2013年门头沟区高三一模

2013年门头沟区高三一模数学（理工类）第Ⅰ卷 (选择题 40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合A B 等于(A) {}2x x ≥-(B) {}12x x ≤≤(C) {}1x x ≥(D) R2. “1a >”是“函数()2(01)xf x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件3．下列直线中，平行于极轴且与圆2cos ρθ=相切的是 (A) cos 1ρθ=(B)sin 1ρθ=(C) cos 2ρθ=(D) sin 2ρθ=4．有4名优秀学生A 、B 、C 、D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有 (A) 24种(B) 30种(C) 36种(D) 48种5．如图：圆O 的割线PAB 经过圆心O ，C 是圆上一点，PA ＝AC ＝12AB ，则以下结论不正．．确．的是 (A) CB ＝CP (B) PC ⋅AC ＝PA ⋅BC (C)PC 是圆O 的切线(D) BC 2＝BA ⋅BP6．已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是(A)221916x y -=(B)221916y x -=(C)221169x y -=(D)221169y x-=2013.3PU7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 (A) 21(B) 13(C) 65(D) 18．定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+的图象关于点(2,0)-成中心对称，若,s t 满足不等式组()(2)0()0f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是 (A) [3,4](B) [3,9](C) [4,6] D) [4,9]第Ⅱ卷(非选择题110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11i z i-=+，则z = ．10．在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++ 等于 ． 11．在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan B =，则b = ． 12．执行如右图所示的程序框图，输出 的S 值为 ．13．在边长为1的正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、DC 的中点，则向量AE AF ⋅=．主视图左视图俯视图14．定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”。

现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数：①()2xf x =；②2()logf x x =；③2()f x x =；④()ln 2x f x =，则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12A DBC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）． （Ⅰ）求证：A C ⊥平面A B C '； （Ⅱ）求证：//C N '平面ADD '； （Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值． 17．（本小题满分13分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III ）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．ADD 'C '18．(本小题满分14分）已知函数2()x ax x af x e++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； （Ⅱ）当[0,2]x ∈时，21()f x e≥恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中， 动点P 到直线:2l x =的距离是到点(1,0)F 倍．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线FP 与（Ⅰ）中曲线交于点Q ，与l 交于点A ，分别过点P 和Q 作l 的垂线，垂足为,M N ，问：是否存在点P 使得APM ∆的面积是AQN ∆面积的9倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）对于集合M ，定义函数1,()1,M MMx f x x -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,M N ，定义集合{}()()1M N M N x f x f x ⊗=⋅=-．已知{}1,2,3,4,5,6A =，{}1,3,9,27,81B =．（Ⅰ）写出(2)A f 与(2)B f 的值，并用列举法写出集合A B ⊗；（Ⅱ）用()M Card 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()X A X B Card Card ⊗⊗+的最小值；（III ）有多少个集合对,()P Q ，满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ⊗⊗⊗=⊗．门头沟区2013年高三年级抽样测试数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15解：（Ⅰ） 2()sin sin f x x x x =+1cos 2222xx -=+…… 5分11sin 2cos 2222x x =-+π1sin(2)62x =-+ ……………… 7分函数关于直线 ππ2π()62x k k Z -=+∈对称 所以 对称轴方程为 ππ()32k x k Z =+∈ …………… 9分（Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，ππ2[,π]66x -∈-由函数图象可知，πsin(2)6x -的最大值为1，最小值为12-……………………12分所以函数()f x 的最大值为32，最小值为0 …………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为12A DBC =，N 是BC 的中点所以AD N C =，又//AD BC所以四边形A N C D 是平行四边形，所以A N D C = 又因为等腰梯形，60ABC ∠= ，所以 A B B N A D ==，所以四边形A N C D 是菱形，所以1302AC B D C B ∠=∠=所以90BAC ∠= ，即AC AB ⊥由已知可知 平面C B A '⊥平面ABC ，因为 平面C BA ' 平面A B C A B =所以A C ⊥平面A B C ' ………………4分（Ⅱ）证明：因为//AD BC ，//A D B C ''，,AD AD A BC BC B ''==所以平面//A D D '平面B C C ' 又因为C N '⊂平面B C C '，所以 //C N '平面AD D ' ………………8分（Ⅲ）因为A C ⊥平面A B C '同理A C '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系 设1AB =，则(1,0,0)B,(0,0)C, (0,C '，1(,0)22N ， ……………9分则(1,BC '=-，(0,C C '=设平面C N C '的法向量为(,,)n x y z =，有 0BC n '⋅= ，0C C n '⋅= ，得n =………………11分因为A C '⊥平面ABC ，所以平面C A N '⊥平面ABC又B D A N ⊥，平面C AN ' 平面A B C A N = 所以B D ⊥平面C A N 'B D 与A N 交于点O ，O 则为AN 的中点，O 1(,0)44所以平面C A N '的法向量3(,0)44O B =- ……………12分所以cos 5n O B n O Bθ⋅==⨯ ………………13分 由图形可知二面角A C N C '--为钝角 所以二面角A C N C '--的余弦值为5-． ………14分17.解：（Ⅰ）(0.20.16)15018+⨯⨯=这50路段为中度拥堵的有18个． …………………3分 （Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.1P A =事件B “至少一个路段严重拥堵”，则3()(1())0.729P B P A =-=()1()0.271P B P B =-=所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…………………8分（III39.96E X =此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．………………13分 18.解： （Ⅰ）2(21)1()xax a x af x e-+-+-'=……………2分(0)1f a '=-， …………3分因为函数()f x 在点(0,(0))f 的切线与直线210x y +-=平行 所以12a -=-，3a = …………5分 （Ⅱ）2(21)1()xax a x af x e-+-+-'=(1)(1)xax a x e-+--=令()0f x '=当0a =时，1x =，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在(1,2)上，有()0f x '<，函数()f x 减，22(0)0,(2)f f e== 函数()f x 的最小值为0，结论不成立．………………………6分 当0a ≠时，1211,1x x a==-……………7分若0a <，(0)0f a =<，结论不成立 ……………9分 若01a <≤，则110a-≤，在(0,1)上，有()0f x '>，函数()f x 增；在(1,2)上，有()0f x '<，函数()f x 减， 只需221(0)1(2)f ef e ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得到2115a e a ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩， 所以211a e≤≤ ……………11分若1a >，1011a <-<，函数在11x a =-有极小值，只需2211(1)1(2)f a ef e ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得到112115a a ea --⎧-≥⎪⎨⎪≥-⎩，因为11211,1a a e ---><，所以1a > …………13分综上所述，21a e≥ ………14分19．（Ⅰ）解：设点P 的坐标为(,)x y ．2x =- …………………3分 化简得 2222x y +=所以动点P 的轨迹方程为 2222x y += ………5分 （Ⅱ）设直线FP 的方程为1x ty =+，点1122(,),(,)P x y Q x y因为AQN ∆∽APM ∆，所以有3PM QN =，由已知得3PF QF =， 所以有123y y =-（1） …………7分由22122x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得22(2)210t y ty ++-=，0∆> 12222t y y t +=-+（2），12212y y t ⋅=-+（3） ……………10分由（1）（2）（3）得1211,1,3t y y =-==-或1211,1,3t y y ==-=所以 存在点P 为(0,1)± ………………13分 20．．（Ⅰ）解：(2)1A f =-，(2)1B f = ………………1分{}2,4,5,6,9,27,81A B ⊗=（Ⅱ）{,}X A x x X A x X A ⊗=∈∉ ，{,}X B x x X B x X B ⊗=∈∉要使()()Card X A Card X B ⊗+⊗的值最小，1,3一定属于集合X ，X 不能含有A B 以外的元素，所以当集合X 为{}2,4,5,6,9,27,81的子集与集合{}1,3的并集时，()()Card X A Card X B ⊗+⊗的值最小，最小值是7 ……8分（Ⅲ）因为()()()A B A B f x f x f x ⊗=⋅()()()()()A B C A B C f x f x f x f x ⊗⊗=⋅⋅所以⊗运算具有交换律和结合律所以()()()()P A Q B P Q A B ⊗⊗⊗=⊗⊗⊗ 而()()P A Q B A B ⊗⊗⊗=⊗所以P Q ⊗=∅，所以P Q =，而{1,2,3,4,5,6,9,27,81}A B =所以满足条件的集合对(,)P Q 有92512=个 ………13分注：不同解法请教师参照评标酌情给分．。