人教版-数学-九年级下册--素材：黄金分割
黄金分割的应用
一、什么是黄金分割？
1、点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果 那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 如果把
化为乘积式是 ，AC 叫做AB 和BC 的比例中项
二、黄金分割的发现：
黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。
一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路
过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎
这声音中隐匿着什么秘密。
他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，
发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。
回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，
想将它分为两段。
怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比
例截断最优美。
后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
这个规律
的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。
无论什么物体、
图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦
目、最美的印象。
三、黄金分割的应用：
1、古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。
但这
些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
2、蒙娜丽莎的微笑：著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分
割在油画艺术上的应用。
通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在
整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和
完美.
3、据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人
体感到最舒适。
因此夏天使用空调时室内温度调到22.3 ℃~22.8℃最适合。
4、伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用
于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。
AC
BC AB AC =AC BC
AB AC =BC AB AC •=2
C
5、如图是古希腊时期的巴台农神庙, 如果把图中虚线表示的矩形画成下图中的ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的
发现 点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比。
四、感想：
数学来源于生活
数学的知识有的是我们生活实际中已经会的，但还没有找到规律，我们可以运用经验，通过实践活动把经验提炼为数学。
黄金分割”的实质就是0.618这个神奇的数字。
只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”。
黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯留心生活发现1：0.618的这个黄金比例最优美，和谐。
数学在每个人身边，要有心去体验，发现。
,BC AB
BE BC E B A D F C。
人教版九年级下册数黄金分割同步练习
27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
新人教版九年级下册数学[《相似》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版九年级下册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学黄金分割知识点
黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。
下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。
1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。
用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。
-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。
-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。
3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。
这种分割方式可以无限进行下去。
-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。
黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。
4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。
这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。
-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。
这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。
-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。
连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。
5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。
很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。
黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。
新人教版九年级数学(下)第二十一章黄金分割(共28张PPT)
（1）
（3） （2）
三、延伸拓展，深化概念
21×34
三、延伸拓展，深化概念
D C
A
21×34
B (精确到0.001)
BC 21 = AB 34
若矩形的宽与长的比约为0.618,这样 的矩形称之为黄金矩形.
折叠黄金矩形
折叠黄金矩形
B E
M
5
N2Biblioteka 5 -1A1 C
D
CD = BC 5 -1 2
0.618 原线段
5 1
二、操作运用，巩固概念
用尺规作图找出黄金分割点
如图,已知线段AB, 求作其黄金分割点.
作法:
1 1、经过点B作BD⊥AB,使B D = A B . 2
2、连接AD, 在DA上截取DE=DB 3、在AB上截取 AC=AE. 点C即为线段AB的黄金分割点.
想一想 根据上述作图回答下列问题:
一、探索交流，建立概念
黄金分割 A C 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 AC BC = , 那么称线段AB被点C黄金分割， AB AC 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比称 为黄金比.
黄金比： AC : AB = 5 1 : 1 0.618 2
B
从形式上理解：成比例线段的形式。较长线段 = 较短线段 原长线段 较长线段 从比值上理解：黄金比
膝关节位于肚脐与足底长度的0.618 肘关节位于肩关节与指头长度的 0.618处
自然界中的神秘数字
在人的生命程序DNA分子中，它的每个双螺旋构中都是由 宽21个埃与长34个埃之比非常接近黄金分割的0.618。
建筑与黄金分割
遍布全球的众多建筑，都有意无意的运用了黄金分割法 则，给人以整体上的和谐与悦目之美。
数学人教版九年级下册黄金分割
单位
公主岭市范家屯镇第二中学校
学科
数学
课题
黄金分割
课型
新授课
课时
一课时
教学方法
归纳、观察、探究相结合
教学手段
多媒体
教 者
刘雅卓
教学目标
知识技能：掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法；
数学思考：会进行黄金分割的有关计算。
问题解决：经历黄金分割的引入及黄金分割点作法的探究过程，掌握数形结合法在数学解题中的运用。
展示黄金矩形的“迷人面容”----蒙娜丽莎的微笑。让学生找一找画中有几个黄金矩形？
联想交流
动手实验
联想交流
分析讨论
分析解答
观察思考
观察联想
分析讨论
思考比较
交流思考
体现从生活走向数学
培养学生动手能力和学以致用能力
培养学生利用所学知识解决实际问题的能力
学以致用感受科学的真实性
培养学生分析归纳能力
培养学生归纳概括能力
情感与价值观：在现实情境中体会黄金分割的文化价值，培养同学们主动参与、积极思考、合作交流的学习品质。增强学生的实践意识和自信心.
教学重点
黄金分割的定义，做一条线段黄金分割点的方法；
教学难点
探究线段黄金分割点的作法。
教学过程
流程
教学动
学生活动
设计意图
导入新课
通过播放芭蕾舞演员的图片引入美，并设置问题导入情境。
一、证黄金分割点即证：
二、如果已知线段AB，求做它的黄金分割点；
三、手工折纸折出黄金矩形；
板书展示
展示学习的重点清晰明了
后记
在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
人教版九年级数学黄金分割点的历史来源
我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。
那么这个比例是多少呢？是0.618。
人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。
并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调。
在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。
最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是0.618那做的馒头最好吃。
发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。
在分割时．在长度为全长的约0.618处进行分割．就叫作黄金分割．这个分割点就叫做黄金分割点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
人教版九年级数学教案-第课时黄金分割
第4課時 黃金分割學習目標：1、認識線段的黃金分割，理解黃金分割的概念.2、會運用黃金分割進行相關計算和證明.學習重點：比例性質的應用和黃金分割的概念.學習難點：運用黃金分割解決實際問題.【預習案】一、鏈接請寫出比例的基本性質.二、導讀閱讀課本P95-96，回答下列問題：（1） 叫做黃金分割．（2）黃金分割點是如何確定的？一條線段有幾個黃金分割點？叫做線段的黃金分割點， 叫做黃金比.【探究案】㈠、黃金分割的定義：1、動手操作，然後算一算，完成下麵的填空：度量線段AC 、BC 的長度，線段AC= ，BC= ， 計算AB AC = 、AC BC = , AB AC 與ACBC 的值 A B C相等嗎？※線上段AB 上，點C 把線段AB 分成兩條線段 和 ，如果 = ，那麼稱線段AB 被點C ，點C 叫做線段AB 的 ，AC 與AB 的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黃金分割是一種分割線段的方法，一條線段的黃金分割點有 個。
⑵、黃金比是兩條線段的比，沒有單位，它的比值為 ，精確到0.001為 。
2、想一想：點C 是線段AB 的黃金分割點，則AB AC = 。
㈡、確定黃金分割點：如圖，已知線段AB ，按照如下方法作圖：（1）經過點B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB.（2）連接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.點C 就是線段AB 的黃金分割點。
㈢、黃金矩形：寬與長的比是：的矩形叫做黃金矩形。
【訓練案】1、若點C 是線段AB 的黃金分割點，且AC ＞CB ，則AB ：AC= ；BC ：AB= .2、若在四邊形ABCD 和四邊形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四邊形A 1B 1C 1D 1的周長為80cm ，求四邊形ABCD 的周長.A B 5−13、已知，如圖在 △ABC 中DB AD =求證：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD =4、設點C 是長度為2cm 的線段AB 的黃金分割點，則AC 的長為 .。
黄金分割(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C 将线段AB 分成AC 、CB 两部分，且AC ＞BC ，如果AB AC AC CB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．若C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，则分割后较短线段长为（ ）A 51B ．35C ．253D 522．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB 为339米，观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP ＞PB)，那么AP 的高度大约为（ ）米．A ．200B ．210C ．300D ．1303．点C 是线段AB 的黄金分割点，且6AB cm =，则BC 的长为（ ）A ．()353cmB ．(935cm -C ．()353cm 或(935cm -D ．(935cm -或()656cm 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，则:AP PB 的值为（ ）A 51-B 51+C ．0.618D 515．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(且AP 1＜BP 1，即P 1B 2＝AP 1•AB )，点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此类推，则线段AP 2017的长度是( )A ．(3−√52)2017B ．(√5−12)2017C ．(12)2017D ．(√5﹣2)1008 6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足51MG GN MN MG -==51-这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ）A ．105-B ．355C 525-D ．2085-7．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d=； ①如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，且2AB =，则51AC =．其中正确的判断有（ ）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB 是已知线段，经过点B 做BD ①AB ，使12BD AB =；连接DA ，在DA 上取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ．点C 即为线段AB 的黄金分割点，若BD ＝2，则BC 的长为（ ）A 51-B ．65-C 51-D ．52951-510.618-≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm二、填空题 10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．1151-这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设51a -=，51b +=则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．12．点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若5BP =，则AP =__．13．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点P 3是线段AP 2的黄金分割点（AP 3<P 2P 3），…，依次类推，则AP n 的长度是______．14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．15．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．那么AC BC -=________． 16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D 、E 是①ABC 中边BC 的两个“黄金分割”点，则①ADE 与①ABC 的面积之比是_____．17．若线段5AB cm =，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，则55________AC =．（判断对错） 18．已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且1AC cm =，则线段AB 的长为________． 19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若 AC ＝2则AB ⋅BC ＝______．20．（如图1），点P 将线段AB 分成一条较小线段AP 和一条较大线段BP ，如果，那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设=k ，则k 就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰①APB （如图2），等腰①APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是①ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的①ABC的黄金分割线有几条？21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．三、解答题22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在①ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD 是①ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.23．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图①），则直线CD 是ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）在（1）中的ABC 中，研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线//DF CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图①），则直线EF 也是ABC 的黄金分割线．请你说明理由；（4）如图①，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作//EF AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．24．一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．请计算黄金比．25．阅读与思考黄金分割黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就如图1的作法是由《几何原本》中给出：（1）以线段AB为边作正方形ABCD．（2）取AD的中点E，连接BE．（3）在DA的延长线上取点F，使FE EB=．（4）以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H是线段AB的黄金分割点的部分过程．证明：设正方形ABCD的边长为1，则1AB AD==．①点E是AD的中点，①1122 AE AD==．在Rt ABE△中，由勾股定理得：2221512BE AE AB⎛⎫=++=⎪⎝⎭…任务：（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．（2）如图2，点C，D是线段AB的两个黄金分割点，且252AC=，则AB=_____，BC= _____．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较5-1解：根据黄金分割点的概念得：5-15-1251 AB=①BC=AB-AC=2(51)35-=故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．2．B【分析】根据黄金分割比代入求值即可．【详解】由题意知：51BPPA-=，①AB=339，①BP=AB-PA=339-PA，代入得：33951PAPA--=解得：210PA≈，故选：B．【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．3．C【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-，据此进行解答即可得答案.【详解】①点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，51-51-53，或BC=651-AB=9-5故选C．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键. 4．B根据黄金分割比求出AP ，PB 计算即可；【详解】①点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，①51AP AB -= 令AB x =， ①51AP x -=， 51352PB x x x --=-=， ①515135AP PB -+==-； 故答案选B ．【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键． 5．A【分析】根据黄金分割的定义的BP 1=√5−12AB ，则AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52，利用同样的方法可得到AP 2=3−√52AP 1=(3−√52)2，AP 3=(3−√52)3，按此规律易得AP n 的长度=(3−√52)n【详解】解答：解：①线段AB=1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1＜BP 1）， ①BP 1=√5−12AB ①AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52， ①点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2＜P 1P 2），①P 1P 2=√5−12AP 1 ①AP 2=AP 1-P 1P 2=(3−√52)2同理可得AP 3=(3−√52)3①AP 2017=(3−√52)2017 故选A.【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.6．A【分析】作AF①BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF①BC ，①AB=AC ，①BF=12BC=2，在Rt ABF 2222325AB BF --①D 是边BC 的两个“黄金分割”点，①51CD BC -=即514CD -= 解得CD=52，同理BE=52，①CE=BC -BE=4-(252)=6-25①DE=CD -58， ①S①ABC=12DE AF ⨯⨯=()145852⨯1045- 故选：A.【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。
专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
《比例性质、黄金分割》名师课件(新人教版九年级下册数学ppt)(共26张PPT)
重点、难点知识★▲
活动3 例题讲解，比例基本性质的应用
例1：判断：5x=6y，则x:y=5:6.（ ）
解：×
由比例的基本性质得6x=5y，与已知5x=6y不符，所以错误.
点拨：在改写比例时，x作外项，和x相乘的5一定也作外项.把 ax=by改写成比例式后，a和x必须同时为外项，或同时 为内项.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
bd
b
d
推理过程：
（1）∵ a c =3，
bd
∴a=3b，c=3d，则 a b b
3b b b
4，c d d
3d d d
4．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二 什么是合比性质？什么是等比性质？ 重点、难点知识★▲
活动1 让学生通过计算、推理证明，得出合比性质
合作探究：
（1）已知
探究：已知 a•d=b•c，你能得到哪些比例式?
归纳：更比性质(交换比例的内项或外项)：
a
c
b d
(交换内项)
a b
c d
d
b
c a
(交换外项)
d c
b a
(同时交换内外项)
反比性质(把比的前项、后项交换)：
a c bd bd ac
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一 : 什么是比例的基本性质？
a b
c d
ab cd =3,求 b 和 d ；
（2）如果 a c =k（k为常数），那么a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
（3）如果 a c , 那么 a b c d 成立吗？为什么？
bd
b
d
推理过程：