实变函数论习题选解

《实变函数论》习题选解

一、集合与基数

1、证明集合关系式:

(1))()()()(B D C A D C B A --⊂---Y ; (2))()()()(D B C A D C B A Y I I -=--; (3)C B A C B A Y )()(-⊆--;

(4)问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件就是什么？

证 (1)∵c

B A B A I =-,c

c c B A B A Y I =)((对偶律),

)()()(C A B A C B A I Y I Y I =(交对并的分配律),

∴)()(

)()()()(D C B A D C B A D C B A c c c

c c Y I I I I I ==---第二个用

对偶律

)()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=⊆=Y I Y I I I Y I I 交对并

分配律

、

(2))()()

()()()(c c c

c

D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律

结合律

)()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -==第二个用

对偶律

、

(3))()()

()()(C A B A C B A C B A C B A c c

c

c I Y I Y I I I =

==--分配律

C B A C B A c Y Y I )()(-=⊆、

(4)A C C B A C B A ⊆⇔--=-)()(Y 、

证 必要性(左推右,用反证法):

若A C ⊄,则C x ∈∃ 但A x ∉,从而D ∀,)(D A x -∉,于就是)(C B A x --∉; 但C B A x Y )(-∈,从而左边不等式不成立,矛盾！ 充分性(右推左,显然):事实上,

∵A C ⊆,∴C C A =I ,如图所示:

故)()(C B A C B A --=-Y 、

2、设}1 ,0{=A ,试证一切排列

A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ

所成之集的势(基数)为c 、

证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集,对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ,令ΛΛn a a a a f 21.0)(=,特别, ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ,]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ,

即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ,则f 就是一一

对应(双射),从而集合E 与集合]1 ,0[对等(即E ～]1 ,0[),而对等的集合有相同的基数,故c E ==]1 ,0[、

3、证明:整系数多项式的全体就是可列的(可数的)、

证 对任一N ∈n ,n 次多项式n n n x a x a x a a P ++++=Λ2210对应于一个序列:

n a a a a ,,,,210Λ,而每个)0(n i a i ≤≤取自可数集N N Z Y Y }0{-=,因此,全体n 次整

系数多项式n P 就是有限个(1+n 个)可数集之并集,仍就是可数的、故全体整系数多项式所构成的集合Y N

∈=n n P P 就就是可数个可数集之并集,由定理1、3、8可知:它仍就是可

数的、

4、设]1,0[C 表示区间]1,0[上一切连续函数所成之集,试证它的势为c 、

证 首先,对任意实数R ∈k ,瞧作常值连续函数,]1 ,0[C k ∈,

∴ ]1 ,0[C ≤R ,即 ]1 ,0[C c ≤;

另一方面,实数列全体之集}),,,,,{(21R ∈=i n a a a a E ΛΛ的基数c E =,为证

c C ≤]1 ,0[,只需证]1,0[C 与E 的一个子集对等即可、事实上,把]1 ,0[中的有理数

]1 ,0[I Q 排列成 ΛΛ,,,,21n r r r 、对任何]1 ,0[C f ∈,则f 由它在ΛΛ,,,,21n r r r 处的

值ΛΛ),(,),(),(21n r f r f r f 所完全确定、这就是因为]1 ,0[ 在Q 中就是稠密的,即对任何

]1 ,0[∈x ,存在上述有理数列的一个子列)(∞→→k x r k n ,由f 的连续性知:

)(lim )(k n k r f x f ∞

→=、

现在,作映射E C →]1 ,0[:ϕ,)),(,),(),(()(21ΛΛαn r f r f r f x f ,则ϕ就是单射,而集

E C f r f r f r f A n ⊂∈=}]1 ,0[)),(,),(),({(21ΛΛ就是全体实数列E 的一个子集,故

]1 ,0[C ～E A ⊂,即 c C ≤]1 ,0[、综上可知:c C =]1 ,0[、

附注 ①若∅=21A A I ,∅=21B B I ,又1f :1A ～1B ,2f :2A ～2B 、则存在

f :21A A Y ～21B B Y ;假如21A A ⊂,21B B ⊂,21,f f 的意义同前,问就是否存在 12A A -到12B B -的一一对应？

解 若∅=21A A I ,∅=21B B I ,令⎩⎨⎧∈∈=,

),(,

),()(2211A x x f A x x f x f 则)(x f 就就是2

1A A Y 到21B B Y 的一一对应、

若21A A ⊂,21B B ⊂,则12A A -与12B B -之间不一定存在一一对应、例如:

} , ,,2 ,1{ , }, ,4 ,3{ , },, ,3 ,2{2211ΛΛΛΛΛΛn B A n B n A ====,

),3 ,2( 1:1Λα=+n n n f ,),2,1( :2Λα=n n n f ,

则1f 就是1A 到1B 的一一对应,2f 就是2A 到2B 的一一对应、

但}2 ,1{ },1{1212=-=-B B A A ,显然12A A -与12B B -之间不存在任何一一对应、

②几个常见的一一对应:

(ⅰ)) ,(b a ～R ,()

) ,( , tan )(2

b a x x f a b a

x ∈-⋅=--ππ; )1 ,0(～R ,)1 ,0( , 1)(2

∈-=

x x x

x f ; (ⅱ))1 ,0(～]1 ,0[,将)1 ,0(中的有理数排列为ΛΛ , , , ,21n r r r ,而]1 ,0[中的有理数排列为ΛΛ , , , , ,1 ,021n r r r 、作其间的对应f 如下:

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧>====+，中无理数时是当当当当)1 ,0(

, ),2( ,,

,1 , ,0 )(221x x n r x r r x r x x f n n 则)(x f 就是)1 ,0(与]1 ,0[间的一一对应、 注意 这种)(x f 一定不就是连续的(为什么？)、

(ⅲ)N N ⨯～N ,()N N ⨯∈-=-),( , )12(2),(1

j i j j i f i 、

这就是因为任一自然数均可唯一表示为q n p

⋅=2(p 非负整数,q 正奇数),而对非负整数

p ,正奇数q ,又有唯一的N ∈j i ,使得12 ,1-=-=j q i p 、

(ⅳ)}]1 ,0[)()({上的一切实函数为x f x f F =,则c

F 2=、

证 ο1、c

F 2≥;