空间解析几何与向量代数知识分享
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
高等数学向量代数与空间解析几何总结 ppt课件
( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
高等数学——空间解析几何与向量代数
练 习 题
一、填空： 1 、向量是_________的量； 2 、向量的___________叫做向量的模； 3 、___________的向量叫做单位向量； 4 、_____________的向量叫做零向量； 5 、与_____无关的向量称为自由向量； 6 、平行于同一直线的一组向量叫做 _________ ，三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________； 7、两向量___________，我们称这两个向量相等； 8、两个模相等、____________的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点 构成____________；
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
特殊点的表示: 坐标轴上的点，坐标面上的点，
各卦象的点， z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
M ( x, y, z )若直线段落AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点D( 5 ,2 , 0 ) 内 分为3 等分， 则端点 A 的坐标为_________， 端点 B 的坐标为_________ .
二、在 yoz 面上，求与三个已知点A( 3 , 1 , 2 ) ， B( 4 ,2 ,2 ) 和C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
[1] 加法： a b c
（平行四边形法则） （三角形法则）
b
c
a
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
空间解析几何和线性代数资料
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a
b
(a ybz
azby )i
(a
z
bx
axbz ) j
(axby aybx )k
a
b
i ax
j ay
k az
bx by bz
a//
b
6、混合积
ax ay az bx by bz
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
第1章 向量代数与空间解析几何内容小结
m
n
p
（3）参数方程：若设 x x0 y y0 z z0 t,
m
n
p
则直线的参数方程为
x y
x0 y0
mt nt
．
z z0 pt
2.直线与直线、直线与平面的夹角
两直线的方向向量所成的不超过 的夹角称为两直线的夹角．直线和它在平面上的投 2
运算律：
○① 交换律 a b b a ；
○② 与数乘结合律 (a) b a (b) (a b) ；
○3 分配律 (a b) c a c bc ．
两向量夹角公式：设 a ax , ay , az ， b bx ,by ,bz ， ( a 0, b 0) ，则
曲线
f
x,
y
0
绕 y 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x2 z2 , y
0；
z0
曲线
f
x,
z
0
绕 x 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
x,
y2 z2
0；
y0
曲线
f
x,
z
0
绕 z 轴旋转所形成的旋转曲面方程为 f
若点 A 的坐标为 (x1, y1, z1) ，点 B 的坐标为 (x2, y2, z2 ) ，则 AB 的分解表示为 AB axi ay j azk ，
AB 的坐标表示为 AB ax , ay , az ，
其中 ax x2 x1, ay y2 y1, az z2 z1分别为 AB 在 x, y, z 轴上的投影． i, j, k 分别为 沿 x, y, z 轴正向的单位向量，它们称为空间直角坐标系的基本单位向量．
微积分下册知识点
微积分（下）知识点微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;4、 利用坐标做向量的运算:设),,(z y x a a a a = ,),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ;2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅ 1)2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b a微积分（下）知识点 z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2)b a //⇔0=⨯b a zy x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面: yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面:1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面:1222222=-+cz b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 5） 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+by a x 8） 双曲柱面：12222=-by a x 9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程 1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量:),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程:1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域,内点，外点，边界点，聚点,开集，闭集，连通集,区域，闭区域，有界集，无界集.2、 多元函数:),(y x f z =，图形：3、 极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 4、 连续:),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y xy x =→5、 偏导数： xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角.7、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
向量代数与空间解析几何(11)
21,
cos
1 2
,
cos
22;
2
3
,
3
,
3
4
27
例2. 已知两点A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3). 求方向和AB 一致的单位向量.
解: AB = {3, 1, 2} |AB| 32 12 (2)2 14
a AB { 3 , 1 , 2 } | AB | 14 14 14
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk
)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1. a b axbx a yby azbz
37
数量积的坐标表达式
a
b
|
a
||
b
|
cos
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
ab
axbx a yby azbz 0
38
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算 方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的件。
1
1、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
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空间解析几何与向量
代数
第八章 空间解析几何与向量代数
一、 选择题
1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==ϖϖ若b a ϖϖ//，则 B
（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6
(C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3
2．平面x -2z = 0的位置是 D 。
（Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。
（Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴
3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。
（Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1
4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。
（Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７
5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。
（Ａ）、
2π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６
6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。
（A ）233211+=+=-z y x （C ）1
0101z y x =-=+ （B ）{
4404=--=--y x z x （D ）⎪⎩⎪⎨⎧==+=4321z t
y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。
（A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。
（D ）、L 1与L 2为异面直线。
二、填空题
1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。
2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。
3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线
51232-==-z y x 的直线方程 为
5
32/1134-=+=-z y x 。
三、计算题
1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程.
解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为
3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.
2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程.
解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
(x -2)-2(y +3)+3z =0,
即 x -2y +3z -8=0.
3·求过三点M 1(2, -1, 4)、M 2(-1, 3, -2)和M 3(0, 2, 3)的平面的方程.
解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n .
因为→)6 ,4 ,3(21--=M M , →)1 ,3 ,2(31--=M M ,
所以 →→
k j i k j i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M . 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为
14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0,
即 14x +9y - z -15=0.
4· 求过点(4, -1, 3)且平行于直线5
1123-==-z y x 的直线方程. 解 所求直线的方向向量为s =(2, 1, 5), 所求的直线方程为 5
31124-=+=-z y x . 5·求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.
解 所求直线的方向向量为s =(-1, 0, 2)-(3, -2, 1)=(-4, 2, 1), 所求的直线方程为 1
12243-=+=--z y x . 6. 求与两平面 x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s ,
因为 )34(
512 401 )52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=, 所以所求直线的方程为 1
53243-=-=+z y x . 7.一个平面过两点M 1(1, 11, 1)、M 2(0, 1, -1)，且垂直于平面x+y+z=0,求其方程 解：1098=-+z y x。