空间解析几何与向量代数论文
浅谈线性代数与空间解析几何
线性代数结课论文论文题目：浅谈线性代数与空间解析几何学员姓名：娃哈哈学号：9090980学院：xxx专业班级：xxx指导老师：xxx二零一一年十二月摘要：在我们的学习过程中，可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处。
确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。
比如说通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。
也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。
又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。
线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。
欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。
总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。
可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。
关键词：线性代数解析几何欧氏空间联系促进ABSTRACTIn our study process, we can find linear algebra and space analytic geometry have much in common. Exactly linear algebra theory from some of the space analytic geometry in development and improvement. For example, by space analytic geometry in a multiple linear algebra equations solution method proposed determinants, make the determinant with geometric meaning, at the same time, is the determinant direct. Also through the determinants, multiple equations solution more convenient, fast. For instance in linear algebra and linear space, has brought out the Euclidean space. The linear space will also vector do promotion, make vector abstraction. Euclidean space in linear space is put forward based on the dot product, make the geometry of space vector of the some measure properties of promotion, and so on.Key words：Linear Algebra; Analytic Geometry; Euclidean Space; Contact;Promotion一.引言在十七世纪, 笛卡尔及费马在几何空间中引入了坐标系, 从而在几何与代数间建立了一座桥梁, 用代数方法解决空间的几何问题, 产生了解析几何. 解析几何的产生, 可以说是数学发展史上的一次飞跃.恩格斯曾经这样评价[1]: 数学中的转折点是笛卡尔的变数, 有了变数, 运动进入了数学, 有了变数, 辩证法进入了数学, 有了变数, 微分和积分也就成了必要的了.从代数与几何的发展历史来看，线性代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。
本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。
它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。
1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。
通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。
2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。
在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。
这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。
3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。
在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。
同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。
二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。
1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。
向量的长度用模表示，记作|v|。
2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数是一种利用矢量来表达物理量的数学方法，它是建立物理现象的关键，在计算中物理量的概念可以被准确的表达，这使得空间与时间的模型可以描述和表示。
空间解析几何是一种学科，旨在探索物体在空间中的几何表示，也是一种多维几何学，它有助于理解空间和时间的结构，及其在空间中的变换。
它也可以用来理解和描述空间结构的特点，并允许进行精确的计算。
向量代数由一系列的矢量方程给出，其中每个矢量由一组有序的数字组成，其中每个数字代表一维的大小和方向。
矢量的操作可以用来描述物体的运动，对于运动的测量和描述是建立物理现象的关键。
一个向量方程可以表述为空间中的实际值，并且可以将一个空间中的点映射到另一个空间中，也可以用来应用多维几何学。
空间解析几何可以用来解决各种物理问题，如定义物体表面，描述物体形状，表示曲线，计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，以及解决方程等等。
它结合了向量代数、多维几何和数学的概念，使得计算机可以在空间中创造和模拟现实世界里的3D几何物体。
空间解析几何有多种用途，可以用来描述物体的几何形状，以及不带有曲线的平面，曲面，以及更复杂的三维空间形状。
它可以用来建立图像和数字地图，以及多维空间分析，可以用来描述复杂的三维物体，可以用来创建电脑模拟（CAD）和图形学技术，为进行机器人操作和智能控制等等作准备。
向量代数和空间解析几何的结合，被用来解决一系列的物理问题，这其中包括火箭发射，飞行器姿态控制系统，重力计算，飞行探测器以及机器人控制等等。
它们最重要的用途是用来模拟空间物体之间的碰撞，控制物理模型，以及快速而可靠地估算物体之间的位置关系，以此实现实时监控和精确控制。
向量代数和空间解析几何在各个领域都有着广泛的应用，从建筑设计，自动驾驶，空间探测，飞行模拟系统，机器人控制，虚拟现实等等，都离不开它们。
它们提供了关于物体在空间中的表示及其形状变换的精确方法，它们还可以用来计算物体之间的距离和它们在空间中的关系，从而在空间中建立有效的模型。
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的分支。
它们分别研究了向量以及在空间中的几何问题。
本文将介绍向量代数以及空间解析几何的基本概念和应用。
一、向量代数1. 向量的定义与性质向量是带有方向和大小的量，通常用有向线段表示。
向量有很多种表示方法，如坐标表示、向量符号表示等。
向量运算包括加法、减法、数乘等，遵循相应的运算规则。
向量的性质包括共线、对称性、平行四边形法则等。
2. 向量的内积与外积向量的内积（点积）和外积（叉积）是向量代数中的重要运算。
内积表示了两个向量之间的夹角关系，具有交换律和分配律等性质。
外积表示了两个向量之间的垂直关系，其大小等于由两个向量所决定的平行四边形的面积。
3. 向量的坐标表示与线性组合向量可以通过坐标表示在坐标系中，分别用行向量和列向量表示。
向量的线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到新的向量。
线性组合有重要的几何意义，可以表示平面或空间上的任意点。
二、空间解析几何1. 点、直线与平面空间解析几何研究了点、直线和平面在空间中的性质和相互关系。
点在空间中由坐标表示，在三维坐标系中是一个有序三元组。
直线可以通过点和方向向量表示，平面可以通过点和法向量表示。
2. 直线与平面的位置关系直线和平面有多种位置关系，包括相交、平行、重合、相交于一点等。
这些关系可以通过直线或平面的方程进行判断和计算。
同时，直线与平面之间也存在着夹角的概念，用于描述它们之间的夹角关系。
3. 空间几何体的体积与面积在空间解析几何中，体积和面积是重要的度量指标。
常见的几何体包括球、圆柱、圆锥、棱台等。
通过合适的公式和方法，可以计算出这些几何体的体积和表面积。
三、应用向量代数与空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的力学分析向量代数可以用来描述物理学中的力和运动，如力的合成与分解、速度和加速度的分析等。
空间解析几何则可以用来描述物体在空间中的位置和运动轨迹。
向量代数与空间解析几何
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
ea
a |a
|
．Hale Waihona Puke 上式表明一个非零向量除以它的模，结果是一个与原向量同方向的单位向量，
这一过程称为向量单位化．
由于向量 a 与 a 平行，因此我们常用数乘来说明两个向量的平行关系．
1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实
本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐 标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．
1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、 力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图所示，以 A 为起点， B 为终点的向量记作 AB ，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示 向量，如 a 或 a ．
1.2 向量的线性运算
2．向量与数的乘法
向量 a 与实数 的乘积是一个向量，记为 a ，它的模是 a 的模的 | | 倍，即 | a || || a | ．它的方向为：当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时， a 0 ．这种运算称为向量的数乘．
1.2 向量的线性运算
特别地，当 a b 时，有 a a a ( a) 0 ．
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何向量代数是几何学的一个分支，它学习的是由点和向量组成的空间结构，以及它们之间的关系。
若要解释几何学的基本概念，就必须要用到向量代数的技术和工具。
量代数与空间解析几何之间的关系非常密切。
空间解析几何是一种特殊的平面几何，它将空间中的点看作是实数组成的，并且结构由一个数学方程来表示。
这是向量代数在几何学中最重要的用途。
研究空间解析几何时，我们必须掌握向量代数的所有技巧，以表达空间模型的结构及其向量元素之间的关系。
向量代数在空间解析几何中的最基本的概念是向量。
向量是一种特殊的数字，它由一组实数组成，可以表示一条直线的方向和大小。
空间解析几何中的所有结构都可以用向量表示。
我们可以将向量加起来，用它们表示方向和大小的变化，从而求得更复杂的结构，比如多边形。
此外，向量代数也可以用于表示空间解析几何中的相关概念，比如平行和垂直。
如果两个向量平行，则它们会构成一个特殊的结构，而垂直的向量则会构成一个特殊的空间结构。
向量代数可以用来表示这些概念，也可以用于解决空间解析几何中的问题。
向量代数还可以用于表达空间解析几何中的变换，这可以通过矩阵来实现。
比如，如果希望移动一个空间结构中的某些向量，那么可以使用一个称为移动矩阵的向量代数工具，它可以把这些向量移动到新的位置。
同样，也可以使用变换矩阵来旋转这些向量，它可以把空间中的向量旋转到不同的方向。
这些都是依赖于向量代数的空间解析几何中的重要概念。
总而言之，向量代数与空间解析几何的关系是非常密切的。
空间解析几何学习的是空间中的点和向量，以及它们之间的关系，而这些关系是依赖于向量代数的技术和工具来表示的。
正是由于向量代数可以表达空间解析几何中的概念和关系，我们才能够更好地理解几何学的基本概念，并有效地解决空间解析几何中的问题。
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数是一门非常重要的数学分支，它有助于我们理解复杂的空间结构和平面模式。
在这一领域中，我们不仅研究向量之间的关系，而且还要解决向量代数相关的多种问题。
向量代数在很多领域中都有着重要的应用，如工程领域、科学领域、医学领域等。
向量代数涉及到向量的概念，它与空间几何学紧密相关，向量代数和空间解析几何研究向量的几何特性，例如，向量的方向、长度、夹角和其他属性。
在空间解析几何中，我们研究特定的向量，它们可以被用来描述空间中的几何关系。
通过求解方程，以及利用向量的性质，可以求解几何图形的形状、分布、轮廓等。
向量代数在求解空间几何学中的问题方面发挥着重要作用，可以快速求解复杂的几何问题，并使得空间几何学解决问题更加容易。
在解决几何问题时，空间解析几何可以更好地理解向量的概念，更加清晰准确地了解几何图形，更好地解决几何问题。
对于复杂的几何模型，向量代数和空间解析几何可以更好地解释这些模型，从而更准确地描述几何关系。
在空间解析几何中，向量的性质也被用于分析空间变换，这样就可以更快、更准确地描述和解释几何变换。
向量代数和空间解析几何还能够解决平面几何问题，如坐标变换、焦点变换、形状操作等等。
此外，向量代数和空间解析几何可以用于绘制平面几何图形，以及应用于计算机图形学，使得绘制三维图形更加容易。
在计算机图形学中，向量代数和空间解析几何被用于描述和操作图形，这样就可以生成逼真的图形和动画效果。
综上所述，向量代数和空间解析几何是一门非常重要的数学分支，它有助于更好地理解空间几何的结构，更加有效地解决几何问题。
量代数和空间解析几何也有许多应用，如计算机图形学，绘制几何图形等等，从而为现实世界的科技发展做出了重要的贡献。
向量代数与空间解析几何
《我有一个梦想》教案教学目标：1.了解本文的背景及主要内容。
2.体会比喻，排比的修辞手法的运用。
教学重点：1.揣摩重点语段和词语强烈的感情色彩。
2.体会本文富有感召力的语言特色。
教学时数：二课时教学过程：第一课时作者及背景简介；朗读课文，整体感知文意；精读课文，分析1——6、17——25节。
一、导入40年前的8月28日，即1963年8月28日，在美国是一个不寻常的日子。
这天，美国25万人在华盛顿哥伦比亚特区集会，浩浩荡荡地从华盛顿纪念碑出发，分两路游行到林肯纪念堂。
在林肯纪念堂前，一位30多岁的黑人汉子被众多黑人簇拥着，站在高高的石阶上演讲，这次演讲就是举世闻名的《我有一个梦想》。
这个黑人就是著名的民权运动领袖马丁·路德·金。
这篇演说词立即举世闻名。
他讲话没有讲话稿，他把自已对前途的看法用充满激情的语言告诉了云集的听众，这就是“我有一个梦想”。
二、作者与背景介绍1、马丁·路德·金（1929~1968），美国黑人律师，著名黑人民权运动领袖，被誉为“黑人之音”。
1929年，马丁·路德·金诞生于美国东南部的佐治亚洲的亚特兰大市。
他是一位基督教牧师的儿子。
小时候他喜欢打篮球网球，踢足球。
他把大量时间用来读书。
他喜欢广交朋友，而不喜欢任何形式的打斗。
15岁时他获得入学成绩优秀奖而进入壮方某州的一所大学深造。
黑人在那里享有平等的权利，可以像他们所希望的那样自由地生活、学习和工作。
1948年他大学毕业，担任教会的牧师。
当时在南部各州.黑人还没有受到平等的公民待遇，虽然美国在1865年学结束了奴隶制,然而南部各州.通过了它们自已的法律，继续把白人和黑人分开。
法律禁止黑人和白人通婚，在商店、饭店、医院、公共汽车和火车里都有为黑人设置的隔离区。
黑人儿童在单独为黑人开设的学校上学，花在黑人儿童身上的教育经费只及白人儿童的四分之一。
南部各州的黑人没有选举权，如果他们想要参加选举，就得通过一项阅读测验。
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空间解析几何与向量代数
呼伦贝尔学院
计算机科学与技术学院
服务外包一班
2013级
2014.5.4
小组成员：
宋宝文
柏杨白鸽
李强白坤龙
空间解析几何与向量代数
摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。
向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。
关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数
第一节：向量
一.向量的概念：
向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。
表示法：有向线段a
或a 。
向量的模:向量的打小，记作|a
|。
向径（矢径）：起点为原点的向量。
自由向量：与起点无关的向量。
单位向量：模为1的向量。
零向量：模为0的向量，记作.0或0
若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b
；
若向量a
与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b
规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a
的负向量，
记作-a
；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。
若K 3
个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。
二.向量的线性运算
1.向量的加法
平行四边形法则：
a
三角形法则：
a +b
b
a
运算规律：交换律a +b =b +a
a
与b
结合律：（a +b ）+c =a
+（b +c ）
三角形法则可推广到多个向量相加。
2.向量的减法
b -a =b +（a ）
a
b -a
b b -a
a
特别当b =a 时，有a -a =a （a
）=0 ；
三角不等式：|b +a |； |a -b
|；
3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a。
规定： a 与a 同向时，|a |=|a
|；
总之：|a | | |a
|
三.向量的模、方向角
1.向量的模与两点间的距离公式
设r
（x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or
P
由勾股定理得： |r | |OM|
B
A
对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
一.两向量的数量积
引例：设一物体在常力F 作用下，沿与力为夹角的直线移动，位移为S ，则力F 所
做的功为W|F | |S |
1.定义：
设向量b ，a 的夹角为，称|a ||b | b a 为b 与a
的数量积（点积）。
2.性质：
（1）a a
（2）b ，a
为两个非零向量则有
a 0 a
3.运算符：
交换律a a
（1）结合律（为实数）
（）（）（） （）（）（） （2）分配率 （）c c c
一．
两向量的向量积
引例：设O 为杠杆L 的支点，有一个为杠杆夹角的力F
作用在杠杆的P 点上，
则力F
作用在杠杆上的力矩是一个向量 M ：|M | |oq|F | |OP | |F | OP F M
| 符合右手规则
F
O
P
M
1.定义
设a 的夹角为，定义向量c 称c 为向量a
与向量积，记作：c a 2.性质
（1）a a 0
（2）a 为非零向量，则a 0
a
//
证明：当 a 0
， 0
时，
3.律算率
（1）a a
（2）分配率（a ）c a c
（3）结合律（a ）a （）（a
） 第二部分：空间解析几何
第一节：空间直线与平面的方程 1. 空间平面
一般式：Ax+By+Cz+D=0 (); 点法式：A(x-)+B(y-)+C(z-)=0 截距式： 三点式| |=0 2. 空间直线
一般式： 对称式：
参数式：（）为直线上一点；s
=（m,n,p ）为直线的方向向量。
3. 线面之间的相互关系
a. 面与面的关系
b. 线与线的关系
c. 面与线之间的关系
平面，直线，垂直，平行
第二节：实例分析
例1. 求与两平面X-4Z=3和2X-Y-5Z=1的交线平行，且过点（-3 ，2， 5）的直线
方程。
所求直线的方向向量可取为：
S=b a
==（-4， -3， -1）
利用点向式可得方程;
参考文献
[1]王作相：关于《空间解析几何》教材的现代化；贵州师范法学学报；1989年02期
[2]黄振华：《浅谈向量与空间解析几何》；湖北师范学院学报（自然科学版）2007年04期
[3]南开大学几何教研室编，《空间解析几何引论》，南开大学出版社，1992年第一版
[4]郭建等编，《解析几何方法与应用》，天津科学技术出版社，1998年第一版。