2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）下面四个关系中正确的是（）A．∅∈{0}B．a∉{a}C．0⊆{0}D．{a，b}⊆{b，a} 2．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 3．（5分）函数f（x）＝x+的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1B．2C．4D．55．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x+1）的定义域为（）A．[0，2]B．C．[1，5]D．[0，5]6．（5分）已知命题p：∃x＜y，使得x|x|≥y|y|，则￢p为（）A．∃x≥y，使得．x|x|≥y|y|B．∀x≥y，总有x|x|＜y|y|C．∃x＜y，使得x|x|＜y|y|D．∀x＜y，总有．x|x|＜y|y|7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]8．（5分）咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓咖啡的中国市场的最有效的方式之一．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以用以上4种优惠方式中选择不多于2种使用．现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利．A．28B．29C．30D．31二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，则（）A．A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}B．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}C．A∩B＝{﹣1，0，1}D．A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}10．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1B．f（x）＝x0与g（x）＝C．f（x）＝与g（x）＝D．f（x）＝2x﹣1（x∈Z）与g（x）＝2x+1（x∈Z）11．（5分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y＝|x|B．y＝x+3C．D．y＝﹣x2+4 12．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，x∈[0，a]，a为大于0的常数，则f（x）的值域可能为（）A．[﹣4，﹣3]B．R C．[﹣4，10]D．[﹣3，10]三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）若函数y＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．14．（5分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的条件．15．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列四个命题正确的有．①ab有最大值；②有最大值；③a2+b2有最小值；④a2﹣b2有最小值四、解答题（本题共6小题，共70分，17题10分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设集合U＝R，A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|x2﹣5x+4≥0}，C＝{x|x＜a}．（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）若B∩C＝C，求a的取值范围．18．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立．且满足f（xy）＝f（x）+f（y），f（2）＝1．（1）求f（4）的值；（2）求不等式f（x）+f（x﹣2）＞3的解集．19．（12分）已知函数f（x）＝x|x|﹣2x，x∈R．（1）求y＝f（x）的奇偶性；（2）画出函数y＝f（x）的图象；（3）求y＝f（x），x∈[﹣4，2]的值域．20．（12分）p：关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0，q：关于x的不等式．（1）记A＝{x|p（x）}，求A；（2）若q是p的必要不充分条件，求实数a的范围．21．（12分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？（2）为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？22．（12分）函数，x∈[2，+∞），g（x）＝x2+ax+3，x∈M．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若M＝[﹣2，2]，求使g（x）≥a恒成立时a的取值范围；（3）若a＞﹣3，M＝[2，+∞），∀x1∈[2，+∞），∃x2∈M，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）下面四个关系中正确的是（）A．∅∈{0}B．a∉{a}C．0⊆{0}D．{a，b}⊆{b，a}【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断正确选项即可．【解答】解：∅⊂{0}；a∈{a}，0∈{0}，所以A、B、C都不正确；{a，b}⊆{b，a}，正确；故选：D．【点评】本题考查元素与集合，集合与集合的关系的判断，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤1}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x≤1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）函数f（x）＝x+的图象是（）A．B．C．D．【分析】通过函数的奇偶性平常选项，利用特殊点的位置判断即可．【解答】解：函数是奇函数，排除A，B，当x＝1时，f（1）＝2．排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是判断函数图象的常用方法．4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1B．2C．4D．5【分析】﹣2在x＜0这段上代入这段的解析式，将4代入x≥0段的解析式，求出函数值．【解答】解：f（﹣2）＝4f[f（﹣2）]＝f（4）＝4+1＝5故选：D．【点评】本题考查求分段函数的函数值：据自变量所属范围，分段代入求．5．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x+1）的定义域为（）A．[0，2]B．C．[1，5]D．[0，5]【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，∴函数y＝f（2x+1）中，0≤2x+1≤2，∴﹣1≤2x≤1，即﹣≤x≤，∴函数y＝f（2x+1）的定义域为[﹣，]．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，属于基础题．6．（5分）已知命题p：∃x＜y，使得x|x|≥y|y|，则￢p为（）A．∃x≥y，使得．x|x|≥y|y|B．∀x≥y，总有x|x|＜y|y|C．∃x＜y，使得x|x|＜y|y|D．∀x＜y，总有．x|x|＜y|y|【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题的否定的全称命题，则￢p：∀x＜y，总有．x|x|＜y|y|，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣1）的值，结合函数的单调性分析可得﹣1≤f（x﹣2）≤1⇔f（﹣1）≤f（x﹣2）≤f（1）⇔﹣1≤x﹣2≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）在R上为奇函数，在[0，+∞）上单调递减，且f（1）＝﹣1，所以f（x）在R上单调递减，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，则﹣1≤f（x﹣2）≤1等价于f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），所以﹣1≤x﹣2≤1，解得1≤x≤3，即x的取值范围是[1，3]．故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性与奇偶性的综合，属于中档题．8．（5分）咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓咖啡的中国市场的最有效的方式之一．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元/杯，其原材料成本为7元/杯，营销成本为5元/杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以用以上4种优惠方式中选择不多于2种使用．现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（）人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利．A．28B．29C．30D．31【分析】首先因为无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利，转化为当最优的购买方式购买时门店照样盈利，先分析用哪种优惠方式是最优购买，因为11.4×5+30×1＞11.4×2+15×4，所以最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡，故要想盈利必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，后面再依次分析人数越多时何时品牌门店都能盈利即可得到答案．【解答】解：由题意知，咖啡产品原价为30 元/杯，成本为12 元/杯，优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元；优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元，最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡（11.4×5+30×1＞11.4×2+15×4，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡），故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技术人员人数一定多于5+20＝25人；技术人员在26﹣29人时，免单购买5杯咖啡+买5送5购买20杯咖啡+3.8折购买1至4杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡+3.8折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利3×24﹣60﹣0.6＝114元；由于11.4＞0.6 4，故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利．故选：C．【点评】本题考查函数的实际应用，考查了分类讨论思想，将文字语言转化为数学语言是本题的关键，属于难题．二、选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|（x﹣1）（x+2）≤0}，则（）A．A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}B．A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}C．A∩B＝{﹣1，0，1}D．A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}【分析】可求出集合B，然后进行交集和并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤1}．故选：AD．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，列举法和描述法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1B．f（x）＝x0与g（x）＝C．f（x）＝与g（x）＝D．f（x）＝2x﹣1（x∈Z）与g（x）＝2x+1（x∈Z）【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．对于B，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．对于C，函数f（x）＝（x≠0），与g（x）＝（x≠0）的对应法则不相同，不是同一函数．对于D，函数f（x）＝2x﹣1（x∈Z）和g（x）＝2x+1（x∈Z）的对应法则不相同，不是同一函数．故选：AB．【点评】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是两个函数的定义域相同，对应法则也相同即可．11．（5分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）A．y＝|x|B．y＝x+3C．D．y＝﹣x2+4【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解：y＝|x|在区间（0，1）上是增函数，符合题意；根据一次函数的性质可知，y＝x+3在区间（0，1）上是增函数，符合题意；根据反比例函数的性质可知，y＝在区间（0，1）上是减函数，不符合题意；根据二次函数的性质可知，y＝4﹣x2在区间（0，1）上是减函数，不符合题意．故选：AB．【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础试题．12．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，x∈[0，a]，a为大于0的常数，则f（x）的值域可能为（）A．[﹣4，﹣3]B．R C．[﹣4，10]D．[﹣3，10]【分析】利用数形结合画出二次函数的图象，再对a进行分类讨论，求出各个值域，进而可以判定选项是否正确．【解答】解：二次函数f（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），即f（x）≥﹣4，B错误；其图象如图所示：当1≤a≤2时，函数值域为[﹣4，﹣3]，A正确；当a＞2时，函数值域为[﹣4，+∞），而[﹣4，10]⊆[﹣4，+∞），C正确；当0＜a＜1时，函数值域为[a2﹣2a﹣3，﹣3]，D错误；故选：AC．【点评】本题考查了二次函数的图象性质以及求值域问题，涉及到分类讨论思想，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）若函数y＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y＝x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x＝﹣a，又∵函数y＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于我们解题，形象直观．14．（5分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．【分析】根据充分条件，必要条件的定义，基本不等式以及不等式的性质即可求解．【解答】解：当a+b≤4时，因为4≥a+b≥2，所以ab≤4；当ab≤4时，比如a＝9，b＝，此时a+b≤4不成立，所以ab≤4不能推出a+b≤4．因此“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的理解和应用，以及基本不等式和不等式性质的应用，属于基础题．15．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△＝（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．16．（5分）设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列四个命题正确的有①②③④．①ab有最大值；②有最大值；③a2+b2有最小值；④a2﹣b2有最小值【分析】直接利用关系式的变换和均值不等式的应用判断①②③④的结论．【解答】解：设a，b均为正数，且a+2b＝1，则对于①：1＝a+2b，所以ab，故ab的最大值为，故①正确；对于②：由于，所以有最大值，故②正确；对于③：a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝，所以当b＝时，求得最小值，故③正确；对于④：a2﹣b2＝（1﹣2b）2﹣b2＝＞﹣，令，解得b＝，所以当b＝时，最小值为．故④正确；故答案为：①②③④．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，均值定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分，17题10分。
2020-2021学年湖北省某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1. 若{1, 2, a}∪{2, a2}={1, 2, a}，则a的取值集合为（）A.{0, −1}B.{0, ±1}C.{0, 1 }D.{−1, 1}2. 已知全集U=R，集合M={x|x2+x−2≤0}，集合N={y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于（）A.{x|x>1}B.{x|x<−2或x≥0}C.RD.{x|x<−1或1<x≤3}3. 已知a>c，b>d，则下列结论正确的是（）A.ab+cd−ad−bc>0B.(a+b)2>(c+d)2C.a−b>c−dD.ab>cd4. 直角梯形OABC中AB // OC、AB=1、OC=BC=2，直线l:x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f(t)的图象大致为( )A. B.C. D.5. 已知函数f(x)=(x−2)(mx+n)为偶函数且在(−∞, 0)上单调递增，则使f(x+1)<0成立的x的取值范围是（）A.(1, +∞)B.(−3, 1)C.(−∞, −3)∪(1, +∞)D.(−∞, −3)6. 设p“两个一元二次不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同”，q“∃k≠0，使a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2”，那么p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1x2−4x+3，x≥1的值域为R，则a的取值范围是（）A.[−2,12) B.(−1,12) C.(−2,12) D.[−1,12)8. 使函数f(x)＝{mx−1，x>1−x+1,x≤1满足：对任意的x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)的充分不必要条件为（）A.−1<m<12B.m<0或m>1C.−12<m<12D.0<m<1二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）集合M={x|x=2k−1, k∈Z}，P={y|y=3n+1, n∈Z}，S={z|z=6m+1, m∈Z}之间的关系表述正确的有（）A.S⊆MB.S⊆PC.P⊆SD.M⊆S设a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是（）A.a2>2a−1B.(a+b)(1a+1b)≥4 C.a2+b2a+b≥√ab D.a2b+b2a≥a+b如果对定义在R上的奇函数y=f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，则称函数y=f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A.f(x)=−x3B.f(x)＝x+1xC.f(x)=x|x|D.f(x)＝x13已知函数f(x)＝|x|x+1，则（）A.f(x)在[0, +∞)上单调递增B.f(x)是奇函数C.方程f(x)+x 2−1=0有两个实数根D.函数f(x)的值域是(−∞, −1)∪[0, +∞) 三．填空题（本大题共4小题，共20分）已知幂函数f(x)=x m+2过点(2, 8)，且f(k 2+1)+f(2k −4)<0，则实数k 的取值范围是________．函数y =1−√−x 2+6x 的单调递增区间是________．已知函数f(x)的定义域为[1, 3]，则函数f(2x +1)的定义域为________．若正实数a ，b 满足a +2b =4，则2a+2+1b 的最小值是________．四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（1）求函数y ＝x +2√2−x 的值域； （2）若函数y ＝=√kx 2+2kx+21的定义域为R ，求实数k 的取值范围．已知集合A ={x|62+x ≥1}，B ={x|x 2−(m +4)x +m +7<0}． （1）若m =3时，求A ∩(∁R B)；（2）若A ∪B =A ，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)是定义在(−3, 3)上的奇函数，当−3<x <0时，f(x)=x 2+2x −1．（1）求函数f(x)在(−3, 3)上的解析式．（2）画出函数f(x)的图象并根据图象写出函数的单调区间和值域．（3）解不等式xf(x)>0．2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产x 台的总收益满足函数R(x)＝{480x −12x 2，0≤x ≤500115000,x >500，其中x 是仪器的月产量． （1）将月利润f(x)表示为月产量的x 的函数．（总收益=总成本+利润）（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？设函数f(x)＝ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(1)=1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断f(x)在(−1, 1)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f(t −1)+f(t 2)<f(0)．已知函数f(x)=x|a −x|+2x ，a ∈R ．（1）若函数f(x)在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a ∈[−4, 6]，使得关于x 的方程f(x)−tf(a)=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的4个选项只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】利表不础式丁内两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数模型较选溴与应用函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多项选择题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对得3分.）【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三．填空题（本大题共4小题，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域幂函都指性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合函表的型调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据体际省题完择函离类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于析式偏速站及常用方法函体奇序微病性质与判断函验掌够性权性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验掌够性权性质与判断函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。
$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。
$[-1,1]$D。
$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。
$[0,2]$B。
$(1,2]$C。
$[1,2]$D。
$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。
$a<b<c$B。
湖北省武汉市华中师大第一附中2020至2021学年高一上学期期中数学试卷
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大第一附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5分）设全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1}，若A∩（C U B）={1，3，5，7，9}，则集合B=（）A．{2，6，8} B．{2，4，6，8} C．{0，2，4，6，8} D．{0，2，6，8}2．（5分）下列对应能构成集合A到集合B的函数的是（）A．A=Z，B=Q，对应法则f：x→y=B．A={圆O上的点P}，B={圆O的切线}，对应法则：过P作圆O的切线C．A=R，B=R，对应法则f：a→b=﹣2a2+4a﹣7，a∈A，b∈BD．A={a|a为非零整数}，B=，对应法则f：a→b=3．（5分）若，则f（x）=（）A．f（x）=x2+2 B．f（x）=x2﹣2 C．f（x）=（x+1）2D．f（x）=（x﹣1）24．（5分）已知函数的定义域为，则函数y=f（2x）的定义域为（）A．[﹣1，0]B．[0，2]C．[﹣1，2]D．[0，1]5．（5分）已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（）A．2B．3C．﹣3 D．﹣46．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，）C．（0，）D．（，）7．（5分）定义在（﹣∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，若f（x）=ln（e x+1），那么（）A．g（x）=x，h（x）=ln（e x+e﹣x+2）B．g（x）=[ln（e x+1）+x]，h（x）=[ln{e x+1）﹣x]C．g（x）=，h（x）=ln（e x+1）﹣D．g（x）=﹣，h（x）=ln（e x+1）+8．（5分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）9．（5分）设min，若函数f（x）=min{3﹣x，log2x}，则f（x）＜的解集为（）A．（，+∞）B．（0，）∪（，+∞）C．（0，2）∪（，+∞）D．（0，+∞）10．（5分）对于方程[（）|x|﹣]2﹣|（）|x|﹣|﹣k=0的解，下列判断不正确的是（）A．k＜﹣时，无解B．k=0时，2个解C．﹣≤k＜0$时，4个解D．k＞0时，无解二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知a＞0，a≠1，则f（x）=log a的图象恒过点．12．（5分）已知f（x）=m2•x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值为．13．（5分）计算：log2.56.25+ln=．14．（5分）函数f（x）=的最小值为．15．（5分）函数y=f（x﹣1）为偶函数，对任意的x1，x2∈（﹣1，+∞）都有＜0（x1≠x2）成立，则a=f（），b=f（），c=f（log2）由大到小的顺序为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．17．（12分）已知x+x﹣1=3，求的值．18．（12分）已知f（x）=log2（1）判断f（x）奇偶性并证明；（2）判断f（x）单调性并用单调性定义证明；（3）若，求实数x的取值范围．19．（12分）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）20．（13分）设a∈R，f（x）=x2+a|x﹣a|+2（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．21．（14分）已知函数f（x）=log2[1+2x+a•（4x+1）]（1）a=﹣1时，求函数f（x）定义域；（2）当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）有意义，求实数a的取值范围；（3）a=﹣时，函数y=f（x）的图象与y=x+b（0≤x≤1）无交点，求实数b的取值范围．2020-2021学年湖北省武汉市华中师大第一附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5分）设全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1}，若A∩（C U B）={1，3，5，7，9}，则集合B=（）A．{2，6，8} B．{2，4，6，8} C．{0，2，4，6，8} D．{0，2，6，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：确定出全集U，根据A与B补集的交集，求出B即可．解答：解：∵全集U=A∪B={x∈N*|lgx＜1=lg10}={x∈N*|0＜x＜10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且A∩（∁U B）={1，3，5，7，9}，∴1，3，5，7，9∉B，则B={2，4，6，8}，故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）下列对应能构成集合A到集合B的函数的是（）A．A=Z，B=Q，对应法则f：x→y=B．A={圆O上的点P}，B={圆O的切线}，对应法则：过P作圆O的切线C．A=R，B=R，对应法则f：a→b=﹣2a2+4a﹣7，a∈A，b∈BD．A={a|a为非零整数}，B=，对应法则f：a→b=考点：映射．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，根据函数的概念依次判断即可．解答：解：选项A：0∈A，但在对应法则f作用下没有元素与之对应，故不正确；选项B：A={圆O上的点P}，B={圆O的切线}不是数集，故不正确；选项C：A=R，B=R，对应法则f：a→b=﹣2a2+4a﹣7，a∈A，b∈B，符合函数的定义，是函数；选项D：若a=﹣1，=﹣1∉B，故不正确；故选C．点评：本题考查了函数的概念，属于基础题．3．（5分）若，则f（x）=（）A．f（x）=x2+2 B．f（x）=x2﹣2 C．f（x）=（x+1）2D．f（x）=（x﹣1）2考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用配方法求解即可．解答：解：=．∴f（x）=x2+2．故选：A．点评：本题考查函数的解析式的求法，基本知识的考查．4．（5分）已知函数的定义域为，则函数y=f（2x）的定义域为（）A．[﹣1，0]B．[0，2]C．[﹣1，2]D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令t=，由条件可得即有1≤t≤2，则y=f（t）的定义域为[1，2]，再由1≤2x≤2，解得即可得到定义域．解答：解：由于，则令t=，则，即有1≤t≤2，则y=f（t）的定义域为[1，2]，再由1≤2x≤2，解得，0≤x≤1，即有定义域为[0，1]，故选D．点评：本题考查函数的定义域，注意f（x）与f[g（x）]的定义域的区别和联系，考查运算能力，属于中档题．5．（5分）已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（）A．2B．3C．﹣3 D．﹣4考点：反函数．专题：计算题．分析：求出原函数的对称中心，化简函数的表达式，即可求出a的值．解答：解：函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），所以原函数的对称中心为（3，﹣1），函数化为，所以a+1=3，所以a=2．故选A．点评：掌握基本函数的对称中心，反函数的对称性，是解答本题的关键，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．（0，）C．（0，）D．（，）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得可得，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=是R上的减函数，可得，求得≤a＜，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．7．（5分）定义在（﹣∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，若f（x）=ln（e x+1），那么（）A．g（x）=x，h（x）=ln（e x+e﹣x+2）B．g（x）=[ln（e x+1）+x]，h（x）=[ln{e x+1）﹣x]C．g（x）=，h（x）=ln（e x+1）﹣D．g（x）=﹣，h（x）=ln（e x+1）+考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，g（x）+h（x）=f（x）=ln（e x+1）①，g（﹣x）+h（﹣x）=f（﹣x）=ln（e﹣x+1）化简可得﹣g（x）+h（x）=ln（e﹣x+1）②，从而解出g（x）与h（x）．解答：解：由题意，g（x）+h（x）=f（x）=ln（e x+1）①，g（﹣x）+h（﹣x）=f（﹣x）=ln（e﹣x+1），即﹣g（x）+h（x）=ln（e﹣x+1）②，①+②得2h（x）=ln（e x+1）+ln（e﹣x+1）=2ln（e x+1）﹣x，∴h（x）=ln（e x+1）﹣，①﹣②得，g（x）=，故选C．点评：本题考查了奇偶性的应用，属于基础题．8．（5分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：压轴题．分析：由题意x0是方程的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题．解答：解：∵，，∴x0属于区间（，）．故选C．点评：此题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用指数函数的增减性来做题，是一道好题．9．（5分）设min，若函数f（x）=min{3﹣x，log2x}，则f（x）＜的解集为（）A．（，+∞）B．（0，）∪（，+∞）C．（0，2）∪（，+∞）D．（0，+∞）考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意原不等式等价于或，解不等式组可得答案．解答：解：∵min，∴f（x）=min{3﹣x，log2x}=，∴f（x）＜等价于或，解可得x＞，解可得0＜x＜，故f（x）＜的解集为：（0，）∪（，+∞）故选：B点评：本题考查新定义和对数不等式，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）对于方程[（）|x|﹣]2﹣|（）|x|﹣|﹣k=0的解，下列判断不正确的是（）A．k＜﹣时，无解B．k=0时，2个解C．﹣≤k＜0\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{4}\frac{1}{2}\frac{1}{2}$，则x=0，此时方程有一解，故C不正确．故选：C．点评：本题主要考查方程根的存在性一及个数的判断，体现了专化、分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知a＞0，a≠1，则f（x）=log a的图象恒过点（﹣2，0）．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数的性质，函数恒过（1，0），得到2+=1，解出即可．解答：解：∵f（x）=，令2+=1，解得：x=﹣2，∴函数图象过（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．点评：本题考查了对数函数的性质，是一道基础题．12．（5分）已知f（x）=m2•x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值为﹣1．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=m2•x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，可得，解得m即可．解答：解：∵f（x）=m2•x m﹣1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．13．（5分）计算：log2.56.25+ln=．考点：对数的运算性质．分析：利用指数幂与对数的运算法则、对数恒等式即可得出．解答：解：原式=2+﹣+=+=．故答案为：．点评：本题考查了指数幂与对数的运算法则、对数恒等式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=的最小值为﹣．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先求解的定义为[﹣1，1]再根据单调性求解，判断最小值为f（﹣1）即可．解答：解：∵f（x）=的定义域满足x+1≥0，1﹣x≥0，∴定义域为[﹣1，1]∵通过观察得出f（x）=单调递增，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣故答案为：﹣点评：本题考查了函数的单调性，求解最值问题．15．（5分）函数y=f（x﹣1）为偶函数，对任意的x1，x2∈（﹣1，+∞）都有＜0（x1≠x2）成立，则a=f（），b=f（），c=f（log2）由大到小的顺序为c＜a＜b．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，由＞＞即可求得c＜a＜b．解答：解：∵y=f（x﹣1）为偶函数，即有f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∵对任意的x1，x2∈（﹣1，+∞）都有＜0（x1≠x2）成立，∴有x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），有x1＞x2时，f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，∴a=f（）=f（）=f（﹣+1）=f（）；b=f（）=f（）=f（1+﹣1）=f（）；c=f（log2）=f（）=f（）；∵＞＞，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题主要考察了函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：分别解出集合A，B，根据A∪B=A，可得B⊆A，从而进行求解；解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A 又A={﹣2≤x≤5}，当B=∅时，由m+1＞2m﹣1，解得m＜2，当B≠∅时，则解得2≤m≤3，综上所述，实数m的取值范围（﹣∞，3]．点评：此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，还考查子集的性质，此题是一道基础题；17．（12分）已知x+x﹣1=3，求的值．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：函数的性质及应用．分析：由，可得．利用（x﹣x﹣1）2=（x+x﹣1）2﹣4=5，可得，再利用乘法公式即可得出．解答：解：∵x+x﹣1=3，∴，又，∴．（x﹣x﹣1）2=（x+x﹣1）2﹣4=5，∴，∴．∴原式=．点评：本题考查了乘法公式的灵活运用，考查了计算能力，属于中档题．18．（12分）已知f（x）=log2（1）判断f（x）奇偶性并证明；（2）判断f（x）单调性并用单调性定义证明；（3）若，求实数x的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：转化（1）求解＞0即可．（2）运用单调性证明则=判断符号即可．（3）根据单调性转化求解．解答：解：（1）∴定义域为（﹣1，1），关于原点对称∴f（x）为（﹣1，1）上的奇函数设﹣1＜x1＜x2＜1则=又﹣1＜x1＜x2＜1∴（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）=2（x1﹣x2）＜0即0＜（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2）∴∴∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增，（3）∵f（x）为（﹣1，1）上的奇函数∴又f（x）在（﹣1，1）上单调递增∴∴x＜2或x＞6，点评：本题综合考查了函数的性质，运用求解单调性，奇偶性，解不等式等问题．19．（12分）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．解答：解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x∴总销售额=xQ（x）=170x﹣0.05x2，则y=xQ（x）﹣xP（x）=﹣0.1x2+130x﹣12500=﹣0.1（x﹣650）2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及二次函数的性质，同时考查了建模的能力，属于中档题20．（13分）设a∈R，f（x）=x2+a|x﹣a|+2（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）记f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）函数f（x）为偶函数，有f（﹣x）=f（x），求a即可；（2）分情况把f（a）的最小值表示出来．解答：解：（1）f（x）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2+a|x+a|+2=x2+a|x﹣a|+2∴a=0…．（3分）（2）当x≥a时，f（x）=x2+ax+2﹣a2，对称轴为若即a≤0时，若即a＞0时，…（6分）当x＜a时，f（x）=x2﹣ax+a2+2，对称轴为若即a≤0时，f（x）＞f（a）=a2+2若即a＞0时，…..（9分）a≤0时，∴，a＞0时，∴…..（11分）∴…（13分）点评：本题主要考查二次函数的单调性和最值得求法，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=log2[1+2x+a•（4x+1）]（1）a=﹣1时，求函数f（x）定义域；（2）当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）有意义，求实数a的取值范围；（3）a=﹣时，函数y=f（x）的图象与y=x+b（0≤x≤1）无交点，求实数b的取值范围．考点：对数函数的图像与性质；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）得出2x（2x﹣1）＜0，求解即可．（2）换元转化为令t=2x+1∈（1，3]，，利用对钩函数的性质求解．（3）利用令n=2x∈[1，2]，，求解．解答：解：（1）a=﹣1时，2x﹣4x＞0，2x（2x﹣1）＜0∴0＜2x＜1∴x＜0，定义域为（﹣∞，0），（2）由题1+2x+a（4x+1）＞0对一切x∈（﹣∞，1]恒成立令t=2x+1∈（1，3]在上单减，在上单增∴∴，（3）时，，记令n=2x∈[1，2]，，在[1，2]上单调递减∴，∴﹣2≤log2g（n）≤0，∵图象无交点，∴b＜﹣2或b＞0，点评：本题综合考查了函数的性质，运用判断单调区间，求解范围问题，属于中档题．。
2020-2021武汉市高一数学上期中一模试卷(带答案)
2020-2021武汉市高一数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,74．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð5．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．20198．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）9．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___14．设，则________15．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．16．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 18．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.19．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________．20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.22．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）23．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-，当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.4．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．5．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin ln sin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.14．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．15．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-16．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．18．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解. 综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．19．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考 解析：34a =- 【解析】【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：02b <<【解析】【分析】【详解】 函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点， 画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())504g x x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】 （1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k x =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()5101044x y f x g x x =+-=-，用换元法，设10t x =-函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元 由题设知()1f x k x =；()g x k x =由图1知()114f =，114k = 由图2知()542g =，254k = 则()()104f x x x =≥，())504g x x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元. ()()5101044x y f x g x x =+-=-，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．22．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求．【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+，由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩， ∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+．同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元，依题意得40000=1000m+10000,解得：m=30.所以此时该店有30名员工．（3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+，所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元， 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．23．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x <<【解析】试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析：（1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯= ()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+< 又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<. 点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法．24．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.25．（1）2()22f x x x =++；（2）min252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.26．（1）2；（2）{|35}m m m -或【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m ﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∵A⊆C R B，∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。
湖北武汉市部分重点高中(一中、三中等)2020-2021高一上学期期中联考数学 (含答案)
武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷(武汉一中，武汉三中，武汉六中，武汉十一中，武钢三中，省实验)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.1.函数2()f x =的定义域是 A.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2.集合{A x y ==，{}2,0x B y y x ==>，则A∩B=A.[0，2]B.(1，2]C.[1，2]D.(1，+∞) 3.已知命题p ：∀x >0，总有(1)1xx e +>，则命题p 的否定为A.00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B.00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤C.00x ∃>，总有(1)1x x e +≤D.0x ∃≤，总有(1)1xx e +≤4.设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是 A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.b <c <a5.已知函数()y f x =在(0，2)上是增函致，函数(2)y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是A.57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.己知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是 A.k≤-8 B.k≥4 C.k≤-8或k≥4 D.-8≤k≤4 7.函数1()1x x f x e x -=++的部分图象大致是 A. B.C. D.8.已知函数()1f x x =+，2()2x g x a +=+，若对任意1x ∈[3，4]，存在2x ∈[-3，1]，使12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是A.4a ≤-B.2a ≤ c.3a ≤ D.4a ≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9，下列四个命题中不正确的是A.21()2x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是单调递增函数 B.若函数2()2f x ax bx =++与x 辅没有交点，则280b a -<且a >0 C.幂函数的图象都通过点(1，1)D.1y x =+和y =表示同一个函数10.若函数()f x 同时满足：∈对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；∈()f x 在定义域上单调递减，则称函数()f x 对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的有A.()f x x =-B.23()f x x = C.1()f x x = D.22,0(),0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩11.已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的是A.11+b+4a a b ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B.若a +b =2，则22a b+的最小值为4 C.若a >b ，则2211a b < D.若a +b =l ，则14a b+的最小值是8 12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1,()0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是A.函致()f x 的值域是[0，1]B.,(())1x R f f x ∀∈=C.(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立D.存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得ΔABC 为等腰直角三角形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()y f x =的图像过点(2，2)，则这个函数的解析式为()f x =__________.14.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为_________. 15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2x ∈(-∞，0](12x x ≠)，有2121()()0f x f x x x -<-，且f (2)=0，则不等式()f x ≤0的解集是_________.16.函数2()20202021f x ax x =-+(a >0)，在区间[t -1，t+1](t ∈R)上函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M -N 的最小值为2，则a =________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分）已知集合A={x |x ≤-3或x ≥2}，B={x |1<x ≤5}，C={x |m -l≤x ≤2m}.(1)求A∩B ，(C R A)∪B ：(2)若B ∩C=C ，求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知命题p ：实数x 满足245220x x ⋅-⋅+≥，命题q ：实数x 满足2(21)(1)0x m x m m -+++≥.(1)求命题p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数m 的收值范围. 19.(本小题满分12分）已知二次函数2()2(1)4f x x a x =--+.(1)若()f x 为偶函数，求()f x 在[-1，3]上的值域；(2)当x ∈[1，2]时，()f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围.20.(本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碱转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+(30≤x ≤50)，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损?(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?21.(本小题满分12分)已知函数131()33x x f x +-+=+.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；(3)若不等式1(31)(33)0x x f f k k +-+⋅+>在区间[0，+∞)上有解，求实数k 的收值范围.22.(本小题满分12分)己知函数9()f x x a a x=--+，a ∈R.(1)若a =0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，()f x <-2恒成立，求a 的取值范围；(3)着x ∈[1，6]，当a ∈(3，6)时，求函数()f x 的最大值的表达式M(a ).武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷解析(武汉一中，武汉三中，武汉六中，武汉十一中，武钢三中，省实验)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.1.函数2()f x =的定义域是 A.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】11013103x x x x <⎧->⎧⎪⇒⎨⎨+>>-⎩⎪⎩∴113x -<<∴1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2.集合{A x y ==，{}2,0x B y y x ==>，则A∩B=A.[0，2]B.(1，2]C.[1，2]D.(1，+∞) 【答案】B.【解析】0(2)0(2)0021121x x x x x y y y -≥-≤≤≤⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨>>>=⎩⎩⎩∴(]1,2AB =3.已知命题p ：∀x >0，总有(1)1xx e +>，则命题p 的否定为A.00x ∃≤，使得00(1)1x x e+≤ B.00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤C.00x ∃>，总有(1)1x x e +≤D.0x ∃≤，总有(1)1xx e +≤【答案】B.【解析】0:0p x ⌝∃>，使得00(1)1x x e+≤.4.设0.60.6a =， 1.20.6b =，0.61.2c =中，则a ，b ，c 的大小关系是 A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.b <c <a 【答案】C.【解析】0.6 1.20.60.6>，∴a b >0.60.60.61 1.2<<，a c <∴b <a <c5.已知函数()y f x =在(0，2)上是增函致，函数(2)y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是A.57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.57(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D.【解析】()f x 在(0，2)单调递增(2)y f x =+是偶函数，∴()f x 向左平移2单位为偶函数∴75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.己知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是 A.k≤-8 B.k≥4 C.k≤-8或k≥4 D.-8≤k≤4 【答案】C.【解析】对称轴为4kx =①24k≤-，∴8k ≤- ②14k≥，∴4k ≥ 综上所述：k≤-8或k≥4. 7.函数1()1x x f x e x -=++的部分图象大致是 A.B. C. D.【答案】D.【解析】12()111x x x f x e e x x -=+=+-++ 两条渐近线为y =1和x =-1，排除A 和B当x →∞，()xf x e →，呈指数增长，故选D.8.已知函数()1f x x =+，2()2x g x a +=+，若对任意1x ∈[3，4]，存在2x ∈[-3，1]，使12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是A.4a ≤-B.2a ≤ c.3a ≤ D.4a ≤ 【答案】C.【解析】依题意只需1min 2min ()()f x g x ≥当1x ∈[3，4]，()f x 单增，则min ()(3)4f x f ==当2x ∈[-3，1]，2()2x g x a +=+，即2x +取最小时，有2min ()g x[]20,3x +∈02min ()21g x a a =+=+∴14a +≤ ∴3a ≤.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.下列四个命题中不正确的是A.21()2x xf x -⎛⎫=⎪⎝⎭在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是单调递增函数 B.若函数2()2f x ax bx =++与x 辅没有交点，则280b a -<且a >0C.幂函数的图象都通过点(1，1)D.1y x =+和y =表示同一个函数【答案】BD.【解析】A.21()2tf x t x x⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩，根据同增异减，只需求2t x x =-的递减区间对称轴12x =，即t 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，正确.B.函数2()2f x ax bx =++与x 轴无交点，a =0显然不成立，则只需280b a ∆=-<，且a ≠0即可，B 错错误. C.正确D.1y x ==+，解析式不同，D 错误.10.若函数()f x 同时满足：∈对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；∈()f x 在定义域上单调递减，则称函数()f x 对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的有A.()f x x =-B.23()f x x = C.1()f x x = D.22,0(),0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩【答案】AD.【解析】根据()()0f x f x +-=得()f x 为奇函致，且在定义域递减.A 选项()f x x =-，符合.B 选项23()f x x =，是幂函数，为偶函数，错误. C 选项1()f x x=，在(-∞，0)和(0，+∞)递减，非(-∞，0)∪(0，+∞)递减，错误. D 选项作图易知正确.11.已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的是A.11+b+4a a b ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B.若a +b =2，则22a b+的最小值为4 C.若a >b ，则2211a b < D.若a +b =l ，则14a b+的最小值是8 【答案】ABC.【解析】A ：∵a >0，b >0，∴10a a +>，10b b+> ∴12a a +≥，当且仅当1a a=，∴1a = ∴10b b +>，当且仅当1b b=，∴b=1正确B.224a b +≥=正确C.当0a b >>时，220a b >>，则22110a b <<，正确 D.当1a b +=，14144()59b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭ 取等条件：13a =，23b = 所以最小值为9，D 错误.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数1()0x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数称为狄利克雷函数，则关于()f x 下列说法正确的是A.函致()f x 的值域是[0，1]B.,(())1x R f f x ∀∈=C.(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立D.存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得ΔABC 为等腰直角三角形【答案】BC.【解析】A.值域为{0，1}，错误.B.当x 为有理数时，()1f x =，(())()1f f x f x ==当x 为无理数时，()0f x =，(())(0)0f f x f ==则R ∀∈，(())1f f x =，正确.C.x 为有理数时：x +2为有理数，(2)()f x f x +==1当x 为无理数时，x +2为无理数，(2)()f x f x +==0则(2)()f x f x +=恒成立，正确.D.若ΔABC 为等腰直角三角形，则211x x -=，所以12()()f x f x =，前后矛盾，错误.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数()y f x =的图像过点(2，2)，则这个函数的解析式为()f x =__________. 【答案】12()f x x =.【解析】设()a f x x =，带入点(22a =，解得12a = 则12()f x x = 14.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(]4,8a ∈.【解析】是R 上的增函数，则题中满足1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤⎪⎩解得(]4,8a ∈.15.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2x ∈(-∞，0](12x x ≠)，有2121()()0f x f x x x -<-，且f (2)=0，则不等式()f x ≤0的解集是_________.【答案】[-2，2].【解析】∵对∀1x ，2x ∈(-∞，0](12x x ≠) 有2121()()0f x f x x x -<-∴()f x 在(-∞，0]上单调递增，且f(2)=0，由图像可知x ∈[-2，2]16.函数2()20202021f x ax x =-+(a >0)，在区间[t -1，t+1](t ∈R)上函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ．当t 取任意实数时，M -N 的最小值为2，则a =________.【答案】a =2.【解析】2()2021f x ax =-(a >0) 对称轴1010x a= 要使m -n 最小，t -1与t+1必关于对称轴对称 所以1010t a= ① (1)()2f t f t ++=22(1)2020(1)202120202021a t t at t +-++-+-220202at a =+-= ②联立得2×1010+a -2020=2∴a =2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分）已知集合A={x |x ≤-3或x ≥2}，B={x |1<x ≤5}，C={x |m -l≤x ≤2m}.(1)求A∩B ，(C R A)∪B ：(2)若B ∩C=C ，求实数m 的取值范围.【答案】(1)A ∩B={x |2≤x ≤5}；(C R A)∪B={x|-3<x ≤5}；(2)(-2，-1)∪(2，52] 【解析】(1)A ∩B={x |2≤x ≤5} 2分C R A={x |-3<x <2}，(C R A)∪B={x|-3<x ≤5} 4分(2)∈B ∩C=C∴C B ⊆ 5分①当C=∅时，∴m -1>2m 即m<-1 7分 ②当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪≤⎩∴522m <≤ 9分 综上所述：m 的取值范围是(-∞，-1)∈(2，52] 10分. 18.(本小题满分12分)已知命题p ：实数x 满足245220x x ⋅-⋅+≥，命题q ：实数x 满足2(21)(1)0x m x m m -+++≥.(1)求命题p 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数m 的收值范围.【答案】(1){x |x ≤-1或x ≥1}； (2)[-1，0]【解析】(1)由命题p 为真命题，知245220x x ⋅-⋅+≥，可化为(22)(221)0x x -⋅-≥ 2分 解得122x ≤或22x ≥，所以实数x 的取值范围是{x |x ≤-1或x ≥1} 4分 (2)命题q ：由2(21)(1)0x m x m m -+++≥，得[]()(1)0x m x m --+≥，解得x ≤m 或x ≥m+1 8分设A={x |x ≤-1或x ≥1}，B={x |x ≤m 或x ≥m+l}因为q 是p 必要不充分条件，所以A ⊄B 9分111m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解得-l≤m≤0， 所以实致m 的取值范围为[-1，0] 12分19.(本小题满分12分）已知二次函数2()2(1)4f x x a x =--+. (1)若()f x 为偶函数，求()f x 在[-1，3]上的值域；(2)当x ∈[1，2]时，()f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[4，13]；(2)(-∞,2)【解析】(1)根据题意，函数2()2(1)4f x x a x =--+，为二次函数，其对称轴为1x a =-.若()f x 为偶函数，则10a -=，解可得1a = 2分则2()4f x x =+，又由-1≤x≤3，则有4()13f x ≤≤ 即函数()f x 的值域为[4，13]. 6分(2)由题意知x ∈[1，2]时，()f x ax >恒成立，即2(32)40x a x --+> 7分 方法一：所以2432x a x+-<恒成立 8分因为x ∈[1，2]，所以2444x x x x +=+≥=，当且仅当4x x=，即x =2时等号成立. 所以324a -<，解得a <2，所以a 的取值范围是(-∞，2) 12分方法二：令2()(32)4g x x a x =--+， 所以只需min ()0g x >，对称轴为322a x -= 当3212a -≤，即43a ≤时，min ()(1)730g x g a ==->解得73a <，故43a ≤ 8分 当32122a -<<，即423a <<时，2min 32(32)()4024a a g x g --⎛⎫==-> ⎪⎝⎭解得223a -<<，故423a << 10分 当3222a -≥，即2a ≥，min ()(2)1260g x g a ==-> 解得2a <，舍去 12分绦上所述，a 的取值范围是(-∞，2).20.(本小题满分12分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碱转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+(30≤x ≤50)，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损?(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?【答案】(1)700；(2)40【解析】(1)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利S ，则2220(401600)(30)700S x x x x =--+=--- 2分所以当x ∈[30，50]时，S max =-700<0 4分因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.5分 (2)由题易知，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x ==+-(x ∈[30，50) 7分当x ∈[30，50]时，1600()404040P x x x =+-≥= 10分 当且仅当1600x x =，即x =40时等号成立，故P(x)取得最小值为P(40)=40所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. 12分21.(本小题满分12分)已知函数131()33x x f x +-+=+.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；(3)若不等式1(31)(33)0x x f f k k +-+⋅+>在区间[0，+∞)上有解，求实数k 的取值范围.【答案】(1)略；(2)略；(3)(-∞，0)【解析】(1)∵13113()333(13)x xx x f x +-+-==++，定义域为R ，关于原点对称， 1分 又133(13)31()()3(13)33(13)3(31)x x x x x x x x f x f x --------====-+⨯++ 因此，函数131()33x x f x +-+=+为奇函数； 4分 (2)312(13)21()3(31)3(31)3(31)3x x x x x f x -+-+===-+++， 任取1x 、2x ∈R 且1x <2x ，则12122121()()3(31)33(31)3x x f x f x ⎡⎤⎡⎤-=---⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 211212222(22)3(12)3(12)3(12)(12)x x x x x x -=-=++++ 6分 ∵12x x <∴21220x x ->，2120x +>，1120x +>∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > 因此，函数131()33x x f x +-+=+在R 上为减函数 8分 (3)∈函数()y f x =为R 上的奇函数，由1(31)(33)0x x f f k k +-+⋅+>可得1(33)(31)(13)x x x f k k f f +⋅+>--=-又由于函数()y f x =为R 上的减函数，∴13313x x k k +⋅+<- 10分. ∴113()33xx k f x +-<=+ 由题意知，存在x ∈[0，+∞)，使得113()33xx k f x +-<=+成立，则max ()k f x < 因为函数131()33x x f x +-+=+在[0，+∞)上为减函数，则max ()(0)0f x f == ∴0k <因此，实数k 的取值范围是(0，+∞). 12分22.(本小题满分12分)己知函数9()f x x a a x=--+，a∈R. (1)若a =0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，()f x <-2恒成立，求a 的取值范围；(3)着x ∈[1，6]，当a ∈(3，6)时，求函数()f x 的最大值的表达式M(a ).【答案】(1)非奇非偶函数(2)11a << (3)921,3,24()2126,,64a M a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩【解析】(1)当a =0时，9()f x x a x=--，为非奇非偶函数. 2分 (2)当[]1,x a ∈时，9()2f x x a x =--+因为函数()f x 在[]1,a 上单调，所以13a <≤， 3分此时()f x 在[]1,a 上单调递增，max 9()()f x f a a a==-+ 由题意：max 9()2f x a a=-+<-恒成立，即2290a a +-<.所以11a <<. 5分 （也可以用参数分离：9()22f x x a x =--+<-，即1912a x x ⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，右边最小值为1912a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 所以1912a a a ⎛⎫<+- ⎪⎝⎭，解得：11a <<又13a <≤， 所以a的取值范围为11a <<) 6分(3）当[]1,6x ∈时，[](]92,1,()9,,6x a x a x f x x a a x ⎧--+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩7分 又()3,6a ∈，由上式知，()f x 在区间(],6a 单调递增， 7分当()3,6a ∈时，()f x 在[1，3)上单调递增，在[3，a ]上单调递减.所以，()f x 在[1，3)上单调递增，在[3，a ]上单调递减，(a ，6]上单调递增. 10分 则()max 921,3,249()max (3),(6)max 26,22126,,64a f x f f a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫==-=⎨ ⎪⎝⎭⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩宗上所述，函数()f x 的最大值的表达式为：921,3,24()2126,,64a M a a a ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ 12分。
湖北省武汉市问津联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题 含答案
问津联盟2023届高一年级重点中学期中联考高一数学试卷考试时间：2020年11月26上午8:00——10:00 试卷满分：150分一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2320A x x x =-+<，{11}B x x =-<，则A B ⋂=（ ） A ．{12}x x << B ．{02}x x << C ．{01}x x << D ．{2}x x <2．若0a <，则化简 ） A． BC． D3．已知仓埠某花店4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元．设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（ ） A ．A B > B ．A B = C ．A B < D ．不确定4．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(,1)(2,)-∞⋃+∞，则()20xf <的解集是（ ）A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(2,4)5．在R 上定义运算：a b ad bc c d=-，若不等式3131x ax -≥+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,)-+∞B ．(,5]-∞-C ．[7,)-+∞D ．(,7]-∞-6．已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[(0)]4f f a =，则实数a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{22}x x -<< B ．{2x x >或2}x <- C ．{04}x x << D ．{4x x >或0}x <8．已知函数()321()1m f x m m x-=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对部分得3分，有选错的得0分）9．下列叙述不正确的是（ ） A ．12x <的解是12x > B ．“04m <≤”是“210mx mx ++≥”的充要条件C ．已知x ∈R ，则“0x >”是“|1|1x -<”的充分不必要条件D ．函数223()2f x x x =++的最小值是2 10．若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ可能取值是（ ）A ．32 B ． C ．3 D ．9211．定义运算()()a ab a b b a b ≥⎧⊕=⎨<⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ）A ．()f x 的值域为[1,)+∞B ．()f x 的值域为(0,1]C ．不等式(1)(2)f x f x +<成立的范围是(,0)-∞D ．不等式 (1)(2)f x f x +<成立的范围是(0,)+∞12．如果一个函数()f x 在其定义区间内对任意x ，y 都满足()()22x y f x f y f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（ ）A ．()2xf x = B ．()f x =C ．2()32f x x x =-+-D ．,0()2,0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）13．计算12232927(1.5)48--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得_______．14．若函数|2|y x c =+是区间(,1]-∞上的单调函数，则实数c 的取值范围是________． 15．已知定义在[1,3]上的函数()f x 满足1(1)()1f x f x +=+，且当[2,3]x ∈时，51()122f x x =-．若对定义域上任意x 都有()f x t ≤成立，则t 的最小值是_______．16．仓埠华荟超市举办双11优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10% 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是______元．（答案不唯一）四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）设集合{}28150A x x x =-+=，{10}B x ax =-=． （1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合．18．（本小题12分）已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数． （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>．19．（本小题12分）已知()()xf x x a x a=≠-（1）若2a =-，试证明()f x 在区间(,2)-∞-内单调递增；（2）若0a >，且()f x 在区间(1,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．20．（本小题12分）根据市场调查，位于阳逻开发区的大明金属新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P （单位：元）与时间t （单位：天）的关系如图，日销量Q （单位：件）与时间t 之间的关系如下表所示． t /天 5 15 20 30 Q /件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式．（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对(,)t Q 的对应点，并确定日销量Q 与时间t 的一个函数解析式．（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品的销售价格×日销量） 21．（本小题12分）设函数2()(2)3f x ax b x =+-+． （1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14a b+的最小值； （2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围． 22．（本小题12分）设函数()22()xxf x a a R -=⋅-∈（1）若函数()y f x =的图象关于原点对称，函数3()()2g x f x =+，求满足3()()2g x f x =+的0x 的值； （2）若函数()()42xxh x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为2-，求实数a 的值．问津联盟2023届高一年级重点中学期中联考高一数学试卷评分细则一、单选题1．A 2．A 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B二、多选题9．ABCD 10．AB 11．AC 12．AD三、填空题13．3214．2c ≤- 15．2 16．201 解得200225x <<．则答案不唯一，只需在区间(200,225)内任取一个元素即可．本题中选取标价四、解答题17．【解析】（1）{3,5},{5}A B == 3分∴B 是A 真子集 4分（2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =； 6分当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或159分 综上，实数a 的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 10分 18．【解析】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩， 3分求得12m -≤<，即m 的范围是[1,2)-． 6分 （2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =， ∴(2)(2)1f f -=-=-， 7分 ∵(1)10f x ++>，∴(1)1f x +>-， ∴(1)(2)f x f +>-， 9分∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤． 11分∴不等式的解集为{32}x x -<≤． 12分19．【解析】（1）证明：当2a =-时()(2)2xf x x x =≠-+ 1分 设任意的12,(,2)x x ∈-∞-且12x x < 2分()()()()()121212*********x x x xf x f x x x x x --=-=++++ 4分 ∵()()()1212220,0x x x x ++>-<，∴()()12f x f x < 5分 ∴()f x 在(,2)-∞-内单调递增． 6分 （2）任设121x x <<，则()()()()()2112121212a x x x xf x f x x a x a x a x a --=-=----． 8分 ∵0a >，210x x ->，∴要使()()120f x f x ->只需()()120x a x a -->在(1,)+∞内恒成立， 10分 ∴1a ≤ 11分综上所述：a 的取值范围是(0,1] 12分20．【解析】（1）根据题图知每件产品的销售价格P 与时间t 的函数解析式为**30,0,20,N 50,20,30,,.N t t t P t t ⎧+<∈⎪=⎨<∈⎪⎩ 2分（2）描出实数对(,)t Q 的对应点如图所示．3分从图中可以发现，点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)可能在同一条直线上，设它们所在直线l 的解析式为Q kt b =+（k ，b 为常数）．将点(5,35),(30,10)代入方程，得355,1030,k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1,40,k b =-⎧⎨=⎩ 5分所以40Q t =-+．经检验，点(15,25),(20,20)也满足上式． 7分 因此日销量Q 与时间t 的一个函数解析式为()*400,30,Q t t t =-+<∈N 8分（3）设日销售金额为y （单位：元），则**(30)(40),020,50(40),2030,t t t t N y t t t N⎧+-+<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩即2**101200,0,20,50,2000,20,30,,t t t t y t t t ⎧-++<∈⎪=⎨-+<∈⎪⎩N N 10分当020t <≤时，max 1225y =，此时5t =；当2030t <≤时，1000y <． 所以在这30天内，第5天的日销售金额最大． 12分【解析】（1）函数2()(2)3f x ax b x =+-+，由(1)233f a b =+-+=，可得2a b +=， 1分所以141141419()552222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4分 当4b a a b =时等号成立，因为2a b +=，0a >，0b >，解得23a =，43b =时等号成立， 此时14a b +的最小值是92． 5分 （2）由(1)232f a b =+-+=，即1a b +=，又由2(2)32ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即2(1)10ax a x -++>在(1,1)-上恒成立， 6分 等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集， 7分 ①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意； 8分②当0a <时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<； 9分③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，满足题意； 10分④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1,(1,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，不满足题意，（舍去）， 11分综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-． 12分 22．【解析】解：∵()f x 的图象关于原点对称， ∴()()0f x f x -+=， 1分∴22220x x x x a a --⋅-+⋅-=，即∴()(1)220xx a --⋅+=，1a = 3分（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分） 令3()2202xxg x -=-+=， 则()()2223220x x ⋅+⋅-=，∴()()222210xx+⋅⋅-=，又20x >，∴1x =- 5分 所以满足()00g x =的0x 的值为01x =-． 6分 （2）()2242xxx x h x a --=⋅-++，[0,1]x ∈，令2[1,2]xt =∈，2()(),[1,2]h x H t t at t ==+∈， 7分对称轴02a t =-， ①当3122a -≤，即3a ≥-时， max ()(2)422H t H a ==+=-，∴3a =-； 9分 ②当322a ->，即3a <-时， max ()(1)12H t H a ==+=-，∴3a =-（舍）； 11分综上：实数a 的值为3-． 12分。
2020-2021学年湖北省武汉市高一上期中数学试卷及答案解析
f（x+2）＝f（x），图象关于 x＝1 对称，③当 x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数 g（x）＝f
（x）
⺁x 的零点有（ ）
A．1008 个
B．2014 个
C．2015 个
D．4028 个
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二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）若集合 M＝{﹣1，1，3，5}，集合 N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（ ）
B．∃x∈N，x∈M
C．M∩N＝{1，5}
D．M∪N＝{﹣3，﹣1，3}
【解答】解：∵M＝{﹣1，1，3，5}，N＝{﹣3，1，5}，
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∴∃x∈N，x∈M，M∩N＝{1，5}，M∪N＝{﹣3，﹣1，1，3，5}． 故选：BC． 10．（5 分）下列说法错误的是（ ） A．若 xy≥0，则|x|+|y|＞|x+y| B．若 x2+y2≠0，则 x≠0 或 y≠0 C．“ ＞ ⺁ 是 ＞ ”的充分不必要条件
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则称函数 f（x）为“K 函数”
（1）函数 f（x）＝ex
（填“是”或“不是”）“K 函数”；
（2）若函数 f（x）＝log2（x2+a2）是“K 函数”，则 a 的取值范围是
．
四．解答题（共 6 小题，满分 70 分）
t
17．（10 分）（Ⅰ）计算：
；
（Ⅱ）计算：t l r
A．（﹣1，3]
B．[﹣1，3]
C．（﹣∞，3）
D．（﹣∞，3]
【解答】解：∵A＝{x∈R|1≤x≤3}，B＝{x∈R|x≥1}，
∴∁RB＝{x|x＜1}，A∪（∁RB）＝（﹣∞，3]．
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,6N =.则()UM N ⋂=（ ）A ．{}4,6B ．{}1,4,6C ．∅D ．{}2,3,4,5,6【答案】A【分析】根据补集与交集的定义进行运算即可. 【详解】{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,5M =，{}4,6N ={}1,4,6U M ∴=，(){}4,6U M N ∴=故选：A.2．以下各组两个函数是相同函数的是（ ）A ．()()f x g x ==B ．()()2,25f x g x x ==-C ．()21(),()21()f n n n Z g n n n Z =-∈=+∈D ．()|1|()f x x g x ，=-【答案】D【分析】先确定函数的定义域是否相同，再确定对应法则是否相同.【详解】A. ()f x = 定义域：1≥x (),g x =，11x x ≤-≥或定义域不同，故不是同一函数；B. ()2f x =定义域：52x ≥， ()25g x x =-定义域：R ，定义域不同，故不是同一函数；()()()()C.?21,21? f n n n Z g n n n Z =-∈=+∈定义域相同，对应法则不同，故不是同一函数；D.()|1|f x x =- 定义域：R ()g x =|1|x -定义域：R ，定义域相同，对应法则相同，故是同一函数. 故选D【点睛】本题考查函数相同的条件：有相同的定义域、对应法则和值域，在判断两个函数是否相同，只需要判断有相同的定义域和对应法则，前两条相同的话，值域也就相同了.3．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（ ） A ．若 a b >，则22ac bc > B ．若22ac bc >，则 a b > C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b< 【答案】B【分析】代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案. 【详解】解：当0c 时，22ac bc =，则A 不正确；由22ac bc >知，0c ≠，所以 a b >，B 正确；若2,1a b =-=-，则11112a b-=>=-，则C 不正确；若2,1b a ==，则122b a a b =>=，故选:B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．已知p ：函数()(2)xf x a =-为增函数，q ：1[,1],102x ax ∃∈->，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据指数函数单调性，得到命题:2p a >；根据不等式能成立，得到:1q a >，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.【详解】由函数()(1)xf x a =-为增函数，得11a ->，即2a >，所以命题:2p a >；由1,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，10ax ->，可得min11a x ⎛⎫>=⎪⎝⎭，所以:1q a >； 由2a >能推出1a >；由1a >不能推出2a >； 所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A.5．已知函数()f x 的定义域为(1,2)，则函数(21)y f x =-的定义域为（ ） A ．()1,1-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【分析】由函数()f x 的定义域为(1,2)，知12x <<，可得1212x <-<，解不等式即可求解.【详解】由函数()f x 的定义域为(1,2)，知12x <<， 所以在函数(21)y f x =-中，1212x <-<，解得：312x << 所以函数(21)y f x =-的定义域为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】方法点睛：本题考查求抽象函数的定义域，求抽象函数的定义域的方法： （1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求[]()f g x 的定义域：求不等式()a g x b ≤≤的解x 的范围，即为[]()f g x 的定义域；（2）已知[]()f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：由a x b ≤≤确定()g x 的取值范围，即为()f x 的定义域.（3）已知[]()f g x 的定义域，求[]()f h x 的定义域：先由[]()f g x 的定义域，求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域，求得[]()f h x 的定义域. 6．函数2323x y x -=+的值域是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞ B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】分离常数可得6123y x =-+，再根据反比例函数性质即可求解. 【详解】2323661232323x x y x x x -+-===-+++，0623x ≠+，11362x ∴-≠+所以原函数的值域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查求函数值域，解题的关键是熟悉分离常数法求值域，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.7．将12...n x x x 、、中的最小数记为min{12...n x x x 、、}.最大数记为max{12...n x x x 、、}，则min{max{244,21,8x x x x -+--+}}(x ∈R )的值为（ ）A ．1B ．5C ．4D ．6【答案】B【分析】在同一坐标系中作出244y x x =-+，21y x =-以及8y x =-+的图像，利用数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中作出244y x x =-+，21y x =-以及8y x =-+的图像，根据题意可得max{244,21,8x x x x -+--+}（如图实线部分），联立218y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得3x =，5y =，所以min{max{244,21,8x x x x -+--+}}(x ∈R )的值为5. 故选：B8．对于,a b ∈R ，定义运算“⊗”：22,,a ab a ba b b ab a b⎧-≤⊗=⎨->⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊗-，且关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根123,x x x ,，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．53,14⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．531,4⎛+ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】A【分析】由题设写出()f x 的解析式，222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，再结合函数图像可知231x x +=，再求出1x 的范围，即可求得结果.【详解】由题设知22(21)(21)(1),211()(21)(1)(1)(21)(1),211x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----≤-=-⊗-=⎨----->-⎩ 化简整理得：222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，画出函数的图像，如下图由1124f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有三个互不相等的实数根时，t 的取值范围是10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设1230x x x <<<，则23x x ,是2x x t -+=的两个根，关于12x =对称，故231x x +=， 下面求1x 的范围：211120x x t x ⎧-=⎨<⎩，解得：111+84tx =10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()181,3t ∴+∈，()11813,0t ∴+，故113x ⎫-∈⎪⎪⎝⎭所以12353x x x ⎫-∈⎝++⎪⎪⎭故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.二、多选题9．已知集合{}2|20A x x x =+-=，{}|1B x ax ==，若AB B =，则a =（ ）A ．12-B ．1C ．0D ．2【答案】ABC【分析】先求出集合A ，根据AB B =可得B A ⊆，即可讨论求出a 的值.【详解】可知{}{}2202,1A xx x =+-==-∣， A B B =，B A ∴⊆，当0a =时，01=无解，B =∅，满足题意； 当0a ≠时，{}1|1B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，可得12a =-或11a=，解得12a =-或1a =；综上，a 的可能值为10,,12-. 故选：ABC.【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 10．下列结论正确的有（ ）A ．函数0()(1)f x x =-+[-1,1)(1,+∞)B ．函数(),[1,1]y f x x =∈-的图象与y 轴有且只有一个交点C ．“1k >”是“函数()(1)()f x k x k k R =-+∈为增函数”的充要条件D ．若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f = 【答案】ABCD【分析】由函数0()(1)f x x =-+A 正确；根据函数的定义，可判定B 正确；由一次函数的性质，可判定C 正确；由奇函数的性质，可判定D 正确.【详解】对于A 中，函数0()(1)f x x =-+1010x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得1x ≥-且1x ≠，所以函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，所以是正确的；对于B 中，根据函数的定义，可得函数(),[1,1]y f x x =∈-的图象与y 轴有且只有一个交点，所以正确；对于C 中，由函数()(1)f x k x k =-+为增函数，则满足10k ->，解得1k >， 当1k >时，函数()(1)f x k x k =-+为增函数，所以“1k >”是“函数()(1)()f x k x k k R =-+∈为增函数”的充要条件，所以是正确的； 对于D 中，根据奇函数的性质，可得奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =，所以是正确的. 故选：ABCD11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数[]()()g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC【分析】由()()11g g ≠-判断A ；由奇函数的定义证明B ；把()f x 的解析式变形，由2x y =的单调性结合复合函数的单调性判断C 正确；求出()f x 的范围，进一步求得()g x 的值域判断D ．【详解】()()21110122g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()1121111122g f --⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦， ()()11g g ∴-≠，则()g x 不是偶函数，故A 错误；()21122x xf x =-+的定义域为R ， ()()()2222212111012121212212x x x x x xx x x x x xf x f x ----⋅+-+=+-=+-=-=+++++， ()f x ∴为奇函数，故B 正确；()21121111122122212x x x x xf x +-=-=-=-+++， 又2xy =在R 上单调递增，()11212x f x ∴=-+在R 上是增函数，故C 正确； 20x >，121x ∴+>，则10112x<<+，可得111122122x -<-<+， 即()1122f x -<<．()(){}1,0g x f x ∴=∈-⎡⎤⎣⎦，故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，然后才会对函数()f x 变形，并作出判断.12．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，给出下列四个结论正确结论的是（ ）A ．方程[()]0f g x =有且仅有三个B ．方程[()]0g f x =有且仅有四个解C ．方程[()]0f f x =有且仅有八个解D ．方程[()]0g g x =有且仅有一个解【答案】AD【分析】通过利用()t x g =和()t f x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，逐项分析，即可求解.【详解】对于A 中，设()t x g =，则由()[]0f g x =，即()0f t =， 当0t =时，则()t x g =有三个不同的值，由于()y g x =是减函数，所以有三个解，所以A 正确；对于B 中，设()t f x =，则由()[]0g f x =，即()0g t =，解得t b =，因为0c b >>，所以()f x b =只有3个解，所以B 不正确； 对于C 中，设()t f x =，若()[]0f f x =，即()0f t =，当t b =-或0t =或t b =，则()f x b =-或()0f x =或()f x b =，因为0a c b >>>，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C 错误； 对于D 中，设()t x g =，若()[]0g g x =，即()0g t =，所以t b =， 因为()y g x =是减函数，所以方程()g x b =只有1解，所以D 正确. 故选：AD【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.三、填空题13．已知函数2()(0,1)x f x a a a -=>≠经过定点A ，A 的坐标是___________. 【答案】(2,1)【分析】令20,x -=即得定点的横坐标，再求定点的纵坐标得解. 【详解】令20,2x x -=∴=， 所以221y a-==，所以函数过定点A (2,1). 故答案为：(2,1)14．已知函数()2223(1)--=--m m f x m m x 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】由幂函数的定义可得m 2－m －1＝1，得出m ＝2或m ＝－1，代入验证即可.【详解】()2223(1)--=--mm f x m m x 是幂函数，根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1． 解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f （x ）＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m ＝－1时，f （x ）＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数， 所以m ＝2． 故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.15．函数()()51,12{21,1a x x f x a x x-+≤=+>，在定义域R 上满足对任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围是 ．【答案】11(,]22-【解析】试题分析：对任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，可知函数函数在R 上单调递减，所以有,解得．【解析】由函数单调性求参数范围．【方法点睛】对于分段函数在全体实数上具有单调性求参数范围的题目（常常是分两段），如,解法如下：当函数在全体实数上单调递增（或递减）时，需有 由单调递增（或递减）列出关于参数的不等式；‚由单调递增（或递减）列出关于参数的不等式；ƒ由（）得到参数的不等式；将以上关于参数的三个不等式联立求解即可．16．定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()52x f f x f x f f x ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则12020f ⎛⎫⎪⎝⎭等于___________.【答案】132【分析】令1x =求得(1)1f =，令15x =，依次递推得到11113125262532f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令12x =，依次递推得到1111250312532f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用题设可知，当1131251250x ≤≤时，()132f x =是一个常函数，即可得到答案.【详解】1(0)0,()(1)1,()52x f f x f x f f x ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭令1x =，可得(1)(0)1f f +=，即(1)1f =，111(1)522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭令15x =，可得1111112525224f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111111125225248f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11111162521252816f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111113125262521632f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 再令12x =，可得11122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111110224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111150210248f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111112502502816f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1111111250225021632f f ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题设当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤， 又11101312520201250<<<<，111113231252020125032f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11202032f ⎛⎫∴=⎪⎝⎭故答案为：132【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是两次赋值后都反复应用递推关系式1()52x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，得到当1131251250x ≤≤时，()132f x =是一个常函数，考查学生的数据分析能力与运算求解能力，属于中档题.四、解答题 17．化简求值：（1）21348)0.0081π-++（2）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭【答案】（1）1.3；（2）2716【分析】利用指数的运算法则进行计算求解即可 【详解】（1）210348)0.0081π-++()21113134423624123102++-⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭120.32 1.3=-++=（2）01430.75337(0.064)(2)168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()10.7533431(410)1216---=⨯-++ 51112168=-++ 2716= 18．已知集合{}|123A x m x m =-≤≤+，{}2|280B x x x =-++>.（1）当2m =时，求A B ，()R A B ⋂；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|27AB x x =-<≤，(){}|21R A B x x =-<<；（2）()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】（1）由2m =可得A ，解不等式得到B ，再由交并补的定义可得AB ，()RA B ⋂；（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分两种情况讨论：当A =∅时和当A ≠∅时，列不等式分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．【详解】（1）当2m =时,{}|17A x x =≤≤,{}{}2|280|24B x x x x x =-++>=-<<,则{}|27A B x x =-<≤ ,又{|1RA x x =<或}7x >,则(){}|21R AB x x =-<<；（2）根据题意,若AB A =,则A B ⊆,分两种情况讨论：当A =∅时,有123m m ->+,解得：4m <-；当A ≠∅时,若有A B ⊆,必有12312234m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得：112m -<<,综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合A =∅和集合A ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.19．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 对任意正数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，当1x >时，()0f x >，且()220211f =.（1）求()1f 的值；（2）证明：用定义证明函数()f x 在()0,∞+上是增函数；（3）解关于x 的不等式()2120202f x x -<. 【答案】（1）()10f =；（2）证明见解析；（3）解集为()()1,02020,2021-.【分析】（1）令1x y ==，代入可求得()1f 的值；（2）令1y x =可推导出()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后取120x x >>，推导出()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，进而可证得结论成立；（3）推导出()120212f =，由()2120202f x x -<可得出()()220202021f x x f -<，根据函数()f x 的定义域和单调性可得出关于x 的不等式（组），由此可解得实数x 的取值范围.【详解】（1）在等式()()()f xy f x f y =+中，令1x y ==可得()()121f f =，解得()10f =；（2）在等式()()()f xy f x f y =+中，令1y x =可得()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，可得()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 任取120x x >>，则121x x >，可得120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭，即()()12f x f x >， 因此，函数()f x 在()0,∞+上是增函数；（3）令x y =，由()()()f xy f x f y =+可得()()22f x f x =，当0x >时，()()212f x f x =，()()2111120212021222f f =⨯==， 由()2120202f x x -<可得()()220202021f x x f -<， 由于函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则2020202021x x <-<，解得10x -<<或20202021x <<.因此，不等式()2120202f x x -<的解集为()()1,02020,2021-.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.20．已知二次函数2()f x ax bx c =++，当(,2)(0,)x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >，当(2,0)x ∈-时，()0f x <，且对任意x ∈R ，不等式()(1)1f x a x ≥--恒成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()3F x tf x x =--，其中0t ≥，求()F x 在3,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的最大值()H t . 【答案】（1）()22f x x x =+；（2）()3,02332,0425285,5t H t t t t t ⎧-=⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【分析】(1)由已知可知-2，0是二次函数对应的二次方程的根，可设二次函数解析式为()()2f x ax x =+，再由不等式()()11f x a x ≥--恒成立，可求得a 的值;(2)结合二次函数性质分类讨论，求得函数的最大值.【详解】（1）由已知得0a >，且2-和0为方程20ax bx c ++=的两根 ∴可设()()2f x ax x =+又由()()11f x a x ≥--即()2110ax a x +++≥恒成立则()()221410a a a ∆=+-=-≤ ∴1a = ∴()()222f x x x x x =+=+（2）()()()()22232130F x t x x x tx t x t =+--=+--≥①当0t =时，()3F x x =--在3,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时单调递减 ∴()()max 3322H t F x F ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭②当0t >时，()F x 图像的对称轴方程为0211122t x t t-=-=-+ ∵321224-+= ∴只须比较0x 与14的大小（Ⅰ）当014x ≤即1121245t t -+≤⇒≥时，()322F F ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∴()()()max 285H t F x F t ===- （Ⅱ）当014x >即11210245t t -+>⇒<<时，()322F F ⎛⎫<- ⎪⎝⎭∴()()max 333242H t F x F t ⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭∴()3,02332,0425285,5t H t t t t t ⎧-=⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数解析式的求解、二次函数最大值求解，其中重点考查了分类讨论的思想，综合型较强，属于高档题；解题中分类讨论应用了两次，意在考查对二次函数性质掌握的深度和熟练程度.21．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内(含3小时)为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值(E 单位：exp)与游玩时间(t 小时)满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时(含5小时)为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．⑴当1a =时，写出累积经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值；⑵该游戏厂商把累积经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围．【答案】⑴22016,0385,3533550,5t t t E t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩,()635E =； ⑵1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】⑴ 根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值， ⑵ 根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出164at t+≥，再分类讨论，即可求出a 的范围．【详解】解：()()22016,03185,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩， 当6t =时，()635E =， ⑵当03t <≤时，()1620a H t t t =++，则()16244aH t t t≥⇒+≥， 04319,41684a a a ⎧<≤⎪⎡⎤⇒∈⎨⎢⎥⎣⎦≥⎪⎩①，439,1616343a a a ⎧>⎪⎛⎫⇒∈+∞⎨ ⎪⎝⎭+≥⎪⎩②综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题22．已知定义在区间()0+∞，上的函数()4()5f x t x x=+-，其中常数0t >． （1）若函数分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调，试求t 的取值范围；（2）当1t =时，方程()f x m =有四个不相等的实根1234,,,x x x x ． ①证明：123416x x x x =； ②是否存在实数,a b ，使得函数在区间[],a b 单调，且的取值范围为[],ma mb ，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1))5,4⎡+∞⎢⎣(2)见解析， 19,216⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）结合对勾函数的特征，即可知min ()45h x t =≥,从而求出参数范围；（2）当1t =时，方程()f x m =即为2(5)40x m x -++=或2(5)40x m x +-+=，由韦达定理可证明 ．结合函数图像及其单调性，分类讨论分别在四个单调区间内去求解，最后求并集即可． 试题解析：（1）设4()()h x t x x=+∵0t > ∴函数()h x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调 且()4h x t ≥要使函数()f x 分别在区间(0,2),(2,)+∞上单调 则只需54504t t -≥⇒≥（2）①当1t =时，44()5()5x m x m xx+-=⇒+-=或4()5x m x+-=-即2(5)40x m x -++=或2(5)40x m x +-+= ∵1234,,,x x x x 为方程()f x m =的四个不相等的实根 ∴由根与系数的关系得12344416x x x x =⨯=②如图，可知01m <<，()f x 在(0,1)、(1,2)、(2,4)、(4,)+∞均为单调函数（Ⅰ）当[](],0,1a b ⊆时，()f x 在,a b 上单调递减 则(){()f a mbf b ma== 两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=∵(],0,1a b ∈ ∴上式不成立 即,a b 无解，m 无取值 10分 （Ⅱ）当[](],1,2a b ⊆时，()f x 在,a b 上单调递增则(){()f a ma f b mb == 即2451m a a =-+-在(]1,2a ∈有两个不等实根 而令11,12t a ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭则2245591()4()816t t a a ϕ-+-==--+ 作()t ϕ在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭的图像可知，19216m ≤< 12分 （Ⅲ）当[](],2,4a b ⊆时，()f x 在,a b 上单调递减 则(){()f a mbf b ma== 两式相除整理得()(5)0a b a b -+-=∴5a b += ∴5b a a =-> ∴522a <<由45a mb a--+=得24544115255(5)()24a a m a a a a --==+=+----则m 关于a 的函数是单调的，而455a a m a--=-应有两个不同的解 ∴此种情况无解 （Ⅳ）当[][),4,a b ⊆+∞时，同（Ⅰ）可以解得m 无取值 综上，m 的取值范围为19,216⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】•由单调性求参数范围；‚含参数的值域问题．【方法点睛】•由单调性求参数范围常用的方法是，先求出函数的单调区间（含有参数），题目中给出的单调区间应是所求区间的子集，从而把问题转化为由集合关系求参数范围问题．‚含参数的值域问题，不论是求值域还是把值域作为已知条件的，都按照求值域的步骤运算，当遇到困难时，要注意对参数的分类讨论．。
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市部分学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2,3}，那么A的子集的个数是()A. 3B. 7C. 8D. 92.命题“∃x0∈R，x02+1<0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+1<0B. ∀x∈R，x2+1≥0C. ∃x0∈R，x02+1≤0D. ∃x0∈R，x02+1≥03.设a，b为实数，则“a−b>0”是“a2−b2>0”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若幂函数f(x)=(a2−5a−5)x a在(0,+∞)上单调递增，则a=()A. 3B. 6C. 2D. −15.已知f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图像如图所示，那么不等式f(x)>0的解集是()A. (1,3)B. (−3,−1)∪(1,3)C. (−1,0)∪(1,3)D. (−1,0)∪(0,1)6.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．根据以上推广，则函数f(x)=2x−1图象的对称中心是()x+1A. (−1,2)B. (−1,0)C. (1,2)D. (1,0)7.从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第k次后，前k次共倒出纯酒精x 升，倒完第k +1次后，前k +1次共倒出纯酒精f(x)升，则f(x)的解析式是( )A. f(x)=45(x +2) B. f(x)=15x +2 C. f(x)=45x +2D. f(x)=15x8. 函数f(x)=x 3−x x 4+x 2+1在区间[1,3]上( )A. 有最大值为√36，最小值为0 B. 有最大值为2491，最小值为0 C. 有最大值为√36，无最小值 D. 有最大值为2491，无最小值二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列关系中，正确的是( )A. −43∉ZB. π∉RC. |−√2|∈QD. 0∈N10. 已知集合A ={−2,−1,0,1}，B ={x|x−1x+2≤0}，则( )A. A ∩B ={−2,−1,0,1}B. A ∪B ={x|−2<x ≤1}C. A ∩B ={−1,0,1}D. A ∪B ={x|−2≤x ≤1}11. 若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)=0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则称函数f(x)为“理想函数“．下列四个函数中能被称为“理想函数“的是( )A. f(x)=−xB. f(x)=−√x 3C. f(x)=x 3+xD. f(x)=23−x12. 已知关于x 的不等式a ≤x 2−4x −6≤b(a ∈R,b ∈R)，下列结论正确的是( )A. 不等式a ≤x 2−4x −6≤b 的解集不可能为⌀B. 不等式a ≤x 2−4x −6≤b 的解集可能为{x|−8≤x ≤−6或8≤x ≤12}C. 存在实数a ，b ，使得不等式a ≤x 2−4x −6≤b 的解集为闭区间[m,n]的形式D. 存在唯一一对实数对(a,b)，使得不等式a ≤x 2−4x −6≤b 的解集为{x|a6≤x ≤b}三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=√2−x 的定义域是______．14. 已知集合A ={x|x 2−ax +a 2−7=0}，B ={x|x 2−x −6=0}，若满足A ∩B =A ∪B ，则实数a =______．15. 已知正数a ，b 满足2a +b =1，则1a +4b 的最小值为______．16. 若使集合A ={x|(kx −k 2−2k −2)(2x −5)>0,x ∈Z}中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)={x 2−4x +4,x >00,x =0x 2+4x +4,x <0．(1)求f(f(−1))的值； (2)若f(a)=2，求a 的值．18. 已知函数f(x)=x 2−3x +a ．(1)若f(x)>0在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)<0在x ∈(−1,2)上恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知p ：x 2−x −2≥0，q ：x 2−(m +2)x +2m <0．(1)当p 为真命题时，求实数x 的取值范围；(2)若￢p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．20. 已知函数f(x)=3ax 2−2x +a −1，方程f(x)=0有两个不同的实数根x 1，x 2．(1)求实数a 的取值范围；(2)小明同学在探究“若x 1，x 2仅在一个区间(0,1)内，求实数a 的取值范围”这一问题时，经过分类讨论后认为实数a 只需要满足：f(0)f(1)<0，他得出的答案为：34<a <1.老师批改后给出的评语：此类情况虽然满足题意，但分类讨论不够完整．请你补充小明同学遗漏的情况，并给出满足题意的实数a 的取值范围．21. 2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为R(x)万元，且R(x)={100−kx,0<x ≤202100x−9000kx2,x >20.当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．(1)求出k 的值并写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式W(x)； (2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．22.已知函数f(x)=x|x−2m|，m∈R．(1)讨论f(x)的单调性(只要求写出正确结论)(2)若函数F(x)=f(x)+4m2在[2,4]上的最小值为12，求实数m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据集合的元素数目与子集个数的关系，n元素的子集有2n个，集合A有3个元素，则其子集个数为23=8，故选：C．根据集合的元素数目与子集个数的关系，而A有3个元素，计算可得答案．本题考查集合的元素数目与子集个数的关系，n元素的子集有2n个，真子集有2n−1个，非空子集有2n−1个．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2+1≥0，故选：B．3.【答案】D【解析】解：a−b>0⇔a>b，a2−b2>0⇔a2>b2，例如：1>−2满足a>b，但不满足a2>b2，再例如(−2)2>12，满足a2>b2，但不满足a>b，∴“a−b>0”是“a2−b2>0”的既不充分也不必要条件．故选：D．a−b>0⇔a>b，a2−b2>0⇔a2>b2可解决此题．本题考查充分、必要条件判断及不等式关系，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵幂函数f(x)=(a 2−5a −5)x a 在(0,+∞)上单调递增， ∴a 2−5a −5=1，且a >0， 求得a =6， 故选：B ．由题意利用幂函数的定义和性质，求得a 的值． 本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由图象可得0<x <1时，f(x)<0；1<x <3时，f(x)>0， 又f(x)是定义在(−3,3)上的奇函数，可得−1<x <0时，f(x)>0；−3<x <−1时，f(x)<0，所以f(x)>0的解集为(−1,0)∪(1,3)， 故选：C ．由奇函数的图象关于原点对称和已知图象，求得f(x)>0的解集． 本题考查函数的奇偶性的图像和运用，考查数形结合思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)=2x−1x+1即f(x)=2−3x+1， 由函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x +a)−b 为奇函数，可得f(x −1)−2=2−3x −2=−3x 为奇函数， 所以f(x)的对称中心为(−1,2)． 故选：A ．将f(x)化为f(x)=2−3x+1，考虑f(x −1)−2为奇函数，可得所求对称中心．本题考查函数的对称性，考查转化思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为第k次时共倒出了纯酒精x升，所以第k次倒出后容器中含纯酒精为(10−x)升，所以第k+1次倒出的纯酒精是10−x10×2=10−x5升，所以f(x)=x+10−x5=45x+2，故选：C．先求出第k次倒出酒精后容器中含纯酒精的含量，进而可以求出倒出第k+1次时的纯酒精的含量，所以可得倒k+1次共倒出的纯酒精的含量．本题考查将实际问题转化为数学模型的能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：当x=0时，f(x)=0，当x≠0时，f(x)=x3−xx4+x2+1=x−x−1x2+x−2+1=x−x−1(x−x−1)2+3，令t=x−x−1，则y=tt2+3，当t>0时，y=tt2+3=1t+3t，由基本不等式可得t+3t ≥2√3，当且仅当t=3t，即t=√3时，取等号，因为t=x−x−1，所以函数t为增函数，因为x∈[1,3]，所以t∈[0,83]，当t=0时，y=tt2+3=0，综上所述，y的取值范围为[0,√36]，即函数f(x)在[1,3]上有最大值√36，最小值为0，故选：A ．当x ≠0时，f(x)=x−x −1(x−x −1)2+3，令t =x −x −1，则y =tt 2+3，结合基本不等式，即可得出答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：∵Z 表示整数集，R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集， 故选：AD ．记住各数集所对应的字母，是本题的关键． 本题考查了元素和集合之间的关系，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：B ={x|x−1x+2≤0}=(−2,1]， ∵A ={−2,−1,0,1}，∴A ∩B ={−1,0,1}，A ∪B ={x|−2≤x ≤1}． 故选：CD ．先利用不等式的解法求出集合B ，然后利用交集和并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与并集的求解，解题的关键是掌握交集与并集的定义，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：根据题意，若函数f(x)满足对于定义域上的任意x ，恒有f(x)+f(−x)=0，则f(x)为奇函数，满足对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则f(x)在其定义域上为减函数，若函数f(x)为“理想函数“，则f(x)为奇函数且在其定义域上为减函数， 依次分析选项：对于A ，f(x)=−x ，是正比例函数，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意，对于B ，f(x)=−√x 3，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意， 对于C ，f(x)=x 3+x ，在其定义域上为增函数，不符合题意， 对于D ，f(x)=23−x ，是一次函数，不是奇函数，不符合题意； 故选：AB ．根据题意，分析可得若函数f(x)为“理想函数“，则f(x)为奇函数且在其定义域上为减函数，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．12.【答案】CD【解析】解：令f(x)=x 2−4x −6=(x −2)2−10≥−10，当b <−10时，解集为⌀，A 错误；若不等式a ≤x 2−4x −6≤b 的解集可能为{x|−8≤x ≤−6或8≤x ≤12}， 根据二次不等式解与系数的关系，需满足−8+12=4，−6+8=4，不成立，故B 错误；取a =−10，b =−6，得到−10≤x 2−4x −6≤−6，解得x ∈[0,4]，C 正确； a ≤x 2−4x −6和x 2−4x −6≤b 的解都关于x =2对称，故只能是a ≤x 2−4x −6恒成立，a ≤−10，x 2−4x −6≤b 的解集为{x|a6≤x ≤b}，故{a 6+b =4a6⋅b =−b −6，解得{a =−12b =6或{a =30b =−1(舍去)，D 正确； 故选：CD ．当b <−10时，解集为⌀，A 错误，根据对称关系−6+8=4不成立，B 错误，取a =−10，b =−6，解不等式得到C 正确，根据不等式的解与系数的关系得到D 正确，得到答案． 本题考查了不等式组的解法及分类讨论思想，属于基础题．13.【答案】(−∞,2)【解析】解：依题意，得2−x >0，解得x <2， 故答案为：(−∞,2)根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14.【答案】1【解析】解：∵A∩B=A∪B，∴A=B，∴{−a=−1a2−7=−6，∴a=1..找出A，B之间的关系是本题的关键．本题考查了集合间的关系，属于基础题．15.【答案】6+4√2【解析】解：因为正数a，b，所以1a +4b=(1a+4b)(2a+b)=2+ba+8ab+4≥6+2√ba⋅8ab=6+4√2，当且仅当ba =8ab，即a=√2−12，b=2−√2时，等号成立，所以1a +4b的最小值为6+4√2．故答案为：6+4√2．根据基本不等式中的“乘1法”，即可得解．本题考查基本不等式的应用，熟练掌握乘1法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】[−2,−1]【解析】解：当k=0时，A={x|(kx−k2−2k−2)(2x−5)>0,x∈Z}={x|x<52,x∈Z}，元素有无穷多个；当k>0时，(kx−k2−2k−2)(2x−5)=k[x−(k+2+2k)](2x−5)>0，k+2+2k ≥2√k⋅2k+2=2√2+2>52，k=√2时等号成立，故x∈(−∞,52)∪(k+2+2k,+∞)，所以A={x|(kx−k2−2k−2)(2x−5)>0,x∈Z中元素有无穷多个；当k<0时，(kx−k2−2k−2)(2x−5)=k[x−(k+2+2k)](2x−5)>0，k+2+2k =−(−k+2−k)+2≤−2√(−k)⋅2−k+2=−2√2+2<0<52，k=−√2时等号成立，故x∈(k+2+2k ,52)，要让A中元素最少，需要满足−1≤k+2+2k<0，解得−2≤k≤−1．故答案为：[−2,−1]．考虑，k>0，k=0，k<0三种情况，结合均值不等式，可推出在k<0时x∈(k+2+2 k ,52)，要让元素最少需满足1≤k+2+2k<0，即可求得答案．本题考查了分类讨论思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)f(−1)=(−1)2+4×(−1)+4=1，∴f(f(−1))=f(1)=1−4+4=1；(2)当a>0时，f(a)=a2−4a+4=2，解得a=2+√2或a=2−√2，当a<0时，f(a)=a2+4a+4=2，解得a=−2+√2或a=−2−√2．a的值为2+√2或2−√2或−2+√2或−2−√2．【解析】(1)由−1<0，求出f(−1)=1，再计算f(f(−1))=f(1)即可；(2)当a>0时，f(a)=a2−4a+4=2，当a<0时，f(a)=a2+4a+4=2，由此能求出a的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=x2−3x+a，因为f(x)>0在x∈R上恒成立，即x2−3x+a>0在x∈R上恒成立，所以△=(−3)2−4a<0，解得a>94，故实数a的取值范围为(94,+∞)；(2)因为f(x)<0在x∈(−1,2)上恒成立，即x2−3x+a<0在x∈(−1,2)上恒成立，因为f(x)=x2−3x+a=(x−32)2+a−94，x∈(−1,2)，所以a −94≤f(x)<f(−1)=4+a ，则4+a ≤0，解得a ≤−4，故实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)利用二次函数的图象与性质，由Δ<0，求解即可得到答案；(2)将问题转化为求解f(x)的取值范围，然后利用二次函数的性质求解，即可得到答案． 本题考查了函数恒成立问题，二次函数图象与性质的运用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵p ：x 2−x −2≥0，当p 真时，解得x ≥2或x ≤−1，故x 的取值范围为(−∞,−1]∪[2,+∞)；(2)∵p ：x 2−x −2≥0，∴当p 真时，x ≥2或x ≤−1，则￢p 对应−1<x <2，∵q ：x 2−(m +2)x +2m <0，∴q ：(x −m)(x −2)<0，若q 为真时，①当m >2时，x 的取值范围为(2,m)，不合题意，②当m =2时，x 的取值范围为⌀，不合题意，③当m <2时，x 的取值范围为(m,2)，∵￢p 是q 成立的充分不必要条件，∴(−1,2)⫋(m,2)，∴m >−1．∴m 的取值范围是(−1,+∞)．【解析】(1)由p ：x 2−x −2≥0，求解不等式，即可求得答案．(2)根据条件等价转化q ，根据m 的取值对q 进行分类讨论，然后利用充分条件与必要条件的定义，将￢p 是q 的充分不必要条件转化为集合与集合的关系求解即可．本题考查了充分条件与必要条件的应用，涉及了一元二次不等式的解法，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=3ax 2−2x +a −1，方程f(x)=0有两个不同的实数根x 1，x 2，则{a ≠0△=4−12a(a −1)>0，解得3−√216<a <0或0<a <3+√216， 故实数a 的取值范围为(3−√216,0)∪(0,3+√216)；(2)遗漏的情况为f(0)=0或f(1)=0的情况，当f(0)=0时，a −1=0，解得a =1，此时f(x)=3x 2−2x ，零点为x =0或x =23，满足条件；当f(1)=0时，3a −2+a −1=0，解得a =34，此时f(x)=94x 2−2x −14，零点为x =1或x =−19，不满足条件；当f(0)f(1)≠0时，f(0)f(1)<0，即(3a −2+a −1)(a −1)<0，解得34<a <1． 综上所述，实数a 的取值范围为(34,1]．【解析】(1)利用二次方程根的个数与系数的关系，列出不等式组，求解即可；(2)由题意可知，遗漏的情况为f(0)=0或f(1)=0的情况，代入函数求值并验证，即可得到答案．本题考查了函数与方程的综合应用，二次方程根的个数与系数关系，一元二次方程与二次函数的综合应用，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元，且平均每万只的销售投入为R(x)万元，且R(x)={100−kx,0<x ≤202100x −9000k x 2,x >20， ∴W(x)=xR(x)−50−20x ，又∵该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元， ∴W(5)=500−k ×52−50−20×5=300，解得k =2，∴W(x)={80x −2x 2−50,0<x ≤202050−20x −18000x,x >20． (2)当0<x ≤20时，W(x)=−2x 2+80x −50为二次函数，图象开口向下， 对称轴x =20，故W max (x)=−2×202+80×20−50=750，当x >20时，W(x)=2050−(20x +18000x ) ≤2050−2√20x ⋅18000x =850， 当且仅当20x =18000x ，即x =30时，等号成立，故当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．【解析】(1)根据已知条件，结合年利润=x 万只销售收入−50−20x ，即可依次求解．(2)根据已知条件，结合二次函数的性质和基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质和基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．22.【答案】解：(1)当m <0时，f(x)在(−∞,2m)，(m,+∞)上是增函数，在[2m,m]上是减函数；当m =0时，f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；当m >0时，f(x)在(−∞,m)，(2m,+∞)上是增函数，在[m,2m]上是减函数；(2)由(1)知，当m ≤1时，F(x)在[2,4]上是增函数，故F (x)min =f(2)+4m 2=12，即2(2−2m)+4m 2=12，解得，m =−1；当1<m <2时，F(x)在[2,2m]上是减函数，在[2m,4]上是增函数，故F (x)min =f(2m)+4m 2=12，即4m 2=12，解得，m =√3；当m ≥2时，F(x)=f(x)+4m 2≥4m 2≥16，故不成立；综上所述，实数m 的值为−1，√3．【解析】(1)f(x)=x|x −2m|={−x 2+2mx,x <2m x 2−2mx,x ≥2m，结合二次函数的单调性分类写出单调性；(2)结合(1)中的单调性结论，根据单调性依次分类讨论即可．本题考查了含绝对值函数及二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，属于中档题．。
2020-2021学年湖北省武汉市问津联盟高一上学期期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市问津联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜2}2．（5分）若a＜0，则化简得（）A．B．C．D．3．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元．设1枝郁金香的价格为a元，1枝丁香的价格为b元，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定4．（5分）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（2x）＜0的解集是（）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，4）5．（5分）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，+∞）B．（﹣∞，﹣5]C．[﹣7，+∞）D．（﹣∞，﹣7]6．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（0）]＝4a，则实数a等于（）A．B．C．2D．97．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}8．（5分）已知函数是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，满足，若a，b∈R，a+b＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对部分得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列叙述不正确的是（）A．的解是B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C．已知x∈R，则“x＞0”是“|x﹣1|＜1”的充分不必要条件D．函数的最小值是10．（5分）若∃x0∈[]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是（）A．B．C．3D．11．（5分）定义运算，设函数f（x）＝1⊕2﹣x，则下列命题正确的有（）A．f（x）的值域为[1，+∞）B．f（x）的值域为（0，1]C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）12．（5分）如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）A．f（x）＝2x B．C．f（x）＝﹣x2+3x﹣2D．三、填空题（共4小题）.13．（5分）计算得．14．（5分）若函数y＝|2x+c|是区间（﹣∞，1]上的单调函数，则实数c的取值范围是．15．（5分）已知定义在[1，3]上的函数f（x）满足f（x+1）＝，且当x∈[2，3]时，f（x）＝．若对定义域上任意x都有f（x）≤t成立，则t的最小值是．16．（5分）密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是元．四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}．（1）若，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a的取值集合．18．（12分）已知定义在[﹣3，3]上的函数y＝f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）＝1，解不等式f（x+1）+1＞0．19．（12分）已知f（x）＝（x≠a）．（1）若a＝﹣2，试证f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增；（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．20．（12分）根据市场调查，位于阳逻开发区的大明金属新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P（单位：元）与时间t（单位：天）的关系如图，日销量Q（单位：件）与时间t之间的关系如表所示．t/天5152030Q/件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数解析式．（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数解析式．（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额＝每件产品的销售价格×日销量）21．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若f（1）＝3，且a＞0，b＞0，求的最小值；（2）若f（1）＝2，且f（x）＞2在（﹣1，1）上恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．参考答案一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＜2}解：∵A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）若a＜0，则化简得（）A．B．C．D．解：∵a＜0，∴＝＝﹣＝﹣．故选：A．3．（5分）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元．设1枝郁金香的价格为a元，1枝丁香的价格为b元，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定解：由题意可知，即，由4a+5b＜22得：16a+20b＜88，由2a+b＞8得：22a+11b＞88，所以22a+11b＞16a+20b，化简得：2a＞3b，所以a＞＞b，故选：A．4．（5分）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，1）∪（2，+∞），则f（2x）＜0的解集是（）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，4）解：由题设可得：不等式f（x）＜0的解集为（1，2），∴不等式f（2x）＜0可化为1＜2x＜2，解得：0＜x＜1，故选：C．5．（5分）在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，+∞）B．（﹣∞，﹣5]C．[﹣7，+∞）D．（﹣∞，﹣7]解：不等式化为：（x﹣3）（x+1）﹣a≥3，化为：a≤x2﹣2x﹣6，令f（x）＝x2﹣2x﹣6，f（x）＝（x﹣1）2﹣7．∴当x＝1时，f（x）min＝﹣7，∵不等式对任意实数x恒成立，∴a≤f（x）min＝﹣7．则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣7]．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（0）]＝4a，则实数a等于（）A．B．C．2D．9解：由题知f（0）＝2，f（2）＝4+2a，由4+2a＝4a，解得a＝2．故选：C．7．（5分）函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|x＞2，或x＜﹣2}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＞4，或x＜0}解：f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，∵函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即ax2﹣（b﹣2a）x﹣2b＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b，得﹣（b﹣2a）＝（b﹣2a），即b﹣2a＝0，则b＝2a，则f（x）＝ax2﹣4a，∵f（x）在（0，+∞）单调递增，∴a＞0，由f（2﹣x）＞0得a（2﹣x）2﹣4a＞0，即（2﹣x）2﹣4＞0，得x2﹣4x＞0，得x＞4或x＜0，即不等式的解集为{x|x＞4，或x＜0}，故选：D．8．（5分）已知函数是幂函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，满足，若a，b∈R，a+b＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断解：∵已知函数是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，∴m＝2，或m＝﹣1，f（x）＝x7，或f（x）＝x﹣2．对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，满足，故f（x）是增函数，∴f（x）＝x7．若a，b∈R，a+b＜0，即a＜﹣b，∴a7＜（﹣b）7，即a7＜﹣b7，即a7+b7＜0．则f（a）+f（b）＝a7+b7＜0，故选：B．二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对部分得3分，有选错的得0分）9．（5分）下列叙述不正确的是（）A．的解是B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C．已知x∈R，则“x＞0”是“|x﹣1|＜1”的充分不必要条件D．函数的最小值是解：对于A：，整理得，转换为，解得，故不等式的解集为{x|}，故A正确；对于B：“mx2+mx+1≥0”的充要条件为①当m＝0时，②不等式恒成立，解得0＜m≤4，故0≤m≤4，故B错误；对于C：不等式|x﹣1|＜1，整理得﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，所以“x＞0”是“|x﹣1|＜1”的必要不充分条件，故C错误；对于D：函数f（x）＝＝，设x2+2＝t（t≥2），所以，根据对勾函数的性质，由于函数在[2，+∞）单调递增，所以函数，故D错误．故选：ABCD．10．（5分）若∃x0∈[]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，则实数λ可能取值是（）A．B．C．3D．解：x0∈[，2]，使得2x02﹣λx0+1＜0成立是假命题，故：对∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0恒成立．即2x+≥λ对任意的x∈[，2]恒成立．即（2x+）min≥λ，故2x+≥2，（当且仅当x＝）等号成立．故λ≤2．故选：AB．11．（5分）定义运算，设函数f（x）＝1⊕2﹣x，则下列命题正确的有（）A．f（x）的值域为[1，+∞）B．f（x）的值域为（0，1]C．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0）D．不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（0，+∞）解：由题意知，函数f（x）＝1⊕2﹣x＝，画出函数f（x）的图象，如图所示；所以f（x）的值域是[1，+∞），选项A正确，B错误；由f（x）在（﹣∞，0）上是单调减函数，不等式f（x+1）＜f（2x）可化为，解得x＜﹣1；又x∈[﹣1，0）时，x+1≥0，f（x+1）＝1；2x＜0，f（2x）＞1，所以f（x+1）＜f（2x）；综上知，不等式f（x+1）＜f（2x）成立的范围是（﹣∞，0），所以C正确，D错误．故选：AC．12．（5分）如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）A．f（x）＝2x B．C．f（x）＝﹣x2+3x﹣2D．解：函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，可得f″（x）≥0，对于A：f（x）＝2x，则f′（x）＝2x•ln2，∴f″（x）＝2x•ln22＞0，∴函数是下凸函数；对于B：f（x）＝，则f′（x）＝，∴f″（x）＝﹣＜0，∴函数不是下凸函数；对于C：f（x）＝﹣x2+3x﹣2，则f′（x）＝﹣2x+3，∴f″（x）＝﹣2＜0，∴函数不是下凸函数；对于D：x＜0时，f′（x）＝1，∴f″（x）＝0；x≥0时，f′（x）＝2，∴f″（x）＝0，∴函数是下凸函数；故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）13．（5分）计算得．解：算＝＝．故答案为：．14．（5分）若函数y＝|2x+c|是区间（﹣∞，1]上的单调函数，则实数c的取值范围是（﹣∞，﹣2]．解：由函数y＝|2x+c|＝2|x+|的性质可知函数在[）单调递增，在单调递减又∵函数y＝|2x+c|是区间（﹣∞，1]上的单调函数∴∴，解可得c≤﹣2故答案为：（﹣∞，﹣2]．15．（5分）已知定义在[1，3]上的函数f（x）满足f（x+1）＝，且当x∈[2，3]时，f（x）＝．若对定义域上任意x都有f（x）≤t成立，则t的最小值是2．解：当x∈[1，2）时，x+1∈[2，3），∴f（x+1）＝（x+1）﹣＝x﹣，又f（x+1）＝，∴f（x）＝﹣1，∵当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；∴f（x）∈（，2]当x∈[2，3]时，f（x）单调递增；∴f（x）∈[，]，∴f（x）≤2，∵对定义域上任意x都有f（x）≤t成立，∴t≥2，故t的最小值是2，故答案为：216．（5分）密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下：优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是201元．解：设他购买的商品的标价可以是x元，则当x＞100时，优惠券1的优惠金额为y＝，优惠券2的优惠金额为y＝20，优惠券3的优惠金额为y＝．要使顾客先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则，解得200＜x＜225．顾客购买的商品的标价在（200，225）内时，满足题意．故建议他购买的商品的标价可以是201元．故答案为：201．四、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}．（1）若，试判定集合A与B的关系；（2）若B⊆A，求实数a的取值集合．解：（1）由x2﹣8x+15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当由ax﹣1＝0得x＝5．∴B＝{5}，∴B⊊A．（2）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝，由B⊆A得，∴．综上所述，实数a的取值集合为．18．（12分）已知定义在[﹣3，3]上的函数y＝f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）＝1，解不等式f（x+1）+1＞0．解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，即m的范围是[﹣1，2）．（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）＝1，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣1，∵f（x+1）+1＞0，∴f（x+1）＞﹣1，∴f（x+1）＞f（﹣2），∴，∴﹣3＜x≤2．∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．19．（12分）已知f（x）＝（x≠a）．（1）若a＝﹣2，试证f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增；（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．解：（1）证明任设x1＜x2＜﹣2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝．∵（x1+2）（x2+2）＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增．（2）解任设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝∵a＞0，x2﹣x1＞0，∴要使f（x1）﹣f（x2）＞0，只需（x1﹣a）（x2﹣a）＞0恒成立，∴a≤1．综上所述，a的范围是（0，1]．20．（12分）根据市场调查，位于阳逻开发区的大明金属新产品投放市场的30天内，每件产品的销售价格P（单位：元）与时间t（单位：天）的关系如图，日销量Q（单位：件）与时间t之间的关系如表所示．t/天5152030Q/件35252010（1）根据图示写出该产品每件的销售价格P与时间t的函数解析式．（2）在所给的平面直角坐标系（如图）中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销量Q与时间t的一个函数解析式．（3）在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额＝每件产品的销售价格×日销量）解：（1）根据题图知每件产品的销售价格P与时间t的函数解析式为P＝．（2）描出实数对（t，Q）的对应点如图所示．从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）可能在同一条直线上，设它们所在直线l的解析式为Q＝kt+b（k，b为常数）．将点（5，35），（30，10）代入方程，得，解得，所以Q＝﹣t+40．经检验，点（15，25），（20，20）也满足上式．因此日销量Q与时间t的一个函数解析式为Q＝﹣t+40（0＜t，30，t∈N*），（3）设日销售金额为y（单位：元），则即y＝，当0＜t≤20时，y max＝1225，此时t＝5；当20＜t≤30时，y＜1000．所以在这30天内，第5天的日销售金额最大．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若f（1）＝3，且a＞0，b＞0，求的最小值；（2）若f（1）＝2，且f（x）＞2在（﹣1，1）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3，f（1）＝3，则f（1）＝a+b﹣2+3＝3，得a+b＝2，∴＝（）（a+b）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时上式取等号，又a+b＝2，∴当且仅当a＝，b＝时，的最小值是．（2）由函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3，f（1）＝2，则f（1）＝a+b﹣2+3＝2，得a+b＝1，由f（x）＞2在（﹣1，1）上恒成立，则a（x2﹣x）＞x﹣1在（﹣1，1）上恒成立，∴ax＜1在（﹣1，1）上恒成立，①当x＝0时，ax＜1恒成立，②当0＜x＜1时，a＜在（0，1）上恒成立，∴a≤（）min，∴a≤1；③当﹣1＜x＜0时，a＞在（﹣1，0）上恒成立，∴a≥（）max，∴a≥﹣1；综上，实数a的取值范围[﹣1，1]．22．（12分）设函数f（x）＝a•2x﹣2﹣x（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点x0；（2）若函数h（x）＝f（x）+4x+2﹣x在x∈[0，1]的最大值为﹣2，求实数a的值．解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，∴a•2﹣x﹣2﹣x+a•2x﹣2x＝0，即∴（a﹣1）•（2﹣x+2x）＝0，∴a＝1．令，则2•（2x）2+3•（2x）﹣2＝0，∴（2x+2）•（2•2x﹣1）＝0，又2x＞0，∴2•2x﹣1即x＝﹣1，所以函数g（x）的零点为x0＝﹣1．（2）h（x）＝a•2x﹣2﹣x+4x+2﹣x，x∈[0，1]，令2x＝t∈[1，2]，h（x）＝t2+at，t∈[1，2]，对称轴，当，即a≥﹣3时，h max（t）＝h（2）＝4+2a＝﹣2，∴a＝﹣3；②当，即a＜﹣3时，h max（t）＝h（1）＝1+a＝﹣2，∴a＝﹣3（舍）；综上：实数a的值为﹣3．。