【高考复习】2018届高三数学考前小练习：第33练 平面向量的数量积(含答案)
2018年高考数学(理)一轮复习文档 第四章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例 Word版含答案
第讲 平面向量的数量积及应用举例．向量的夹角．向量数量积的运算律 ()·＝·；()(λ)·＝λ(·)＝·(λ)； ()(＋)·＝·＋·.．平面向量数量积的有关结论已知非零向量＝(，)，＝(，)，与的夹角为θ.．辨明三个易误点()①与实数的区别：＝≠，＋(－)＝≠，·＝≠；②的方向是任意的，并非没有方向，与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． ()·＝不能推出＝或＝，因为·＝时，有可能⊥.()·＝·(≠)不能推出＝，即消去律不成立．．有关向量夹角的两个结论()两个向量与的夹角为锐角，则有·>，反之不成立(因为夹角为时不成立)；()两个向量与的夹角为钝角，则有·<，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．．(·高考全国卷甲)已知向量＝(，)，＝(，－)，且(＋)⊥，则＝( )．－．－．．由向量的坐标运算得＋＝(，－)，由(＋)⊥，得(＋)·＝－(－)＝，解得＝，故选.．(·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠＝( )．°．°．°．°由两向量的夹角公式，可得∠＝＝＝，则∠＝°.．在边长为的等边△中，设＝，＝，＝，则·＋·＋·＝( )．－．．依题意有·＋·＋·＝＋＋＝－，故选.已知＝，＝，与的夹角θ＝°，则向量在向量方向上的投影为．由数量积的定义知，在方向上的投影为θ＝×°＝－.－．平面向量，的夹角为°，＝(，)，＋＝，则＝．因为＝(，)，所以＝，把＋＝两边平方可得＋·＋＝，即＋·〈，〉＋＝，代入数据可得＋××＋＝，整理可得＋－＝，解得＝.平面向量数量积的运算()设向量＝(－，)，＝(，)，如果向量＋与－平行，那么与的数量积等于( )．－．－。
平面向量的数量积及应用参考答案
平面向量的数量积及应用参考答案1.【答案】B 【解析】∵(3,3)AC =- ，(1,1)AB = ，∴31310AB AC ⋅=-⨯+⨯= .2.【答案】C【解析】依据向量的投影，可以确定A 、B 、D 都是正确的3.【答案】B 【解析】∵2= a ，∴22222+=+⋅+ a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴2+= a b 4.【答案】C 【解析】2(3,n)- a b =，若2- a b 与 b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅= a b b =-，即2n 3=，2== a 5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221()62OB OA =-=- .故选B.8.【解析】如图：∵1==-= a b a b ，∴△OAB 为正三角形，∴2222221-=-⋅+=-⋅= a b a a b b a b ，∴12⋅= a b ，∴2221||211232+=++⋅=++⨯= a b a b a b ，∴||+= a b .9.【答案】3π【解析】由22(2)()22+⋅-=+⋅-=- a b a b a a b b ，得2⋅= a b ，即由||||cos ,2⋅〈〉= a b a b ，1cos ,2〈〉= a b 。
故,3π〈〉= a b .10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=，∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1∴与1，2夹角相等，且为锐角，∴应该在1，2夹角的平分线上，即＜，1＞=＜，2＞=30°，||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++= 可得2()0AB BC CA ++= ，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅= ，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=- 12.【解析】021cos 20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++= 12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒=13.【解析】由题意0⋅= a b 即有1212(2)()0k -⋅+= e e e e ，∴221122(12)20k k +-⋅-= e e e e ，又121== e e ，122,3π〈〉= e e ，∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =.14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x =+=．15.【解析】（1）∵ a 与2- b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅= a b c a b a c ，即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=.（2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+- b c ，22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+ b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+ b c 最大值为32，∴+ b c 的最大值为.（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故 a ∥ b .。
高考题中向量数量积的若干种求法-2018届高三数学提分精品(江苏版)(word版含答案)
专题三平面向量问题四：高考题中向量数量积的若干种求法一、考情分析平面向量的数量积是向量知识中的重要内容,也是高考考查的热点,其常见题型是求值、求最值及取值范围,难度中等或中等以上.二、经验分享1.平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．2.平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a||b|,要注意θ∈[0,π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x,y),则|a|＝x2＋y2.3.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等．三、知识拓展1．两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.四、题型分析(一) 利用“定义”求平面向量数量积c o s a b ab θ⋅=⋅⋅,根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角是前提. 【例1】如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则A D D B⋅＝______________.【分析】根据正六边形的几何特征易求|A D |，|DB |，以及两向量夹角，但是要注意起点一致，代入数量积定义可求．【解析】根据正六边形性质，有∠ADB ＝30°，于是向量A D 与D B 所成角为150°，且|AD |＝2，|D B |A D DB ⋅＝0||||c o s150A D D B⋅＝2）＝－3．【点评】利用定义求两个非零向量数量积，关键要搞清向量的数量积和模，尤其在求向量夹角时，要判断其起点是否共点．【小试牛刀】若等腰△ABC 底边BC 上的中线长为1，底角B ＞60º，则B A ·A C 的取值范围是______．【答案】（－1,－23）(二) 利用“坐标”求平面向量数量积设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+,用此法求平面向量数量积时,必须先建立恰当的平面直角坐标系,把向量坐标化,特别注意,当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系,以达到事半功倍的效果．F【例2】【江苏省丹阳高级中学2018届高三上学期期中】在平行四边形A B C D 中， 2A B =， 1A D =，60A B C ∠=︒，则A B A C ⋅的值为____．【答案】3【解析】在平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =1, 60A B C ∠=︒，则BC =1.()2142132A B A C A B A B B CA BA B B C ⋅=⋅+=+⋅=-⨯⨯=【小试牛刀】在R t A B C ∆中, A D 为斜边B C 上的高, 3A B =, A D =,则A B D C ⋅=【答案】3-【解析】由题意22s in 33B D B A D B A DC ==∠=∠=∠=sin 2A DA C C∴==∠ ,则2262D C ==又c o s s in 3A B d B A D ∠=∠=()c o s 3 3.23A B D C A B D C A B D π⎛∴⋅=⋅-∠=⨯-=- ⎝⎭. (三) 利用“分解转化法”求平面向量数量积利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示,在不含坐标系或者不宜建系的情况下,通过向量运算得到解题结果,这种方法应予以重视．【例3】如图,B C 、D E 是半径为1的圆O 的两条直径,2B F F O =,则F D F E ⋅的值是【分析】通过向量加法三角形法则把有关向量用,,O D O E O F 表示.【解析】2B F F O =,1r =,13F O ∴=,()()F D F E F O O D F O O E ⋅=+⋅+()22180139F OF O O E O D O D O E ⎛⎫=+⋅++⋅=+-=- ⎪⎝⎭,故选B.【小试牛刀】在△A B C 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,6c b -=,2c b a +-=,且O 为此三角形的内心,则A O C B⋅=【答案】C两个向量的数量积是平面向量最重要、最活跃的内容,它的概念和性质在三角函数、立体几何、解析几何中都有着广泛的应用,求两个向量的数量积也常常出现在各类试题里,所以同学们一定要认真体会本文提到的三种方法,达到熟练运用,触类旁通．五、迁移运用1．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则EB·EC的值为__．【答案】【解析】，由余弦定理，得，得，，，所以，所以。
2018版高考数学(理)一轮复习题库：第五章第3讲平面向量的数量积含解析
第3讲平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b,c满足a∥b且a⊥c，则c·（a＋2b）＝( ）A．4 B．3C．2 D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案 D2．若向量a与b不共线，a·b≠0,且c＝a－错误!b，则向量a与c的夹角为（) A．0 B。
错误! C.错误! D.错误!解析∵a·c＝a·错误!＝a·a－错误!a·b＝a2－a2＝0,又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴<a,c〉＝错误!，故选D.答案 D3．若向量a，b，c满足a∥b,且a⊥c，则c·（a＋2b)＝（）．A．4 B．3 C．2 D．0解析由a∥b及a⊥c,得b⊥c,则c·（a＋2b）＝c·a＋2c·b＝0.答案 D4．已知△ABC为等边三角形,AB＝2.设点P,Q满足错误!＝λ错误!,错误!＝（1－λ）错误!，λ∈R.若错误!·错误!＝－错误!，则λ等于（）．A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（1，错误!）,由错误!＝λ错误!，得P（2λ,0），由错误!＝（1－λ)错误!，得Q(1－λ，错误!(1－λ）),所以错误!·错误!＝(－λ－1，3(1－λ)）·（2λ－1，－错误!)＝－（λ＋1）（2λ－1)－错误!×错误!（1－λ)＝－错误!，解得λ＝错误!.]答案 A5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·（b－c)≤0，则|a＋b－c｜的最大值为( )．A.错误!－1 B．1 C。
错误!D．2解析由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出,a2＝1,b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及(a－c )(b －c )≤0,可以知道，（a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c ｜2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c ｜2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题5.3_平面向量的数量积(测)(有解析)
专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________.【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－2＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3. 9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.。
20 平面向量的数量积-2018年高考数学(文)热点题型和提分含解析
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系热点题型一平面向量的数量积运算例1、【2017课标II,文12】已知ABC∆是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()⋅+的最小是( )PA PB PCA.2-B.3-C。
43-2D.1-【答案】B【变式探究】(1）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋（1－t）b，若b·c＝0,则t＝__________。
（2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则错误!·错误!的值为__________，错误!·错误!的最大值为__________.【答案】（1）2 （2）1 1【解析】(1)由c＝t a＋（1－t)b得，b·c＝t a·b＋(1－t）b2＝0,整理得t｜a｜|b|c os60°＋（1－t)|b｜2＝0，化简得错误!t ＋1－t＝0,所以t＝2。
（2）方法一：如图所示，以AB，A D所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系,设E（t,0),0≤t≤1,则D(0，1），B（1，0），C（1，1)，错误!＝(t，－1)，错误!＝（0，－1），所以错误!·错误!＝1。
【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解,即a·b ＝|a｜｜b｜cosθ。
(2）当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2。
【举一反三】已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3,若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝__________。
【答案】－6【解析】b1·b2＝（e1－2e2）·(3e1＋4e2)＝3e错误!－2e1·e2－8e错误!＝3－2×1×1×cos π3－8＝－6。
【高考速递】专题5.3 平面向量的数量积(测)-2018年高考数学(文)一轮复习讲练测(Word版含解析)
2018年高考数学讲练测【新课标版文】【测】第五章 平面向量第03节 平面向量的数量积班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【北京卷】设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A2.【福建卷】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A【解析】由已知得(1,2)(1,1)c k =+(1,2)k k =++，因为b c ⊥，则0b c ⋅=，因此120k k +++=，解得k =32-，故选A ． 3.已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A ．15 C ．．15-【答案】A【解析】()3,3k c a -=-，因为()//a c b -，所以()133-3⨯=⨯k ，解得2=k ，当2=k 时，5522104,cos =⨯=⋅>=<c a c a c a，故选A ．4. ,2,1==b 且a b a ⊥+)(，则与的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C【解析】由a b a ⊥+)(知，()a b a +∙=2a ab +∙=0，所以2a b a ∙=-=-1，所以cos ,a b =||||a ba b ∙=12-，所以与的夹角为 120，故选C.5.【重庆卷】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C6.【辽宁卷】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】A【解析】若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a b b c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ．7.【2017四川宜宾二诊】若非零向量,a b ，满足a b =， ()20a b a -⋅=，则a 与b 的夹角为 A.6π B. 3π C. 23π D. 56π【答案】B【解析】 由()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即22aa b ⋅=，所以由向量的夹角公式可得1cos ,22a a b a b a aa b⋅〈〉===⋅⋅，又(),0,a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选B.8．【2017陕西师范附属二模】已知向量()1,1a =， ()24,2a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ）B. 2 D. 2- 【答案】C【解析】因为向量()1,1a =， ()24,2a b +=，所以()2,0b =，则向量,a b 的夹角的余弦2=；故选C. 9．【2017四川成都二诊】已知平面向量a ， b 夹角为3π，且1a =， 12b =，则2a b+与b 的夹角是（ ） A.6π B. 56π C. 4π D. 34π【答案】A10. 设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则||b c ⋅的值一定等于( )A ．以a ，b 为两边的三角形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积 【答案】C ．【解析】根据题意，可画出如下示意图，设OA a =，OB b =，OC c =，则|||||||cos ||||||sin |b c OB OC BOC OB OA AOB ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅∠，从而可知||b c ⋅的值为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．11.【重庆卷】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以23(cos 2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A . 12.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ） A.2- B.32- C. 43- D.1- 【答案】B 【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高考数学总复习课时作业第五章 平面向量、复数 第3讲 平面向量的数量积及其应用 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.(·兰州诊断考试)已知向量，满足·＝，＝，＝，则－＝( )解析－＝＝＝＝.答案.(·陕西卷)对任意平面向量，，下列关系式中不恒成立的是( )·≤ －≤－.(＋)＝＋.(＋)·(－)＝－解析对于，由·＝，恒成立；对于，当，均为非零向量且方向相反时不成立；对于、容易判断恒成立.故选.答案.已知＝(，－)，＝(，)，且∥，则＝( )解析∵∥，∴＝，解得＝－，∴＝(－，)，∴＝＝.故选.答案.(·广东卷)在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，＝(，－)，＝(，)，则·等于( )解析∵四边形为平行四边形，∴＝＋＝(，－)＋(，)＝(，－).∴·＝×＋(－)×＝，选.答案.(·重庆卷)已知非零向量，满足＝，且⊥(＋)，则与的夹角为( )解析因为⊥(＋)，所以·(＋)＝，得到·＝－，设与的夹角为θ，则θ＝＝＝－，又≤θ≤π，所以θ＝，故选.答案二、填空题.(·全国Ⅰ卷)设向量＝(，＋)，＝(，)，且⊥，则＝.解析由题意，得·＝⇒＋(＋)＝⇒＝－.答案－.(·台州调研)已知向量＝(，－)，＝(，－)，＝(－，－－)，若∠为锐角，实数的取值范围是；若∠为钝角时，实数的取值范围是.解析由已知得＝－＝(，)，＝－＝(－，－).若∥，则有(－)＝－，解得＝.由题设知，＝(－，－)，＝(－－，－).若∠为锐角，则由·＝＋＋>，可得>－；若∠为钝角，则<－.由题意知，当＝时，∥，且与同向.故当∠为锐角时，实数的取值范围是∪，当∠为钝角时，实数的取值范围是.答案∪.(·金华十校联考)已知平面向量，的夹角为，－＝，向量－，－的夹角为，－＝，则与的夹角为，·的最大值为.解析如图，设＝，＝，＝，则＝－＝，＝－＝，又∵∠＝，∠＝，∴，，，共圆，由正弦定理得∠＝∠＝，在△中，∠＝∠＝，由余弦定理得＝＋－∠，即≥－⇒≤(＋)，∴·＝·∠≤＋，当＝＝＋时等号成立，即·的最大值为＋.答案＋三、解答题.已知＝，＝，(－)·(＋)＝，()求与的夹角θ；()求＋；()若＝，＝，求△的面积.解()∵(－)·(＋)＝，∴－·－＝.又＝，＝，∴－·－＝，∴·＝－.∴ θ＝＝＝－.又≤θ≤π，∴θ＝.()＋＝(＋)＝＋·＋＝＋×(－)＋＝，∴＋＝.()∵与的夹角θ＝，∴∠＝π－＝.又＝＝，＝＝，∴△＝∠＝×××＝. .(·湖州一模)在△中，角，，的对边分别为，，，向量＝((－)，(－))，＝( ，－ )，且·＝－.。
专题1-3 平面向量数量积求解问题-2018版小问题大用途
【解析】如图所示，过 分别作 ，并分别交 于 ，
则 ，
所以 ，
为等腰直角三角形，所以 ，即 ，
所以 .学科@网
13．在 中，满足 ， 是 中点.
（1）若 ，求向量 与向量 的夹角的余弦值；
（2）若 是线段 上任意一点，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
试题解析：
（1）设向量 与向量 的夹角为 ,
A. B. C. D.
【答案】B
7．已知 ， ， ，平面 内的动点 满足 ， ，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，
∵ ，
∴ ,从而M轨迹为以N为圆心, 为半径的圆，
∴B，N，M三点共线时，BM为最大值。
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值是 ，
A. B. C. D.
【答案】A
5．设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于（）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】由 ， ， ，可得 ，如图所示，设 则 ， A,O,B,C四点共圆, ,由三角形的正弦定理得外接圆的直径 ,当OC为直径时,它的模 最大,最大为4,故选A.学科@网
6．长度都为 的向量 ， 的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 （劣弧）上， ，则 的最大值是（）
【答案】
【解析】由 是椭圆 的两个焦点，A、B分别为该椭圆的左顶点、上顶点，可得 ， ，设 ，因为点P在线段AB上，所以， ，故答案为 .
11．在平面直角坐标系 中，设 是圆 上相异三点，若存在正实数 使得 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
12．已知 ，点 在 内且 .若 ，则 __________．
2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第五章第三节平面向量的数量积及其应用Word版含解析
第三节平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． (3)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).1.利用坐标计算数量积的步骤本节主要包括3个知识点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16DC ，则AE ·AF 的值为________．[解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫23 BC －BA ·⎝⎛⎭⎫－712 BA ＋BC ＝712|BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.[答案] (1)D (2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．已知AB ＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5 C.322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB ＝(2,1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD |CD |＝1552＝322.2．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ·CD ＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 解析：选D 如图所示，∵BD ＝BA ＋BC ，CD ＝BA ，∴BD ·CD ＝(BA ＋BC )·BA ＝BA 2＋BC ·BA ＝a 2＋a ·a cos 60°＝32a 2.故选D.4．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a||b|cos 60°＝210×10×12＝10.答案：105.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24， 则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝1×2cos 3π4＋24×2＝－12.答案：－12突破点(二) 平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0 C．3 D.152[解析](1)在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．又AB ＝2a且|AB|＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B，C错误．所以(4a＋b)·BC ＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，D正确，故选D.(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)．∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3.[答案](1)D(2)C[易错提醒]x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题(1)a2＝a·a＝|a|2；(2)|a±b|＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.[例2](1)(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，那么|4a－b|＝() A．2 B．6C．2 3 D．12(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.[解析](1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cosπ3＝12.∴|4a－b|＝2 3.(2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.[答案] (1)C (2)233[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 第二步 分别求出这两个向量的模 第三步 根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值 第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.[答案] (1)A (2)223[易错提醒](1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线． (2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，①2a ·b ＋b 2＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0，∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.2.[考点三]已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C 设向量a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴|a |2＝－|a ||b |·cos θ，∴cos θ＝－|a |2|a ||b |＝－|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.3.[考点二](2016·兰州一模)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝10，故选B.4.[考点三](2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15解析：选A由已知得a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝3×2＋1×(－2)10×22＝55.5.[考点一]已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b 垂直，则k＝________.解析：∵a与b为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1，又a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线，∴cos θ≠－1，∴k＝1.答案：16.[考点二](2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．解析：在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，则b－a＝AC－AB＝BC，∵a与b－a的夹角为120°，∴B＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a|sin C，∴|a|＝sin Csin 60°＝233sin C，∵C∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴sin C ∈(0,1]，∴|a |＝⎝⎛⎦⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎤0，233 突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量与三角函数的综合问题[例1] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1. 又0<A <π，故π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， 所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2. [方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．平面向量与几何的综合问题[例2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1, 则AB 的长为________．(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE ·AF ＝1，则 λ的值为________．[解析] (1)设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·(AD －12AB )＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12.(2)由题意可得AB ·AD ＝|AB |·|AD |cos 120°＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2， 在菱形ABCD 中，易知AB ＝DC ，AD ＝BC ， 所以AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋13AD ，AF ＝AD ＋DF ＝1λAB ＋AD ，AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋13 AD ·⎝⎛⎭⎫1λ AB ＋AD ＝4λ＋43－2⎝⎛⎭⎫1＋13λ＝1，解得λ＝2. [答案] (1)12 (2)2[方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在△ABC 中，“△ABC 为直角三角形”是“AB ·BC ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若△ABC 为直角三角形，角B 不一定为直角，即AB ·BC 不一定等于0，充分性不成立；若AB ·BC ＝0，则AB ⊥BC ，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形，必要性成立．故“△ABC 为直角三角形”是“AB ·BC ＝0”的必要不充分条件． 2.[考点二]若非零向量AB 与AC 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |·BC ＝0且AB |AB |·AC |AC |＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形解析：选C 由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |·BC ＝0知，角A 的平分线与BC 垂直，∴|AB |＝|AC |；由AB| AB |·AC | AC |＝12知，cos A ＝12，∴A ＝60°.∴△ABC 为等边三角形．3.[考点一]已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则B ＝________.解析：由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0⇒tan A ＝3⇒A ＝π3.由正弦定理及a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ⇒sin C ＝sin 2C ⇒sin C ＝1⇒C ＝π2，所以B ＝π6.答案：π64.[考点一]已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的值域． 解：(1)∵a ∥b ，∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，tan x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝125. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin 2x －32＋12cos 2x ＋12＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤12， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上的值域为⎣⎡⎦⎤－22，12.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．8解析：选D 因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(1，m )＋(3，－2)＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.2．(2016·全国丙卷)已知向量BA ＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 因为BA ＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC ＝⎝⎛⎭⎫32，12，所以BA ·BC ＝34＋34＝32.又因为BA ·BC ＝|BA ||BC |·cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析：选A 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.4．(2016·全国乙卷)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2，∴a ·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.答案：－25．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ―→＝12(AB ＋AC )，则AB 与AC 的夹角为________．解析：由AO ―→＝12(AB ＋AC )，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB 与AC 的夹角为90°. 答案：90°6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：27．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋12AB ，那么AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ·(AD －AB )＝AD 2－12AB 2－12AB ·AD ＝4－2＝2. 答案：28．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．答案：32[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．已知|a |＝6，|b |＝3，向量a 在b 方向上的投影是4，则a ·b 为( ) A ．12 B ．8 C ．－8D ．2解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3×4＝12. 2．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( ) A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3 D ．6 3解析：选B 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B.3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( ) A ．2 B ．23 C ．4 D ．4 3解析：选B 由a ·(a －b )＝0，可得a ·b ＝a 2＝1，由|a －b |＝3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.所以(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，所以|2a ＋b |＝2 3.4．(2017·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：选B a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，所以向量a 与b 的夹角为π3.5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM ·DB 等于________． 解析：因为DM ＝DA ＋AM ＝DA ＋13AB ，DB ＝DA ＋AB ，所以DM ·DB ＝⎝⎛⎭⎫DA ＋13 AB ·(DA ＋AB )＝|DA |2＋13|AB |2＋43DA ·AB ＝1＋43－43AD ·AB ＝73－43|AD |·|AB |·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选A 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A 由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则(－λ)2＋(2λ)2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94D ．－94解析：选B ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n·(t m ＋n )＝0，即t m·n ＋|n |2＝0，∴t|m||n|cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n|2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B.5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.118解析：选B 如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. 6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝( ) A.12 B.1±22 C.1±102 D.－3±222解析：选A ∵BQ ＝AQ －AB ＝(1－λ)AC －AB ，CP ＝AP －AC ＝λAB －AC ，又BQ ·CP ＝－32，|AB |＝|AC |＝2，A ＝60°，AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos 60°＝2，∴[(1－λ)AC －AB ]·(λAB －AC )＝－32，即λ|AB |2＋(λ2－λ－1)AB ·AC ＋(1－λ)|AC |2＝32，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝32，解得λ＝12. 二、填空题7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 解析：由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 28．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 解析：∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.答案：2π39．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．解析：设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝⎛⎭⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点．答案：9 三、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m ||n |cos π3＝1×1×12＝12，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长．解：(1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)，对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，∴sin(A＋B)＝sin C，∴m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，cos C＝12，C＝π3.(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a ＋b.∵CA·(AB－AC)＝18，∴CA·CB＝18，即ab cos C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.。
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一、选择题1．(2016·玉溪月考)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3 C.3π4D.5π62．(2017·淄博月考)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6D ．2 23．已知平面上A ，B ，C 三点不共线，O 是不同于A ，B ，C 的任意一点，若(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a·b ＝3，若(c －2a )·(c －23b )＝0，则|b －c |的最小值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1D ．26．(2016·太原五中模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 37．(2016·延边期中)点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；③OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|；④(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( ) A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心8．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.712二、填空题9．(2016·高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为________．10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．11．(2016·开封冲刺模拟)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.12．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，当2x ＋y ＝t (t >0)时，|xAB →＋yAC →|≥22t 恒成立，则△ABC的面积为______，在上述条件下，对于△ABC 内一点P ，PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________.答案精析1．C [由题意，得a ·(a ＋b )＝0， 即a 2＋a·b ＝0，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， 解得cos 〈a ，b 〉＝－22. 再由〈a ，b 〉∈[0，π]，可得〈a ，b 〉＝3π4.]2．A [方法一 如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.方法二 记AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1， ∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A.]3．A [(OB →－OC →)·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →·(AB →＋AC →)＝0⇔CB →⊥(AB →＋AC →)，所以△ABC 是等腰三角形，故选A.]4．D [如图，在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 5．A [由题意得，〈a ，b 〉＝π3，故如图所示建立平面直角坐标系，设a ＝(1，3)，b ＝(3,0)，c ＝(x ，y )，∴(c －2a )·(c －23b )＝0⇒(x －2)2＋y (y －23)＝0⇒(x －2)2＋(y －3)2＝3，其几何意义为以点(2，3)为圆心，3为半径的圆，故其到点(3,0)的距离的最小值是2－3，故选A.]6．B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →.∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3. ∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|cos 〈EF →，FD →〉＝43cos 150°＝－6，故选B.]7．C [由三角形“五心”的定义，我们可得：①当OA →＋OB →＋OC →＝0时，O 为△ABC 的重心；②当OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →时，O 为△ABC 的垂心；③当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →| 时，O 为△ABC 的内心；④当(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0时，O 为△ABC 的外心．故选C.]8．C [建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE →＝λBC →，得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3?λ－1?，即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →，得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3?1－μ?.即点F (μ，3(1－μ))．又AE →·AF →＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1，3(λ－1))·(μ－1，3(1－μ))＝－23，②由①－②，得λ＋μ＝56.]9．2 5解析 根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a·b |a |＝4＋1625＝2 5. 10．4解析 由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 11．－89解析 由于MA →＝CA →－CM →＝－13CB →＋12CA →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →，故MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13CB →＋12CA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－29CB →2－14CA →2＋12CB →·CA →＝－29×22－14×22＋12×2×2×cos 60°＝－89.12．1 －58解析 因为|xAB →＋yAC →|＝x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →＝4x 2＋y 2＋4xy cos A ≥22t 恒成立，则由两边平方， 得x 2AB →2＋y 2AC →2＋2xyAB →·AC →≥12t 2，又t ＝2x ＋y ，则4x 2＋y 2＋4xy (2cos A －1)≥0， 则Δ＝16y 2(2cos A －1)2－16y 2≤0，则cos A (cos A －1)≤0，则cos A ≥0，A 的最大值为π2. 当cos A ＝0时，|xAB →＋yAC →|＝4x 2＋y 2≥22(2x ＋y )满足题意，所以此时S △ABC ＝12·AB ·AC＝1；在Rt △ABC 中，取BC 的中点D ，连接PD ，则PB →＋PC →＝2PD →，即PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →，当A ，P ，D 三点共线时，PA →·PD →<0，又此时AD ＝12BC ＝52，即有2PA →·PD →＝－2|PA →||PD →|≥－2×⎝⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－58，即有最小值为－58.。