5-xt--空间解析几何与向量代数

x 2 + y 2 = R2
x2 y2 + 2 =1 2 a b
[3] 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面
（1）椭球面 ）
（2）椭圆抛物面 ）
2
x y z 1 2 + 2 + 2 = a b c
2
2
两点间距离公式: 两点间距离公式
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
它们距离为
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 M1 M 2 =
2、曲面
曲面方程的定义： 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 有下述关系： F ( x , y , z ) = 0有下述关系：
点积、 点积 内积) 4、数量积 (点积、内积
a ⋅ b =| a || b | cosθ
数量积的坐标表达式
其中θ 为a 与b 的夹角
a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cosθ =
a ⊥b
a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
M0
o
x
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
[2] 平面的一般方程
y
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) n = { A, B , C }
z
c
Ax + By + Cz + D = 0
[3] 平面的截距式方程 x y z + + =1 a b c
自由向量、 相等向量、 负向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径. 平行向量、 向径
2、向量的线性运算
(1) 加法： a + b = c 加法： (2) 减法： a − b = d 减法： (3) 向量与数的乘法： 向量与数的乘法：
a +b = c
b
a
a −b = d
是一个数， 设λ 是一个数，向量a 与λ 的乘积λa 规定为
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
s = { m , n, p }
[4] 两直线的夹角 直线 L1 : 直线 L2 :
x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 = = m2 n2 p2
cos( L^L ) = ,
1 2
[6] 直线与平面的夹角
x − x0 y − y0 z − z 0 L: = = m n p
Π : Ax + By + Cz + D = 0
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
(0≤ϕ ≤
π
2
)
直线与平面的夹角公式Leabharlann [7] 直线与平面的位置关系
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 上的点的坐标都不满足方程；
那么， 的方程， 那么，方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程，而 曲面 S 就叫做方程的图形. 就叫做方程的图形
研究空间曲面的两个基本问题： 研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 ）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状 ）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
平 面
柱
面
直 线
二次曲面 一般方程
对称式方程 点法式方程
1、空间直角坐标系
z 竖轴
空间的点
定点 o 横轴 x
•
y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
z
空 间 直 角 坐 标 系
o x
y
共有一个原点,三个坐标轴 三个坐标面 八个卦限. 共有一个原点 三个坐标轴,三个坐标面 八个卦限 三个坐标轴 三个坐标面,八个卦限
向量模长的坐标表示式
| a |= a x + a y + a z
2 2
2
向量方向余弦的坐标表示式
cosα = cos β =
cos γ =
ax a x + a y + az ay
2 2 2
a x + a y + az
2 2
2
az a x + a y + az
2 2 2
( cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 )
x2 y2 + =z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
（3）马鞍面 ）
（4）单叶双曲面（5）圆锥面 ）
x2 y2 − + =z 2 p 2q
( p 与 q 同号 )
x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c
x2 + y2 = z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
a × b = ( a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j
+ ( a x b y − a y bx ) k
i a × b = ax bx
a // b
j ay by
k az bz
a x a y az = = bx b y bz
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
[1] 旋转曲面
定义： 定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之. 一条直线旋转一周所成的曲面称之 这条定直线叫旋转曲面的轴 这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点: 方程特点
f ( x, y) = 0 设有平面曲线 L : z=0 (1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面 方程为 f ( x ,± y + z ) = 0
b
o x a
y
n1
[4] 平面的夹角
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
n2 θ
Π2
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
cosθ = | A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 | A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C 2
2 2 2 2 2 2
Π1
[5] 两平面位置特征： 两平面位置特征：
(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0
A1 B1 C1 = = ( 2) Π 1 // Π 2 ⇐⇒ A2 B2 C 2
5、空间直线
[1] 空间直线的一般方程
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
从柱面方程看柱面的特征： 从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) = 0 ， 在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线C .
(1) 平面
y=x
(2) 圆柱面
(3) 抛物柱面
x 2 = 2 py ( p > 0)
(4) 椭圆柱面
(1) λ > 0, ( 2 ) λ = 0,
λa 与a 同向，| λa |= λ | a | 同向，
λa = 0
( 3) λ < 0, λa 与a 反向， | λa |=| λ | ⋅ | a | 反向，
3、向量的表示法
向量的分解式： 向量的分解式： a = a x i + a y j + a z k 在三个坐标轴上的分向量： 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k 向量的坐标表示式： 向量的坐标表示式： a = {a x , a y , a z } 向量的坐标： 向量的坐标： a x , a y , a z
z
Π1
L
Π2
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
o
y
x
[2] 空间直线的对称式方程
z
s
⋅ M0
o
L
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
[3] 空间直线的参数方程
x
⋅M
y
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m1 + n1 + p1 ⋅ m2 + n2 + p2
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
[5] 两直线的位置关系： 两直线的位置关系：