2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章 第2节 两直线的位置关系
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
[跟踪训练] 3．(2014· 广州模拟)直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线 方程是 ( A．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 B．2x＋y－1＝0 D．x＋2y－3＝0 )
[体验高考] 1．(2013· 天津高考)已知过点 P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相 切，且与直线 ax－y＋1＝0 垂直，则 a＝( 1 A．－ 2 C．2 B．1 1 D. 2 )
C [由切线与直线 ax－y＋1＝0 垂直，得过点 P(2，2)与圆心 2－0 (1，0)的直线与直线 ax－y＋1＝0 平行，所以 ＝a，解得 a 2－1 ＝2.]
3．两条平行线间的距离 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ |C1－C2| A2＋B2 ．
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)已知 l1 的倾斜角为 45°，l2 经过点 P (－2，－1)，Q(3，m)．若 l1⊥l2，则实数 m 为( )
A．6 C．5
两直线的交点与距离问题 [典题导入] 已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多 少 [听课记录] (1)①当l的斜率k不存在时显然成立， ∴l的方程为x＝2；
②当 l 的斜率 k 存在时， 设 l：y＋1＝k(x－2)，即 kx－y－2k－1＝0. |－2k－1| 由点到直线距离公式得 2 ＝2， 1＋k 3 ∴k＝ ，∴l：3x－4y－10＝0. 4 故所求 l 的方程为 x＝2 或 3x－4y－10＝0.
D [由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐标为 (1，1)．又直线 x－2y＋1＝0 上的点(－1，0)关于直线 x＝1 的 对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式， y－0 x－3 得 ＝ ，即 x＋2y－3＝0.] 1－0 1－3
【创新探究】 妙用直线系求直线方程 (2014·银川一中月考)求经过直线l1：3x＋2y
－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x
－5y＋6＝0的直线l的方程． 【思路导析】 可以先求出交点坐标和直线l的斜率，也
可以采用交点的直线系方程．
【解析】
3x＋2y－1＝0， 解法一：解方程组 5x＋2y＋1＝0，
得 l1，l2 的交点坐标为(－1，2)． 3 5 由 l3 的斜率 得 l 的斜率为－ . 5 3 5 则由点斜式方程可得 l 的方程为 y－2＝－ (x＋1) 3 即 5x＋3y－1＝0.
第二节
两直线的位置关系
[主干知识梳理] 一、两条直线的位置关系
斜截式 方 程 相 交 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 k1≠k2 一般式
2 A1x＋B1y＋C1＝0(A2 1＋B1≠0) 2 A2x＋B2y＋C2＝0(A2 2＋B2≠0)
A1B2－A2B1 ≠0
A1 B1 当 A B ≠ 0 时，记为 ≠ 2 2 A2 B2
2 ． (2013· 四川高考 ) 在平面直角坐标系内，到点 A(1 ， 2) ，
B(1 ， 5) ， C(3 ， 6) ， D(7 ，－ 1) 的距离之和最小的点的坐
标是________． 解析 设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅
当A，M，C共线时取等号， 同理|MB|＋|MD|≥|BD|，
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[跟踪训练]
1．(2014·新昌中学月考)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和
l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( A．－3或－1 B．3或1 C．－3或1 )
D．－1或3
C [由两条直线垂直得k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0， 解得k＝－3或k＝1， 故选C.]
2x－y＝0， x＝2， 由①②得 ∴ ∴M(2，4)． x＋y－6＝0， y＝4，
答案
(2，4)
3．(2012·北京高考)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数 y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为
(
A．4 C．2 B．3 D．1
)
解析 设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 x＋y－2＝0， |AB|＝2 2，由于△ABC 的面积为 2， 1 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h＝2， 2 |t＋t2－2| 即 h＝ 2，由点到直线的距离公式得 2＝ ， 2 即|t2＋t－2|＝2，即 t2＋t－2＝2 或者 t2＋t－2＝－2，这两个方程 各自有两个不相等的实数根，故这样的点 C 有 4 个． 答案 A
当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点
M， 若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
6－2 又 kAC＝ ＝2，∴直线 AC 的方程为 y－2＝2(x－1)， 3－1 即 2x－y＝0① 5－（－1） 又 kBD＝ ＝－1， 1－7 ∴直线 BD 的方程为 y－5＝－(x－1)， 即 x＋y－6＝0.②
l1⊥l2⇔k1·k2 ＝－ 1. 若有一条直线的斜率不存在，那么另一 条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2) 设 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0. 则
(2)作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂 直的直线，由 l⊥OP，得 k1kOP＝－1， 1 所以 k1＝－ ＝2. kOP 由直线方程的点斜式得 y＋1＝2(x－2)，
即 2x－y－5＝0.即直线 2x－y－5＝0 是过 P 点且与原点 O 距离最 |－5| 大的直线，最大距离为 ＝ 5. 5
对称问题
[典题导入] (2014· 成都模拟)在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从 点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后，再射到直线 OB 上，最 后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( A．2 10 C．3 3 B．6 D．2 5 )
[听课记录] 如图，设点 P 关于直线 AB，y 轴 的对称点分别为 D，C，易求得 D(4，2)， C(－2，0)，由对称性知，D，M，N，C 共线， 则△ PMN 的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝ |DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝ 40＝2 10即为光线所经过的路程． 答案 A
[规律方法] 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称 ①点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点
x′＝2a－x， P′(x′，y′)满足 y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称 ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)，
[关键要点点拨] 1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率
是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出
判断，无斜率时，要单独考虑． 2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时， 直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出 错．
两直线的平行与垂直 [典题导入] 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－
C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组
的解，若方程组有唯一解，则两 条直线 相交 ，此解就是 交点坐标 ；若方程组 无解 ，则 两条直线无公共点，此时两条直线 平行 ；反之，亦成
立．
三、几种距离 1．两点间的距离 平面上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式： d(A，B)＝|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ． 2．点到直线的距离 点 P(x1，y1)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 |Ax1＋By1＋C| d＝ ． 2 2 A ＋B
2y＋3＝0平行，则k的值是(
A．1或3 C．3或5 解得k＝3或5.
)
B．1或5 D．1或2
[听课记录] ∵l1∥l2，∴－2(k－3)＝(4－k)·2(k－3)，
答案 C
[规律方法] 1 ．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，
对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，
B．－6 D．－5
m＋1 B [由已知得 k1＝1，k2＝ . 5 ∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1， m＋1 ∴1× ＝－1，即 m＝－6.] 5
2．l1：x－ y＝0与l2：2x－3y＋ 1＝0的交点在直线 mx ＋3y＋5 ＝0上，则m的值为
(
A．3 C．－5 B．5 D．－8
)
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(
[规律方法] 1 ．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直
线方程为一般式．
2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用直线y＝a的距离d＝|y0－a|. (2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
重 合
k1＝k2 且 b1＝b2
A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)
A 1 B1 C 1 当 A B C ≠ 0 时，记为 ＝ ＝ 2 2 2 A 2 B2 C 2
二、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋
运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见
的直线系方程有： (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝ 0(m∈R 且 m≠C)； (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝ 0(m∈R)； (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的 直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈ R)，但不 包括 l2.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第7节-抛物线
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
金榜e讲堂高三人教版数学理一轮复习直线的倾斜角与斜率直线的方程优质课赛课一等奖市公开课获奖课件
[跟踪训练] 3．(2014·江苏扬州一模)如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成
45°和 30°角，过点 P(1，0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A， B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝12x 上时，求直线 AB 的方程．
第28页
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1，
都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角范围；二是要考虑
正切函数单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，
则需要分类讨论．
第13页
直线倾斜角与斜率
[典题导入]
(1)(2014·岳阳模拟)经过两点 A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直
线的倾斜角为34π，则 y＝
kOB＝tan(180°－30°)＝－ 33，
所以直线
lOA：y＝x，lOB：y＝－
3 3 x.
设 A(m，m)，B(－ 3n，n)，
所以 AB 的中点 Cm－2 3n，m＋2 n，
第29页
由点 C 在直线 y＝12x 上，且 A，P，B 三点共线得
mmm＋－ －2 n01＝＝12－·mn－－3n20－3n1，，解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ 3－3 1＝3＋2 3， 所以 lAB：y＝3＋2 3(x－1)， 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
第44页
[体验高考] (·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C半径为1， 圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C 切线，求切线方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C 横坐标a取值范围．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第7节-数学归纳法
第34页，共45页。
【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
第28页，共45页。
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
第29页，共45页。
第22页，共45页。
[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
第23页，共45页。
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
第25页，共45页。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.2 两条直线的位置关系
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.2 两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行__________________________________________________________________垂直________________________相交______________________k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②结论：|P1P2|＝ .③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝ .(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ . (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .六种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y).(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y).(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y).(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k 的对称点为(k＋y，x－k).自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于 ，且线段AB 的中点在直线l 上.( )××√√2.(选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于√A.4B.－4C.1D.－1因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，3.(选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0的距离为√4.直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是______________.返回x －2y ＋11＝0在直线上取点P (3,0)，点P 关于M (－2,1)的对称点为P ′(－7,2)，过点P ′与原直线平行的直线方程为x －2y ＋11＝0，即为对称后的直线方程.第二部分探究核心题型例1 (1)(2023·桂林模拟)已知直线l 1：ax ＋(a －1)y ＋3＝0，l 2：2x ＋ay －1＝0，若l 1⊥l 2，则实数a 的值是A.0或－1B.－1或1C.－1D.1题型一 两条直线的平行与垂直√由题意可知l 1⊥l 2，故2a ＋a (a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝－1，经验证，符合题意.(2)(2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为√A.－2B.－1C.－1或3D.3由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，又三角形为直角三角形，因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C 所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系是√A.相交但不垂直B.垂直C.平行D.重合所以两条直线垂直.(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m3或－2＝________；若l1∥l2，则m＝____.因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，例2 (1)经过两直线l 1：2x －y ＋3＝0与l 2：x ＋2y －1＝0的交点，且平行于直线3x ＋2y ＋7＝0的直线方程是A.2x －3y ＋5＝0B.2x ＋3y －1＝0C.3x ＋2y －2＝0D.3x ＋2y ＋1＝0题型二 两直线的交点与距离问题√所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.方法二 设所求直线方程为2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又该直线与3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，直线系方程过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2.典例 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为A.3x－19y＝0B.19x－3y＝0√C.19x＋3y＝0D.3x＋19y＝0设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，(2)(2023·上饶统考)正方形ABCD的两个顶点A，B在直线x＋y－4＝0上，另两个顶点C，D分别在直线2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的边长为____________.设直线CD的方程为x＋y＋m＝0，解得m＝－8或m＝－32，思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等.跟踪训练2 (1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为√A.3B.4C.2D.6由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，(2)已知两条平行直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，平行线之间的距离的最大值为________，此时两平行直线方程3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0分别为_____________________________.两条平行直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，故这两条平行直线的斜率为－3，则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.命题点1 点(或直线)关于点对称例3 直线3x －2y ＝0关于点 对称的直线方程为A.2x －3y ＝0B.3x －2y －2＝0C.x －y ＝0D.2x －3y －2＝0题型三 对称问题√所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二 在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，命题点2 点关于直线对称√设点A (1,1)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点为A ′(x0，y 0)，所以对称点为A′(－2，－2)，命题点3 直线关于直线的对称问题例5 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为A.3x－2y－4＝0B.2x＋3y－6＝0√C.2x－3y－4＝0D.3x－2y－6＝0设所求直线上任意一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，①∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程.思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.设对称点为M′(a，b)，设直线m与直线l的交点为N，又m′经过点N(4,3)，所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第4节-基本不等式
∴m1 ＋n2＝(m1 ＋n2)·(2m＋n) ＝4＋mn ＋4nm≥4＋2 mn ×4nm＝8， 当且仅当mn ＝4nm，即 n＝2m 时等号成立． 由 2m＋n＝1，也就是说 m＝14，n＝12时等号成立． 答案 8
第16页，共45页。
[互动探究] 本例(2)条件不变，求 xy 的最小值． 解析 ∵x＞0，y＞0，则 5xy＝x＋3y≥2 x·3y， ∴xy≥1225，当且仅当 x＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为1225.
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数．
第3页，共45页。
四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则：
1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是 2 p．(简记：积定和最小)
第27页，共45页。
[跟踪训练] 2．(2014·云南省检测)某投资公司年初用98万元购置了一套生
产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费 用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年 需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元， 而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用 n年，n∈N*，生产成本等于生产设备购置费与这n年生产产 品相关的各种配套费用的和，生产总利润f(n)等于这n年的生 产收入与生产成本的差．请你根据这些信息解决下列问题．
第17页，共45页。
[规律方法] 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或 积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一 种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的 表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一 个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等 号成立的条件．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第2节-两直线的位置关系
两直线的平行与垂直
[典题导入]
已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－ 2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
[听课记录] ∵l1∥l2，∴－2(k－3)＝(4－k)·2(k－3)， 解得k＝3或5.
答案 C
第15页，共39页。
[规律方法] 1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键， 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2， l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条 直线的斜率是多少一定要特别注意．
【解析】 解法一：解方程组35xx＋ ＋22yy－ ＋11＝ ＝00， ， 得 l1，l2 的交点坐标为(－1，2)． 由 l3 的斜率35得 l 的斜率为－35. 则由点斜式方程可得 l 的方程为 y－2＝－53(x＋1) 即 5x＋3y－1＝0.
第31页，共39页。
解法二：由于 l 过 l1，l2 的交点，
第10页，共39页。
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1)
B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b)
D．(－b，－a)
B [设对称点为(x′，y′)，
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.]
第11页，共39页。
4．与直线 4x＋3y－5＝0 平行，并且到它的距离等于 3 的直线方程 是______________________． 解析 设所求直线方程为 4x＋3y＋m＝0， 由 3＝ |m42＋＋53|2，得 m＝10 或－20. 答案 4x＋3y＋10＝0 或 4x＋3y－20＝0
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-4-第1节-坐标系
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
第36页，共48页。
[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
第37页，共48页。
解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
第13页，共48页。
解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
第14页，共48页。
5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
第19页，共48页。
∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章-第5节-直线、平面垂直的判定与性质
第23页，共57页。
第24页，共57页。
第25页，共57页。
证法二：如图，取 PD 的中点 F，连接 AF，NF. ∵F，N 分别为 PD，PC 的中点， ∴FN 綊21CD. 又∵CD 綊 AB， ∴FN 綊21AB，即 FN 綊 AM，
第32页，共57页。
[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
第33页，共57页。
(4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于 另一个平面
D．A1C1
D [易知 A1C1⊥平面 BB1D1D.
又 B1O⊂平面 BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.]
第9页，共57页。
3．(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m，直线a
在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是
“a⊥b”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
第12页，共57页。
5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是 正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有 ________． ①PA⊥AD； ②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④直线PD与 平面ABC所成角为30°.
第13页，共57页。
解析 由 PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AD， 故①正确； ②中两平面不垂直； ③中 AD 与平面 PAE 相交，BC∥AD，故不正确； ④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案 ①
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第5节-椭圆
5－m＞0， C [由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1.]
第8页，共62页。
3．(2012·淮南五校联考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值
为
A．－21
B．21
()
C．－1295或 21
D.1295或 21
第9页，共62页。
C [若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝54，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 4k－＋5k＝54，解得 k＝21.]
第26页，共62页。
[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的
两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小 值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2 2
C [由椭圆 x2＋2y2＝2，可得x22＋y2＝1，则 c＝1.
第33页，共62页。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋22k＋2＋31k22. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
(ⅰ)求O→A·O→B的最值； (ⅱ)求证：四边形 ABCD 的面积为定值． 解析 (1)由题意 e＝ac＝ 22，a42＋b22＝1.又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8， b2＝4，椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.