抽象代数教学大纲 (2)
抽象代数基础 教学大纲
抽象代数基础一、课程说明课程编号：130215Z10课程名称：抽象代数基础/Fundamental of Abstract Algebra课程类别：专业教育课程学时/学分：48/3先修课程：高等代数适用专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学教材、教学参考书：1. 张禾瑞编,《近世代数基础》，高等教育出版社, 2010年;2. 丘维声编，《抽象代数基础》，高等教育出版社，2003年；3. 聂灵沼，丁石孙编，《代数学引论》，高等教育出版社，2000年。
二、课程设置的目的意义《抽象代数》是数学专业的专业选修课之一，它为现代数学、现代物理学、计算机科学、现代通信以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。
该课程主要讲授群、环、域的基本理论和初步知识，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力、为后继课程学习奠定基础。
该课程的目的在于使学生初步掌握基本的抽象代数知识和抽象、严格的代数方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般等辨证关系。
锻炼学生认识问题和研究问题的能力，提高学生的数学素质。
三、课程的基本要求知识：掌握群的定义,群的同态,变换群,置换群,循环群,子群,子群的陪集,不变子群、商群等; 掌握环的定义, 整环, 子环, 环同态, 剩余类环, 理想, 唯一分解整环, 主理想环, 欧式环,多项式环与因子分解等; 掌握域的定义, 域扩张, 分裂域、有限域的结构等。
进一步融合高等代数和抽象代数课程的内容，使之成为一个有机整体。
能力：通过对抽象代数基础知识的学习和基本技巧的训练，培养学生的理解能力和抽象思维能力；重视理论和具体实例之间的相互联系，培养运用抽象代数的方法分析问题和解决问题的能力。
素质：使学生初步掌握抽象代数基础理论知识，提高数学素养，为进一步学习现代数学与计算机科学等奠定基础素质；同时启发学生的科学思维方式，培养从事代数学、密码与编码等相关方向研究的科研素质。
四、教学内容、重点难点及教学设计注：实践包括实验、上机等五、实践教学内容和基本要求无六、考核方式及成绩评定教学过程中采取课前导学、讲授、分析、随堂提问的方式进行，注重过程考核，考核方式包括：笔试、作业、随堂小测、课程考勤等。
抽象代数教学大纲
《抽象代数》课程教学大纲课程编号：总学时： 54 总学分： 3 开课学期：第5学期适用专业小学教育（理）一、课程性质、目的与任务本课程是小学教育（理）专业选修课，课程主要内容为集合与映射、群论初步、环与域。
整环的因子分解理论和域的扩张二、课程教学的基本要求通过对本课程的学习，使学生掌握《近世代数》的一系列基本概念与基本理论，掌握现代数学的基本方法，培养学生正确运用现代数学的知识和方法来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。
三、课程的主要内容、重点和难点第一章基本概念(一)、教学内容集合：子集与真子集，并集、交集。
映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。
代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。
结合律：结合律的定义。
交换律：交换律的定义。
分配律：分配律的定义。
一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。
同态：同态映射、同态满射。
同构、自同构：同构映射、自同构。
等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。
重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。
难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。
(二)教学基本要求1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。
2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。
3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。
4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。
5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。
6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。
7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。
抽象代数基础2.1环的概念教案 2
命题1、设 是一个环，则
（1）0a=a0=0
（2）（-a）（-b）=ab
（4）a（b-c）=ab-ac，（b-c）a=ba-ca
（5）
（6）（na）b=a（nb）=n（ab），其中n为整数
（7）若R是交换环，则
2.2多项式环
定义1、设R是一个由单位元1的环，x是一个符号（或不定元），形式表达式
称为R上的一个（一元）多项式，记为 ，或 等；称 为这个多项式的系数；若
，则称n为这个多项式的次数， 为首项系数， 的次数记为 ；R上所有多项式构成的集合记为R[x]
定义2、R[x]关于如上定义的加法和乘法构成一个由单位元的环，称之为R上的（一元）多项式环。
教学重点，难点：
环的概念
教学内容：
2.1环的概念
定义1：设R是一个非空集合，R上有两个代数运算，加法“+”和乘法“.”，如果这两个代数运算满足下列条件：
（1）（R，+）构成一个交换群；
（2）乘法适合交换律；
（3）乘法对加法适合分配律，即对 都有
则称 构成一个环。
例如：整数环；多项式环；剩余类环；
定义2：设 是一个环，如果乘法适合交换律，则称R是交换环；如果R关于乘法有单位元，则称R是由单位元的环。
定义3、设 是n个不定元，令 ，称之为R上的n元多项式环。
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
下次课预习要点
理想与商环
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
《 抽象代数基础 》教案
授课时间第19次课
授课章节
课程教学大纲上海交通大学致远学院
上海交通大学致远学院2014年春季学期《抽象代数》课程教学说明一.课程基本信息1．开课学院（系）：致远学院2．课程名称：《抽象代数》(Abstract Algebra)3．学时/学分：64学时/ 4学分4．先修课程：数学分析、空间解析几何、高等代数、初等数论5．上课时间：周3周5第1、2节6．上课地点：中院2057．任课教师：章璞pzhang@8．办公室及电话：数学楼12039．助教：邢长贾xing_changjia@10.Office hour：周4周5下午2:00 - 4:00数学楼1203二.课程主要内容和教学进度安排课程性质：抽象代数是高等学校数学类各专业的必修课。
它是研究群、环、域这三种基本的代数结构的一门课程。
主要内容包括群的基本结构理论、群在集合上的作用及其应用、环的基本结构和因子分解理论、中国剩余定理、域的扩张理论、有限域及其应用、Galois理论及其应用。
教学目标：要使学生掌握抽象代数基本的理论与方法，注意结合具体的例子来理解抽象代数中的数学概念、思想和思维方法，使学生的抽象思维能力得到系统的训练和提高，为进一步学习数学和其它学科奠定坚实的代数基础。
第1章群论（30学时）1.0 课程简介（0.5学时）课程名称；历史演变与研究对象：数数－算术－代数－结构－作用基本的代数结构：群、环、域特点与重要性：从三方面讲：理论、应用、思维的训练要求与学习提示：概念清楚、意义明确、理解准确、逻辑严密强调例子对于理解和发展的重要性掌握standard arguments思考、比较、联系；多想、多练.1.1 对称性与群概念的引入（0.5学时）美（beauty）的基本要素：对称性怎样数学地描述现实世界中对称性？：图形M的对称性理解为集合M的保距（一一）变换；从而这种变换的集合连同变换的合成（即M的对称群）体现了图形M有“多少”对称性；用圆的对称群和正多边形的对称群作比较;引出群的观念.1.2 群的定义与例子（2学时）什么是群（强调4条）；简单性质（单位元与逆元的唯一性；左、右消去律；穿脱原理）；举例：数群、GL(n, C), O(n, R), U(n, C), SL(n, Z)（对求逆封闭）, 集合的变换群（乘法是什么），剩余类加群（第1次遇到“定义合理性”问题）；稍进一步的性质（单边定义；除法定义；有限半群成群的充要条件）；有限群的群表;群同态、群同构及其意义；举例（如：行列式映射，指数函数）；自同构群；举例：有理数加群的自同构群.1.3 子群与Lagrange定理（2学时）子群的定义；单位元与逆元的一致性；子群的判定；子群的例子:SL(n, C) < GL(n, C), SO(n, R) < O(n, R), SU(n, C) < U(n,C);子群的构造: 交，积成为子群的条件；集合上的关系；等价关系与划分；等价类；举例；左陪集分解和Lagrange定理 (右陪集分解和Lagrange定理；由此得到子群的指数的意义；左陪集分解和右陪集分解的一种对应）难点：（左）陪集分解的一个完全代表元系Lagrange定理的应用举例：包括元素的阶及计算；两子群积集的计数公式.1.4 循环群（1学时）固定阶循环群在同构意义下的唯一性；有限循环群的固定阶子群在通常意义下的唯一性；循环群的生成元和自同构群.1.5 共轭关系（1学时）中心、中心化子、共轭元的个数；类方程及其应用：p-群有非平凡的中心；p平方阶群是Abel群.正规化子、共轭子群的个数。
抽象代数第二册教学设计
抽象代数第二册教学设计一、背景介绍抽象代数是数学中的一个基本分支，也是现代数学的一个重要组成部分。
抽象代数作为一门高度抽象的数学课程，其教学难度较大，需要对学生的数学分析、数学思维水平有一定的要求。
在抽象代数第一册的教学中，学生接触了基本的代数结构和相关定理，并掌握了代数基本分组结构、同构等概念。
在第二册教学中，将继续深入学习代数中的基本概念、原理、定理和应用。
二、教学目标1.系统掌握群的基本定义、定理和操作方法；2.熟悉群的同态映射和同态基本定理；3.熟悉环的基本定义、定理和操作方法；4.掌握欧几里得整环、唯一分解环、多项式环等环的应用；5.能够通过运用抽象代数原理和方法解决一些数学问题。
三、教学内容和方法1. 群的基本概念和性质1.1 群的定义群是一个数学结构，由一个集合和其上的一个二元运算组成，满足四个基本关系：封闭性、结合律、单位元和逆元。
在群的基础上，我们将学习群的同构、群的结构定理、Sylow定理等知识。
1.2 群操作方法我们要通过具体的例子和题目，掌握群的操作方法，包括：1.群的乘法口诀、幂与逆元的运算方法；2.子群和循环群的定义和操作方法；3.群的生成元和阶的概念以及应用方法。
2. 环的基本概念和性质2.1 环的定义在第一册中，我们已经接触了一些环的基本知识。
在本节中，我们将通过大量的例子和练习来深入学习环的定义、性质、环同态和环理想等概念的内容。
2.2 环的应用我们将着重研究欧几里得整环、唯一分解环、多项式环等应用。
通过这些环的实际问题和计算，来加深我们对环的应用的理解和掌握。
3. 抽象代数的应用我们将通过抽象代数的知识，实际运用到一些数学问题上。
例如：1.应用群的同构和Sylow定理推导FS_p的公式；2.用环的应用解决关于元素交错和时间调度的问题；3.应用容斥原理和Pascal定理计算一些数学问题。
四、教材与评价1. 教材•《抽象代数(第二版)》（美）丹尼尔·A.松本, Edward J.基弗奇著，邱明等译，高教出版社。
《抽象代数》课程大纲(草稿-细节待完善)
《抽象代数》课程大纲（草稿－细节待完善）一、课程简介课程名称：抽象代数学时/学分：68/4先修课程：线性代数（E）面向对象：致远学院本科生（计算机班）教学目标：本课程是为致远学院（计算机班）开设的系列代数课程的第二部分。
通过整个课程的学习使学生掌握近世代数学（又叫抽象代数）的基本理论、思想与方法，使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高，为将来进一步学习其它专业课程和将来的应用奠定坚实的代数基础。
在教学过程中特别强调结合具体的例子来理解近世代数学的数学思想和思维方法，注意介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。
主要内容：群（子群、群同态及基本定理、 Sylow定理、群作用及其应用），环（环同态、理想、商环、 多项式环与矩阵环），域（素子域，域的扩张， 可裂域与有限域）二、教学内容第一章 预备知识主要内容：等价关系、等价类、商集合与满映射; 数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理重点与难点：商集合与满映射的一一对应性第二章群与对称性主要内容：群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群）；子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；正规子群与商群；群同态基本定理重点与难点：群同态基本定理；商群第三章群作用主要内容：群作用与群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）；Burnside引理及其应用；Sylow定理及其应用重点与难点：群作用；轨道个数的计数公式（即群方程）第四章环主要内容：子环与理想、商环；多项式环及其商环；模n的剩余类环；PID与欧氏整环；整环中的素元与不可约元；UFD重点与难点：理想与商环；环的特征；分解问题第五章域主要内容：素域与域扩张; 单扩域；代数扩域：定义及例子;分裂域、正规扩域; 有限域：重点是分裂域和有限域重点与难点：域扩张；分裂域三、教学进度安排第一章．预备知识(6课时)1.1．等价关系、等价类、商集合与满映射（4学时）1.2．初等数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理（2学时）习题课（2学时）第二章. 群与对称性（20学时）2.1．群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群；置换群） （4学时）2.2．子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；由子集生成的子群；群的表达式（generators and relations）（6学时）2.3．正规子群与商群： 定义；重要例子；Cauchy引理（作为商群的应用）（4学时）2.4. 群同态基本定理以及第一第二同构定理; （2学时）2.5. 自同构与内自同构（2学时）2.6. 群的内、外直积（2学时）习题课（2学时）第三章. 群作用（共10学时）3.1抽象群作用： 轨道； 稳定化子； 计数公式(2)（2学时）3.2 群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）（3学时）3.3 Burnside引理及其应用（2学时）3.4 Sylow定理及其应用（3学时）习题课（2学时）第四章．环(16学时)4.1 定义（均有单位元且为结合环）以及重要例子（矩阵环，多项式环，形式幂级数环， 整数剩余类环） (2学时)4.2子环与理想： 重点是理想； 理想的生成问题；（2学时）4.3商环与环同态：同态基本定理及其应用（4学时）4.4 素理想与整环；最大理想与域 （2学时）4.5 多项式环及其商环的表达（与多项式带余除法的联系）（2学时）4.6. PID与欧氏环（2学时）4.7. 整环中的不可约元与素元；UFD理论介绍（2学时）习题课（2学时）第五章. 域（共12学时）5.1素域与域扩张： 强调与线性代数的联系（2学时）5.2单扩域；代数扩域： 强调与多项式环商环构造的联系（4学时）5.3 分裂域与正规扩域（2学时）5.4有限域（4）习题课（2学时）第六章. 偏序集、格与Bool代数（共4学时）6.1 偏序集与格 （2学时）6.2 Bool代数（2学时）习题课－总复习（2学时）四、课程考核及说明（1） 20%为平时成绩20%为大作业（小论文）60%为考试成绩（2）总课时（68学时）之外安排大约12学时习题课，由助教唱主角；另有若干次答疑（一般放在第8周后的周六或者周日进行）。
《抽象代数》课程教学大纲
《抽象代数》课程教学大纲Abstract Algebra课程代码：课程性质：专业基础理论课/必修适用专业：开课学期：4总学时数：56总学分数：3.5编写年月：2004年7月修订年月：2007年7月执笔：陈建新一、课程的性质和目的抽象代数是信息安全方向的重要基础课程之一，主要介绍群，环，域（以及模）的基本概念和基本理论。
通过以上知识的学习和习题的训练，培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，使学生们将受到良好的代数训练，并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。
二、课程教学内容及学时分配1. 基本概念（12学时）了解变换的概念,区分变换与映射的不同。
理解代数运算的概念,会判断给定的运算是否代数运算。
对于给定的代数运算，会验证是否满足结合律，交换律以及左右分配律。
给定两个不同的代数系统，会判断二者是否同态或者同构。
最后，在这一部分还要求理解等价关系和集合分类之间的关系，对给定的等价关系，如何确定一个集合的分类，反之，给定一个集合的分类又掌握确定怎样的一个等价关系的方法。
2.群（12学时）理解群和交换群的定义，群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。
了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。
掌握群中元素的阶的概念和表示方法。
会求一些简单群中的指定元素的阶。
理解子群的概念，和群的分类：平凡子群及真子群。
知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。
掌握非空子集做成子群的充要条件。
知道中心元素的概念，会找一些简单群的中心。
理解循环群的生成，循环群的子群和循环群的关系。
会判断n阶循环群中的一个元素是否可以生成这个循环群。
了解变换群的概念，理解抽象群和变化群之间的联系。
理解置换群，循环和对换的定义，会用循环和循环的乘积来表示置换。
了解奇置换和偶置换的概念和它们之间的关系。
掌握置换的简单运算：置换间的相乘，置换逆的求法和置换的阶。
理解陪集，指数的定义和Lagrange定理的内容。
了解Lagrange定理所给出的陪集和指数与群的阶之间的关系。
《抽象代数基础》教案
《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。
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(Abstract Algebra)
课程代码
218.009.1
编写时间
2006年
课程名称
抽象代数
英文名称
Abstract Algebra
学分数
3
周学时
4
任课教师*
杨劲根、姚慕生、
朱胜林、吴泉水
开课院系**
数学学院
预修课程
高等代数，数学分析
课程性质：
本课程是综合性大学数学系各专业本科生基础课程。
七、Galois理论初步（6学时）
基本定理3学时
可解扩张和高次方程3学时
作业和考核方式：
作业：每堂课后布置习题，每周收作业一次。
考试：以期末考试为主，也可安排期中考试或小测验。
*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。
作者
教材名称
出版社
出版年月
教材
杨劲根
近世代数讲义
自编
参考资料
姚慕生
抽象代数学
复旦出版社
2003.12
冯克勤、李尚志、查建国、章璞
近世代数引论
中国科技大学出版社
2002.3
Michael Artin
Algebra
Prentice Hall
1991
教学内容安排：
一、群的基本知识（16学时）
定义和例子2学时
5）群的内容不宜繁多，可考虑只包含Sylow定理，有限生成的Abel群的结构定理和合成群列的Jordan-Holder定理；
6）有限域的几条主要定理；
7）圆规直尺作图的不可能性和所需的关于域扩张的基础知识；
8）Galois理论的基本定理和高次方程求解公式的不存在性。
教学方式：
课堂授课
教材和教学参考资料
基本要求和教学目的：
主要学习基本的代数结构和代数方法。
课程基本内容简介：
1）正规子群和商群，理想和商环，向量空间的商空间的概念的正确理解；在等价类集合上定义代数结构的方法。
3）在群论中以循环群、置换群和线性群作为基本例子，讲述高阶交错群是单群的证明；
4）在环论中以整数环，多项式环和矩阵环作为基本例子；
子群2学时
置换群2学时
陪集2学时
正规子群2学时
交错群1学时
群的同态2学时
群的直积1学时
群作用2学时
二、环和域的基本知识（8学时）
基本定义2学时
理想和商环2学时
环的同态2学时
域的基本知识2学时
三、多项式和有理函数（8学时）
单变量多项式1学时
带余除法2学时
多变量多项式2学时
因式分解2学时
多项式函数1学时
四、向量空间（2学时）
向量空间和线性变换1学时
商空间1学时
五、群论中进一步知识（10学时）
有限群作用的轨道公式2学时
Sylow定理3学时
有限生成Abel群的结构3学时
可解群2学时
六、域的扩张（12学时）
扩域的基本知识2学时
代数扩ห้องสมุดไป่ตู้2学时
域扩张的构造2学时
代数闭域2学时
圆规直尺作图问题2学时
有限域2学时