函数的插值与拟合法_图文.ppt
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数学建模～插值与拟合(课件ppt)
• 代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式： （1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值； （2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等； （3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值； （4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值； （5）反插值。 • 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元 插值和多元插值。
引言2---插值和拟合的联系与区别
联系：二者都是函数逼近的主要方法
• 区别： •运算过程上的区别：
– 拟合：是将数据点用最恰当的曲线描述出来，以反映问题的规律， 是特殊到一般的过程。 – 插值：是在知道曲线的形状后得出某些具体点的性质的过程,是 从一般到特殊。
•求解误差上的区别：
– 拟合：考虑观察值的误差（误差不可避免时）。以偏差的某种最 小为拟合标准
n n ik
0 i k 而： lk xi 1 i k
22
例1
x1 1, x2 2, x3 4, f ( x1 ) 8, f ( x2 ) 1, f ( x3 ) 5
求二次插值多项式。
解:
按拉格朗日方法，有：
L( x) y1l1 x y2l2 x y3l3 x ( x 2)( x 4) ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 2) 8 1 5 (1 2)(1 4) (2 1)(2 4) (4 1)(4 2) 3x 2 16 x 21
4.2 插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： （1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值。
数学建模讲座(五)插值和拟合46页PPT
数学建模讲座(五)插值和拟合
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
46
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
计算方法教学课件(共八章)第五章函数插值与曲线拟合
用A矩阵的元素值填充B矩阵的元素值。
设矩阵的行坐标和列坐标为从 0 开始的整数
Bx为欲填充的矩阵 B某个位置的横坐标
By为欲填充的矩阵 B某个位置的纵坐标
Ax为B映射回矩阵A之后该位置的横坐标
Ay为B映射回矩阵A之后该位置的纵坐标
则有对应关系如下：
Ax=Bx× (A的列数/ B的列数)
Ay=By× (A的行数/ B的行数)
24
(5.2.6)
24
• 将F的表达式代入(5.2.6)式，得插值余项公式
其中ξ∈(a,b).
25
25
5.2.3 插值公式
26
1 线性插值
已知函数表
x x0 x1
y y0 y1
要构造一个次数不超过1次的多项式L1(x)，使得
它满足插值条件
i 0,1
L1 ( xi ) yi
27
线性插值
道具体的解析表达式
•有明确的解析表达式，但由于形式复
杂，不便于进行分析和计算
12
数学描述
设函数y=f (x)在[a,b]上是有定义的，已知x0, x1,···, xn
∈ [a,b] 及f (x)在xi(i=0,1,...,n)点的值yi=f(xi)或直至r阶
导数值f(k)(xi) k=1,...,r.若存在一个简单函数，使
i 0,1, 2
31
2 抛物线插值
y
y1
x0
y=f(x)
y2
y
y0
0
L2 ( x)
x1
x
y=L2(x)
x2
x
32
2 抛物线插值
( x x0 )( x x2 )
( x x1 )( x x2 )
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
拟合与插值专题ppt课件
在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析 函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问 题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
本专题的主要目的是：了解插值和拟合的基本内容； 掌握用Matlab求解插值与拟合问题的基本命令。
cj 103 4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59
该问题即解最优化问题：
min 1 F (a,b, k)
2
1 2
10
[a be0.02kt j
j 1
c j ]2
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k)
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数
F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T
中的参变量x(向量),使得
1
2
n i 1
( F ( x,
xdatai )
2
ydatai )
最小
输入格式: (1) x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata); (2) x =lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata,lb, ub);
1）编写M-文件 curvefun1.m
function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)
第五章插值法与曲线拟合插值法精品PPT课件
f (n1) (x
(n 1)!
)
wn1(x)
,
x (a,b)
n
Ln(x) f (xi)li(x)
i0
其中
li(x ) (( x x i x x 0 0 ))(( x x i x x ii 1 1 ) )( (x x i x x ii 1 1 ) )
(x x n ) ,i
(x i x n )
计算各阶差分可按如下差分表进行.
向前差分表
xi fi fi 2 fi 3 fi
n fi
x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2 f0 x3 f3 f2 2 f1 3 f0
xn fn fn1 2 fn2 3 fn3
n f0
差分具有如下性质:
.
性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函值
(1)
使满足
cn(xx0)(xx1)(xx2) (xxn 1)
N n (x i) f(x i), i 0 ,1 , n
(2)
为了使 N n ( x ) 的形式得到简化,引入如下记号
0(x)1
i(x)(xxi1)i1(x)
(3)
(xx0)(xx1) (xxi1), i1,2, n
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 0(x),1(x), ,n(x)
表示f(x)在x0及x1两点的一阶差商. 用记号 f[x0,x1,x2]f[x0,xx10 ] xf2[x1,x2]
表示f(x)在x0,x1,x2三点的二阶差商. 一般地,有了k-1阶差商之后, 可以定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商
f[x 0 ,x 1 ,
,x k] f[x 0 ,x 1 ,
2 f (xi ) (f (xi )) ( f (xi h) f (xi )) f (xi h) f (xi ) f (xi 2h) 2 f (xi h) f (xi )
插值与拟合
当 x ∈ [ x i 1 , x i ] 时, S ( x ) 的表达式由(2.3.4)平移下标可得 的表达式由 平移下标可得, 平移下标可得 因此有
S ′( x i 0) = f [ x i 1 , x i ] + hi 1 ( M i 1 + 2 M i ). 6
利用条件 S ′( x i + 0) = S ′( x i 0) 得
第二章 插值与拟合
2.3.2 三弯矩算法
可以有多种表达式， 三次样条插值函数 S ( x ) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
S′ 值′ ( x i ) = M
i
( i = 0 ,1 , , n )
M
i
表示时，使用更方便。 表示时，使用更方便。 在力学上解释 ( x) 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关， 为细梁在 S处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故 Mi 的算法为三弯矩算法 三弯矩算法。 称用 表示 的算法为三弯矩算法。 由于 S ( x )在区间 [ x i , x i + 1]( i = 0 ,1, , n 1) 上是三次多项式， 上是三次多项式， 故 S ′′( ) [ , ]
0
先消去 M 3 和 M 3 得
3 .5 1 1 3 .5
M M
1
5 .1 = 10 . 5 2
由此解得 M 1 = 2.52, M 2 = 3.72 。 代回方程组得 M 0 = 0.36, M 3 = 0.36. 的值代入三次样条插值函数的表达式（ ），经化简有 用 M 0 , M 1 , M 2 , M 3的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有 ），
n
=λn0来自= 0,第二章 插值与拟合