浙江省嘉兴市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题及答案
浙江省嘉兴市2019~2020学年第一学期期末检测高三数学试题卷（2020.1）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共6页，选择题部分1至3页；非选择题部分4至6页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n −=−=⋅⋅⋅台体的体积公式()1213V S S h =其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高. 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U R =，集合{}|11A x x =−<≤，{}1,1B =−，则()U A C B =（ ）A. {}|1x x ≠−B. {}|1x x ≠C. {}|11x x −<<D. {}|11x x −≤≤2. 已知i 是虚数单位，()122z i i +=−，则z =（ ） A. 1B. 2C. iD. 2i3. 设曲线12x y x +=−在点()1,2−处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=（ ） A.13B. 13− C. 3 D. -34. 函数()22log f x x x =+，则满足(]01,4x ∈，且()0f x 为整数的实数0x 的个数为（ ） A. 3B. 4C. 17D. 185. 设,m n R ∈，则“m n >”是“m m n n >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知x ，y 满足条件2020240x y y x y −−≤⎧⎪−≤⎨⎪+−≥⎩，若z ax y =+的最大值为0，则实数a 的值为（ ）A. 12−B. -2C.12D. 27. 如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：cm ），则该三棱锥侧视图面积是（ ）（单位：2cm ）A. 2B.C.32D.8. 等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ）A. 17B. 18C. 19D. 209. 已知A ，B 是椭圆C ：2213y x +=短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆C 上不同于A ，B 的动点，若直线PA ，PB 分别与直线4x =−交于点M ，N ，则OMN ∆面积的最小值为（ ）A. B.C. D.10. 如图，ABC ∆中，2AB =，3AC =，BC 边的垂直平分线分别与BC ，AC 交于点D ，E ，若P 是线段DE 上的动点，则PA BC ⋅的值为（ ）A. 与角A 有关，且与点P 的位置有关B. 与角A 有关，但与点P 的位置无关C. 与角A 无关，但与点P 的位置有关D. 与角A 无关，且与点P 的位置无关非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 已知55sin,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差()D ξ=______.13. 已知213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n =______；展开式中的系数最大的项是______.14. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为4a =，4b =，6c =.I 是ABC ∆内切圆的圆心，若AI xAB yAC =+，则x =______；y =______.15. 已知()()111x x a a a f x −=>+，实数1x ，2x 满足()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为______.16. 已知两定点1,04P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于动直线l 的同侧，集合{}|,1M l P Q l =点到直线的距离之和等于，()(){},|,,N x y x y l l M =∉∈.则集合N 中的所有点组成的图形面积是______.17. 已知矩形ABCD ，4AB =，2BC =，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点.沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 至F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为______.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()f A =A 为钝角，求sin C 的值. 19. 如图，在四棱柱''''ABCD A B C D −中，底面ABCD 为等腰梯形，1DA AB BC ===，2DC =.平面''DCC D ⊥平面ABCD ，四边形''DCC D 为菱形，'60D DC ∠=︒.（Ⅰ）求证：'DA BC ⊥；（Ⅱ）求'DA 与平面''BCC B 所成角的正弦值.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*21n n S a n N +=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11111n n n c a a +=++−，n T 为数列{}n c 的前n 项和.求证：123n T n >−. 21. 设点A ，B 的坐标分别为()4,4−，()8,16−，直线AM 和BM 相交于点M ，且AM 和BM 的斜率之差是1.（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过轨迹C 上的点()00,Q x y ，04y >，作圆D ：()2224x y +−=的两条切线，分别交x 轴于点F ，G .当QFG ∆的面积最小时，求0y 的值.22. 已知函数()()ln 0f x a x bx c a =++≠有极小值. （Ⅰ）试判断a ，b 的符号，求()f x 的极小值点；（Ⅱ）设()f x 的极小值为m ，求证：244ac b m a a−+<.浙江省嘉兴市2019—2020学年第一学期期末检测高三数学参考答案（2020.1）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1-5：AABCC 6-10：BDCDD10. 提示：连接AD ，()PA BC PD DA BC AD BC ⋅=+⋅=−⋅()()()22115222AC AB AC AB AC AB =−+−=−−=−. 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.12 53π 12. 950 1225 13. 4 5108x 14. 27 3715.45 16. 4π17. 217. 提示：设AC ，FC 的中点为M ，N ，CP 的中点G 的轨迹是以MN 为直径的半圆. 三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.（Ⅰ）()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭212sin cos sin sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅−−=− ⎪ ⎪⎝⎭)1cos 2sin 2sin 22232x x x π−⎛⎫=−−=−−− ⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦. 当22,323x πππ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，即5,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数.（Ⅱ）在ABC ∆中，由()2f A =−，得6A π=或23π.因为A 为钝角，所以23A π=. 由余弦定理得BC ===.又由正弦定理sin sin BC ABA C=，得21sinsin sin 14AB AC BCπ⨯⋅===.19. 方法一、（Ⅰ）连接DB 、'BA ，取DC 中点H ，连接'D H 、HB . ∵等腰梯形ABCD 中，1DA AB BC ===，2DC =. ∴60DCB ∠=︒，DB BC ⊥.又∵在菱形''DCC D 中，'60D DC ∠=︒，∴'D H BC ⊥.又平面''DCC D ⊥平面ABCD ，交线为DC ，∴'D H ⊥底面ABCD . ∵''////D A DA HB ，''D A DA HB ==， ∴四边形''HBD A 为平行四边形，'//'D H A B . ∴'A B ⊥底面ABCD ，∴'A B BC ⊥， 又∵'A B ，DB 相交，∴BC ⊥平面'A DB ， ∴'BC DA ⊥.（Ⅱ）取''D C 中点K ，连接AH ，HK ，'KA ，AH ，DB 相交于点O ，连接'A O ，显然平面'//AHKA 平面''BCC B .∵BC ⊥平面'A DB ，∴平面''BCC B ⊥平面'A DB ，∴平面'AHKA ⊥平面'A DB ，交线为'A O ，∴'DA O ∠为'DA 与平面''BCC B 所成角.∵tan '1'BD DA B BA ∠==，1tan ''2OB OA B BA ∠==， ∴1t 1121311'2an DA O −==⨯∠+，∴sin '10DA O ∠=.∴'DA 与平面''BCC B.方法二、（Ⅰ）取DC 中点O ，连接'OD .∵四边形''DCC D 为菱形，'60D DC ∠=︒，∴'OD CD ⊥.又平面''DCC D ⊥平面ABCD ，交线为DC ，∴'OD ⊥底面ABCD . 以O 为原点如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0D −，()0,1,0C，1,022A ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，1,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，('D .∴'''DA DA AA DA DD =+=+(13,02222⎛⎫⎛=+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝，1,02BC ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭=，∴3300'44DA BC =++=⋅−，∴'DA BC ⊥. （Ⅱ）(''CC DD ==，设平面''BCC B 的法向量为(),,m x yz =，则01022y x y ⎧+=−=⎩，取(3,3,m =，cos ,'m DA ==. ∴'DA 与平面''BCC B .20.（Ⅰ）∵()*21n n S a n N +=∈，令1n =，得113a =. 又()11212n n S a n −−+=≥，两式相减，得113n n a a −=. ∴13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵111111133n nn c +=+⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1113311231313131n n n n n n +++=+=−++−+− 11123131n n +⎛⎫=−− ⎪+−⎝⎭.又∵11313n n <+，1111313n n ++>−，∴111233n n n c +⎛⎫>−− ⎪⎝⎭. ∴22311111112333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫>−−+−+⋅⋅⋅+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111122333n n n +=+−>−. ∴123n T n >−.21.（1）设(),M x y ，由题意得416148y y x x −−−=++. 化简得点M 的轨迹C 的方程为：()248,4x y x x =≠−≠−. （Ⅱ）由点()()000,4Q x y y >所引的切线方程必存在斜率，设为k . 则切线方程为()00y y k x x −=−，即000kx y y kx −+−=.其与x 轴的交点为00,0kx y k −⎛⎫⎪⎝⎭，而圆心D到切线的距离2d ==，整理得：()()2220000042240x k x y k y y −+−+−=①，切线QF 、QG 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k 是方程①的两根，故()()0012202001220224*44x y k k x y y k k x ⎧−+=⎪−⎪⎨−⎪⋅=⎪−⎩， 而切线与x 轴的交点为00,0kx y k −⎛⎫⎪⎝⎭，故1001,0k x y F k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2002,0k x y G k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，又()()000,4Q x y y >，12QFG F G Q S x x y ∆=⋅−⋅， ∴2100200120012121122QFG k x y k x y k k S y y k k k k ∆−−−=⋅−⋅=⋅⋅01122y y ==将()*代入得12QFGS y∆=0=， 而点Q 在()248,4x y x x =≠−≠−上，故()200044x y y =>，∴()220000442244QFGy y S y y ∆−+⎡⎤⎣⎦==−−()()20004841624y y y ⎡⎤−+−+=⎢⎥−⎢⎥⎣⎦001624816324y y ⎛⎫=−++≥= ⎪−⎝⎭， 当且仅当00016444y y y ⎧−=⎪−⎨⎪>⎩，即08y =时等号成立.11又2004x y =，∴0x =±故当点Q坐标为()±时，()min 32QFGS ∆=. 22.（Ⅰ）∵()'a a bx b f x x x+=+=，0x >. 又函数()()ln 0f x a x bx c a =++≠有极小值点. ∴0b >，0a <，()f x 的极小值点为a b −. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a m f b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 224444ac b a ac b m a f a a b a −−⎛⎫+−=−+− ⎪⎝⎭ 22ln ln 44a b a b a a c a c a b a b a⎛⎫⎛⎫=−−++−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21ln 4a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 令a t b −=，()21ln 4t g t t=+，0t >. 则()233112'122g t t t t t−=−=. 令()'0g t =，得2t =，()g t在0,2⎛ ⎝⎭单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增. ∴()1ln 0222g t g ⎛⎛≥=+> ⎝⎭⎝⎭. ∵0a <，∴()0ag t <，∴244ac b m a a −+<.。
浙江省嘉兴市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
浙江省嘉兴市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，A ={x|x 2−2x >0}，B ={x|y =√x −1}，则A ∪∁U B =( )A. (2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (−∞,0)2. 已知i 是虚数单位，z =4(1+i)4−3i ，则|z|=( )A. 10B. √10C. 5D. √53. 设曲线y =x+3x−1在点(2,5)处的切线与直线ax +y −1=0平行，则a =( )A. −4B. −14 C. 14 D. 44. 函数f(x)=x 2+log 2x ，则满足x 0∈(1,4]，且f(x 0)为整数的实数x 0的个数为( )A. 3B. 4C. 17D. 185. 设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a >|b|”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知实数x ，y 满足{x −2y +2≥0x +3y −3≤0x +y −3≤0，则z =x +2y 的最大值为( )A. 2B. 3C. 143 D. 57. 已知正三棱锥V −ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是()A. √39B. 6√3C. 8√3D. 68. 已知数列{a n }满足：a 1=−1，a n+1=a n +1，则a 100=( )A. 100B. 99C. 98D. 979. 设动直线x =m 与函数f(x)=e x ,g(x)=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |最小值所在的区间为( ) A. (12,1) B. (1,2) C. (2,52) D. (52,3) 10. 在△ABC 中AC =6，AC 的垂直平分线交AB 边所在直线于N 点，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的( ) A. −6√3 B. −15√2 C. −9 D. −18二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知角α的终边上一点的坐标为(sin 3π4,cos 3π4)，则角α的最小正值为______ ．12. 已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)=________．13. 已知(3x 2+1x)n的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n =________；展开式中的系数最大的项是________．14. 在△ABC 中，点M ，N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 15. 已知f(x)=a x −1a x +1(a >1)，实数x 1，x 2满足f(x 1)+f(x 2)=1，则f(x 1+x 2)的最小值为________． 16. 已知点P(√3,1)和圆O ：x 2+y 2=16，过点P 的动直线与圆O 交于M ，N ，则弦MN 的中点Q的轨迹方程为______．17. 如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 为AA 1，AB 的中点，M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M//平面CD 1E ，则M 点的轨迹长度为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 设函数f(x)=sinxcosx −cos 2(x +π4)．(1)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最值；(2)在△ABC 中，若f(A 2)=0，a =1，b =c ，求△ABC 的面积．19.在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．(1)求证：AC⊥平面FBC；(2)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n−3．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log3a2n−1，数列{1b n⋅b n+1}的前n项和为T n，求证：13≤T n<12．21.已知点A,B的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线BM的斜率与直线AM的斜率的差是2．(1)求点M的轨迹方程C；(2)若直线l:x−y=0与曲线C交于P,Q两点，求ΔAPQ的面积．22.已知函数f(x)=ln(1+x)−x．1+x(1)求f(x)的极小值；(2)若a、b>0，求证：lna−lnb≥1−b．a-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|x <0，或x >2}，B ={x|x ≥1}；∴∁U B ={x|x <1}；∴A ∪∁U B ={x|x <1，或x >2}=(−∞,1)∪(2,+∞)．故选：C ．可解出A ={x|x <0，或x >2}，B ={x|x ≥1}，然后进行并集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法、区间表示集合的概念，以及并集和补集的运算．2.答案：B解析：本题主要考查复数模的求法，属基础题．化简z ，即可得|z |的值．解：由z =4(1+i)4−3i ，则z =44i 2−3i=−1−3i ，∴|z|=√(−1)2+(−3)2=√10．故选B ． 3.答案：D解析：解：由y =x+3x−1，得y′=x−1−x−3(x−1)2=−4(x−1)2， ∴y′|x=2=−4，又曲线y =x+3x−1在点(2,5)处的切线与直线ax +y −1=0平行，∴−a =−4，即a =4．故选：D ．求出原函数的导函数，得到函数在x =2时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．4.答案：C解析：本题考查了函数定义域与值域，考查学生灵活解决问题的能力，属于基础题．根据函数的是连续函数，在区间(1,4]上是单调增函数，可得函数的值域为(1,18]，即可判断出函数值中整数的个数．解：由于函数f(x)=x2+log2x的是连续函数，在区间(1,4]上是单调增函数，故函数的值域为(1,18]，即满足x0∈(1,4]，且f(x0)为整数的实数x0的个数为17个，故选C．5.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a=1，b=−2时，满足a>b，但a>|b|不成立，即充分性不成立，若a>|b|，当b≥0，满足a>b，当b<0时，a>|b|>b，成立，即必要性成立，故“a>b”是“a>|b|”必要不充分条件，故选B．6.答案：C解析：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：作出不等式组对应的可行域，如图三角形区域：化目标函数z=x+2y为y=−x2+z2，由图可知，当直线y=−x2+z2过A(43,53)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为43+2×53=143.故选C.7.答案：D解析：解：如图，根据三视图间的关系可得BC=2√3，∴侧视图中VA=√42−(23×√32×2√3)2=2√3，∴三棱锥侧视图面积S△ABC=12×2√3×2√3=6，故选：D．求出侧视图的底边边长和高，代入三角形面积公式，可得答案．本题考查了简单几何体的三视图，空间几何体的直观图，考查了学生的空间想象力及三视图中量的相等关系，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考察数列的递推关系以及等差数列的通项公式，属于基础题．解：∵a n+1=a n+1，∴a n+1−a n=1，所以这是一个公差为1的等差数列，又a1=−1，所以a n=a1+(n−1)·d=−1+(n−1)·1=n−2，所以a100=100−2=98．故选C．9.答案：C解析：由题意得|MN|=e m−lnm，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值，问题得以解决．解：由题意得|MN|=e m−lnm，令ℎ(m)=e m−lnm，∴ℎ′(m)=e m−1m，∵ℎ′(0.5)=e 0.5−2<0，ℎ′(0.6)>0，∴∃m 0∈(0.5,0.6)，使得ℎ′(m 0)=0，即e m 0=1m 0，m 0=1e m 0， 且m ∈(0,m 0)时，ℎ(m)单调递减，m ∈(m 0,+∞)时，ℎ(m)单调递增，∴ℎ(m)min =ℎ(m 0)=e m 0−lnm 0=e m 0+m 0∈(2,2.5)，故选C ．10.答案：D解析：解：如图，设AC 垂直平分线交AC 于M ，则：AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18+0=−18．故选：D ．先根据条件画出图形，并设AC 的垂直平分线交AC 于M ，从而得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，这样进行数量积的运算便可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 考查线段垂直平分线的定义，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数乘的几何意义，以及向量数量积的运算．11.答案：7π4解析：解：角α的终边上一点的坐标为M(sin3π4,cos 3π4)，即M(√22,−√22)，故点M 在第四象限，且tanα=−√22√22=−1，则角α的最小正值为7π4，故答案为：7π4．根据角α的终边经过点M ，且点M 在第四象限，tanα═−1，从而求得角α的最小正值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 12.答案：950；1225解析：本题考查考查相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的期望与方差，考查运算求解能力，是中档题．从该箱中有放回地依次取出3个小球，利用相互独立事件概率乘法公式能求出3个小球颜色互不相同的概率；变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B(3,15)，由此能求出ξ的方差D(ξ)． 解：箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是：P =A 33×210×310×510=950．变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B(3,15)，∴ξ的方差D(ξ)=3×15×(1−15)=1225．故答案为950；1225． 13.答案：4；108x 5；解析：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．由题意列方程求出n 的值，再计算展开式中系数最大的项．解：(3x 2+1x )n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n −(3+1)n =−240，化简得22n −2n −240=0，解得2n =16或2n =−15(不合题意，舍去)；所以n =4；所以(3x 2+1x )4=81x 8+4×27x 5+6×9x 2+4×3⋅1x +1x 4； 其展开式中的系数最大的项是108x 5．故答案为4；108x 5． 14.答案：解析：解：∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 根据平面向量基本定理可得：x =13，y =16，∴x +y =13+16=2+16=12． 故答案为：12．根据向量加减法的运算法则以及平面向量的基本定理可得． 本题考查了平面向量的基本定理，属基础题． 15.答案：45解析：本题考查函数最值的求法，考查换元思想及运算能力，属于中档题． 设t =a x ，由已知结合基本不等式可得t 1t 2≥9，再化简f(x 1+x 2)分离常数后即可得出答案．解：设t =a x ，则t 1−1t 1+1+t 2−1t 2+1=1， 化简得t 1t 2=t 1+t 2+3≥2√t 1t 2+3，故t 1t 2≥9，当且仅当“t 1=t 2”时取等号，∴f(x 1+x 2)=t 1t 2−1t 1t 2+1=1−2t 1t 2+1≥1−15=45． 故答案为45．16.答案：(x −√32)2+(y −12)2=1解析：本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的求法，属于中档题． 由题意可得点Q 在以OP 为直径的圆上，进一步求出轨迹方程即可．解：点P(√3,1)和圆O ：x 2+y 2=16，过点P 的动直线与圆O 交于M ，N ，Q 为MN 的中点， 则OQ ⊥MN ，点Q 在以OP 为直径的圆上， 则圆心坐标为(√32,12)，直径为2，所以点Q 的轨迹方程为：(x −√32)2+(y −12)2=1．故答案为：(x −√32)2+(y −12)2=1．17.答案：√2解析：本题考查了面面平行的判定定理与性质定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 如图所示，取A 1B 1的中点H ，B 1B 的中点G ，可得：四边形EGC 1D 1是平行四边形，可得C 1G//D 1E .同理可得：C 1H//CF.可得面面平行，进而得出M 点轨迹．解：如图所示，取A 1B 1的中点H ，B 1B 的中点G ，连接GH ，C 1H ，C 1G ，EG ，HF ．可得：四边形EGC 1D 1是平行四边形，∴C 1G//D 1E . 同理可得：C 1H//CF ． ∵C 1H ∩C 1G =C 1． ∴平面C 1GH//平面CD 1E ，∵M 点是正方形ABB 1A 1内的动点，若C 1M//平面CD 1E . ∴点M 在线段GH 上．∴M 点的轨迹长度=GH =√12+12=√2． 故答案为：√2．18.答案：(1)由题意知f(x)=sin2x 2−1+cos(2x+π2)2=sin2x 2−1−sin2x2=sin2x −12． 令t =2x ，则t ∈[−π4,π]，g(t)=sint −12，所以g(t)的最大值为12，最小值为−√2+12；所以f(x)的最大值为12，最小值为−√2+12；(2)由f(A2)=sinA−12=0，得sinA=12，∵A∈(0,π)，∴A=π6或A=5π6，当A=π6时，a2=b2+c2−2bccosA，b=c得bc=2+√3，S=12bcsinA=2+√34；当A=5π6时，a2=b2+c2−2bccosA，b=c得bc=2−√3，S=12bcsinA=2−√34．解析：(1)化简，换元法，求最值即可；(2)求出A，分两种情况讨论，求出面积．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力19.答案：(1)证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=(2BC)2+BC2−2×2BC⋅BC⋅cos60°，即AC=√3BC．所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，所以AC⊥平面FBC．证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α(0°<α<120°)，则∠ACB=120°−α．在△ABC中，由正弦定理，得BCsinα=ABsin(120∘−α)．因为AB=2BC，所以sin(120°−α)=2sinα．整理得tanα=√33，所以α=30°．所以AC⊥BC．因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，所以AC⊥平面FBC．(2)解法1：由(1)知，AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD =MA =AD.所以△MAD 是等边三角形，且ME//BF ． 取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN ⊥AD ． 因为MN ⊂平面ABCD ，ED//FC ，所以ED ⊥MN ． 因为AD ∩ED =D ，所以MN ⊥平面ADE. 所以∠MEN 为直线BF 与平面ADE 所成角． 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．因为MN =√32AD ，ME =√MD 2+DE 2=√2AD ，在Rt △MNE 中，sin∠MEN =MN ME=√64． 所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为√64．解法2：由(1)知，AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ， 所以AC ⊥FC ．因为平面CDEF 为正方形，所以CD ⊥FC ． 因为AC ∩CD =C ，所以FC ⊥平面ABCD ． 所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直， 建立如图的空间直角坐标系C −xyz ．因为ABCD 是等腰梯形，且AB =2BC ，∠ABC =60° 所以CB =CD =CF ．不妨设BC =1，则B(0,1，0)，F(0,0，1)，A(√3,0,0)，D(√32,−12,0)，E(√32,−12,1)，所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,12,0)， DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面ADE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则有{n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√32x +y 2=0z =0. 取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)是平面ADE 的一个法向量． 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=|√3,0)√2⋅2|=√64．所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为√64．解析：(1)证明1：由余弦定理得AC =√3BC ，所以AC ⊥BC ，由此能够证明AC ⊥平面FBC ． 证明2：设∠BAC =α，∠ACB =120°−α.由正弦定理能推出AC ⊥BC ，由此能证明AC ⊥平面FBC ． (2)解法1：由(1)结合已知条件推导出AC ⊥FC.由平面CDEF 为正方形，得到CD ⊥FC ，由此入手能求出直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．20.答案：解：(Ⅰ)2S n =3a n −3，可得2a 1=2S 1=3a 1−3，解得a 1=3，n ≥2时，2S n−1=3a n−1−3，相减可得2a n =2S n −2S n−1=3a n −3−3a n−1+3， 化为a n =3a n−1，则ana n−1=3，故数列{a n }为公比为3的等比数列，经验证，n =1也符合， 可得a n =3⋅3n−1=3n ； 故a n =3n(Ⅱ)证明：b n =log 3a 2n−1=log 332n−1=2n −1， 可得1bn b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，即前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1) =12−12(2n+1)，由{T n }为递增数列，可得T n ≥T 1=13，且T n <12， 可得13≤T n <12．解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求得首项，n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； (Ⅱ)求得b n =log 332n−1=2n −1，可得1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，由数列的裂项相消求和和数列的单调性，即可得证．21.答案：解：(1)设M(x,y)，则k AM =yx+1，k BM =yx−1， 所以yx−1−y x+1=2，所以轨迹方程为y =x 2−1(y ≠0或x ≠±1)；(2)方法一：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)联立方程{y =x 2−1x −y =0，得x 2−x −1=0，所以{x 1+x 2=1x 1x 2=−1，所以|PQ|=√1+12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10，A 到直线的距离为d =√12+12=√2， 所以S △APQ =12⋅d ⋅|PQ|=√52．方法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)联立方程{y =x 2−1x −y =0，得x 2−x −1=0，所以{x 1+x 2=1x 1x 2=−1，S △APQ =12⋅|AO|⋅|y 1−y 2|=12⋅|AO|⋅|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，所以S △APQ =√52．解析：定理，结合S △APQ =12⋅|AO|⋅|y 1−y 2|转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(1)设M(x,y)，求出直线的斜率，然后求解轨迹方程即可．(2)方法一：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)联立方程{y =x 2−1x −y =0，得x 2−x −1=0，利用韦达定理以及弦长公式结合三角形的面积求解即可．方法二：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)联立方程{y =x 2−1x −y =0，得x 2−x −1=0，利用韦达22.答案：解：(1)f′(x)=11+x −1(1+x)2=x(1+x)2，x >−1当−1<x <0时，f′(x)<0，f(x)在(−1,0)上单调递减， 当x =0时，f′(x)=0，当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点也是最小值点，所以f(x)的极小值=f(0)=0；(2)由(1)，f(x)≥f(0)=0，从而ln(1+x)≥x1+x在定义域(−1,+∞)上恒成立．要证lna−lnb≥1−ba 成立．即证ln ab≥1−ba成立．令1+x=ab ，则x1+x=1−1x+1=1−ba，于是ln ab≥1−ba，不等式成立．解析：(1)先求出函数的导数，得到单调区间，求出极值点，从而求出函数的极小值；(2)由(1)f(x)≥f(0)=0，从而ln(1+x)≥x1+x 在定义域(−1,+∞)上恒成立．经分析，令1+x=ab，则上述不等式即为ln ab ≥1−ba成立．本题考查函数极值求解，函数性质的得出与应用，考查构造，分析解决问题能力，由特殊到一般的数学思想．。
2020年1月学考选考浙江省嘉兴市2019学年第一学期高三期末教学质量检测数学试题参考答案
sin 2x 3(1 cos 2x) sin(2x ) 3
2
2
32
当 x [0, ] 时， 2x [ , 2 ] ．
2
3 33
当 2x [ , 2 ] ，即 x [5 , ] 时， f ( x) 是增函数．
3 23
12 2
高三数学 参考答案 第 1 页 共 6 页
考 选 考 学 省 江 浙
AB
sin
A
1
sin
2 3
21 ．
BC
7
14
19．（本题满分 15 分）如图，在四棱柱 ABCD ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，
DA AB BC 1 ， DC 2 . 平面 DCC D 平面 ABCD ，四边形 DCCD 为菱形，
DDC 60 . （Ⅰ）求证： DA BC ； （Ⅱ）求 DA 与平面 BCC B 所成角的正弦值.
3 , 1 ,0) (0,1,
3) (
33 ,,
3) ，
22
22
BC ( 3 , 1 ,0) ， 22
∴ DA BC 3 3 0 0 ，∴ DA BC . 44
（Ⅱ） CC DD (0, 1, 3 ) ，设平面 BCC B 的法向量为 m ( x, y, z) DAB
BD BA
1 ， tan OAB
OB BA
1 2
，
∴ tan DAO
1 1 2
1 ，∴ sin DAO
10 .
1 1 1 3
10
2
∴ DA 与平面 BCC B 所成角的正弦值为 10 . 10
方法二、
z D
A
C B
D
O
C
y
2022-2023学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 a 1， b
3
，且a与bFra bibliotek的夹角为
6
，
所以 a b a b cos 3 ， 62
因此 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 2 3 3 1 . 22
故选：A.
5、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
A. [0, 2]
B.[0, )
C. (0, 2]
D.[2, )
10．曲线
y
Asin x
a( A
0,
0) 在区间
0,
2π
上截直线
y
2
及
y
1 所得的弦长相等且不为
0
，则下列对
A ， a 的描述正确的是
A. a 1 ， A 3
2
2
B. a 1 ， A 3
2
2
C. a 1， A 1
D. a 1， A 1
直线(除 a 2 时外)与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象最多一个公共点，此时 a 0 或 a 2 或 a 不存在， 将 a 2 时的直线(含 a 2 )绕 A 顺时针旋转到直线 y 2 (不含直线 y 2 )的位置， 旋转过程中的直线与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象至少有两个公共点，此时 0 a 2 ，
8．若 x log2 3 1，求 3x 3x （）
A. 5
B. 13
2
6
C. 10
D. 3
3
2
9．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x 2) ，且当 x (1,1] 时， f (x) (1)|x| ，若关于 x 的方程 2
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省嘉兴市2019-2020年度高三上学期期末数学试卷(理科)D卷
浙江省嘉兴市2019-2020年度高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·赣州模拟) 已知集合P={x|x2﹣2x﹣8≤0}，Q={x|x≥a}，（∁RP）∪Q=R，则a的取值范围是（）A . （﹣2，+∞）B . （4，+∞）C . （﹣∞，﹣2]D . （﹣∞，4]2. （2分）(2014·大纲卷理) 设z= ，则z的共轭复数为（）A . ﹣1+3iB . ﹣1﹣3iC . 1+3iD . 1﹣3i3. （2分）某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的的值为（）A . 33B . 31C . 29D . 274. （2分）(2017·昆明模拟) 在△ABC所在平面上有一点P，满足，，则x+y=（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·牡丹江期中) 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A . 2B . 1C .D .6. （2分） (2016高一下·邵东期中) 已知函数y﹣=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）A . A=3，T=2πB . B=﹣1，ω=2C . T=4π，φ=﹣D . A=3，φ=7. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 已知双曲线的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N 是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于（）A . 4B . 2C . 1D .8. （2分）已知cos θ=－，θ∈（－π，0），则sin +cos =（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·山东模拟) 曲线在点处的切线方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·石嘴山期末) 若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm311. （2分）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆，在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·正阳期中) 函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·佛山期末) 记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是________．14. （1分）设的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若M-N=240 ，则 n ＝________.15. （1分） (2018高一下·衡阳期末) 已知长方体内接于球，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为________．16. （1分） (2016高一下·重庆期中) 在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的一点，且满足AD= AB，AE= AC，若BE⊥CD，则cosA的最小值是________．三、解答题 (共8题；共60分)17. （5分）(2016·安徽模拟) 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3 ， S9 ， S6成等差数列．（Ⅰ）求证：a2 ， a8 ， a5成等差数列；（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a2=1，b3=a5 ，求数列{an3bn}的前n项和Tn ．18. （5分） (2018高二下·牡丹江月考) 某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率取得最大值的整数 .19. （10分） (2018高一上·武威期末) 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ .（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求二面角A－BE－P的大小．20. （10分） (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2 .（1）求椭圆C的方程;（2）设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.21. （10分）(2017·福建模拟) 已知函数f（x）=ex+be﹣x﹣2asinx（a，b∈R）．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．22. （5分）如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证:DC是☉O的切线23. （5分） (2016高三上·南通期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．24. （10分） (2017高二下·吉林期末) 已知函数f(x)＝|x－a|．（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共60分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
浙江省嘉兴市2020届高三第一学期期末检测数学试题(含答案)
DDC 60 . （Ⅰ）求证： DA BC ； （Ⅱ）求 DA 与平面 BCC B 所成角的正弦值.
D A
C B
19．方法一、
D
H
C
（Ⅰ）连接 DB 、BA ，取 DC 中点 H ，连接 DH 、HB .
A
B
∵等腰梯形 ABCD 中， DA AB BC 1 ， DC 2 .
3 , 1 ,0) (0,1,
3) (
33 ,,
3) ，
22
22
BC ( 3 , 1 ,0) ， 22
∴ DA BC 3 3 0 0 ，∴ DA BC . 44
（Ⅱ） CC DD (0, 1, 3 ) ，设平面 BCC B 的法向量为 m ( x, y, z) ，则
嘉兴市 2019—2020 学年第一学期期末检测（2020.1）
高三数学 参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．A；
2．A；
3．B；
4．C；
5．C；
6．B；
7．D；
8．C；
9．D；
10．D．
10．提示：连接 AD ．
PA
BC
( PD
DA)
1 1 2
1 ，∴ sin DAO
10 .
1 1 1 3
10
2
∴ DA 与平面 BCC B 所成角的正弦值为 10 . 10
方法二、
z D
A
C B
D
O
C
y
A
B
x
（Ⅰ）取 DC 中点 O ，连接 OD .
∵四边形 DCCD 为菱形， DDC 60 ，∴ OD CD .
浙江省嘉兴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【详解】①由题： tan 2 ,
sin 3cos tan 3 5 则 sin cos tan 1 ，
sin cos
②
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5.
2 故答案为：①5，② 5
【点睛】此题考查同角三角函数的基本关系，根据正切求值，关键在于正确处理分子分母齐
【答案】 (1). 1 (2). 0 【解析】
【分析】 ①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】①由题： a log2 3, b log3 2 ,
则
ab
log2
3
log3
2
log2
3
log2 log2
2 3
1
；
②由①可得： lg a lg b lg ab lg1 0 .
a
4 3
,b
1
，
a 4,b 1
检验当 3
时，
x
4 3
1
在
x
1,
1 3
大于等于
0，在
x
1 3
,
7 3
时，小于等于
0，在
x
7 3
,
3
大于等于
0，
ab 1
所以
3.
故选：A 【点睛】此题考查根据不等式恒成立求参数的值，将问题转化为方程的根的问题，涉及转化 与化归思想，综合性强. 二､填空题:
11.若 a log2 3, b log3 2 ,则 ab =______, lg a lg b =______.
【答案】
3 (1). 2
2 (2). 3
【解析】
【分析】
浙江省嘉兴市2020届高三上学期基础测数学试题 Word版含答案
2019年高三教学测试（2019.9）数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A A 恰好发生k 次 的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n Λ=-=- ．柱体的体积公式Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高． 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合}i ,i ,i ,i {432=A （i 是虚数单位），}1,1{-=B ，则=B A IA ．}1{-B ．}1{C ．}1,1{-D ．∅2．“b a 22=”是“b a ln ln =”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，函数)(x f （]2,1(-∈x ）的图象为折线ACB ，则不等式)1(log )(2+≥x x f 的解集为A ．}01|{≤<-x xB ．}10|{≤<x xC ．}11|{≤<-x xD ．}21|{≤<-x x4．已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-020x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．55．袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 A ．53B ．43C ．107D ．54 6．已知向量a 与b 不共线，且0≠⋅b a ，若a c -=2，则向量a 与c 的夹角为A ．2πB ．6π C ．3πD ．07．如图，已知抛物线x y C 4:21=和圆1)1(:222=+-y x C ，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则⋅的值为（第3题图）BxyOAC1-22A ByA ．41B ．21C ．1D ．2 8．若]2,2[,ππβα-∈，且0sin sin >-ββαα．则下列结论正确的是 A ．βα> B ．0>+βα C ．βα<D ．22βα>9．已知各棱长均为1的四面体BCD A -中，E 是AD 的中点，P 为直线CE 上的动点，则｜｜｜｜DP BP +的最小值为 A ．361+B ．361+C ．231+ D ．231+10．已知R ,∈b a ，关于x 的不等式1|1|23≤+++bx ax x 在]2,0[∈x 时恒成立，则当b 取得最大值时，a 的取值范围为 A ．]2,423[3-- B ．]43,2[--C ．]43,423[3--D ．]2,25[--第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则俯视图的面积为 ▲ 2cm ，该几何体的体积为 ▲ 3cm ．12．已知}{n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若12+a ，15+a ，17+a 错误!未找到引用源。
2019年9月浙江省嘉兴市2020届高三上学期基础测试数学试题及答案
绝密★启用前
浙江省嘉兴市2020届高三年级上学期基础测试
数学试题
2019年9月
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．
如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A A 恰好发生k 次的概率 ),,2,1,0()
1()(n k p p C k P k
n k k n
n =-=
- ．
柱体的体积公式
Sh V =，
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．
锥体的体积公式
Sh V 3
1
=
， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高。
台体的体积公式
)(3
1
2211S S S S h V ++=
， 其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高． 球的表面积公式
24R S π=，
其中R 表示球的半径． 球的体积公式
3
3
4R V π=
， 其中R 表示球的半径．。