重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科

重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科 注意事项：

1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模=||z

A.1

B.2

C.2

D.22 2. 抛物线y x 22=的焦点到准线的距离为

A.4

B.2

C.1

D.4

1 3. 已知全集R U =，集合{}0)4(<-=x x x A ，{}

1)1(log 2>-=x x B ，图中阴影部分所表示的集合为

A.{}21<

B.{}32<

C.{}30≤

D.{}

40<

A.若d c b a >>,，则cd ab >

B.若b a 11>，则b a < C 若b a >，则22b a > D.若b a <||，则0>+b a

5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x -+=22)(，则=-)1(f

A.3

B.3-

C.2-

D.1-

6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则

圆C 的方程为

A.03222=--+x y x

B.042

2=++x y x C.03222=-++x y x D.0422=-+x y x 7. 诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌

也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏

A.70

B.128

C.140

D.150

8. 若等边ABC ∆的边长为1，点M 满足CA CB CM 2+=，则=⋅MB MA

A.3

B.2

C.32

D.3

9. 已知),(y x P 为不等式组⎩

⎨⎧≤≤≤+-a x x y x y 00)2)(2(表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，函数y x z +=的最大值是

A.3

B.2

C.1

D.0

10. 如图，ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，

且C a c b cos 21==，延长BA 至D ，是BCD ∆是以BC 为底边的等腰三角形，6π

=∠ACD ，当2=c 时，边=CD

A.33+

B.23+

C.2

423+ D.362+ 11. 已知曲线x ae x f =)()0(>a 与曲线)0()(2>-=m m x x g 有公共点，且在该点处的切

线相同，则当m 变化时，实数a 的取值范围是

A.)4,0(2e

B.)6,1(e

C.)4,0(e

D.)8,1(2e 12. 如图，已知双曲线)0(122

22>>=-a b b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为

4

b ，则双曲线的离心率为

A.332

B.4

5 C.35 D.

223 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知3tan =α，则=++α

αααsin 3cos sin cos 2__________. 14. 已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的上顶点为B ，右焦点为)0,2(F ，)0,22(a M -，且满足BM BF ⊥，则椭圆C 的标准方程为__________.

15. 已知实数1,>b a ，且满足5=--b a ab ，则b a 32+的最小值为__________.

16. 在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其

中数列极限的概念为：对数列{}n a ，若存在常数A ，对于任意0>ε，总存在正整数0N ，

使得当0N n ≥时，ε<-||A a n 成立，那么称A 是数列{}n a 的极限，已知数列{}n b 满足：

12

11+=+n n b b ，31=b ，*N n ∈，由以上信息可得{}n b 的极限=A __________，且001.0=ε时，0N 的最小值为__________.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a ,,2成等差数列，令*2,log N n a b n n ∈=。

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和.n T

18. （本小题满分12分） 已知向量)3,(sin -=x m ，)cos ,1(x n =，且函数.)(n m x f ⋅=

（1）若]2,0[π

∈x ，且3

2)(=x f ，求x sin 的值； （2）若将函数)(x f 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

21，再将所得图像向左平移4π个单位，得到)(x g 的图像，求函数)(x g 在]2

,0[π∈x 的值域。 19. （本小题满分12分）

某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“213++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为E D C B A ,,,,五个等级，确定各等级人数所占比例分别为%2%,13%,35%,35%,15，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 到E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到]100,86[、]85,71[、]70,56[、]55,41[、

]40,30[五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换区间如下表：

而等比例转换法是通过公式计算：.1

212T T T T Y Y Y Y --=-- 其中21,Y Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，

21,T T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为21,Y Y 时，等级分分别为.,21T T 假设小南的化学考试成绩信息如下表：