【最新整理版】年中考复习《圆的基本性质》
中考复习《圆的基本性质》共20页PPT
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回。 ——左
【初中数学】初中数学圆的性质知识点归纳
【初中数学】初中数学圆的性质知识点归纳【—圆的性质归纳】圆是轴对称图形，圆也是中心对称图形。
圆的性质⑴ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等;②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L(R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长)④两相切圆的连心线过切点(连心线：两个圆心相连的直线)⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
(4)如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦。
(5)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
(6)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
(7)圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
(8)周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
在即将到来的期末考试之际，老师为大家送上初中数学圆的性质知识点归纳。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
九年级圆知识点总结
九年级圆知识点总结在数学中，圆是一个重要的几何概念，也是九年级数学课程中的重点内容之一。
掌握圆的基本性质和相关定理对于学好数学非常重要。
本文将对九年级圆的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握圆。
一、圆的性质1. 定义：圆是由平面内所有离定点相等距离的点组成的集合。
这个定点叫做圆心，相等的距离叫做圆的半径。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。
3. 圆的基本性质：在同一个圆或等圆中，以下性质成立。
- 圆心角相等：具有相同圆心的弧所对的圆心角相等。
- 弧长比：在同一圆或等圆中，弧长是半径的倍数。
- 弦长比：在同一圆或等圆中，弦长相等的弦所对的两条弧相等。
- 圆内任何一点到圆心的距离相等。
二、圆的重要定理和公式1. 弧度制：弧度是角度的补充单位，它是圆心角所对圆弧长度等于半径的角。
弧度与角度之间的换算关系是：弧度 = 角度× π / 180。
2. 圆周长：圆周长等于直径与π的乘积，即C = πd。
其中d为圆的直径。
3. 扇形面积：扇形面积等于圆心角所对弧所在圆的面积的比例，即S = (θ/360°) × πr²。
其中θ为圆心角的度数。
4. 弧长公式：弧长等于圆心角所对弧的弧度乘以半径，即L = θr。
5. 切线的性质：切线与半径的关系是垂直。
并且半径和切线在切点处相互垂直(T ⊥ R)。
6. 切线长：切线长等于半径与相切点到圆心的距离的乘积，即L = r × d。
三、圆的相关定理1. 内切圆定理：如果一个圆与一个三角形的三条边相切，则这个圆的圆心是这个三角形的内心。
2. 外切圆定理：如果一个圆与一个三角形的每一边都相切，则这个圆的圆心是这个三角形的外心。
3. 正切线定理：如果一条直线与一个圆相切，则这条直线垂直于半径，并且相切点处的切线与直线为垂直关系。
4. 弦弧定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧相等。
综上所述，九年级圆的知识点包括圆的性质、圆的重要定理和公式，以及圆的相关定理。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
初中数学圆的基本性质知识点总结归纳
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，圆心角的运用一直以来是会考或中考中涉及到的知识点，现在同学们对其的了解已经很深了吗。
1.半圆或直径所对的圆周角是直角.
2.任意一个三角形一定有一个外接圆.
3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的'点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.
4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
6.同圆或等圆的半径相等.
7.过三个点一定可以作一个圆.
8.长度相等的两条弧是等弧.
9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.
10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。
看过初中数学知识点大全之圆的基本性质，相信现在同学们对其的了解已经很深了吧。
如果想要了解更多更全的初中数学知识就来关注吧。
北师大版九年级数学下 第21讲 圆的基本性质 中考知识点梳理
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,
∠A=1/2∠O.
图a图b图c
( 2 )推论：
初三数学知识点总结圆的基本性质的复习
初三数学知识点总结圆的根本性质的复习第七章圆的根本性质的复习初三〔〕班姓名＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿一、主要知识点： 1.点的轨迹是符合某些条件的所有点组成的图形. ．．．．注：分析点的轨迹图形时，先描出几个符合条件的点，再猜测这些点会构成什么图形. ．．．．．．2.垂径定理：过圆心且垂直于弦的直线，平分这条弦，且平分弦所对的弧. 注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径，构造Rt△，再结合勾股定理求解.3.推论：圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同圆或等圆中，以下四个条件中的一个成立，那么它们所对应的其余条件都成立：．．．．．．〔1〕弧相等；〔2〕弦相等；〔3〕圆心角相等；〔4〕弦心距相等.5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角＝它所对的圆心角的一半. 或：一条弧所对的周角的度数＝这条弧的度数的一半.6.推论1：同弧〔或等弧〕所对的圆周角相等.逆：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 7.推论2：直径所对的圆周角是直角.逆：90°的圆周角所对的弦是直径. 8.〔1〕圆内接四边形，对角互补；〔2〕圆内接四边形，任一外角等于它的内对角.9.圆中要确定圆周角与圆周角〔或圆周角与圆心角〕的关系通常先观察它们所对的弧. 10.〔1〕要经过两点作圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上；．．．．．．〔2〕要作圆经过△的三个顶点，一般先作△两边的垂直平分线，以两线的交点为圆心. ．．．．．．．．．．二、复习练习：1.⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A在⊙O＿＿＿；当OP＝10时，点A在⊙O＿＿＿；⊙O中有弦AB，弦心距为16cm，那么AB＝＿＿＿＿.3.如图，⊙O中，弦AB与⊙O的半径相等，那么∠AEB＝＿＿＿＿.⊙O内有点A，OA＝4，过点A的最长的弦长为＿＿，最短的弦长为＿＿. 5.⊙O 中， EF 的度数为110°，点A是⊙O上另一点，那么∠EAF＝＿＿＿＿＿＿＿. 6.线段AB，到点B的距离等于1AB的点的轨迹是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.∠∥CD，且两直线的距离为5cm，那么到这两条直线距离相等的点的轨迹是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9. 如图，⊙O中有直径AB、CD，弦CE∥AB，CE 的度数为70°，那么∠BOC ＝＿＿＿，∠BOD＝＿＿＿.10.如图，正方形ABCD内接于圆，E是 CD 上一点，F是上一点，那么∠BEC ＝＿＿＿，AD∠AFD＝＿＿＿.11.如图，A、B、C、D四点在圆上，延长AB至E，那么图中相等的角有＿＿对，分别为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⊙O，延长AB至E. 假设∠A＝70°，那么∠C＝＿＿＿；假设∠CBE＝130°，那么∠D＝＿＿＿，∠AOD＝＿＿＿.13.△的外心是△两边的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；锐角三角形的外心在三角形＿＿＿， Rt△的外心在＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，钝角三角形的外心在三角形＿＿＿. 14.以下说法正确的选项是〔〕.A. 弦是直径B.两个半圆是等弧C.长度相等的两条弧是等弧D.直径是弦 15.以下正确的选项是〔〕.A.过三点一定可以作一个圆B.一个圆只有一个内接三角形C.△的外心到△各顶点的距离相等D.同弦所对的圆周角相等 16.以下正确的选项是〔〕.A.两个圆心角相等，它们所对的弧相等B.两弧的度数相等，那么两弧相等C.同弧所对的角相等D.同圆中，弦越长弦心距越短⊙O中，有弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么两弦的距离为〔〕. A.17cmB.7cmC.10cmD.7cm或17cm 18.⊙O中， AB 的度数为150°，点C是圆 AB 上一点，那么∠°°°° 19.：点A、B. 求作：〔1〕⊙O，使它过点A、B，且AB不是最长的弦；．．〔2〕等腰△ABC内接于⊙O，且AC＝BC. 〔思考：AB＝AC又怎样？〕AB20.：线段a、b、c.求作：〔1〕△ABC，使BC＝a，AB＝c、AC＝b；〔2〕⊙O，使它过点B、C，且点O在AB上.abc21.圆形破残的轮片还保存一段弧，请作出圆心，把整个圆作出，并写出作法.22.圆弧形桥拱的跨度为30m，拱高为12m. 求桥拱的半径〔精确到0.1米〕.23.在直径为130mm的圆铁片上切去一块弓形铁片〔如图阴影局部〕，弦AB的长为112mm. 求切去的弓形的高AOB24.△ABC内接于圆，且AB＝AC，弦AE交BC于D. 求证：AB?AD?AE. 2ABDEC25.△ABC内接于圆，D是的中点，E是 AC 的中点，DE分别交AB、AC于K、M. AB求证：AK?AM?DK?EM.26. BC是半圆的直径，A是半圆上一点，AD⊥BC于D，，BF交AD于E. AF=AB求证：AE＝BE.DKMAEBCAFBEDOC27.△ABC内接于⊙O，CE是高，CM是直径，据图写出四条线段成比例，并证明你的结论.⊙O的直径，D是弦AC上一点，AB上是否存在一点E，使AD?AC?AE?AB 假设不存在，请说明理由；假设存在，请指出点E在何处，并证明你的结论.29.如图，四边形ABCD内接于圆，连结AC、BD，延长BA至E，假设BD＝CD，那么∠EAD与∠DAC有何关系？证明你的结论.COAMEBDAOCBEDABC30.四边形ABCD内接于圆，DE∥AC，交BA的延长线于E，交圆于F. 求证：AD?CD?AE?BC.⊥CD，弦AF的延长线交CD的延长线于E. 求证：DF?AC?AF?DE.⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F. 在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形，直接观察你所画的图形，写出一个各图形都有的两条线段相等的结论，并选择其中一个图形证明你的结论.。
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课前热身
1.下列说法中，正确的是 ( C ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆
2.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为
A.30° B.150°
( A)
C.60° D.120°
3、已知⊙O的面积为16π . （1）若PO＝2.8，则点P在⊙O_______. （2）若PO＝4， 则点P在⊙O_______. （3）若PO＝5.8，则点P在⊙O_______.
BC
A
O
典型例题解析
【例2】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分
油，油面宽320mm，求油的深度.
【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图(1)和(2)
图(1)中 OC= OB2 BC2 2002 1602 =120(mm) ∴CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) ∴CD=OC+OD=320(mm)
要点、考点聚焦
5.有关定理及推论 (1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)垂径定理及其推论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧.
推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧.
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧.
推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧.
A．35° C．110°
B.70° D.140°
已知:如图,在◇ABCD中以A为圆心,AB为半径,画圆交AD,BC
于F,G,延长AB交⊙A于E,求证:
EF=FG
E
A
F
D
BG
C
一条３０米宽的河上架有一半径为２５m的圆弧形拱桥，请问
一顶部宽为６米且高出水面４米的船能否通过此桥，并说明理
由．
E
D
F
A
C
第十六讲：
圆的基本性质
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、 圆周角、弦心距、弧之间的关系.
2.圆的定义 (1)是通过旋转. (2)是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）如何确定一个圆
3.点和圆的位置关系(圆心到点的距离为d)
4、已知⊙O的直径为10cm，弦AB为
8cm，P是弦AB的一个动点，那么OP
长的取值范围是
.
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°,则∠BCD 等于( B )
A.140°
B.110° C.70° D.20 °
5.已知⊙O的半径为2cm,弦AB所对的圆周角为60°,则弦 AB的长为( C )
A. 2cm
B.3cm
C. 2 3 D. 3 A
6.如图,AD是△ABC的外接圆直径,AD= 2
∠B=∠DAC,则AC的长为(
1
C
)
A
A. 2
B. 2
2
C.1
D. 不能确定
O
O
B
D
C
B
C
D
C
D
B
O
O
F
A
E
C
A
B
7.已知:如图,AB,CD是⊙O直径D,D是AC中点,AE与CDE交于F,
OF=3,则BE= 6 .
D
1
2
A
O
例4:如图,AC是⊙O的直径,弦BD 交AC于点E.
(1)△ADE～△BCE吗？
说明理由;
(2)若CD=OC,求sinB的值.
A
解: (1) △ADE～△BCE
D EC
O B
∵ ∠A=∠B, ∠D=∠C
∴ △ADE～△BCE (2) 若CD=OC,
则AC=2DC,
又∵ AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90°
8.如图,DE ⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则 CD= 9 ,OC= 4 .
9.已知⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16, 则弦AB与 CD的距离为 2cm或14.cm
例题讲解
• 例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长 为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
课时训练
1.(2004·吉林省)如图所示，弦AB的长等于⊙O的半 径，点C在AmB上,则∠C= 30° 。
课时训练
2.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么
Байду номын сангаас
这条弦所对的圆周角为
(D )
A.60° B.120°
C.45°
D.60°或120°
3.(2003年·江苏苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O， 若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( D )
(1)
d=r.
(2)
d＜r.
(3)
d＞r.
要点、考点聚焦
4.与圆有关的概念 (1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点间的部分. (4)优弧：劣弧、半圆. (5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. (6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. (8)三角形外心及性质.
练习．已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦AC=8,D是弧AC 中点,求CD的长.
B
O
53
A
E
4
2
D2
C
5
例题讲解
• 例3、如图，在⊙O中，AC=BD，
• (1)图中有哪些相等关系？
• (2)如果∠1=45°，求∠2的度数。
• (3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45°
求∠BDA的度数．
C
B
sin B sin A DC
1
AC
2
典型例题解析
【例5】(2003年·广州市)如图，A是半径为5的⊙O内的 一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有 ( A )
A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于 OA的弦长BC=2 OB2 OA2 =8即过A点最短的弦长为8，故 没有弦长 小于8的弦，∴选(A)
B
O