空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题
(一)选择题
1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9
2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）
A ）{-1,1,5}.
B ） {-1,-1,5}.
C ） {1,-1,5}.
D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;
A ）-i -2j +5k
B ）-i -j +3k
C ）-i -j +5k
D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2π
B ）4π
C ）3
π D ）π
5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）
A ）5焦耳
B ）10焦耳
C ）3焦耳
D ）9焦耳
6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）
A ）2π
B ）4π
C ）3
π D ）π
7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=
-=z y x 的距离是：（ ）
A ）138
B 118
C ）158
D ）1
8. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ ）
A ）-i -2j +5k
B ）-i -j +3k
C ）-i -j +5k
D ）3i -3j +3k
9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ）
362 B ）364 C ）3
2
D ）3
10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ）
A ）2x+3y=5=0
B ）x-y+1=0
C ）x+y+1=0
D ）01=-+y x ．
(二)填空题
(1) a ∙b = （公式） (2) a ·b = （计算）
(3) .=⨯b a
(4) ][c b a
=
(5) 平面的点法式方程是
(6) 三维向量 21M M 的模为| 21M M |=
(7) yoz 坐标面的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转生成的旋转曲面的方程是： (8) 已知两点)5,0,4(A 与)3,1,7(B ，与向量AB 方向一致的单位向量0
a = 。

(9) 平面的一般式方程是: (10) 平面的截距式方程是:
(三)计算题及证明题
20．(第二节20-29)
21.
22．
23．
24．
25．26．27．28．
29．30．(第三节30-38)
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39. (第四节39-46)
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47. (第五节47-55)
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56. (第六节56-71)
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
答案:
(一)选择题
1. A
解 AB ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，
|AB |=
5)1(20222=-++. 2. B
解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.
3. C
解c ={-1,-1,5}=-i -j +5k .
4. C
解 由公式（6-21）有
2
1112)1(211)1(1221cos 2
222222
121=
++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=
n n n n α，
因此，所求夹角
32
1arccos π
α=
=．
5. A
解 质点的位移向量是AB ={3-1，2-2，-1-0}={2，0，-1}， 功W=F ·S={3，4，5}·{2，0，-1}=6+0-1=5，
当力F 的单位以牛顿（N ）计，位移s 的单位以米（m ）计时，F 所作的功为5焦耳（J ）. 6. C
解 作向量MA 及MB ，∠AMB 就是向量MA 与MB 的夹角. 这里,
MA ={1,1,0}, MB ={1,0,1}，从而MA •MB =1×1+1×0+0×1=1
代入两
向量夹角余弦的表达式，得
cos ∠AMB
MB
MA =21
221=⋅
由此得∠AMB =3π
.
7. A
解 方法一：这里，)2,1,0(0-M 在直线L 上，}12,2,2{0-=M M ，}1,2,3{=s ，
由公式（6-20），点M 到直线L 的距离
138
14
103426=--=
=
k
j i s
d ．
8. D 解 由101333.231
i j k
a b i j k ⨯=-=-+
9. A 解 由向量的模的几何意义知⊿ABC 的面积1
||2
S AB AC =
⨯. 因为{2,3,1},{3,1,1}AB
AC =-=
--得 2 3 1273 1 2
i j k
AB AC i j k ⨯=-=++-
-，
所以
2||2AB AC ⨯===.于是S =10. D
解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为
0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有
⎩⎨
⎧=+-=+020D B A D A
解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求
的平面方程
01=-+y x
(二)填空题
(1) ∣a ∣∙∣b ∣cos(∧
b a ,) (2) a x b x +a y b y +a z b z
(3) z
y x
z y x
b b b a a a k j i (4) z
y x
z y x
z y x
c c c b b b a a a (5) 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
(6)
212212212)()()(z z y y x x -+-+-
(7) 0),(22=+±z y x f (8)
AB
AB =⎭⎬⎫⎩⎨
⎧-142,14
1,143.
解 AB =}53,01,47{---={3，1，-2}；AB =14)2(13222=-++； 0
a =
AB
AB =⎭⎬⎫⎩⎨
⎧-142,14
1,143.
(9)0=+++D Cz By Ax
(10) 1
=++c
z
b y a x
(三)计算题及证明题
（第一节1--19.）
1.
2.
3.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.（第二节20-29）
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28..(1)
(2)
(3)
29.
30. (第三节30-38)
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.(1) (2)
(3)
(4)
(5)
38.(1)
(2)
(3)
(4)
39. (第四节39-46) (1)
(2)
(3)
(1)
(2) 41.
43.
(1)
(2) 44.
45.
47. (第五节47-55)
48.
49
50.(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
(7) 51.
52.
53.
54.(1) (2)
(3)
55.
56. (第六节56-71)
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.(1)
(2)
(3)
66.
67.
68.
69.
70.
71.(1)
(2)
(3)
(4)。