数学分析&高等数学上试题

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则 ）A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,,sin x x k x k x x kx为常数）函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则（ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(，⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有（ ） A.⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ； C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：1 121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ＝ ；2)sgn(cos )(x x f =。

)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；3 )(x f ＝x 2sin , =)6()11(πf； 4 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(x xe f x F =，)(x F 的单调递减区间为 ；5=+⎰dx x f x f x f )(1)()(2' ；三、（满分36分，每小题6分）计算题：1、⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ; 2、把函数2xx e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;3、dx e arctg ex x ⎰-+11；4、xex f =)(2,计算积分dx xx f ⎰)( ；5、⎰+--dx x x x 2332 ；6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;四、（满分7分）验证题：由有“N -ε”定义验证数列极限 3225332lim220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'≠x f ，试证明：y ∆～0)(x x x df =，其中)()(00x f x x f y -∆+=∆ ；3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim''20a f ha f h a f h a f h =--++→ ； 4 试证明：0<x <2π时，有不等式 x sin >πx2 .（二）一年级《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）2、若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续； （ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4、ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 ； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：1、102862)12()12()2(lim+-+∞→n n n n ＝ ；2、曲线x x y ln =的所有切线中，与直线022=-+y x 垂直的切线是 ；3、)1ln(2x x y ++= ，=dxdy； 4、函数)(x f 二阶可导，)(x f ey = ， 则=22dx yd ； 5、把函数2)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，=)(x f ；三、（满分30分，每小题6分）计算题:1、xe x x x x x 3lim )1(2)1ln(4lim220--++→ ；2、求 ,3)( ,0)(0'0==x f x f xx x f x ∆∆-→∆)2(lim00；3、xx x xx x y sin cos cos sin +-=， 求dy ；4、x x y sin 2=， 求)80(y；5、210)lim (lim x x xx → ；四、（满分40分，每小题8分）证明题：1、设函数)(x f 在区间Ⅰ上满足Lipschitz 条件：L ∃>0，∈∀21,x x Ⅰ， 有)()(21x f x f -21x x L -≤ ，证明f 在区间Ⅰ上一致连续；2、证明函数1)(-=x x f 在点1=x 不可导 ；3、设函数)(x f 在R 内连续且+∞=∞→)(lim x f x ，试证明)(x f 在R 有最小值；4、设0<a <b ，)(x f 在[b a ,]上可导，在（b a ,）内可导，证明),(b a ∈∃ξ，使得[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- ；5、设函数f 和g 可导且0≠f ，又0)()()()(''=x g x f x g x f ，证明)()(x cf x g =，其中c 为常数.（三）一年级《数学分析》考试题一 对错判断题：1、设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n y x （ 2 1、、=n ）则n n n n y x ∞→∞→lim lim ；（ ） 2、若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； （ ）3、设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； （ ）4、若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;（ ）5、若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； （ ）6、① 当0→x 时，0)n (m )()()( nm nmxo x o x o +=+ ； （ ）② )(n 0a )(n 0n ∞→→⇔∞→→n a ； （ ） 7、若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导;（ ）8、)(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点321x x x 有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （ ） 9、若)(x f 在0x 二阶可导，则（()00,x f x ）为曲线)(x f y =的拐点的 充要条件为0)(0''=x f ； （ ） 10、若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 )( , ∞→∞←n x n ； （ ） 二 单项选择题：1、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0 ,0 , )1(1x k x x x 在0=x 处连续， 则=k （ ） A. 1 B. e C.e1D. －1 2、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=0 x 1 x10 2 x x x 当0=x 是不连续是因为 （ ） A.)(x f 在0=x 无定义 B.)(lim 0x f x →不存在C. )0()(lim 0f x f x ≠→ D.左，右极限不相等3、设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ）A. 不存在B. )('a ϕC. )(a ϕD. －)('a ϕ 4、当x 很小时，下列近似公式正确的是 （ ）A. x e x≈ B.x x ≈ln C. x x n +≈+11 D. x x ≈sin5、若)(x f 和)(x g 对于区间（b a ,）内每一点都有)()(''x g x f =，在（b a ,）内有 （ ）A.)()(x g x f =B.为常数）（2121 , c , )( , )(c c x g c x f ==D. )()(x cg x f =（c 为任意常数） D. c x g x f +=)()( （c 为任意常数）三 证明题：1 证明 9921lim =+++∞→nnnnn ;2 证明不等式：h h hharctan 12+ ； 3 对任意实数b a ,有)(212b ab a e e e+≤+ ； 4 证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在[]1,0内不可能有两个不同的实根； 5 设函数)(x f 在点0x 存在左，右导数，试证)(x f 在0x 连续； 6 证明：若极限0lim x x →存在，则它只有一个极限；四 计算题：1 写出x x f sin )(=的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2 求下列极限：① )1021(lim n n n n +++∞→ ；② xxx arctan lim0→ ；③ 11lim 1--→n m x x x ；3 求 )sin(b ax ey +=的微分；4 设函数)(x y y =的参量方程 ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos （π t 0）所确定，求dx dy.（四）一年级《数学分析》考试题一 叙述题：1 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0（A 为定数） 2 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子：1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限)122(lim n n n n ++-+∞→ ；2 求极限x n x-∞→-)21(lim ； 3 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式； 4 求xx xx n sin tan lim0--→；三、研究函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧+=0 x 10 x00 22 x x x 在0=x 处的左，右极限和极限； 四、研究函数求数集{}22x x s =的上、下确界，并依定义加以验证； 五、证明题：1 用定义证明： 35lim 22=+→x n ；2 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)3 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'x ∀,∈''x Ⅰ,有'''''')()(x x L x f x f -≤-证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；4 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()(2)()(lim''2a f ha f h a f h a f h =--++→ .（五）一年级《数学分析》考试题一 判断题：（满分10分，每小题2分）1、若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim； （ ）2、有限开区间（b a ,）内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界； （ ）3、设函数)(x f y =在点0X 的某领域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，（0→∆x ），则)(x f 在点0X 可导且)(0'x f A = ； （ ）4、ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，若对),(b a x ∈∀，0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； （ ）二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）1、函数)(x f 在点0x 连续的充要条件是 A. )0(0-x f 和)0(0+x f 中至少有一个存在； B. )0(0-x f 和)0(0+x f 存在且相等；C. )0(0-x f =)0(0+x f =)(0x f ;D. )(x f 在点0x 可导2、设函数f 定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz 条件，0 L ∃，使对∈∀21,x x Ⅰ，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在区间Ⅰ上 （ ）A. 连续但未必一致连续；B. 一致连续但未必连续；C. 必一致连续；D. 必不一致连续； 3、)(0''x f 定义为：A.x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 ；B. xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； C.'000))()((lim x x f x x f x ∆-∆+→∆ ； D. '000))()(lim (xx f x x f x ∆-∆+→∆ ；4、设函数)(x φ和)(x ψ在区间Ⅰ内可导)()(''x x ψφ=，则在该区间内有 （ ）A. )()(x C x ψφ=+，其中C 为常数；B. )()(x C x ψφ=, 其中C 为常数;C. )()(x x ψφ=;D. )()(x x ψφ≠;5、=)(x f ⎩⎨⎧+≥3 x , b ax 3, 2 x x 为使f 在点3=x 可导，应取（ ）A.3=a ，0=b ；B. 0=a ，3=b ;C.6=a ，9-=b ;D. 9-=a ，6=b ; 三 计算题：（满分30分，每小题6分）1、1)(2-=x arctg x f ，求hh f f h )25()5(lim+-→ ；2、x x y ln )(sin =，求dxdy； 3、x e y x cos =，求)5(y ； 4、)sin 11(lim 220xx x -→ ； 5、2)(-+=-x x a a x f ，其中0 a 且1≠a ，写出)(x f 的含4X 项且具Peano 型余项的Maclaurin 公式； 四 验证题：（满分16分，每小题8分）1、用定义验证函数x x f sin )(=在（∞+∞- , ）内一致连续； 2 证明函数x x f =)(在点0=x 不可导； 五 证明题：（满分24分，每小题8分）1、设函数f 和g 在[]b a ,内连续，若对任何有理数),(b a r ∈，有)()(r g r f =，则在[]b a ,内)()(x g x f =；2、设函数)(x f 定义在（∞+∞- , ）内，且∈∀x （∞+∞- , ）和h ，有2)()(Mh x f h x f ≤-+，其中M 为正实数，证明)(x f 是（∞+∞- , ）内的常数函数； 3、设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内二级可导，且0)(=b f ，)()()(2x f a x x F -=，试证明：∈∃ξ（b a ,），使0)(''=ξF .（六）一年级《数学分析》考试题一 判断题：（满分10分，每小题2分）1、设数列{}n a 递增且a a n n =∞→lim （有限），则有{}n a a sup =； （ ）2、设数列)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义，若对)(00x U x n ∈∀，当0x x n →时，数列{})(n x f 都收敛于同一极限，则函数)(x f 在带点0x 连续；（ ）3、设数列)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，若存在实数A ，使0→∆x 时，)()()(00x o x A x f x x f ∆=∆--∆+，则)(0'x f 存在且A x f =)(0'；（ ）4、若0)()(2'1'==x f x f ，)(0)(2''1''x f x f ，则有)()(21x f x f ；（ ）5、设⎰+=cx F dx x f )()(，⎰+=cx G dx x g )()(,则当)()(x G x F ≠时，有)()(x g x f ≠； （ ）二 填空题：（满分15分，每小题3分）1、∑+=+=161291n k n kn a ， =∞→n n a lim ；2、函数3ln 3)(--=x x x f 全部间断点是 ；3、)1ln()(2x x f +=，已知56)2()(lim000=--→h h x f x f h ，=0x ；4、函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 ；5、⎰+=c x dx x f 2sin)(，⎰=dx x xf )(' ；三 计算题：（满分36分，每小题6分）1、1111lim3-+-+→x x x ；2、求函数54)15(4)(+-=x x x f 的极值；3、⎰+12x xdx ；4、⎰++dx x x )1ln(2； 5、⎰+-+dx x x x 5232； 6、在边长为a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形（如右上图），然后折起来做成底为正三角形的盒子，求最大体积； 四 验证题：（满分7分）1、用“δε-”定义验证函数254)(2-+x x x f 在点20=x 连续；五 证明题：（满分32分，每小题8分）1、设函数f 在区间[]a 2,0上连续，且)2()0(a f f =，试证明：[]a c ,0∈∃，使)()(a c f c f += ；2、设函数)(x f 在区间Ⅰ可导，且导函数)('x f 在该区间上有界，试证明函数在)(x f 在区间Ⅰ上一致连续；3、设函数)(x f 在区间[]a ,0上二级可导，且0)(=a f ，)()(2x f x x F =，试证明：),0(a ∈∃ξ，使0)(''=ξF ;4、试证明：对R x x x n ∈∀ , , 21 ,有不等式nx x x nx x x nn2222121+++≤+++ .（七）《数学分析》Ⅰ考试试题一、叙述题1 叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；2 写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；3 叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性； 二、计算题1 求函数[]1 . 02 1 )(∈==x n x x f n ）、、（ 的上确界[])(sup 1.0x f x ∈ ；2 求极限4202cos limx ex x x -→- ；3 求不定积分⎰+dx x )1ln(2；4 设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,010 , x1cos x 2-1sin 222x x x x 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；三、讨论举例题1 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；2 指出函数[]xx x f 1sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型； 四、证明题1 用“N -ε”定义验证322312lim 22=+-∞→n n n ； 2 设0)(0' x f +，0)(0' x f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；3 证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何闭子区间上一致连续）。