2，则a+b＝2或a+b＝﹣2，即p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．6．（5分）已知等差数列{a n}的前13项之和为，则tan（a6+a7+a8）等于（）A．B．C．﹣1D．1【分析】根据等差数列的性质，由前13项之和为得到第七项的值，然后把所求的式子中的a6+a7+a8，利用等差数列的性质得到关于第七项的式子，把第七项的值代入到所求的式子中，利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：S13＝（a1+a13）+（a2+a12）+…+a7＝13a7＝，解得a7＝，而tan（a6+a7+a8）＝tan3a7＝tan＝﹣tan＝﹣1．故选：C．【点评】此题要求学生掌握等差数列的性质，灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．7．（5分）已知函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y＝log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y＝log a （x+b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y＝sin ax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，2π＜＜3π，即＜a＜1．故函数y＝log a（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于中档题．8．（5分）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）A．﹣B．﹣1C．D．【分析】设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|＝2c，则|DF1|＝c，|DF2|＝c．由椭圆的定义知2a＝||DF1|+|DF2|＝c+c，根据离心率公式求得答案．【解答】解：设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|＝2c，则|DF1|＝c，|DF2|＝c．椭圆定义，得2a＝||DF1|+|DF2|＝c+c，所以e＝＝＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．9．（5分）已知函数f（x）＝ax sin x+x cos x（a∈R）为奇函数，则f（﹣）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由函数为奇函数，可求得a＝0，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣ax sin（﹣x）﹣x cos（﹣x）＝ax sin x﹣x cos x＝﹣ax sin x﹣x cos x，∴2ax sin x＝0，故a＝0，∴f（x）＝x cos x，∴．故选：A．【点评】本题考查利用函数的奇偶性求值，考查诱导公式的运用，属于基础题．10．（5分）圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法．下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值．假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．【分析】设所得的两数分别为x，y，则所得的两数与1能构成一个锐角三角形的三边时，x，y满足x2+y2＜0，根据几何概型公式即可得到π的近似值．【解答】解：依题意，设所得的两数分别为x，y，则所得的两数与1能构成一个锐角三角形的三边时，x，y满足x2+y2＜0，即在单位圆内部，所有的试验结果构成的区域图中边长为1的正方形区域，面积为1，“两数能与1构成锐角三角形”包含的区域为个单位圆外的区域，面积为，故＝，即π＝．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率，考查了模拟法求π，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．11．（5分）P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（）A．2B．3C．D．【分析】本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称性，得到本题结论．【解答】解：∵PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为r，∴|PF1|+|P A|﹣|AF1|＝2r，∴|PF2|+2a+|P A|﹣|AF1|＝2r，∴|AF2|﹣|AF1|＝2r﹣4，∵由图形的对称性知：|AF2|＝|AF1|，∴r＝2．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的定义、图形的对称性，本题难度不大，属于基础题．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b＝0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y＝0，即y＝2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x＝0．因此求的最小值即为求曲线y＝2x2﹣5lnx上的点到直线y+x＝0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x＝0平行的切线性质即可得出．【解答】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y＝0，即y＝2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x＝0．因此求的最小值即为求曲线y＝2x2﹣5lnx上的点到直线y+x＝0的距离的最小值．设直线y+x+m＝0与曲线y＝2x2﹣5lnx＝f（x）相切于点P（x0，y0），f′（x）＝4x﹣，则f′（x0）＝＝﹣1，解得x0＝1，∴切点为P（1，2）．∴点P到直线y+x＝0的距离d＝＝．∴则的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2＝＝3﹣12+16＝7，∴||＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．14．（5分）已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是，左视图的面积是．【分析】由题意可知，三条侧棱两两垂直的正三棱锥是正四面体，要求该三棱锥的体积和左视图的面积，必须求出正四面体的高及底面三角形的高，从而解决问题．【解答】解：正三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两垂直，∴正三棱锥A﹣BCD是正四面体，底面是边长为2正三角形，底面上的高是，所以底面面积S＝＝，A到底面的距离：h＝＝；∴该三棱锥的体积V＝××＝，该三棱锥的左视图的面积：S△ADE＝×DE×AF＝＝故答案为：；．【点评】本题考查三视图求面积，体积，空间想象能力，是基础题．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且a cos B ＝3b cos A，则△ABC的面积为2．【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：由余弦定理，即a2+16﹣2＝3（2+16﹣a2），解得，∴，∴，故．故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．（5分）已知函数f（x）＝，若对任意x∈[﹣1﹣a，a﹣1]，不等式f（x ﹣a）≥[f（x）]2恒成立，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】根据函数指数函数单调性的性质，将不等式进行转化，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝，∴当x≥0时，不等式f（x﹣a）≥[f（x）]2恒成立等价为成立，即x﹣a≥2x，x≤成立，当x＜0时，不等式f（x﹣a）≥[f（x）]2恒成立等价为成立，即x﹣a≥2x，x≤成立，综上当x∈[﹣1﹣a，a﹣1]，x≤a成立，即，即，即0≤a≤，当a＝0时，定义域为{﹣1}，此时f（x﹣a）＝f（）无意义，∴a≠0，即0＜a≤，故答案为：（0，）．【点评】本题主要考查不等式的恒成立问题，利用指数函数的单调性的性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分. 17．（12分）某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如表：第一次第二次第三次第四次第五次学生甲的成绩（分）8085719287学生乙的成绩（分）9076759282（1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认为选谁比较合适？（2）若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案：方案1：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案2：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．若学生乙只会5道备选题中的3道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？【分析】（1）分别求出学生甲的平均成绩和学生乙的平均成绩，学生甲的成绩方差和学生乙的成绩方差，由，得到学生乙的成绩比较稳定，从而选学生乙参加物理竞赛比较合适．（2）记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率．方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，利用列举法求出学生乙进入复赛的概率．因为P1＜P2，所以学生乙选择方業2进入复赛的可能性更大．【解答】解：（1）学生甲的平均成绩为，学生乙的平均成绩为，学生甲的成绩方差为，学生乙的成绩方差为，因为，所以学生乙的成绩比较稳定，所以选学生乙参加物理竞赛比较合适．（2）记这5道备选题分别为A，B，C，d，e，其中学生乙会A，B，C这3道备选题，方案1：学生乙从5道备选题中任意抽出1道，有A，B，C，d，e，共5种情况，学生乙恰好抽中会的备选题，有A，B，C，共3种情况，所以学生乙进入复赛的概率．方案2：学生乙从5道备选题中任意抽出3道，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，Ade，Bde，Cde，共10种情况，学生乙至少抽中2道会的备选题，有ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种情况，所以学生乙进入复赛的概率．因为P1＜P2，所以学生乙选择方業2进入复赛的可能性更大．【点评】本题考查平均数、方差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D 是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60°，利用余弦的定义算出C1E＝2A1C1＝2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【解答】解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD ⊥BB1∵△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1＝B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E所成的角∵∠BAC＝∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1＝A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1＝60°，可得cos∠EC1A1＝＝，得C1E＝2A1C1＝2又∵B1C1＝＝2，∴B1E＝＝2由此可得＝S△×A1C1＝×＝【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．19．（12分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）对于数列，若存在一个区间M，均有A i∈M，（i＝1，2，3…），则称M为数列的“容值区间”，设，试求数列{b n}的“容值区间”长度的最小值．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），运用等差数列的中项的性质，以及等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用等比数列的求和公式，讨论n为偶数，n为奇数，结合数列的单调性，以及“容值区间”的定义，即可得到所求区间的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由﹣2S2，S3，4S4成等差数列，知﹣2S2+4S4＝2S3，则，化简得3q2+6q3＝0，解得，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当n为偶数时，，易知S n随n增大而增大，∴，此时，当n为奇数时，，易知S n随n增大而减小，∴，此时，又，∴，区间长度为﹣2＝．故数列{b n}的“容值区间”长度的最小值为．【点评】本题考查等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，考查新定义的理解和运用，以及分类讨论的思想方法，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【分析】（1）若a＝，求出f（x）的解析式，求出的导数，结合函数零点进行求解即可．（2）求函数的导数，结合函数极值和导数的关系进行证明即可．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），…………………………………………………………………………（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．……………………………………………………………………………（2分）设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…………………………………………（3分）所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．…………………………………（4分）即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．………………………………………………（5分）因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．…………………………………………………（6分）（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．…………………………………（7分）当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，………………………………………………………………（9分）由（1）知lnx++x﹣3≥0．………………………………………………………………………（10分）即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．……………………………………………（11分）所以f（x）不存在极值．…………………………………………………………（12分）证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4………………（7分）设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．………………………（8分）可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．……………（9分）由（1）知lnx++x﹣3≥0．……………………………………………………（10分）则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．………………（11分）所以f（x）不存在极值．……………………………………（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数零点，函数极值与导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB 的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出抛物线y＝x2的焦点，得直线AB的方程为y﹣1＝k（x﹣1），求出直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k），利用抛物线W的焦点在直线AB的下方，即可求k 的取值范围；（Ⅱ）利用反证法，假设四边形ABDC为梯形，求出B、C处的切线斜率，分类讨论，建立方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：抛物线y＝x2的焦点为（0，）．…（1分）由题意，得直线AB的方程为y﹣1＝k（x﹣1），…（2分）令x＝0，得y＝1﹣k，即直线AB与y轴相交于点（0，1﹣k）．…（3分）∵抛物线W的焦点在直线AB的下方，∴1﹣k＞，解得k＜．…（5分）∵k＞0，∴0＜k＜．…（5分）（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC不可能为梯形．…（6分）理由如下：假设四边形ABDC为梯形．…（7分）由题意，设B（x1，x12），C（x2，x22），联立方程消去y，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由韦达定理，得1+x1＝k，∴x1＝k﹣1．…（8分）同理，得x2＝﹣﹣1．…（9分）对函数y＝x2求导，得y′＝2x，∴抛物线y＝x2在点B处的切线BD的斜率为2x1＝2k﹣2，…（10分）抛物线y＝x2在点C处的切线CD的斜率为2x2＝﹣﹣2．…（11分）由四边形ABDC为梯形，得AB∥CD或AC∥BD．若AB∥CD，则k＝﹣﹣2，即k2+2k+2＝0，∵方程k2+2k+2＝0无解，∴AB与CD不平行．…（12分）若AC∥BD，则﹣＝2k﹣2，即2k2﹣2k+1＝0，∵方程2k2﹣2k+1＝0无解，∴AC与BD不平行．…（13分）∴四边形ABDC不是梯形，与假设矛盾．同理AD∥BC也不成立，因此四边形ABDC不可能为梯形．…（14分）【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，考查反证法，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，圆C1：x2+y2＝1经过伸缩变换后得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（2cosθ+sinθ）＝9．（1）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；（2）设点M是C2上一动点，求点M到直线l的距离的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解（Ⅰ）由x2+y2＝1经过伸缩变换，可得曲线C2的方程为＝1，即＝1，由极坐标方程，可得直线l的直角坐标方程为2x+y﹣9＝0．（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为（α为参数），所以可设点，由点到直线的距离公式，点M到直线l的距离为d＝（其中sinϕ＝，cosϕ＝），由三角函数性质知，当α﹣ϕ＝π时，点M到直线l的距离有最大值2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式||x+1|﹣|x﹣1||＜2的解集为A．（Ⅰ）求集合A；（Ⅱ）若a，b，c∈A，求证：．【分析】（Ⅰ）将原不等式零点分段后求解不等式的解集即可；（Ⅱ）利用分析法结合（Ⅰ）中的范围证明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，令，由|f（x）|＜2得A＝{x|﹣1＜x＜1}．（Ⅱ）证明：要证，只需证|1﹣abc|＞|ab﹣c|，只需证1+a2b2c2＞a2b2+c2，只需证1﹣a2b2＞c2（1﹣a2b2）只需证（1﹣a2b2）（1﹣c2）＞0，由a，b，c∈A，则（1﹣a2b2）（1﹣c2）＞0恒成立．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分析法证明不等式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
2019-2020学年湖南省娄底市高三数学上学期期末教学质量检测试题(理)(含答案)
湖南省娄底市上学期期末教学质量检测试题高三数学(理)第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数121,1z i z i =-=+，其中i 是虚数单位，则12z z 的模为 A.14C. 12D. 1 2.下列说法正确的是A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件 C.“若tan α≠3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n = A. 4 B. 5 C. 2 D. 34.下列四个图中，函数ln 11x y x +=+的图象可能是5.设实数,x y 满足22202y x x y x ≤-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则13y x -+的取值范围是A. 1,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B. 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,53⎛⎤- ⎥⎝⎦ D. 1,13⎛⎤⎥⎝⎦6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S 为()S R r l π=+（注：圆台侧面积公式为）A. 17π+B. 20π+C.22πD. 17π+7.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 33- D.8.在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为 A.6π B. 3π C.512π D.2π9.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()1f x +为奇函数，()00f =,当(]0,1x ∈时，()2log f x x =，则在区间()8,9内满足方程()122f x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的实数x 为A.172 B. 658 C. 334D.678 11.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 12.已知函数()()ln ln ,1xf x x f x x=-+在0x x =处取得最大值，以下各式中：①()00f x x <②()00f x x =③()00f x x >④()012f x <⑤()012f x > 正确的序号是A. ②④B. ②⑤C. ①④D. ③⑤第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()2,12,1x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则满足()110xf x -≥的x 取值范围为 .14.多项式()623a b c +-的展开式中23ab c 的系数为 .（用数字作答）15.有一个电动玩具，它有一个96⨯的长方形（单位：cm ）和一个半径为1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A 出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为 . 16.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知函数()()21, 1.f x x g x a x =-=-（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n 为正整数.（1）令2nn n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n 户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n 的值.21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，160.A AC ∠=（1）求侧棱1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BD BA BC =+，在直线1AA 上是否存在点P,使DP//平面1AB C ？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式12x x e λλ+⋅>恒成立，求λ的取值范围.一、选择题 1-12 DCACB DBDDB CA二、填空题： 13.14. -6480 15.16.2016三：解答题 17.解：（Ⅰ）方程|f （x ）|=g （x ），即|x 2﹣1|=a |x ﹣1|，变形得|x ﹣1|（|x +1|﹣a ）=0，显然，x =1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x +1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a ＜0．…………5分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分18.（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a=b等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分19.解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I）得，所以由①-②得……12分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户。
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案
2019-2020年高三上学期期末考试数学理含答案xx．1 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页。
共150分，测试时间l20分钟。
注意事项：选择题为四选一题目。
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共l2小题。
每小题5分，共60分。
把正确答案涂在答题卡上。
1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为A．B．C．D．2．设集合M={}，N={}，则MN=A．{} B．{}C．{} D．{}3．命题“，使得”的否定为A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有4．某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是A．90 B．75 C．60 D．455．已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=A．8 B．6 C．6 D．86．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为A．K>2 B．K>3C．K>4 D．K>57．已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是A．(5，5) B．(1，1)C．(5，+) D．(l，+)8．函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为A．B．C．D．9．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是A．B．C．D．10．已知双曲线C 1：22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，若抛物线C 2：的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是A ．B ．C ．D ．11．已知是实数，则函数的图象可能是12．没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数，取函数，恒有，则A ．K 的最大值为B ．K 的最小值为C ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若，则实数的取值范围为 ．14．二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是 ．15．已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．16．下列四个命题：①； ②23(0,),log log x x x ∃∈+∞<；③121(0,),()log 2x x x ∀∈+∞>；④． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分l2分)已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =(sinA ，1)，n =(cosA ，)，且m //n ．(I)求角A 的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC 的面积．18．(本题满分l2分)设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线通过点(0，2a+3)，且在处的切线垂直于y轴．(I)用a分别表示b和c；(II)当bc取得最大值时，写出的解析式；(III)在(II)的条件下，g(x)满足4()6(2)()(2)3f x xg x x-=->，求g(x)的最大值及相应x值．19．(本题满分l2分)某中学经市批准建设分校，工程从xx年底开工到xx底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是，，．(I)求甲乙两公司均至少获得l期工程的概率；(II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X)．20．(本题满分l2分)已知等差数列{}的首项a1=1，公差d>0，且a2，a5，a14分别是等比数列{}的b2，b3，b4．(I)求数列{}与{{}的通项公式；(Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立，求的值．21．(本题满分l3分)已知函数．(I)讨论的单调性；(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．22．(本题满分l3分)已知椭圆C：的两个焦点是F1(c,0)，F2(c，0)(c>0)。
2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学理科试题
2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学理科试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2B ．-2C ．2i -D ．2i2．已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∨⌝ C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．504．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ） A ．192B ．48C ．24D ．885．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ）A ．34B C ．1 D 6．执行如图的程序框图，若输出的6n =，则输入整数p 的最大值是( )A ．15B ．16C ．31D ．327．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为 1.31y x =-，则m 的值为（ ）A ．3.1B ．2.9C ．2D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B 1C ．12D 19．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3DC BD =，2AD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50XN .则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,XN μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与()2x g x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．31x dx -⎰的值为______.14．已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______.15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）. 16．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222coscos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题17．已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .（1）求曲线Γ的长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面APB 的距离.18．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明: 12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.19．如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 20．为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ (2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：21．已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<+++<++．22．已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩（ϕ为参数）.（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23．（1）已知a ，b ，c 都是非负实数，证明：2b a ca b c b++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b cx y z++++的值.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z . 【详解】将式子()214z i i +=化简可得()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z = 故选:A 【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，即可由复合命题的性质判断命题真假． 【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥， 因为2(1)20x -+≥，所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知A ：p q ∨为真命题;B ：()p q ∨⌝为真命题; C ：p q ⌝∨为假命题;D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选：C 【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假的判断，属于基础题．3．C 【解析】 【分析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n =所以二项式为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a =所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则该二项式展开式的通项为()5315415522rrr r r r r T C x C xx --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以当展开式为7x 时,即1547r x x -=解得2r则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯=故选：C 【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题. 4．B 【解析】【分析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数. 【详解】由题意可知此人行走的里程数为等比数列 设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为12q =则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-代入可得6112378112m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 解得192m =根据等比数列的通项公式11n n a a q -=代入可得231192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故选:B 【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B . 【详解】因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列 则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R===代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-代入化简可得2223cos 24b ac B ac +-==因为0B π<<,所以sin 0B >而由同角三角函数关系式,可知sin 4B ===故选:B 【点睛】本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】根据程序框图的循环结构,依次运行,算出输出值为6n =时S 的值,使得S p <不成立时p 的值即可. 【详解】根据程序框图可知,1,0n S == 则11021,2S n -=+==21123,3S n -=+== 31327,4S n -=+== 417215,5S n -=+== 5115231,6S n -=+==此时应输出6n =,需31p <不成立.因而整数p 的最大值为31 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据输出结果确定判读框,属于中档题. 7．A 【解析】【分析】根据线性回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点,代入即可求得m 的值. 【详解】 由表可知12342.54x +++==0.1 1.84 5.944m my ++++==根据回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点y 关于x 的线性回归方程为 1.31y x =-则满足5.9 1.3 2.514m+=⨯- 解方程求得 3.1m = 故选:A 【点睛】本题考查了线性回归方程的性质,线性回归方程必经过样本的平均数点,即可求得样本中的未知量,属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF BF ⊥，得0AF BF =，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =y =，A ∴，(B，，∴AF c =+，(BF c =-，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b ∴=+，(*)把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 9．D 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.表示出各个点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求得AC AD ⋅.【详解】根据题意,由AD AB ⊥可建立如下图所示的平面直角坐标系:过C 作CE AD ⊥交x 轴于E .设AB a 因为3DC BD =,2AD = 则由BADCED ∆∆,所以3,6CE a DE ==所以()8,3C a -所以()()8,3,2,0AC a AD =-=则()()8,32,016AC AD a ⋅=-⋅= 故选:D 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量的数量积,属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】根据正态分布符合()23000,50XN ,可求得旅客人数在22X μσμσ-<≤+内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率. 【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ,且()23000,50X N根据3σ原则可知30001003000100X -<≤+则()0.9544P X =由正态分布的对称性可知()0.9544300031000.47722P X <≤== 则()31000.47720.50.9772P X ≤=+= 故选:D 【点睛】本题考查了正态分布的应用,3σ原则求概率问题,属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】讨论两根电线杆是否相等.当两个电线杆的高度相等时,到上端仰角相等的点在地面上为两根电线底部连线的垂直平分线.当两个电线杆的高度不同时,在底面建立平面直角坐标系,可根据轨迹方程的求法求解. 【详解】当两根电线杆的高度相等时,因为在水平地面上视它们上端仰角相等所以由垂直平分线的定义可知,点P 的轨迹为两根电线底部连线的垂直平分线,即轨迹为一条直线当两根电线的高度不同时,如下图所示:在地面上以B 为原点,以BD 所在直线为y 轴 设(),,AB n CD m n m ==>,()(),0,,,BD a D a P x y ==,由题意可知,APB CPD ∠=∠,即tan tan APB CPD ∠=∠ 所以满足n m PB PD=,即n PD m PB ⨯=⨯ 由两点间距离公式,代入可得n m =化简可得()()22222222220n mx n m y an y n a -+--+=,()n m >即22222222220an n a x y y n mn m+-+=-- 二次项的系数相同,且满足()222222222222222224440an n a a n m D E F n m n m n m ⎛⎫+-=--⨯=> ⎪ ⎪--⎝⎭- 所以此时动点P 的轨迹为圆综上可知,点P 的轨迹可能是直线,也可能是圆 故选:A 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,圆方程的判别方法,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围. 【详解】因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()020x x h x e =单调递增且()11h e =当023x <<时, ()0'0h x <,()0200x xh x e =单调递减,且()393h e = 所以()()02max 42hx h e==即()0214,h x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题. 13．52【解析】 【分析】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式,结合微积分基本定理即可求解. 【详解】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式为()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰根据微积分基本定理可得()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰2123011122x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52= 故答案为:52【点睛】本题考查了利用微积分基本定理求定积分值,属于基础题. 14．3π 【解析】 【分析】将交点的横坐标分别代入两个函数解析式,根据正弦函数的图像与性质及结合02πϕ<<即可求得ϕ的值.因为函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+有一个交点的横坐标为6π 则cossin 266ππϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭即sin 32πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 由正弦函数的图像与性质可知233k ππϕπ+=+或22,33k k Z ππϕπ+=+∈ 因为02πϕ<<所以当0k =时,代入可求得2333πππϕ=-= 故答案为:3π 【点睛】本题考查了正弦函数与余弦函数值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题. 15．70 【解析】 【分析】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点,进而可求得圆内交点个数. 【详解】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点所以交点个数为4870C =故答案为:70 【点睛】本题考查了平面几何中的组合问题,关键在于分析出交点个数与所给点个数的关系,属于基础题.16【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.17．（1；（2【解析】 【分析】（1）将圆柱的一半展开,可知曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线Γ的长度. （2）当2πθ=时,以底面的圆心O 为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面ABP 的法向量,即可求得点1C 到平面APB 的距离.【详解】（1）曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 其中AD π=,底面的半圆长为1212ππ⨯⨯⨯= ∴Γ（2）当2πθ=时,建立如图所示的空间直角坐标系:则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-, 所以()0,2,0AB =、1,1,2AP π⎛⎫=- ⎪⎝⎭、()11,0,OC π=-. 设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =,则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得2002y x y z π=⎧⎪⎨-++=⎪⎩, 令2z =,得(),0,2n π=,所以点1C 到平面PAB 的距离为12OC n d nπ⋅==【点睛】本题考查了圆柱的展开图及距离的求法,利用空间向量求点到平面距离,属于中档题. 18．(1)见解析;(2)见解析.【解析】 分析：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，∴()2211n n n n S S S S λ++=--，整理后即得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可. 详解：（1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--，()1120n n n S S S λ++∴--=，10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=；12n n S S λ+∴=+，（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩,1,2,n n =≥ 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+，1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a；（4）写出n a的完整表达式. 19．（I）；（Ⅱ）323．【解析】【分析】【详解】试题分析：（I）设出PA，PB的点坐标，根据PA PBk k=-，得到12122211y yx x--=--，进而根据点在抛物线上，把x换成y，即可得出结果；（II）由211221124()ABy yk x xx x y y-==≠-+，得出1241ABky y==-+，设直线AB的方程为y x b=-+，与抛物线联立可得AB==P到直线AB的距离为d=所以1122ABPS AB d∆=⋅=⋅=构造关于b的函数，求导利用单调性求最值即可．试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，由PA、PB倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线AB的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线AB 的方程为，由，消去y 得，由，得，这时，，2121211()4421AB x x x x b =++-=+，又点P 到直线AB 的距离为，所以23114212(1)(3)222ABP b S AB d b b b ∆-=⋅=⋅+⋅=+-， 令，则由，令，得或． 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为1323239f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值． 20．(1)能；(2)分布列见解析，145. 【解析】 【分析】（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得2K 的观测值.结合所给的参考数据即可判断. （2）设5人中男生有表m 人,女生n 人,则m n ξ=+.根据题意可知1,2,3,4,5,ξ=分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值. 【详解】（1）根据所给条件,制作列联表如下：所以2K的观测值22()200(64445636)4()()()()120801001003n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯, 因为2K 的观测值41.3233k =>, 由所给临界值表可知,能够在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人,女生代表n 人,则m n ξ=+,根据已知条件可得1,2,3,4,5,ξ=12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ=====⋅=12112232222323232455413(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=； (3)(1,2)(2,1)(3,0)P P m n P m n P m n ξ====+==+==12221110323223222323232323442545715C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=； 21203113222322323245451(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=； 03223232451(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ=====⋅=, 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验方法的应用,离散型随机变量及其分布列的求法,古典概型概率的应用,数学期望的求法,属于中档题. 21．（1）[1,)-+∞.（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由()0f x ≥，得1ln a x x -≤+恒成立，令()1ln F x x x=+.求出()F x 的最小值，即可得到a 的取值范围；∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 试题解析：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥ (0)x >.整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x =+.则()22111'x F x x x x-=-=. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1ln F x x x=+的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-. ∴a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x≥-. 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+ 11n =+.∴2211ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()()112n n >++ 1112n n =-++. 现证明()211ln1n n n n +<+，即< ==()* 现证明12ln (1)x x x x <->. 构造函数()12ln G x x x x=-- ()1x ≥，则()212'1G x x x =+- 22210x x x-+=≥. ∴函数()G x 在[)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=. ∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x<-成立.令x =()*式成立. 综上，得()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+. 对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得223ln 2ln 242n n <++ 21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.22．（1）2；（2）23【解析】 【分析】（1）将直线的参数方程和曲线C 的参数方程化为普通方程,即可利用点到直线距离公式求得曲线C 的右顶点到直线l 的距离.（2）先将直线的参数方程化为标准参数方程,再将直线方程与曲线C 的普通方程联立,根据参数方程的几何意义即可求得PA PB ⋅的值. 【详解】（1）直线l 的普通方程为20x y +-=,曲线C 的普通方程为2214y x -=,曲线C 为双曲线,其右顶点为()1,0利用点到直线距离公式可知2d==； （2）将直线l的标准参数方程改为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 并代入2214y x -=化简可得2320t --=, 设一元二次方程的两根为1t ,2t , 故1223PA PB t t ⋅==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直线标准参数方程的求法,直线与曲线交点的参数方程求法,属于中档题. 23．（1）证明见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.（2）根据三元柯西不等式,可得使等号成立的条件.利用等式成立,结合方程思想,即可求得a b cx y z++++的值.【详解】（1）由三元基本不等式知1b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-++12≥=, 当且仅当b a b ca b c b+==+，即a b =且0c 时取等号； （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b cxy z ax by cz ++++≥++,结合方程组可知不等式当a b cx y z==时取等号,所以设(0)a b ck k x y z===>, 即a kx =,b ky =,c kz =, 所以()2222222a b c k xy z ++=++,即249k =,解得23k =, 从而23a b c k x y z ++==++【点睛】本题考查了利用三元基本不等式证明不等式成立,三元柯西不等式的综合应用,属于中档题.。
2019年娄底市高三数学上期末模拟试卷(及答案)
2019年娄底市高三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2C ．2D ．2 2．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．43．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 4．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,5．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4017．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．858．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A．1 B．1 C ．＋2D ．210．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =11．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．28二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；15．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .16．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 17．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．18．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．19．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.22．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.23．某企业生产A 、B 两种产品，生产每1t 产品所需的劳动力和煤、电消耗如下表：已知生产1t A 产品的利润是7万元，生产1t B 产品的利润是12万元.现因条件限制，企业仅有劳动力300个，煤360t ，并且供电局只能供电200kW h ⋅，则企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？24．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154nM ≤<． 25．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．26．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以2q =，故21222a a q ===，故选D. 2．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.5．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由1211n n n a a a +=+++，可得()211111111n n n n a a a a +++=+++-+=，，{}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.∴21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.7．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．8．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．9．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc＝4－， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ≥2423－＝2(3－1)＝23－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.11．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x x x x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.12．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质二、填空题13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 15．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为53，即可知满足33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭． 16．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-解析：23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫-⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --），即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．17．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<，不等式的解集为22x a a<<+-，所以11422a <<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374a a ≥≤，解得2549916a ≤≤. 考点：含参数的一元二次方程的解法.18．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4 【解析】 【分析】由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：sin 90sin 30AC AB=︒︒，解得：4AC =.故答案为：4 【点睛】本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.19．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2 【解析】 【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．20．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.三、解答题21．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y y ax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242yyy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞．由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+， 所以，由122m +=，解得32m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y yax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y yy y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 22．（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a，代入条件求得sin B =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a = 由sin sin b A a B =得sin B =，因为b a <，故cos B =.因此sin22sin cos B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.23．当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元. 【解析】 【分析】设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，根据题意列出关于x 、y 的约束条件以及线性目标函数，利用平移直线法得出线性目标函数取得最大值的最优解，并将最优解代入线性目标函数即可得出该企业所获利润的最大值. 【详解】设该企业生产A 种产品xt ，B 种产品yt ，获得的利润为z 万元，目标函数为712z x y =+.则变量x 、y 所满足的约束条件为31030094360452000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：作出一组平行直线712z x y =+，当该直线经过点()20,24M 时，直线712z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 7201224428z =⨯+⨯=（万元）.答：当生产A 种产品20t ，B 种产品24t 时，企业获得最大利润，且最大利润为428万元. 【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.24．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+， ∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-；（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454n M -≤<， 即1154n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和．25．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴= =点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和：1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:.11n a n n n n ==+++26．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，所以()01231132313nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n nn ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n n n T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.。