年高考数学一轮总复习名师精讲-第41讲直线和平面平行与平面和平面平行课件
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
直线与平面平行ppt课件
结
③由性质定理列条件，下结论。
求证：如果一条直线与一个平面平行，那么夹在这条直线和这个 平面间的平行线段相等。
已知：AB∥α, AC∥BD, AC∩α=C, BD∩α=D.
求证: AC = BD.
A
B
证明：∵AC∥BD
∴A,B,D,C四点在同一个平面内. 连接CD，
∵AB∥α，AB⊂面ABDC，
面ABDC∩α=CD
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°
C C
A
A
D
B(D)
B
解：选D.将上面的展开图还原成正方体，
点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，
从而△ABC是等边三角形.所以选D.
利用直线和平面平行的性质定理解题的步骤：
找
①找一个与已知平面相交且过该直线的平面；
定
②确定两平面的交线；
<m>
<m>
<m>
<m>
</m>
合作
应用
竞技
探究1. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线有怎样的位置关系？
a
a
平行
异面
探究2. 如果一条直线a与平面α 平行，那么α 内的直线满足什么条件，才能
与直线a平行呢？
已知a∥α，a⊂β，α∩β = b. 求证：a∥b.
证明：∵ α∩β = b
∴ b⊂α
β
a
∵ a∥α
∴ a与b不相交
又a⊂β,b⊂β ∴ a与b不异面
b
α
∴ a∥b .
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与已知平面相交， 那么该直线与交线平行。
空间直线、平面的平行课件-2025届高三数学一轮复习
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
一轮复习直线平面平行的判定及其性质 ppt课件
C1 B1
助线?
D
C
O
A
B
2020/10/22
一轮复习直线平面平行的判定及其
13
性质
巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO.
D1
C1
∵O 为矩形ABCD对角线的交点, A1
B1
∴DO=OB,
E
又∵DE=ED1,
《直线与平面平行的判定》
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一轮复习直线平面平行的判定及其
1
性质
复习提问
直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
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一轮复习直线平面平行的判定及其
2
性质
精品资料
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一轮复习直线平面平行的判定及其
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性质
当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。
（１）平面内有一条直线与 平面平行，，平行吗？
（２）平面内有两条直线与平 面平行，的判定及其
20
性质
（1）中的平面α，β不一定 平行。如图，借助长方体模 型，平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B'，但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。
归纳结论
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行 .
(线线平行 线面平行)
高考数学一轮复习 直线、平面平行的性质定理课件
若平面 内有无数条直线与 平行,则 与 可能相交,不一定平行,所以由不能推
出.故选A.
2.如图,在三棱锥S − ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF//平面ABC,
则( B )
A.EF与BC相交
B.EF//BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
[解析] 因为平面 ∩ 平面 = ,//平面,所以//.
AF = 5,则EG
20
=___.
9
[解析] 因为// , ∩ 平面 = , ⊂ 平面,所以//,
即//,所以
=
=
,则
+
=
×
+
=
×
+
=
.
规律方法
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,常常将线面平行转化为该线与过该线的
的中点,在线段B1 C1 上是否存在点F,使得平面A1 AF//平面ECC1 ？若存
在,请加以证明;若不存在,请说明理由.
解 存在,当F为线段B1 C1 的中点时,平面A1 AF//平面ECC1 .
理由如下:如图,连接A1 F,AF,
在长方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中,AA1 //CC1 ,AD//B1 C1 .
②
证明 ∵ G为BC的中点,E为PC的中点,∴ GE//BP.
∵ GE ⊄ 平面PAB,BP ⊂ 平面PAB,
∴ GE//平面PAB.
由F为PD的中点,得EF//DC.
∵ AB//DC,∴ EF//AB.
∵ EF ⊄ 平面PAB,AB ⊂ 平面PAB,
∴ EF//平面PAB. ∵ EF ∩ GE = E,
高考数学一轮复习直线平面平行的判定及其性质课件
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1 与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1 的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面 ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
第4节 直线、平面平行的判定及其性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行 的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的平行关系的简单命题.
知识梳理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝2 5.所以四面体
N－BCM
的体积
VN－BCM＝13×S△BCM×P2A＝4
3
5 .
角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 【例 2－2】 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，
不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
∴BC 綉 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
2025届高中数学一轮复习课件《直线、平面平行的判定及性质》ppt
(1)求证：EF∥平面 ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥 P-ABC 的体积．此条件暗示 △POF 的特殊性，即平面 POF⊥平面 ABC.
高考一轮总复习•数学
第18页
(1)证明：如图，连接 DE.设 AF＝tAC，t∈[0,1]，则B→F＝B→A＋A→F＝(1－t)B→A＋tB→C，A→O＝ －B→A＋12B→C.由 BF⊥AO，AB⊥BC，
第25页
高考一轮总复习•数学
∵∠DAB＝120°，AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°， ∴AD⊥CD，∴MB∥AD. 又 MB⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴MB∥平面 PAD. ∵EM∩MB＝M，EM，MB⊂平面 EMB， ∴平面 EMB∥平面 PAD，∵EB⊂平面 EMB，∴EB∥平面 PAD.
高考一轮总复习•数学
第28页
题型
面面平行的判定与性质
典例 2(2024·四川绵阳中学月考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点．求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思考判定定理，即需要两组平行线的关系．
高考一轮总复习•数学
第32页
对点练 2(2024·四川达州一诊)如图所示，设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，P 是 棱 AD 上一点，且 AP＝a3，过 B1，D1，P 的平面交平面 ABCD 于 PQ，Q 在直线 CD 上，则 PQ＝( )
A.2 3 2a B. 3 2a C. 2 2a D.2 3 3a
2020年高考数学(文科)一轮复习 第41讲直线 平面平行的判定与性质
听课手册 第41讲 直线 平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示 符号表示 应用判定一条直线与一个平面 ,则称这条直线与这个平面平行a ∩α=⌀⇒a ∥α证明直线与平面平行 平面外 平行,则该直线与此平面平行a ⊄α,b ⊂α,且a ∥b ⇒a ∥α性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线a ∥α,a ⊂β,α∩β=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行2.平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定 一个平面内的两条 与另一个平面平行,则这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥β,b ∥β⇒α∥β证明平面与平面平行如果一个平面内有两条 分别平行于另一个平面内的两条 ,那么这两个平面平行a ⊂α,b ⊂α,a ∩b=P ,a ∥a',b ∥b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β垂直于 的两个平面平行a ⊥α,a ⊥β⇒α∥β(续表)类别语言表述图形表示符号表示应用 性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线必 于另一个平面α∥β,a ⊂α⇒a ∥β证明直线与平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 平行α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ⇒a ∥b 证明直线与直线平行常用结论1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.3.三种平行关系的转化:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.题组一常识题1.[教材改编]已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有条.2.[教材改编]如图7-41-1,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .图7-41-1图7-41-23.[教材改编]如图7-41-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为.4.[教材改编]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是.(填序号)图7-41-3①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.5.[教材改编]图7-41-3是一个长方体被一个平面截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为.题组二常错题◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够,忽略线面平行、面面平行的条件.6.设m,l表示两条直线,α表示平面,若m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的条件.7.(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的关系是.(2)已知两条直线a,b和两个平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α与β的关系是.(3)若平面α∥平面β,直线a∥α,则a与β的关系是.8.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线有条.9.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(填序号)①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.探究点一平行关系的基本问题例1(1)[2018·厦门质检]如图7-41-4,图7-41-4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,G分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是()A.MN∥AGB.MN∥BD1C.MN∥平面BB1D1DD.MN∥平面BDG(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α[总结反思]解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论.变式题(1)[2018·泉州质检]已知两条直线a,b,两个平面α,β,a⊂α,b⊂α,则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件图7-41-5C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)如图7-41-5所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与直线MN平行的是.探究点二线面平行的判定与性质例2[2018·吉林延边州模拟]如图7-41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,DC=6,AD=8,BC=10,∠PAD=45°,E为PA的中点.图7-41-6(1)求证:DE∥平面PBC;(2)求三棱锥E-PBC的体积.[总结反思](1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),使用这个定理的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;②利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β),即若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.变式题如图7-41-7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱与底面垂直,∠CAB=90°,且AC=1,AB=2,E为BB1的中点,M为AC上一点,AM=2AC.3,求AA1的长;(1)若三棱锥A1-C1ME的体积为√26(2)证明:CB1∥平面A1EM.图7-41-7探究点三面面平行的判定与性质例3[2018·烟台一模]如图7-41-8①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BA=BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图7-41-8②所示,E,F分别为PC,CD的中点,求证:平面OEF∥平面PAD.图7-41-8[总结反思]证明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β);(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).变式题[2018·新乡一模]如图7-41-9,几何体ABC-A1DC1是由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得的,AB=4,A1D=1,AA1⊥平面ABC,M为AB的中点,E为棱AA1上一点,且EM∥平面BC1D.若N在棱BC上,且BN=2NC,证明:EN∥平面BC1D.图7-41-9完成课时作业(四十一)。
高考数学《直线、平面平行的判定与性质》复习课件
课堂考点探究
[总结反思] (1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理 (a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α),使用这个定理的关键是在平面内找到一条与已知直线平行 的直线,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例 式证明两直线平行;②利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β),即若两平面平行,则 其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作 辅助平面来确定交线.
课前双基巩固
题组二 常错题
◆索引:对空间平行关系的相互转化条件理解不够,忽略线面平行、面面平行的条件.
6.设 m,l 表示两条直线,α 表示平面,若 m⊂α,则“l∥α”是“l∥m”的 条件.
[答案] 既不充分也不必要
[解析] 由 m⊂α,l∥α 不能推出 l ∥m,由 m⊂α,l∥m 也不能推出 l ∥α,所以是既不充分也不必要 条件.
定 条 相交直线 ,那么这两个平
面平行
垂直于 同一条直线 的两个平
面平行
图形表示
符号表示
应用
a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b ∥β⇒α∥β
a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥a',b 证明平面
∥ b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α 与平面平
∥β
行
a⊥α,a⊥β⇒α∥β
课前双基巩固
类 语言表述
[思路点拨] (1)要证 DE∥平面 PBC,只要在平面 PBC 内找到一 条直线与 DE 平行即可;(2)由第(1) 问得 DE∥平面 PBC,则点 E 和点 D 到平面 PBC 的距离相等,利用 等体积转换 VE-PBC=VD-PBC=VP-DBC 求之即可.
高中数学：直线和平面平行的性质课件共25张PPT
求证：MN // 平面ABCD
D1
C1
A1
B1
M D
P N
C
A
B
例4：证明
连结AC、A1C1
A1
长方体中A1 A//C1C A1C1 // AC
AC 面A1C1
A1C1 面A1C1
AC // 面A1C1B
A
AC 面ACP
A1B PC
PA BC1
M N
面ACP
面A1C1B MN
AC // MN
数学必修2
2.2.2 直线和平面平行的性质
复习：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行，那么这条直线和这个平面平行。
a
a
b
a∥
a∥ b
b
线线平行 线面平行
复习：两个平面平行的判定定理
定判理定：定如理果一个平面内有两条相交直线都平行于
另一个平面，那么这两个平面平行.
a , b , a b A
C
说明： 线//线
线//面
转化是立体几何的一种重要的思想方法
例3、求证：如果一条直线和两个相交平 面都平行，那么这条直线和它们的交线 平行。
已知，
c
l, a //, a // .
求证： a // l
l
a
b
例4：长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P BB1
（异于B、B1）PA BA1 M , PC BC1 N,
证明线面平行的 转化思想：
线//线
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行
线//面
面//面