高等代数行列式计算方法
行列式的计算方法(最全版)PTT文档
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方法3 拆行（列）法
由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再 得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
例3 求解行列式
axby aybz azbx D aybz azbx axby
azbx axby aybz
解 按第一列拆开,再提公因子得
x a ybza zbx y a ybza zbx Day a zbxa xbybz a zbxa xby
z a xbya ybz x a xbya ybz
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
xyz D= ( a 3 b 3 ) y z x
行列式的计算方法
行列式的计算是高等代数中的难点、重 点，特别是高阶行列式的计算，学生在学 习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握
计算高阶行列式的方法很多，但具体 到一个题，要针对其特征，选取适当的方 法求解。
方法1 定义法
利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。
例1 求下列行列式的值
zxy
方法4 降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.
它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低 阶行列式与原行列式有相同结构的情况。
例4 求解下列行列式：
x y 00 0
Dn anxDn1 ①
把 Dn-1 按同样的方法展开得
高等代数第一章行列式第二讲
（其中第一个行列式从最后一行起，每行减前一行，第二个行列式按 最后一列展开。）
练习
1、计算
1 2 3 n 2 1 2 n-1 3 2 1 n-2 4 3 2 n-3 n n 1 n 2 1
Dn
提示： Dn=(-1)n+1(n+1)2n-2 （从最后一 行起，每行减前 一行，然后在每列上加上 第一列）
1+a1x1 Dn 1+a1x 2
2+a 2 x1 1 a 2 x1 a1x1 2+a 2 x 2 1 a 2 x 2 a1x 2
2 (x1 x 2 )(2a1 a 2 ) 2
当n 1时，D1 1 a1x1
（6）变换元素法：将行列式的每个元素加同一个数.
令D= ij
1 1 =x （a1 -x）（a n -x）( + + x a1 -x + 1 ) a n -x
（7）加行加列法：在行列式中加一行一列后再计算。
4、计算 1 2 x1
n x1
1 2 x2 xn 2 1 x2 2 x2
n x2
1 2 xn xn n 1 xn 2 xn
n xn
1 x1 2 解：考虑D= x1
1 ) (x i x k ). x n 1 k i n 1 1 1 x n ( + + + ) (x i x k ) x x2 x n 1 k i n 1 + ) (x i x k ) x n 1 k i n +
（8） 拉普拉斯展开法（Laplace）：
利用Laplace公式：D=M1A1+M2A2+…+MtAt计算。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)(一）行列式的定义及相关公式 (2)（二）n级行列式的性质： (4)二、行列式的计算 (6)（一）行列式的基本计算方法 (6)1、定义法： (6)2、三角形法： (7)3、降阶法： (12)4、换元法： (14)5、递推法： (15)6、数学归纳法: (16)7、目标行列式法： (18)(二）行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念.行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。
辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first，moreover all has the widespread application in other discipline branches，we can say that it is an important study tool which in mathematics，the physics as well as the engineering course many curricula。
高等代数行列式计算方法
行列式计算方法1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 按行（列）展开 ─ 降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.3、 利用7条基本性质，化为三角形行列式4、 其他方法1）、析因子法例：计算221123122323152319x D x-=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =， 1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0D =， 2x ∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+-设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0x =，则112312231223152319D ==-，即：1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-2）、可转为箭形行列式的行列式：箭形行列式：01211122,0,1,2,3.n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=箭形行列式解法：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的i ic a -倍加到第1列，得：11201()ni i n n i ib c D a a a a a +==-∑注：某些行列式可转为箭形行列式计算，例如12111111)1111na a a a +++12)na x x xa xb x xx a方法：第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习． 3）、行（列）和相等加于第1列（行）()1 (1)1(1)1)(1)(1)1a b ba nb b b b b b a b a n ba b a b a a n b bbaa nb b aba+-+-=+-+-都加于第列提出公因子()121100()(1)00n b b a b a b a n b a b--=-+--第至第行分别减去第行1 1231123123411341(1))211321132122111221n n n n n n n n b n n n n n n n nn n n n --+---------都加到第列提取公因子123101111(1)20111101111n nn n n n n--+--减去 从最后一行起逐行其前一行111111(1)111121111n n n n n n--+--依第列展开111110(1)200n n n n n n n n ---+- 从最后一行起逐行减去其前一行1111(1)20n nnn n nn---+--从最后一列起逐列加上其前一列(1)(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n nn nn n-+--++=--=-4）、加边法适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化简可转为箭形行列式．加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会．a ） 1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++=≠+b ） 12121212120,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：a ）12112122121000n n nn n na a a ab a a D a a b a a a a b +++加边121211001001n na a ab b b ---都减去第一行11111211001b 0(1).ni n i ij nni n i ia a ab b j b a b b b b =-=+=+∑∑第列的倍加于第一列（j=2,3,,n+1）b ） 2112121111222212121111101001n n n nnnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a ++++----++--++都减去第一行加边1212111111222222223n 21100001011101011120011020112n n nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a +++--------------再加边第至列都减去第列12112221220111012120012102022102n nnn a a a a a a a a a +-------- 第列乘以3n 21122(3,42)jj a j n +-=+ 第至列都加于第列第列的倍都加于第列12121111112211122002000002002i n i nn a n a a a a a a a -------∑∑22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n i i n n i j jin a a a a a a a n a n a -=-=-=----∑∑∑注意：A B A CC=5）、三对角型行列式── 递推公式法a ）9500495004900095049n D =解：1121150049594920,549nn n n n D D D D -----=-按第列展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=- 于是有 221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n-= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n nn n n n D D D D D D ------=-==-=-= 即1111545445nn n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭方法总结：先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）．0001000100.00001n a b ab a b ab a b b D a b ab a b+++=++）解：121()nn n D a b D abD --+-按第列展开∴ 211221()()n n n n n D a D b D a D b D a D -----=-==- 且 211221()()n n n n n D b D a D b D a D a D-----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221 ();n n n n D aD b a ab b a ab b ---=++--=∴ 22221().n nn n D bD aa ab b a ab a ---=++--=由以上两式解得： 11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩6） 拆项法（主对角线上、下元素相同）12)n n a x a a a a x a a D aaa x ++=+解：11221100nnn n a x a a a x a a a a x a a a x a D aa a x aaa--+++++依最后一列拆开1211n n n a x a a a a x a x D aaa--++=+12111n 00000n n n x a x a x D a--+第一个行列式第至列都 减去第列1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x xaxD x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得：111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++但 1212122a x a D a x a x x x aa x+==+++ 所以：121211221323()n n n n n n n D x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,注：也可以用加边法做 1111011n nn a a a a a x a x a D aaa x x +-==+-111101,200ni ii na a a x x i n x a x =+≠==∑当时, b ） n a b b b ca b b D cc a b ccc a = 解：000nc b b b a c b b b ca b b a b b D c c a b c a b cccacca-+依第一列拆开111()11n nb b b a b bc a c D c a b c ca -=+-11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc ba b--=+------11()()n n c a b a c D --=-+-①又：000nbb b b a bc a b b c a b b D c c a b c c a b cccaccca-+依第一行拆开11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+-11()()n n b a c a b D --=-+-②所以：a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()nnn c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n nn n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，7）、 数学归纳法a ） 证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑(120n a a a ≠ )证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，则对于1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得：1122111110111111101111011*********11111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++1211101100111011111k k k a a a D a +=+ 121k k k a a a a D +=+ 121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．b ） 证明：cos 112cos 112cos cos 2cos 112cos 112cos n D n ααααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立．2n =时，22cos 12cos 1cos 212cos D αααα==-=，结论成立．假设当1n k =-、2k -时结论成立，则当n k =时，将k D 按第k 行展开得：11cos 1012cos 1012cos 2cos (1)102cos 011k kk k kD D ααααα+++=+-111cos 112cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D αααααα++--=+-=-由归纳假设，得：12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．c ） 计算：22222121221212n a aa aa D a aa aa=解：分析 12D a =；2222312a aD a a==；2233212412aaD a aaa==；……，于是猜想：(1)nn D n a=+同c )方法用数学归纳法证明（自证）． 8） 有关范德蒙行列式范德蒙行列式：122221212221211112111()n n ni j j i nn n n n n n n nx x x x x x Dx x xxxx x x ≤<≤------==-∏证明： 12222122221211112111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x ------=1n x 第行开始，每行减去其前一行的倍211222113322112222111110()()0()()0()()n n n n n n n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------1依第列展开2131n 12213212122222132121()()()()()()n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------提出每列公因子232222131n 12322223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x ------2131n 11()()()n x x x x x x D -=---于是：213141n 13242n 22213141n13242n 2()()()() ()()() ()()()() ()()() n n n D x x x x x x x x D x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x --=-------===------- n 1 ()n x x --简写为： 1222212111112111()n n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏a ） 12222122221212111n nn n n n n n n n nx x x xxxD xxxx x x---=解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()n n n n n n nnnnnnn x x x x x x x xf x x x x x x x x x----+=（1）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（2）视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏b ） 2221212111nn n n n nxxxD xxx=解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x xxxxg x xxxx x x xx----=（3）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（4）一方面，由（3）知n D 是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-于是将()g x 按其第1n +列展开，即知()g x 中x 的系数为3(1)n n D +-另一方面，由()f x 的表达式（4）知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏∴ 323121211(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x +-≤<≤-=-+++-∏∴ 2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤=-+++-∏。
计算行列式的方法
计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。
行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。
行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。
这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。
方法二，利用性质简化计算。
行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。
比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。
通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。
方法三，高斯消元法。
高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。
通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。
这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。
方法四，利用特殊矩阵的性质。
对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。
这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。
方法五，利用行列式的几何意义。
行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。
通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。
综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。
希望以上内容对您有所帮助。
高等代数 第二章 行列式计算方法小结
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ab a b 1 ab
展开 按 c 1 D ( a bD )n a b D n 1 n 2
n 2 D a D b ( D a D ) b ( D a D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
n 2 D b D a ( D b D ) a ( D b D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
1 又，当 x 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 2时，3，4行相同，有 D 0, 当 x
为D的根． x 2
1 , 1 , 2 , 2 故 D 有4个一次因式:xxxx
行列式的计算
设 D a ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) , 令 x 0, 则
1 xx 0 Dx xx ( 1 a ) 当x 时, 12 n n 12 n x i 1 i
行列式的计算
n
0 ( i1 , 2 n ) 当x 时也可以用加边法做： i
D n
1 a 0 a x 1 a a
n
a a a xn
1 a 1 x1 1
a 0 xn
1 1 a a i 1 x i Dn 0 x1 0
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式 1 1 11 x1 x2 xn x x21 x22 x2n x2 f ( x)
xn11 xn12 xn1 xn2
行列式的计算
xn1n xn1 xnn xn
( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2 n i j
行列式的计算
行列式的计算方法
行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
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第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。
由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。
若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。
例1 计算n 级行列式0000102010000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2 计算n 级行列式111212122212n nn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。
故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。
例4 计算n 级行列式n xb b b bx b b D bb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n bx b b D x n bb x bx n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]1000(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解 将其他各列全部加到第一列，可得11211121112111231n i n i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。
例6 计算n 级行列式112131n a a a a a a a a D aaa aaaaa n++=++.解 利用加边法.110110210n n a a a a a a aa aD D aaa n+++==+11100112110a a a n--=-将n D 的第二列乘1，第三列乘2，…，第1n +列乘n 并都加到第一列，可得1101001002100nk n ka aa a D n=+=∑=(1)1[1]2!n n a n ++ 2.5 降级法按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。
此方法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。
例7 计算n 级行列式12342345134562432131231n n D n n =-. 解 观察行列式的每行之和为定值（1+2+…+n ），因此将各列加到第一列后，则12341345114562(1)13213211231n n n n D n +=-12340111101111(1)01111201111n n n n n-+=- 由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。
即第二行减第一行，……第n 行减第1n -行得11111111(1)21111nn n n n --+=-(1)(2)2111111(1)(1)2111n n nn n nn----+=-- (1)(2)22(1)(1)(1)()2n n n n n n ---+=---(1)12(1)2n n nn n n --+=-2.6 归纳法通过计算一些初始行列式123,,D D D 等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。
例8 计算n 级行列式cos 10...0012cos 1 (000)12cos ...00..................000...2cos 10...12cos n D θθθθθ=.证明 由于122cos ;cos 12cos 1cos 2.12cos D D θθθθθ===-=3cos 102cos 11012cos 1cos 12cos 12cos 012cos D θθθθθθθ==-2cos (4cos 1)2cos cos3θθθθ=--=所以当1,2,3n =时，结论成立。
猜想：cos .n D n θ=以下用数学归纳法证明 当1,2,3n =时已成立。
假设1,n k n k =-=时的行列式猜想成立，即1cos(1),cos k k D k D k θθ-=-=。
下证明1n k =+时行列式结论也成立。
现将按最后一行展开，得112cos k k k D D D θ+-=-由归纳假设，12cos cos cos(1)k D k k θθθ+=--2cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos(1)k k k k k k θθθθθθθθθθθ=--=-=+所以对一切自然数n 结论成立。
综上所述cos .n D n θ=2.7 递推法利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值 。
例9 计算n 级行列式1231...............n n na y y y y x a y y y x x a yyD x x x a y xxxxa -=.解 由行列式性质，按最后一列展开得1231...0...0......0...n n n a y y y y x a y y y x x a yy D x x x a y xxxxy a y-+++=++-1231...............n a y y y y x a y y y x x a yy x x x a y xxxxy -=1231...0...0......0...n n a y y y x a y y x x a yx x x a xxxxa y-+-12311...00...000...()000...0...n n n a x y x y x y x a x y x y x a x y xa y D a x xxxxy-----------=+--111()()n n n i i a y D y a y --==-+-∏行列式转置同理有 n D 111()()n n n i i a x D x a y --==-+-∏若x y =，解得：122()()n nn n i j i i j iD a a y y a y ==≠=-+-∑∏∏若x y ≠，解得：111[()()]n nn i i i i D x a y y a x x y ===----∏∏ 2.8 拆分法把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。
例10 计算n 级行列式...........................n x a a a bx a a D bbxab b b x=. 解 将n D 第一行元素拆为...........................n x a a a b x a a D bbxab b b x=...........................a a a ab x a a bb x a bbbx=00...0........................x a b x a a b bx abb b x -+11()()n n a x b x a D --=-+- （1） 再将n D 第一列元素拆为()...0...0..................0...n x b b a a a bx a a D b bx abb b x -++=++...0...0 0...x b a a ax a a bx a b b x -=...........................b a a a b x a a b b x a b b bx+11()()n n x b D b x a --=-+- （2）.联立上述（1），（2）两递推公式1111()()()()n n n n nn D a x b x a D D x b D b x a ----⎧=-+-⎪⎨=-+-⎪⎩. 当a b ≠时()()n nn b x a a x b D b a---=-当ab =时[]1(1)()n n D x n a x a -=+--.第3章 几类特殊行列式的计算方法3.1 一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即12112212000n n nna a a a a a -=-- （n 为奇数）2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即1112122200n n nna a a a a a 11212212000n n nna a a a a a=11220000nna a a =1122nn a a a =3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即111,11212,1100n n n n a a a a a a --12,121,1000n n nn n n nna a a a a a --=.1(1)2,1212,1110000(1)n n n n nn n n a a a a a a ---==-4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111m n m mm n nna ab b a a b b =11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111(1)m nmnm mm n nna ab b a a b b =-3.2 箭形行列式对于形如的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。