可逆矩阵判定典型例题
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典型例题（二）方阵可逆的判定
例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：
（1）若, 则
；
（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则
； （3）
； （4）若, 则
； （5）
； （6）若, 则（l 为自然数）； （7）
. 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且
两边同时取转置可得
故由可逆矩阵的定义可知
是A T 的逆矩阵. 即
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
（2-7）
另一方面
（2-8）
比较式（2-7）、（2-8）可知
又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得
（3）设n 阶方阵A 为
于是可得A 的伴随矩阵为
注意到A 的转置矩阵为
0||≠A T T A A )()(11--=*
**)(A B AB =T
T A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *
1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*
1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1
E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-1
1)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1
)(-AB *
**)(A B AB =⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211
*
A ⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111
*
可推出的伴随矩阵为
比较与可知
（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由
可知
由于, 可逆且
可得
另一方面, 由
由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且
（5）对于（3）给出的矩阵A , 有
即的代数余子式为
故
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n
n
n n T a a a a a a a a a A 2122212
12111T
A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A
2
122221
11211*)(*
A *
)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*
=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1
*11---=A
A A ||1
)(*1=-E A A A A A A ==--||1
||)(1
*1**
A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A
2122221
11211
ij a -nn
nj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j j
i a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+
1
1
1
11
11
11111111111111111)
1()
, ,2 ,1,( )
1(1
n j i A ij n =-=-
（6）因为, 故A 可逆, 并且
（7）对于（3）给出的矩阵A , 有
类似于（5）可知的代数余子式为, 故
例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有
反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有
（2-6）
设矩阵A 为
由式（2-6）可知
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
故
*
11211121
22112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A
A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111
ij ka ij
n A k 1-*A T
A A =*E A A A AA ||**==0||=A T
A A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n nn n n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a AA 212221212111212222111211
O a a a a a a a a a a a a a a a n i ni n i i ni n i i ni n i ni i n i i n i i i n
i ni i n i i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑=========1212111212
211211121121 )
, ,2 ,1( 01
2n j a
n
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==∑=)
, ,2 ,1( 021n j a a a jn
j j =====l 个 l 个