吉林省白山市数学高三理数一模试卷
吉林省白山市数学高三理数一模试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·天津) 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）
A . {2}
B . {1，2，4}
C . {1，2，4，6}
D . {1，2，3，4，6}
2. （2分）设（是虚数单位），则（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）
A . ¬p：∃x∈R，sinx＞1
B . ¬p：∀x∈R，sinx＞1
C . ¬p：∃x∈R，sin x≥1
D . ¬p：∀x∈R，sinx≥1
4. （2分） (2017高三下·西安开学考) 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）
A . （﹣∞，﹣2]
B . [﹣2，﹣1]
C . [﹣1，2]
D . [2，+∞）
5. （2分）双曲线的渐近线方程是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·武邑期中) 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）
A . 8﹣
B . 8﹣
C . 8﹣2π
D .
7. （2分）(2017·怀化模拟) 若x，y满足：，则z= 的最大值与最小值之和为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）若数列满足，，则数列的前32项和为（）
A . 64
B . 32
C . 16
D . 128
9. （2分） (2017高一上·山西期末) 在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，x2的值介于0到之间的概率是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高一上·黑龙江期末) 函数的图象的形状大致是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，则这三个几何体中是棱柱的个数为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
12. （2分）函数y= 在（0，2）上的最小值是（）
A .
B .
C .
D . e
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高三上·昭通期末) ，若，则x=________
14. （1分） (2016高三上·会宁期中) 函数y=3sin（﹣2x）的单调增区间是________．
15. （1分）已知圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的标准方程是________．
16. （1分） (2019高二上·上海月考) 用表示大于的最小整数，例如，，
．已知数列满足，，则 ________．
三、解答题 (共7题；共50分)
17. （5分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．
（1）求角B的值；
（2）若cosA= ，△ABC的面积为10 ，求BC边上的中线长．
18. （10分）(2018·永州模拟) 某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工
只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：
已知三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.
（1）求保险公司在该业务所或利润的期望值；
（2）现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.
19. （10分）如图所示，在△ABC中，a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体PABC中，S1 ， S2 ， S3 ， S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论
20. （5分） (2019高二上·双鸭山期末) 椭圆的左、右焦点分别为、，
，、分别是椭圆的上下顶点，且的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
21. （10分）(2019高三上·长春月考) 已知函数 , ,设
．
（1）如果曲线与曲线在处的切线平行,求实数的值；
（2）若对 ,都有成立,求实数的取值范围；
（3）已知存在极大值与极小值,请比较的极大值与极小值的大小,并说明理由．
22. （5分）(2018·保定模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，
），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与
相交于两点，且 .
（1）求的值；
（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.
23. （5分） (2018高一上·江津月考) 已知集合A= ，函数g(x)＝－1的值域为集合B，且A∪B＝B，求实数m的取值范围
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共50分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
21-2、
21-3、22-1、
22-2、23-1、。
2022年吉林省白山市高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年吉林省白山市高考理科数学一模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞3}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（1，3） B ．（1，+∞） C ．[1，3]D ．（1，3]2．（5分）复数z =2−i (1+i)2在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）双曲线x 2a 2−y 22a 2=1（a ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22x C ．y ＝±2x D ．y =±12x4．（5分）若tan θ＝3，则sinθ−2cosθ3sinθ+cosθ=（ ）A ．110B ．−45C ．25D ．−3105．（5分）已知向量a →=（2，4），b →=（1，n ），若a →∥b →，则|3a →−n b →|＝（ ） A ．4√5B ．12C ．8D ．√56．（5分）函数f(x)=log 12x −3x +2的零点所在的区间为（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（1，2）D ．（2，3）7．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤03x +y −3≥0，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．4B ．10C ．8D ．68．（5分）函数f （x ）＝ln 2−x 2+x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为32，则中应填写（ ）A ．S ＝S +1B ．S ＝S +2C ．S ＝2S +1D ．S ＝（S +1）210．（5分）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴间的距离为π2，将其图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则下列点是f （x ）图象的对称中心的是（ ） A ．(π24，0) B ．(π12，0) C ．(π6，0)D ．(π3，0)11．（5分）有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为（ ） A ．59B ．23C ．34D ．3512．（5分）如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝3，AC ＝BD =√11，AD ＝BC ＝2√3，△ABC 的重心为O ，则DO ＝（ ）A ．2B ．43C ．83D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．（5分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0，f(x −3)，x ＞0，则f （6）＝ ．14．（5分）已知直线l 与直线x ﹣y +2＝0平行，且与曲线y =lnx −2x+1相切，则直线l 的方程是 ．15．（5分）（x √x −2x）5的展开式中的常数项为 ． 16．（5分）已知直线x +3y ﹣7＝0与椭圆x 29+y 2b 2=1(0＜b ＜3)相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点分别是F 1，F 2，线段AB 的中点为C （1，2），则△CF 1F 2的面积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ． （1）求sin B ；（2）若a ＝2c ，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．18．（12分）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 7成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1S n+2}的前n 项和T n ．19．（12分）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p ，收益率为﹣10%的概率为1﹣p ；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为﹣20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的项目进行投资，4年累计投资数据如表：年份x 2016 2017 2018 2019 μ1 2 3 4 累计投资金额y （单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于μ的线性回归方程y =bμ+a ，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元． 附：收益＝收入的资金×获利期望；线性回归方程y =bx +a 中，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面P AD 是边长为2的正三角形，PD ⊥CD ，点E 为线段PC 的中点，点F 是AB 上的点． （1）当F 为AB 中点时，证明：平面DEF ⊥平面PCD ；（2）当AF →=13AB →时，求二面角C ﹣DF ﹣E 的余弦值．21．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）e x ． （1）求f （x ）的最值；（2）若f （x ）+e x ≥lnx +x +a 对x ∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞1）的焦点为F ，圆E ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝4，M ，N 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，当点M 在第一象限且MF ⊥x 轴时，|MN |的最大值为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且直线l ⊥MF ，设直线MF与抛物线C 的另一个交点为K ，求PM →⋅KQ →的最小值．2022年吉林省白山市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞3}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（1，3）B ．（1，+∞）C ．[1，3]D ．（1，3]【解答】解：集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞3}，则∁R B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩（∁R B ）＝{x |x ＞1}∩{x |x ≤3}＝{x |1＜x ≤3}， 即A ∩（∁R B ）＝（1，3]． 故选：D ． 2．（5分）复数z =2−i (1+i)2在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为z =2−i(1+i)2=2−i2i =−12−i ，其在复平面内对应的点为(−12，−1)位于第三象限． 故选：C ． 3．（5分）双曲线x 2a 2−y 22a 2=1（a ＞0）的渐近线方程为（ ）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y ＝±2xD ．y =±12x【解答】解：因为b 2＝2a 2，所以b a=√2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±√2x ． 故选：A ．4．（5分）若tan θ＝3，则sinθ−2cosθ3sinθ+cosθ=（ ）A ．110B ．−45 C ．25D ．−310【解答】解：因为：tan θ＝3， 所以：sinθ−2cosθ3sinθ+cosθ=tanθ−23tanθ+1=110．故选：A ．5．（5分）已知向量a →=（2，4），b →=（1，n ），若a →∥b →，则|3a →−n b →|＝（ ）A ．4√5B ．12C ．8D ．√5【解答】解：根据题意，向量a →=（2，4），b →=（1，n ）， 若a →∥b →，则2n ＝1×4，解可得n ＝2， 则3a →−n b →=（4，8）， 故|3a →−n b →|=√16+64=4√5， 故选：A ．6．（5分）函数f(x)=log 12x −3x +2的零点所在的区间为（ ）A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（1，2）D ．（2，3）【解答】解：题中所给的函数具有连续性， 且：f(12)=1−√3+2＞0，f(1)=0−3+2＜0，由函数零点存在定理可得函数的一个零点所在的区间是 (12，1)． 故选：B ．7．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y −3≤03x +y −3≥0，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．4B ．10C ．8D ．6【解答】解：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，由{x +y −3=0x −y −3=0 可得点A （3，0）， 变换目标函数z ＝2x +y 为y ＝﹣2x +z ，数形结合可得，当直线过点A （3，0）时，z 取得最大值，z 的最大值为2×3+0＝6． 故选：D ．8．（5分）函数f （x ）＝ln2−x 2+x的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由2−x 2+x＞0，得﹣2＜x ＜2，∴函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称，∵f(−x)=ln 2+x2−x =−ln 2−x2+x =−f(x)， ∴f （x ）为奇函数，排除选项C 和D ， ∵f(x)=ln 2−x 2+x =ln(4x+2−1)， ∴f （x ）在定义域内为减函数， 故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为32，则中应填写（ ）A ．S ＝S +1B ．S ＝S +2C ．S ＝2S +1D ．S ＝（S +1）2【解答】解：对于A ，S ＝1，i ＝1＜3， S ＝log （1+1）1＝0，i ＝1+1＝2， S ＝0+1＝1，i ＝2＜3， S ＝log （1+2）1＝0，i ＝2+1＝3，S ＝0+1＝1，i ＝3，输出S ＝1，不符合题意， 对于B ，S ＝1，i ＝1＜3， S ＝log （1+1）1＝0，i ＝1+1＝2， S ＝0+2＝2，i ＝2＜3， S =log (2+2)2=12，i ＝2+1＝3，S =12+1=32，i ＝3，输出S =32，故B 正确， 对于C ，S ＝1，i ＝1＜3， S ＝log （1+1）1＝0，i ＝1+1＝2， S ＝2×0+1＝1，i ＝2＜3， S ＝log （1+2）1＝0，i ＝2+1＝3，S ＝2×0+1＝1，i ＝3，输出S ＝1，故C 错误，对于D ，S ＝1，i ＝1＜3， S ＝log （1+1）1＝0，i ＝1+1＝2， S ＝（0+1）2＝1，i ＝2＜3，S ＝log （1+2）1＝0，i ＝2+1＝3，输出S ＝1，故D 错误． 故选：B ．10．（5分）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其图象相邻两条对称轴间的距离为π2，将其图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则下列点是f （x ）图象的对称中心的是（ ） A ．(π24，0)B ．(π12，0)C ．(π6，0)D ．(π3，0)【解答】B 解：因为f （x ）图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，所以T =π=2πω，所以ω＝2．因为f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到曲线y =cos(2x −π3+φ)，根据其图象关于y 轴对称，所以，−π3+φ=kπ，k ∈Z ，即φ=π3+kπ，k ∈Z ． 因为|φ|＜π2，所以φ=π3，故f(x)=cos(2x +π3)． 令2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π12+k 2π，k ∈Z ． 当k ＝0时，x =π12，所以点(π12，0)是f （x ）图象的一个对称中心， 故选：B ．11．（5分）有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为（ ） A ．59B ．23C ．34D ．35【解答】解：有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3， (6)随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字， 基本事件总数n ＝6×6＝36，这两个数字的乘积能被3整除包含的基本事件有：（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，6），（5，3），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）（6，6），共20个，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为P =2036=59． 故选：A ．12．（5分）如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝3，AC ＝BD =√11，AD ＝BC ＝2√3，△ABC 的重心为O ，则DO ＝（ ）A ．2B ．43C ．83D ．3【解答】解：如图，将四面体ABCD 还原到长方体AEBH ﹣GCFD 中， 易知四面体ABCD 的棱是长方体AEBH ﹣GCFD 的面对角线，则DE =√EA 2+EB 2+EC 2=√AB 2+AC 2+BC 22=√32+(√11)2+(2√3)22=4， 连接EF 交BC 于M ，连接AM ，则AM 为BC 边的中线，△ABC 的重心O 为AM 靠近M 的三等分点．把长方体的对角面AEFD 单独画出，如图，记P 为AM 和ED 的交点． 因为△ADP ∽△MEP ，且PD PE=AP MP=AD EM =2，所以P 为AM 靠近M 的三等分点，即重心O 与P 点重合，故OD =PD =23ED =83．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0，f(x −3)，x ＞0，则f （6）＝ 1 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x ，x ≤0，f(x −3)，x ＞0，∴f （6）＝f （3）＝f （0）＝20＝1． 故答案为：1．14．（5分）已知直线l 与直线x ﹣y +2＝0平行，且与曲线y =lnx −2x +1相切，则直线l 的方程是 x ﹣y +ln 2﹣2＝0 ．【解答】解：由y =lnx −2x +1，得y′=1x +2x 2， 令y′=1x +2x 2=1， 解得x ＝2或x ＝﹣1（舍去）， ∴切点的坐标为（2，ln 2）． 故直线l 的方程为y ﹣ln 2＝x ﹣2， 即x ﹣y +ln 2﹣2＝0． 故答案为：x ﹣y +ln 2﹣2＝0．15．（5分）（x √x −2x ）5的展开式中的常数项为 ﹣80 ．【解答】解：∵展开式的通项为T r+1=(−2)r C 5r x 15−5r 2，令12(15−5r)=0，解得r ＝3，∴展开式中的常数项为 −8C 53=−80，故答案为：﹣80．16．（5分）已知直线x +3y ﹣7＝0与椭圆x 29+y 2b 2=1(0＜b ＜3)相交于A ，B 两点，椭圆的两个焦点分别是F 1，F 2，线段AB 的中点为C （1，2），则△CF 1F 2的面积为 2√3 ． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则{x 129+y 12b 2=1x 229+y 22b 2=1，两式相减得：y 1−y 2x 1−x 2=−b 2(x 1+x 2)9(y 1+y 2)，因为直线AB 的斜率为−13，线段AB 的中点为C （1，2），所以−2b 29×4=−13，得b 2＝6，因为a ＝3，所以c =√3，故△CF 1F 2的面积为12×2×2√3=2√3，故答案为：2√3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ． （1）求sin B ；（2）若a ＝2c ，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长． 【解答】解：（1）因为（sin A ﹣sin C ）2＝sin 2B ﹣sin A sin C ． 即sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B ＝sin A sin C ， 由正弦定理得，a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理得cos B =a 2+c 2−b 22ac =ac 2ac =12， 由B 为三角形内角，可得B =π3，sin B =√32； （2）若a ＝2c ，且△ABC 的面积为2√3， 可得2√3=12ac sin B =√32c 2，解得c ＝2，a ＝4， b 2＝a 2+c 2﹣ac ＝16+4﹣8＝12，解得b ＝2√3， 所以△ABC 的周长为6+2√3．18．（12分）已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 7成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1S n+2}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由题意知，a 3＝a 1+4，a 7＝a 1+12，因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以a 32=a 1⋅a 7．即(a 1+4)2=a 1⋅(a +12)，解得a 1＝4， 所以a n ＝4+2（n ﹣1），即a n ＝2n +2． （2）因为a n ＝2n +2，所以S n =n(a 1+a n )2=n(n +3)， 则S n +2=n 2+3n +2=(n +1)(n +2)．又1S n+2=1n+1−1n+2，所以T n=12−13+13−14+14−15+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2)．19．（12分）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风投公司准备投资芯片领域．若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p，收益率为﹣10%的概率为1﹣p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为﹣20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．（1）已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你为该风投公司选择一个合理的项目，并说明理由；（2）若该风投公司准备对以上你认为比较合理的项目进行投资，4年累计投资数据如表：年份x2016201720182019μ1234累计投资金额y（单位：亿元）2356请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于μ的线性回归方程y=bμ+a，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．附：收益＝收入的资金×获利期望；线性回归方程y=bx+a中，b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解答】解：（1）若投资光刻机项目，设收益率为ξ1，则ξ1的分布列为：ξ10.3﹣0.1P p1﹣p所以Eξ1＝0.3×p+（﹣0.1）×（1﹣p）＝0.4p﹣0.1．若投资光刻胶项目，设收益率为ξ2，则ξ2的分布列为ξ20.3﹣0.20P0.40.10.5所以Eξ2＝0.3×0.4+（﹣0.2）×0.1+0×0.5＝0.1．因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，所以0.4p﹣0.1＝0.1，所以p=1 2．因为Dξ1=(0.3−0.1)2×12+(−0.1−0.1)2×12=0.04，Dξ2=(0.3−0.1)2×0.4+(−0.2−0.1)2×0.1+(0−0.1)2×0.5=0.03， 所以E ξ1＝E ξ2，D ξ1＞D ξ2，这说明虽然光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥． 综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目； （2）μ=1+2+3+44=2.5，y =2+3+5+64=4，∑ 4i=1μi y i =1×2+2×3+3×5+4×6=47，∑ 4i=1μi 2=12+22+32+42=30，则b =∑ n i=1μi y i −nμy ∑ ni=1μi 2−nμ2=47−4×2.5×430−4×2.52=1.4，a =y −b μ=4−1.4×2.5=0.5，故线性回归方程为y =1.4μ+0.5．设该公司在芯片领域的投资收益为Y ，则Y ＝0.1×（1.4μ+0.5）≥0.75，解得μ≥5，故在2020年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面P AD 是边长为2的正三角形，PD ⊥CD ，点E 为线段PC 的中点，点F 是AB 上的点． （1）当F 为AB 中点时，证明：平面DEF ⊥平面PCD ；（2）当AF →=13AB →时，求二面角C ﹣DF ﹣E 的余弦值．【解答】（1）证明：取PD 中点G ，连接AG ，EG ．∵点E 为PC 的中点，∴EG ∥CD 且EG =12CD ．∵F 为AB 的中点，∴AF =12AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AF ∥EG 且AF ＝EG ， ∴四边形AFEG 为平行四边形，∴EF ∥AG ， ∵AD ⊥CD 且PD ⊥CD ，AD ∩PD ＝D ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AG ． ∵△P AD 为等边三角形，∴AG ⊥PD ． ∵CD ∩PD ＝D ，∴AG ⊥平面PCD ，∴EF ⊥平面PCD ， ∵EF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面PCD（2）解：取AD 的中点O ，BC 的中点Q ， 连接OP 和OQ ，则OP ⊥AD 且OQ ∥CD 由（1）知，CD ⊥平面P AD ，∴OQ ⊥平面P AD ， ∴OQ ⊥AD 且OQ ⊥OP ．以O 为原点，以OA ，OQ ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ，则D （﹣1，0，0），E(−12，1，√32)，F(1，23，0)， DF →=(2，23，0)，EF →=(32，−13，−√32) 设平面DEF 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅DF →=2x +23y =0m →⋅EF →=32x −13y −√32z =0， 令x ＝1，则m =(1，−3√3)． 取平面CDF 的一个法向量n →=(0，0，1)，则cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=5√3√1+9+253=√5511由图可知二面角C ﹣DF ﹣E 为锐角， 故二面角C ﹣DF ﹣E 的余弦值为√5511．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x．（1）求f（x）的最值；（2）若f（x）+e x≥lnx+x+a对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝xe x，令f'（x）＞0，得x＞0；令f'（x）＜0，得x＜0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（0）＝﹣1，无最大值．（2）法一：由题知，a≤xe x﹣lnx﹣x在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝xe x﹣lnx﹣x，则g′(x)=(x+1)(e x−1x )，因为x＞0，所以x+1＞0．设ℎ(x)=e x−1x，易知h（x）在（0，+∞）上单调递增．因为ℎ(12)=√e−2＜0，h（1）＝e﹣1＞0所以存在t∈(12，1)，使得h（t）＝0，即et=1t．当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，t）上单调递减；当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（t，+∞）上单调递增．所以g(x)min=g(t)=te t−lnt−t=1+t−t=1，从而a≤1，故a的取值范围为（﹣∞，1]．法二：由题知，a≤xe x﹣lnx﹣x在（0，+∞）上恒成立，xe x﹣lnx﹣x＝e x+lnx﹣（x+lnx），令x+lnx＝t，t∈R，令h（t）＝e t﹣t，h′（t）＝e t﹣1，可得t∈（﹣∞，0）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，函数h（t）单调递增，h（0）是函数的最小值，所以h（t）≥h（0）＝1，所以a≤1．a的取值范围为（﹣∞，1]．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞1）的焦点为F ，圆E ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝4，M ，N 分别是抛物线C 和圆E 上的动点，当点M 在第一象限且MF ⊥x 轴时，|MN |的最大值为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，且直线l ⊥MF ，设直线MF 与抛物线C 的另一个交点为K ，求PM →⋅KQ →的最小值．【解答】解：（1）当点M 在第一象限且MF ⊥x 轴时，点M 的坐标为(p2，p)． 因为圆E 的圆心为E （﹣1，2），半径r ＝2， 所以|MN |max ＝|ME |+r ＝4，所以√(p2+1)2+(p −2)2+2=4，解得p ＝2或25（舍去），故抛物线C 的方程为y 2＝4x ．（2）由题意知F （1，0），直线l 的斜率k 存在且不为0， 设l 的方程为y ＝k （x ﹣1），由{y =k(x −1)y 2=4x 可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=2+4k2，x 1x 2＝1．因为直线l ⊥MF ，所以直线MF 的斜率为−1k ．设M （x 3，y 3），K （x 4，y 4），同理可得x 3+x 4=2+4k 2，x 3x 4＝1． 故PM →⋅KQ →=(PF →+FM →)⋅(KF →+FQ →)=PF →⋅KF →+PF →⋅FQ →+FM →⋅KF →+FM →⋅FQ →=|PF →|⋅|FQ →|+|FM →|⋅|KF →|=（x 1+1）（x 2+1）+（x 3+1）（x 4+1） ＝x 1x 2+x 1+x 2+1+x 3x 4+x 3+x 4+1=8+4(k 2+1k2)≥8+4×2√k 2⋅1k2=16，当且仅当k 2=1k2，即k ＝±1时，所以PM →⋅KQ →取得最小值16．。
吉林省白山市第一中学高三数学8月摸底考试试题 理(含解析)新人教A版
吉林省白山市高三摸底考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．集合，A ．B ．C ．D ． 2．复数在复平面的对应的点位于 (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．11C ．312 D ．311 4．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；（2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列（公差0d ≠），则120k S S S ⋅=L L 的充要条件是120.k a a a ⋅=L L（4）若{}n a 是等比数列，则120(2,)k S S S k k N ⋅=≥∈L L 的充要条件是10.n n a a ++= 其中，正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知:命题p ：“1=a 是2,0≥+>xax x 的充分必要条件”； {}|(1)(2)0A x x x =-+≤B ={}0x x <A B =U (,0]-∞(,1]-∞[1,2][1,)+∞11z i=+命题q ：“02,0200>-+∈∃x x R x ”．则下列命题正确的是（ ） A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“（┐p ）∧q ”是真命题C ．命题“p ∧（┐q ）”是真命题D ．命题“（┐p ）∧（┐q ）”是真命题6.如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1005≤iB ．1005>iC ．1006≤iD ．1006>i7．函数2()e xf x x =-的图象是 （ ）A. B. C. D.8．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r等于（ ）A ．19 B ．19- C ．16 D ．16-9．现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A ．420B ．560C ．840D ．2016010．已知，则函数的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设函数(),y f x x R =∈，的导函数为'()f x ，且()()f x f x =-，()()f x f x '<，则下列不等式成立的是（注：e 为自然对数的底数）（ ） A.12(0)(1)(2)f e f e f -<< B.12(1)(0)(2)e f f e f -<< C.21(2)(1)(0)e f e f f -<< D.21(2)(0)(1)e f f e f -<<12．设双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OB n OA m OP += (R n m ∈,)，且92=mn ，则该双曲线的离心率为 A ．223 B ．553 C ． 423 D ．89二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g . 14．函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数=-)(1x f________________．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .01a <<|||log |x a y a x =-16．已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC于点Q ，则BQ CP ⋅u u u r u u u r的最大值为 .三．解答题（本大题共5大题，共60分）17（12分)．已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和．18．（12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后．．．再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.19（12分)．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。
吉林省白山市2024学年高三第一次摸底考试数学试题
吉林省白山市2024学年高三第一次摸底考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．32．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A ．13B ．3C ．3D ．233．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．354．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．85．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．36．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的极大值为2； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④7．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )A ．8Nnπ B ．12nNπ C ．8nNπ D ．12Nnπ8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形9．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒10．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．212．已知向量()1,2a =-，(),1b x x =-，若()2//b a a -，则x =（ ） A ．13B ．23C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市2024届高三下学期一模试题 数学含答案
2024年（21级）吉林适应性训练（一）数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|10}A x x =∈+>Z ，{|}B x x a =≤，若A B 中有2个元素，则a 的取值范围是A ．[2，4）B ．[1，2）C ．[2，4]D ．[1，2]2．已知向量(3,)a x = ，(2,6)b x =，则“3x =”是“a b ∥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．统计学中通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取[3,3]μσμσ-+中的值，简称为3σ原则．假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N （500，2σ）（单位：g ），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g ，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修．由此可以得到σ的最大值为A ．2B ．4C ．6D ．84．投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为A ．23B ．12C ．13D ．165．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（）种不同的情况．A ．18B ．24C ．36D ．486．已知圆O ：221x y +=，过点A （2，0）的直线l 与圆O 交于B ，C 两点，且AB BC =，则||BC =A ．2B ．32C D ．27．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，且点M 在第一象限，满足OM OF =．若点P 在双曲线C 上，且4NP NF =，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．2C ．D 8．设函数||()cos 2x f x e x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则(1)f ，2()f e ，(2)e f 的大小关系是A ．2(1)()(2)ef f e f <<B ．2(2)(1)()e f f f e <<C ．2()(1)(2)ef e f f <<D ．2(1)(2)()ef f f e <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2022届吉林省白山市高三下学期3月一模考试数学(理)试题
白山市2022届高三下学期3月一模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}260A x x x =--≤，{}2B =<，则A B ⋂=（ ）A ．{}23x x -<< B ．{}13x x ≤≤C ．{}13x x ≤<D ．{}23x x -≤≤2．若复数()()12i 2i z =+-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()()1e xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为1，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2-D ．24．已知实数x ，y 满足约束条件1,0,2,y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．3-C ．6-D ．65．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100这5组，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（ ）A ．72.5B ．73.75C ．74.5D ．756．已知向量()1,3a =，3b =，且()7a b a +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11C D 的中点，则过点1A ，B ，P 的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（）A ．B ．C ．D ．8．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为a ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12a ，厚度变为4x ．在理想情况下，对折次数n 满足关系：28log a n x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，根据以上信息，一张长为40cm ，厚度为0.1mm的纸经过对折后的厚度的最大值约为（ ）（lg 20.3≈） A ．1.28cmB ．2.56cmC ．12.8cmD ．25.6cm9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为P ，若直线PF 与另一条渐近线平行，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD10．函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，现将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在区间5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）A ．2⎡⎤⎣⎦B ．⎡-⎣C ．⎡⎣D ．[]0,211．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（ ）A ．2021a 是奇数B ．24620202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202120212022a a a a a a ++++=12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()e f x f x =-，当()0,e x ∈时，()e2f x x =-，方程()()1e 02ef x x --=在区间[]e,3e -内所有实根的和为（ ） A ．2e B ．3e C ．4e D ．5e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10533S S =，则公比q =______．14．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组．甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马、狗．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为______．15．一个球被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为()233V R h h π=-，其中R 为球的半径，h 为球缺的高，则棱长为2的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺（不大于半球的部分）的体积为______． 16．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()1,0F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，C 在A 处的切线与C 的准线交于P 点，若PF =则AB =______；PAB △面积的最小值为______．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin A b A =．（1）求B ；（2）若b =1a c =+，求c ．18．（12分）已知正方形ABCD 的边长为2，沿BD 将ABD △折起到PBD △的位置（如图），G 为PBD △的重心，点E 在边CD 上，且2DE EC =．（1）证明：GE ∥平面PBC ．（2）若GE PB ⊥，求平面GEC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值． 19．（12分）十三届全国人大四次会议表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要，纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm ，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，生产一件该款芯片有三道工序，每道工序的生产互不影响，这三道工序的次品率分别为118，119，120． （1）①求生产一件该芯片的次品率P ． ②试产100件该芯片，估计次品件数X 的期望．（2）某手机生产厂商将该款芯片投入到某新款手机上使用，并对部分芯片做了技术改良，推出了两种型号的手机，甲型号手机采用没有改良的芯片，乙型号手机采用改良了的芯片，现对使用这两种型号的手机用户进行回访，就他们对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用甲型号手机的有30人，其中对开机速度满意的有15人；使用乙型号手机的有70人，其中对开机速度满意的有55人．完成下列22⨯列联表，并判断是否有99.%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度的满意度有关．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．（12分）已知Q 是圆()22:116C x y -+=上的任意一点，点()1,0F -，线段QF 的垂直平分线交CQ 于点P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）折线()10y k x k =->与E 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过原点，求k 的值． 21．（12分）已知函数()e ln x f x x x x=--．（1）判断函数()f x 的单调性． （2）证明：()ln 22f x x -<-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为1sin ρθ=-()02,0θπρ≤<≥，M 为该曲线上一动点．（1）当12OM =时，求M 的直角坐标； （2）若射线OM 逆时针旋转2π后与该曲线交于点N ，求OMN △面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()1f x x =-．（1）解不等式()22f x x +-≤；（2）若存在R x ∈，使得()()242f x m m f x +≤-+成立，求m 的取值范围． 白山市2022届高三下学期3月一模考试数学试卷参考答案（理科）1．B 2．A 3．A 4．A 5．A 6．A 7．C8．B 9．D 10．C 11．B 12．D 13．2 14．1215 16．5；417．解：（1cos sin A b A =cos sin sin C B A A B -=，cos sin cos sin sin A B A B B A A B +=．cos sin sin A B A B =，所以tan B =， 又因为()0,B π∈，所以3B π=．（2）因为2222cos b c a ac B =+-，所以()()22131212c c c c =++-+⨯． 整理得220c c +-=，解得1c =．18．（1）证明：取PB 的中点F ，连接DF ，FC ，因为G 为三角形PBD 的重心，所以2DG DEGF EC==，所以GE FC ∥． 因为GE ⊄平面PBC ，FC ⊂平面PBC ，所以GE ∥平面PBC ．（2）解：取BD 的中点O ，连接PO ，CO ，FO ，则PO BD ⊥，CO BD ⊥． 因为GE FC ∥，GE PB ⊥，所以PB FC ⊥．因为PB FO ⊥，FC FO F ⋂=，所以PB ⊥平面FOC ． 因为OC ⊂平面FOC ，所以OC PB ⊥．因为OC BD ⊥，PB BD B ⋂=，所以OC ⊥平面PBD ．如图，以O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．则)B，()C，()D，33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(P．()BC =-，(BP =-，33CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，0,3CG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面GEC 的法向量为()111,,m x y z =，则111120,3320,3m CE x y m CG z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩令11x =，得()1,1,3m =--．设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则222220,20,n BC n BP ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令21x =，得()1,1,1n =，所以cos,11m n m n m n⋅-===，所以平面GEC 与平面PBC ．19．解：（1）①因为生产一件芯片为次品的对立事件为“芯片在三道工序中都为合格品”， 所以11117181931111118192018192020P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-⨯⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ②生产的100件该款芯片中次品的件数X ，则3~100,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()31001520E X =⨯=，所以估计试产的100件该芯片中次品有15件． （2）22⨯列联表如下：因为()22100151555151006006004008.1637.879307030703070307049K ⨯⨯-⨯⨯⨯===≈>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为该项技术改良与用户对开机速度满意度有关．20．解：（1）因为PQ PF =，所以4PF PC PQ PC CQ FC +=+==>， 所以P 的轨迹是以F ，C 为焦点，4为长轴长的椭圆，因为2a =，1c =，b =P 的轨迹E 的方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y '，则()22,B x y -()221,1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+． 因为以AB 为直径的圆经过原点，所以0OA OB ⋅=，所以12120x x y y -=， 所以()()21212110x x kx x ---=，即()()222121210k x x k x x k -++-=，则()22222224128103434k k k k k k k--⨯+⨯-=++，所以13k =．21．（1）解：因为()e ln x f x x x x =--，所以()()()()221e 111xxx x x ef x x x x ---'=--=．令()e xg x x =-，则()1e xg x '=-，所以()g x 在()0,+∞上单调递减，所以()()010g x g <=-<．因为当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）证明：令()()e ln x F x f x x x x=-=--，则()()()221e 1e 1xxx x x F x x x x -+-'=--=-． 令()()1e xh x x x =+-，则()1e 0xh x x '=+>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增．因为102h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110h =>，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =， 所以当()00,x x ∈时，()0F x '>，()F x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()()000maxe ln x F x F x x x ==--． 因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()00001e 0x h x x x =+-=，所以000e 1x x x =--，所以()()00max 01ln 1F x F x x x ==-+-． 令()1ln 1x x x ϕ=-+-，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()21101x x x ϕ'=--<-，所以()x ϕ在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()1ln 222x ϕϕ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以()0ln 22F x <-，所以()ln 22f x x -<-． 22．解：（1）因为12OM =，所以11sin 2θ=-，1sin 2θ=， 因为02θπ≤<，所以6πθ=或56πθ=，所以M 的极坐标为1,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,26π⎛⎫⎪⎝⎭， 故M的直角坐标为1,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（2）设()1,M ρθ，[)0,2θπ∈，则2,2N πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭． 因为11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， 所以()()()1111sin 1cos 1sin cos sin cos 222OMN S OM ON θθθθθθ==--=-++⎡⎤⎣⎦△．令sin cos 4t πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则21sin cos 2t θθ-=．所以()22211111*********OMNt S t t t t ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭△，当t =OMN S △sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，54πθ=， 故OMN S △的最大值为34+． 23．解：（1）()22f x x +-≤，即122x x -+-≤．当1x <时，由122x x -+-≤，解得12x ≥，所以112x ≤<； 当12x ≤≤时，由122x x -+-≤，化简得12≤，所以12x ≤≤；当2x >时，由122x x -+-≤，解得52x ≤，所以522x <≤．故所求不等式的解集为15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）因为存在R x ∈，使得()()242f x m m f x +≤-+成立，所以()()2min42f x m m f x ⎡⎤+≤-+⎢⎥⎣⎦． 因为()()44141f x x f x x +=+-≥-，当且仅当411x x =--，即1x =-或3时，等号成立， 所以()()min44f x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦．由224m m -+≥，得1m ≤-或2m ≥，所以m 的取值范围是(][),12,-∞-⋃+∞．。
吉林省白山市2023届高三一模数学试题
吉林省白山市2023届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题AC与A．异面直线1-B．三棱锥1C ACPC．当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于D．当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin a (1)求角C 的大小;(2)若a =3，且1BA AC ⋅=-，求△ABC 的面积.18．已知数列{}n a 的前n 项和为()1111n n S a a S λ+==+，，1233,4,13a a a +成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若41log n n n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a ，b ，c 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为34，12，12．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；品．(1)求加工一件工艺品不是废品的概率；(2)若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100(1)证明://BE 平面PDF .(2)求平面PBC 与平面PDF 21．双曲线2222:1x y C a b-=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过直线1x =上任意一点证明：以AB 为直径的圆恒过右焦点22．已知函数()e xf x =-(1)当1a =时，证明:()f x ≥(2)若()f x 有两个零点12,x x参考答案：所以四边形PEFG是等腰梯形，且高为AA中点时，PE当E不是1则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，确；Q R S分别为对于D，如图，,,则1//RS AC ，//,QR BC QR 所以1//,2QR PS QR PS =，同理可得四边形PQRS 为平面由题可知,CB AC CB CC ⊥⊥所以BC ⊥平面11ACC A ，所以所以PS ⊥RS ，故四边形PQRS 是直角梯形，当则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为故答案为：1216．20π【分析】先证明出BC ⊥面PAC ，作出-P ABC 外接球的球心O 必在直线求出r ，即可求出三棱锥-P ABC 外接球的表面积【详解】在梯形ABCD 中，AB CD ∥所以梯形ABCD 为等腰梯形，ADC ∠因为120AD DC ADC =∠=︒，，所以12030ACB BCD ACD ∠=∠-∠=︒-︒所以2O A O P O C '''===,PO A '∠=过O '作//O O BC '，由球的性质可知，三棱锥设外接球的半径为r ，由球的性质可得：所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：20π.17．(1)π3C =(2)332【分析】（1）利用正弦定理进行边换角，结合两角和与差的正弦公式得到则有tan 3C =，则得到角C 的大小；（2）根据向量数量积的定理得到联立解得b 值，再利用三角形面积公式即可得到答案【详解】（1）因为sin cos a A B +则()()(0,0,0,0,1,0,2,F B C --所以131,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,BE ⎛= ⎝设平面PDF 的法向量为(m=【点睛】关键点点睛：联立切线方程与双曲线方程，根据判别式为。
吉林省白山市数学高三理数第一次教学质量监测试卷
吉林省白山市数学高三理数第一次教学质量监测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·辽宁模拟) 设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜6}，则集合（∁UA）∩B=（）A . {x|0＜x＜2}B . {x|0＜x≤2}C . {x|0≤x＜2}D . {x|0≤x≤2}2. （2分）在复平面上，复数对应的点的坐标为（）A . (1,3)B . (3,1)C . (-1,3)D . (3,-1)3. （2分）若数列满足:则等于A . 33B . 32C . 31D . 154. （2分）(2020·淮北模拟) 国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）A . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B . 甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D . 乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5. （2分）设集合M和N为平面中的两个点集，若存在点，使得对任意的点，均有，则称为点集M和N 的距离，记为.已知集合,，则d(M,N)=（）A .B .C .D .6. （2分）已知二项式的展开式中第4项为常数项，则中项的系数为（）A . -19B . 19C . 20D . -207. （2分）由函数f（x）=sin2x的图象得到g（x）=cos（2x﹣）的图象，可将f（x）的图象（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向右平移个单位D . 向左平移个单位8. （2分）(2014·新课标I卷理) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A . 6B . 6C . 4D . 49. （2分） (2018高一上·雅安月考) 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（）A .B .C .D .10. （2分） (2017·宝清模拟) 已知球O是的棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A . πB .C .D .11. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知实轴长为2 的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）A .B .C .D .12. （2分）计算机中常用16进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与10进制得对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如用16进制表示D+E＝1B，则A×B=（）A . 6EB . 7CC . 5FD . B0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·杭州月考) 已知函数，则 ________，不等式的解集为________.14. （1分）(2020·秦淮模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A 处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则________．15. （1分）(2018·佛山模拟) 若抛物线的焦点在直线上，则直线截抛物线的弦长为________．16. （1分）(2018·唐山模拟) 数列满足，若时，，则的取值范围是________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·赣榆期中) 已知角α为第四象限角，且其终边与单位圆交点的横坐标为．（1）求tanα的值；（2）求的值．18. （10分） (2013·辽宁理) 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．19. （10分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为矩形，AF⊥DF，且二面角D﹣AF ﹣E与二面角C﹣BE﹣F都等于．（Ⅰ）证明：平面A BEF⊥平面EFDC（Ⅱ）求证：四边形EFDC为等腰梯形．20. （10分） (2017高一下·盐城期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；（2）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；（3）设直线与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．21. （10分）(2017·济南模拟) 已知函数f（x）lnx﹣ ax2+ax，a∈R．（1）当a＜0时，讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若关于x的不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）对于函数f（x）图象上任意给定的两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），试判断f（）与的大小关系（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），并给出证明．22. （10分） (2019高三上·大庆期中) 在极坐标系中,圆C的方程为 ,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线l的参数方程为为参数．（1）求圆C的直角坐标方程化为标准方程和直线l的极坐标方程；（2）若l与圆C的一个交点为异于原点 ,l与直线的交点为Q,且求a的值．23. （10分） (2019高一上·河南期中) 已知定义域为R的函数是奇函数．（Ⅰ）求a ， b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
吉林省白山市数学高三理数第一次诊断性检测试卷
吉林省白山市数学高三理数第一次诊断性检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高二下·平罗月考) 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{y|y＝2x ，x∈A}，则A∩B＝（）A . {0，1，2}B . {1，2}C . {1，2，4}D . {1，4}2. （1分） (2018高三上·浙江期末) 已知为虚数单位，复数，（）A . 1B . 2C .D . 53. （1分）(2017·甘肃模拟) 下列4个命题中正确命题的个数是⑴对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0⑵已知X～N（2，σ2），P（x＞2）=0.5⑶已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 =2x﹣3⑷“x≥1”是“x+ ≥2”的充分不必要条件．（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （1分） (2019·广西模拟) 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .5. （1分） (2019高一下·南宁期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （1分）已知,是非零向量且满足，则与的夹角是（）A .B .C .D .7. （1分）(2017·江西模拟) 若函数y=ksin（kx+φ）（）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）A .B .C .D .8. （1分）(2016·大连模拟) 已知条件p：f（x）=x2+mx+1在区间（，+∞）上单调递增，条件q：m≥﹣，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （1分）若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是（）A .B .C . 或D .10. （1分）下列命题中的假命题是（）A . ，B . ，C . ，D . ，11. （1分）观察下列事实的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12，……，则的不同整数解的个数为（）A . 76B . 80C . 86D . 9212. （1分）(2018·泉州模拟) 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019·郑州模拟) 已知的展开式的各项系数和为64，则展开式中的系数为________14. （1分） (2020高三上·闵行期末) 已知，使得取到最大值时， ________.15. （1分） (2019高三上·瓦房店月考) 已知函数（）为奇函数，是其图像上两点，若的最小值是，则 ________16. （1分）(2017·陆川模拟) 对于函数f（x）= ，有下列5个结论：①任取x1 ，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1 ， x2 ，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是________．（请写出全部正确结论的序号）三、解答题 (共7题；共15分)17. （2分）(2017·运城模拟) 某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男14418女81422合计221840根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.0246.6357.87910.82818. （2分） (2016高二上·平原期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD= ，AB=AD，E为PC的中点．（1）求证：BC⊥AB；（2）求AB的长；（3）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．19. （2分）(2019·厦门模拟) 已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且 .（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值.20. （2分） (2016高一下·长春期中) {an}满足a1=4，且an=4﹣（n＞1），记bn= ．（1）求证：{bn}为等差数列．（2）求{an}的通项公式．21. （3分）(2019·浙江模拟) 已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：．22. （2分） (2018高二下·晋江期末) 在极坐标系中，已知点，，曲线C的极坐标方程为Ⅰ 求直线AB的直角坐标方程；Ⅱ 求曲线C的直角坐标方程．23. （2分）底面半径为4，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数；（2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共15分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
吉林省白山市2024届高三第一次模拟考试数学
2024年白山市第一次高三模拟考试数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，04xB xx ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭≤，则A B = （ ）A.()2,4 B.[)2,4 C.(]2,4 D.φ2.复数2323z i i i =++，则z 的虚部为（ ）A.2iB.2i- C.2D.2-3.已知()2,2a =- ，()3,1b = ，若a 在向量b 上的投影为c ，则向量c =（）A.31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.65⎛⎝ C.31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.62,55⎛⎫--⎪⎝⎭4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）A.300B.432C.600D.8645.“11b -<≤x b =+有唯一实根”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y+++≥，当且仅当a b x y =时，等号成立.则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（ ）A.16B.25C.36D.497.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（）A.直线AE 与CF 是异面直线B.平面ABF ⊥平面ABEC.D.平面ABE 与平面DCF8.不与坐标轴垂直的直线l 过点()0,0N x ，00x ≠，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点A ，B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为()11,x y .若102x x =，则C 的离心率为（ ）B.12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知()1,2,3,4,5,6,7i x i =，平均数为x ，方差为m .若7个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为y ，方差为n ，则（ ）A.y 一定大于xB.y 可能等于xC.m 一定大于nD.m 可能等于n10.公差不为零的等差数列{}n a 满足86a a =，5111596k k k a a =+=∑，则（ ）A.70a = B.4d =± C.124a = D.1560S =11.已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的相邻两对称轴的之间的距离为2π，函数6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数，则（ ）A.6πϕ=B.,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为其一个对称中心C.若()f x 在(),a a -单调递增，则06a π<≤D.曲线()y f x =与直线1224y x π=+有7个交点12.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若M 为C 的准线上任意一点，则（）A.直线若AB ，则16AB = B.AMB ∠的取值范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.274OA OB ⋅=-D.AOB ∠的余弦有最小值为35-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简25sin103cos 50+︒=-︒____________.14.已知二项式12nx ⎛ ⎝的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______.15.在四面体A BCD -中，BC =BD =BC BD ⊥，AC BC ⊥，AD BD ⊥.若该三棱，则该锥体的外接球的体积为___________.16.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()11f =，请写出满足条件的一个()f x =__________（答案不唯一），()2024f =_________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等比数列{}n a 满足12a =，且2420a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n n b n a =⋅，{}n b 其前n 项和记为n S ，求n S .18.（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos sin a b C B =.（1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C .19.（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =，2AD =，2DE EC =，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE △向上折至D AE B --为直二面角.（1）求证：DO BC ⊥；（2）求平面DAB 与平面DCE 所成的锐角的余弦值.20.（12分）俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记1ξ=；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记0ξ=；若1ξ=，则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为35，而选择了浅色后，再选西装的可能性为310.（1）求出随机变量ξ的分布列，并求出期望及方差；（2）求张老师当天穿西装的概率.21.（12分）已知A ，B 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右顶点，M 为双曲线E 上异于A 、B 的任意一点，直线MA 、MB 斜率乘积为34，焦距为.（1）求双曲线E 的方程；（2）设过()4,0T 的直线与双曲线交于C ，D 两点（C ，D 不与A ，B 重合），记直线AC ，BD 的斜率为1k ，2k ，证明：12k k 为定值.22.（12分）已知函数()ln 1f x x kx =-+（k 为常数），函数()g x b =.（1）若函数()f x 有两个零点，求实数k 的取值的范围；（2）当0k =，设函数()()()h x g x f x =-，若()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有零点，求22a b +的最小值.2024年第一次高三模拟考试数学监测试卷答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.答案：B 【详解】∵[)2,A =+∞，[)0,4B =，∴[)2,4A B = ；故选B2.答案：D 【详解】∵22z i =--，∴z 的虚部为2-；故选D.3.答案：D 【详解】∵()2623,1,555a bb c b b⋅⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭；故选D4.答案：B 【详解】总的方法数为22223342223322432C C N A A A A A ==；故选B 5.答案：Ax b =+有唯一解，即直线y x b =+与上半圆y =点，解得b 的取值范围为[)1,1-，∴11b -<≤x b =+有唯一解的充分不必要条件；故选A.6.答案：D 【详解】因为a ，b ，x ，y ，则()222a b a b x y x y+++≥，当且仅当a b x y =时等号成立，又103x <<，即130x ->，于是得()()()222343449313313f x x x x x +=+=-+-≥，当且仅当1413x x=-，即17x =时取“=”，所以函数的()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭最小值为49.7.答案：D 【详解】∵A ，E ，C ，F 四点共面，直线AE 与CF 是共面的；∴A 错取AB 中点G ，连接EG 、FG ，则EGF ∠为二面角E AB F --的平面角，其余弦值为13-；B错142V =⨯⨯=C 错连接AC 、BD 设交于O ，则O ABE -为正三棱锥，其底边长为2，所以O 到平面ABE 的ABE 与平面DCF；D 正确8.答案：C 【详解】设O 为坐标原点，在椭圆C 中，22OM ABb k k a=-，又1l AB k k =-，∴22OMl b k k a =即2112110y y b x a x x =-，又102x x =，∴2212b a =；故选C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分）9.答案：BC 【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所以方差变小.10.答案：AD 【详解】由68a a =得，680a a +=，根据等差数列性质知70a =，又80a >，∴0d >由5111596k k k a a =+=∑，得()()216167711155556696d a a a a a d a d d ⎛⎫-==== ⎪--⎝⎭，∴4d =所以()1587151560S a a d ==+=AD.11.答案：ACD 【详解】由题意T π=，故2ω=，又()y f x =的图象向左平移6π个单位得到2sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()32k k ππϕπ+=+∈Z ，且02πϕ<<，故6πϕ=，所以A 正确；因为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，且2sin 166f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 不正确；令22226236k x k k x k πππππππππ-+++⇒-++≤≤≤≤，k ∈Z ，故易知()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故06a π<≤，C 正确；直线1224y x π=+与曲线()y f x =均过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且该直线与曲线()yf x =均关于该点中心对称，当76x π=时，528y π=<，当136x π=时，928y π=>，由对称性可知曲线()y f x =与直线1224y x π=+有7个交点，故D 正确.故选：ABD.12.答案：BCD 【详解】对于A 选项，设AB 的倾斜角为θ，则228sin pAB θ==；故A 错对于B 选项，∵以AB 为直径的圆与准线相切，点M 在以AB 为直径的圆上或圆外，∴2AMB π∠≤，当M 在直线AB 上时，∴0AMB ∠=；故B 正确对于C 选项，设()11,A x y ，()22,B x y ，2212121212136OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+ ，设3:2AB x ty =+，联立2326x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，易得129y y =-，∴274OA OB ⋅=- ，故C 正确对于D 选项，cos OA OBAOB OA OB⋅∠===又126y y t +=，∴3cos 5AOB ∠=-；故D 正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案：2【详解】25sin105sin105sin105sin1021cos1005cos1005sin103cos 5032222+︒+︒+︒+︒====+︒︒+︒-︒--.14.答案：212【详解】∵1245nnC C +=，解得9n =，常数项为3666979121282C T C x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.15.答案：36π【详解】将四面体A BCD-放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为，和4，所以四面体外接球的直径为6，体积为36π.16.答案：2cos3x π；1-【详解】令0x y ==，则()()2020f f =，解得()02f =或()00f =，若()00f =，令1x =，0y =，则()()()21100f f f ==，即()10f =与已知矛盾∴()02f =，令0x =，则()()()2f y f y f y +-=，∴()f x 为偶函数令1y =，则()()()11f x f x f x ++-=，可推出，()f x 以6为周期结合以上特征，找到满足条件的一个函数为()2cos3f x x π=，结合()f x 以6为周期，则()()202421f f ==-.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）设等比数列的公比为q ，由已知，得3100q q +-=（*）易观察，2是（*）方程的一个根，∴()()22250q q q -++=∴2q =又12a =，∴2nn a =.（2）由（1）知，2nn b n =⋅∴1212222nn S n =⨯+⨯++⨯ （1）231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ （2）（1）-（2）得，()12111212122122nn n n S n n ++-=⨯+⨯+⨯-⨯=-- ∴()1122n n S n +=-+18.解：（1）由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =.∵()A B C π=-+，∴()sin sin A B C =+∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =，又sin 0C ≠，∴tan B =，又A 为三角形内角，∴23A π=.（2）因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+.因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ，所以2c ac c a =⇒=.在ABC △中，c a =，23B π=，∴6C π=.19.（1）证明：由已知2DA DE ==，且O 为线段AE 的中点，∴DO AE ⊥又平面DAE ⊥平面AECB ，且平面DAE 平面AECB AE =，DO ⊂平面DAE ∴DO ⊥平面AECB ，又BC ⊂平面AECB ，∴DO BC ⊥.（2）设F 为线段AB 上靠近A 的三等分点，G 为BC 的中点，由已知OF OG ⊥，又DO ⊥平面AECB ∴DO OF ⊥，OD OG ⊥，以O 为坐标原点，OF ，OG ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示坐标系∵2DA =，3AB =，∴()1,1,0A -，()1,2,0B，(D ，()1,1,0E -，()1,2,0C -∴()0,3,0AB =，(1,BD =--，()0,1,0EC =，(1,2,DC =-设平面ADB 的法向量为()111,,m x y z =，则00AB m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11113020y x y =⎧⎪⎨--=⎪⎩不妨令1z =，则(m =同理，平面DCE的法向量(2,0,n = ，1cos ,3m n m n m n ⋅==所以平面DAB 与平面DCE 所成的锐角的余弦值为13.20.解：（1）随机变量ξ的取值为0，1()2420363P ξ===，()1211363P ξ===所以ξ的分布列为：ξ01P2313()21101333E ξ=⨯+⨯=.()22111221033339D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设A 表示深色，则A 表示穿浅色，B 表示穿西装，则B 表示穿休闲装.根据题意，穿深色衣物的概率为()13P =，则穿浅色衣物的概率为()23P A =，穿深色西装的概率为()30.65P B A ==，穿浅色西装的概率为()310P B A =，则当天穿西装的概率为()()()()()13232353105P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.所以张老师当天穿西装的概率为25.21.解：（1）设()00,M x y ，(),0A a -，(),0B a ，∵2200221x y a b -=，∴()2220202b x a y a-=，∴()2220220022200034MA MBb x a y yb a k k x a x axa a -⋅=⋅===+--，又∵焦距为2c =，则27c =，结合222a b c +=，∴24a =，23b =，∴双曲线E 的标准方程为：22143x y -=.（2）证明：由（1）知()2,0A -，()2,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y .因为C ，D 不与A ，B 重合，所以可设直线:4CD x ty =+.与E 联立：221434x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理可得：()223424360t y ty -++=，故t ≠21445760t ∆=+>，1222434t y y t -+=-，1223634y y t =-，()12122363342t ty y y y t ==-+-，∴()()()()()()1211212122121122322212326362y y y y x y ty k k y x y ty y y y -++-+====--++++.22.解：（Ⅰ）()1kx f x x -'=，()0,x ∈+∞①0k <时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 至多有一个零点.②0k >时，令()0f x '>得1x k <，则()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<得1x k >，则()f x 在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；若()0f x <有2个零点，则需满足10f k ⎛⎫>⎪⎝⎭，则01k <<，又10k f e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，且2424222ln 12ln 1f k k k k k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()ln t x x x =-，则()1x t x x-'=，令()0t x '>，得1x <，故()t x 在()0,1上单调递增；令()0t x '<，得1x >，故()t x 在()1,+∞上单调递减；∴()()11t x t =-≤，则222ln 10t k k k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即22ln 1k k -<-，则24222ln 11t k k k ⎛⎫⎛⎫=-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()t x 在11,e k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点，在214,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点，符合题意所以01k <<为所求.（2）设函数()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m +--=所以(),P a b 在直线ln 10l y m +--=上，设O 为坐标原点，则222a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方又2,m e e ⎡⎤∈⎣⎦，令2,t e e ⎡⎤=⎣⎦，则()2ln 1t k t t +=()212ln 0t k t t-'=≤，∴()k t 在e ⎤⎦上单调递减()()min 3k t k e e ==3e所以22a b +的最小值为29e ，。
吉林省白山市2024届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1.已知，则（ ）A．B．C．D．2. 已知角的终边过点，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为A．B．C．D．4. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.若满足，当取最大值时，的常数项为（ ）A．B．C．D．7.已知奇函数满足，且的图象关于对称，则（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．38. 在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．19. 设有一组圆，，下列四个命题正确的是（ ）A ．存在，使得圆与轴相切B ．存在，使得圆与圆有公共点C ．存在一条直线与所有的圆均相交D ．存在，使得圆经过原点10. 下列命题正确的是（ ）A ．函数的值域为B．函数的定义域为C ．函数在上单调递减D．函数的单调递增区间为11. 在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A．吉林省白山市2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题B．当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为C．线段的最小值为D．空间四边形的周长的最小值为12. 函数的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．13. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，，则______．14. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．15. 若不等式成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为_________16. 在双曲线的右支上求点，使该点到直线的距离为．17. 已知的内角A ，，所对的边分别为，，，且.(1)求A ；(2)若，且，求内切圆的半径.18.已知函数，其中．(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．19. 机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险，商业险包括基本险和附加险两部分．经验表明新车商业险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的相关数据：购车价格x （万元）5101520253035商业险保费y （元）1737207724172757309736223962(1)根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；(2)某保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上一年没有出险，则下一年保费倍率为85%，上一年出险一次，则下一年保费倍率为100%，上一年出险两次，则下一年保费倍率为125%．太原王女士2022年1月购买了一辆价值32万元的新车．若该车2022年2月已出过一次险，4月又发生事故，王女士到汽车维修店询价，预计修车费用为800元，理赔人员建议王女士自费维修（即不出险），你认为王女士是否应该接受该建议？请说明理由．（假设车辆2022年与2023年都购买相同的商业险产品）参考数据：．参考公式：．20. 设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．21. 如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．(1)求曲线和的方程；(2)已知直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为，证明：．。