河南省高一数学联赛预赛试题
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一.填空题(共10小题,每小题6分,满分60分) 1.已知非空集合{}1,2,,2012A ⊆,且满足:当a A ∈时,有2013a A -∈,则符合题意的集合A 共有 10062-12.已知(),P a b 关于直线l 的对称点为()1,1P b a '+-，则园22:620C x y x y +--=关于直线l 对称的园C '的标准方程为()()222210x y -+-=3.已知分段函数()()3,01,0x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x x a =+有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围是程(),2-∞4.设,a b 分别是方513log 20120x x +-=和51320120x x +-=的根，则a b +=20125.已知四面体A BCD -中，213,AB CD ==41,BC AD ==61,AC BD ==则该四面体的体积是 406.定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知{}1,2A =,{}2|10B x x ax =++=,其中()C A 表示集合A 中元素的个数,若*1A B =,由a 的所有可能值构成的集合是S ,那么()C S =37.已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为31+，底面边长为2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是1552+8.已知函数()y f x =的定义域是D ,若对于任意的12,x x D ∈,当12x x <时,都有()()12f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为非减函数,设函数()y f x =在[]0,1上为非减函数,满足条件:①(0)0f =;②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③()()11,f x f x -=-则1132012f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭65128 9.（选做题）.(必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回),直到2个次品都找到为止,则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是415(必修4)如图1所示,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,P 是以A 为圆心,AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点,设向量(),,AC DE AP R λμλμ=+∈则λμ+的最小值是1210.已知m N ∈,且函数()21010f x x m x m =---+存在整数零点,则符合题意的一切m 的取值构成的集合是 {}0,3,14,30二、（本题满分20分) 如图2所示,KL 和KN 是C 的两条切线,其中,,L N 为切点.在KN 的延长线上取一点M ,KML ∆的外接圆与C 的另一交点为P ,ML 和C 的另一交点为R ,延长PR 交MK 于T .过N 作NQ ML ⊥于Q ,连接QP . 证明:(1)MTR ∆∽;PTM ∆(2)2.MPQ KML ∠=∠证明:(1) 连接.PL 因为KL 为切线,所以.KLM RPL ∠=∠180180180TMP KLP KLM PLM RPL PLR ∠=︒-∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ;.LRP TRM MTR PTM MTR =∠=∠∠=∠∴∆∽.MTP ∆(2)连接TQ ,由(1)知,MTR ∆∽;PTM ∆2.TM TR TP ∴=∙由于TN 为C 的切线,则2,.TN TR TP TM TN =∙∴=,NQ ML ⊥T ∴是MNQ ∆的斜边中点,22TQ TN TR TP ∴==TRQ ⇒∆∽2.TPQ TPQ TQR KML MPQ KML ∆⇒∠=∠=∠⇒∠=∠三.（本题满分20分) 如图3所示,已知单位正方体ABCD EFGH -的棱长AD 和BC 上分别有动点Q,P ..若直线PQ 和BD 交于点N ,直线GQ 和平面BDE 交与点M,BE 的中点是S,设AQ =()x x 0≤≤1，MN=y .(1)求证:D,M,S 三点共线;(2)求y 的最小值关于x 的解析式.证明：(1)连接AF ，DG .因为点Q 在边AD 上,所以直线GQ 在平面ADGF 内.又因为直线GQ 和平面BDE 交与点M ,所以M 是平面ADGF 和平面BDE 的交点.而BE 的中点是S ,故S 是AF 的中点,所以S 是平面ADGF 和平面BDE 的交点.显然D 是平面ADGF 和平面BDE 的交点,因此D,M,S 三点共线.（2）过M 作MN BD '⊥于N '，连接QN '并延长交直线BC 于点P '，取点P '为P ，点N '为N ，此时y=MN 最小。
河南省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题(河南卷)
2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分140分一、填空题（满分64分）1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为22，则点M 到面ABC 的距离为_________________.4、若锐角α满足23tan10tan2tan2oαα=+，则角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=L二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD-的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,2AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 三、（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=（1）当时0x >，求证：（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，求实数的值.四、（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++（1）设na =，求数列{}n a 的通项公式.（2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五、（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值.2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分)2+x x ＞01.｛5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为2xx ＜0（A ） 8. （B ） 11. （C ）13·1/4 （D ）15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c 的不同的两个根，则a 、b 、c 之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x ²-2x ，则f(x)在x ∈[-4,-2]上的最小值为（A）-1/9 （B）-1/3 （C）1/3 （D）1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+和无理数π=3.14159265358...满足f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)若函数f(f(n)的值域记为M ，则A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，则S△CPN-S△BPM等于（A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则P，Q，R的大小关系为（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。
2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题Word版含答案
2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一、填空题(共8小题每小题8分,满分64分)1. 集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ⊆,则满足条件的实数m 组成的集 合为 ．2.函数()f x =的值域是 ．3已知函数|2|3||220181()41x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m , 则M m += ．4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,AD BC ==AC BD ==则该四面体的体积 为 ．5.已知关于x 的方程32x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内, 则211a b a +++的取值范围是 ． 6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB经过一个定点，该定点的坐标为 ．7.已知A ∠为锐角,的最小值为 ．8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为 +()i x i N ∈的概率为i p ,这里要求1()i I x x i N +<∈,则1i i i S x p +∞===∑ ．二、(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: a b +≥(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求14x y +的最小值. 三、设锐角ABC ∆边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.四、已知实数,x y 满足:21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值. 五、设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(i) {()|}T f x x S =∈；(ii) 12,x x S ∀∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.那么称这两个集合“保序同构”.证明: (1)(0,1),A B R ==是保序同构的；(2)判断,A Z B Q ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.2019年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题参考答案一、填空题 1. 11{,,0}23 .2. 2].3. 2.4. 20.5. (0,2).6. 4(,2)3.8. 185. 二、(1)由a b +-20=-≥，故a b +≥ (2) 1414()()x y x y x y+=++ 414y x x y =+++59≥+= 等号在12,33x y ==处取到，故最小值为9. 三、如上图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=,故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠而 =BFD FQB FBQ BCA PCB PCA ∠∠+∠⎧⎨∠=∠+∠⎩FQB ⇒∠=PCB PAF ∠=∠故,,,A F P Q 四点共圆AQP AFE ⇒∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ⇒=四、21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+ 2(1)11x y x y -++==-+111x y x y -++-+ 由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+ 21cos (1)211x y x y ⎧++-=⇒⎨-+=⎩2cos (1)1x y x y⎧+-=⇒⎨=⎩1,x y k k Z x y π+-=∈⎧⇒⎨=⎩ 12k x y π+⇒==，k Z xy ∈⇒=211(),24k k Z π+≥∈ 故min1()4xy =. 五、(1)令()tan[(f x x =-1)]()2x A π∈， 则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的；(2)集合,A Z B Q ==不是保序同构的.事实上上若集合,A Z B Q ==是保序同构的.则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,a b Q a b ∈<. 考察数2a b c Q +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在x Z ∈使()f x c =， 结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.。
2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题-9
图1A2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题一、填空题（共10小题，每题6分，满分60分）1、已知集合M 满足条件：{}{}1,2,3,,5121,2,3,,2013M ⊆⊆，则符合条件的集合M 共有 个。
2、已知,x y R ∈，11111212x y ++=--，则x y += 3、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点有 个。
4、已知直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为3，60BAD ∠=。
长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为5、连接球面上两点的线段称为球的弦。
半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于6、8，M 、N 分别为弦AB 、CD 的中点，则MN 的取值范围是 。
6、已知平面直角坐标系中：(2,0)A -、(2,0)B 、(0,2)C 、(1,0)E -、(1,0)F ，一束光线从F 点出发射到直线BC 上的D 点经直线BC 反射后，再经直线AC 反射，两次反射后落到线段AE 上（不含端点），则直线FD 斜率的范围是。
7、函数()2f x x=+的值域是 。
8、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式(2)4()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 。
9、（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）若1x ，2x ，，n x 的方差是2(0)s s >，a 、b 是常数，则1bx a +，2bx a +，，n bx a+的标准差是 。
（必修4）如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，1AD DC ==，3AB =，动点P 在BCD 内运动（含边界），设（α、R β∈），则αβ+的取值范围是 。
2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题
2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一、填空题(共8小题每小题8分,满分64分)1. 集合2{|560}P x x x =-+=，{|10}M x mx =-=，且M P ⊆,则满足条件的实数m 组成的集 合为 ．2.函数()1f x x =-3x +-的值域是 ．3已知函数|2|3||220181()41x x x f x -+=+在R 上的最大值为M ,最小值为m ,则M m += ．4.已知四面体ABCD 中, 5AB CD ==,34AD BC ==,41AC BD ==,则该四面体的体积 为 ．5.已知关于x 的方程32x ax bx ++10a b ---=有两个根分别在(0,1),(1,)+∞内, 则211a b a +++的取值范围是 ．6.在直线3x =上任取一点P ,过点P 向圆22(2)4x y +-=作两条切线,其切点分别为,A B ,则直线AB 经过一个定点，该定点的坐标为 ．7.已知A ∠为锐角,则4sin 1A +4cos 4A ++的最小值为 ．8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为23,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为+()i x i N ∈的概率为i p ,这里要求1()i I x x i N +<∈,则 ．二、(1)证明对于任意的正实数,a b 都有: 2a b ab +≥(2)已知正数,x y 满足: 1x y +=，求14x y +的最小值.三、设锐角ABC ∆边,,BC CA AB 上的垂足分别为,,D E F ,直线EF 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ,直线BP 与DF 交于点Q .证明: AP AQ =.四、已知实数,x y 满足:21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+，求xy 的最小值.五、设,S T 是两个非空集合若存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(i) {()|}T f x x S =∈；(ii) 12,x x S ∀∈,当12x x <时,恒有12()()f x f x <.那么称这两个集合“保序同构”.证明: (1)(0,1),A B R ==是保序同构的；(2)判断,A Z B Q ==是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一参考答案一、填空题1. 11{,,0}23 .2. [2,2].3. 2.4. 20.5. (0,2).6. 4(,2)3.7. 10.8. 185.二、(1)由2a b ab +-2()0a b =-≥，故2a b ab +≥(2) 1414()()x y x y x y +=++414y xx y =+++4529yxx y ≥+⋅=等号在12,33x y ==处取到，故最小值为9.三、如上图所示,由于,,D E F 是垂足,则90BFC BEC ∠=∠=o ,故,,,C B F E 四点共圆，从而AFE ACB ∠=∠而 =BFD FQB FBQBCA PCB PCA ∠∠+∠⎧⎨∠=∠+∠⎩FQB ⇒∠=PCB PAF ∠=∠故,,,A F P Q 四点共圆AQP AFE ⇒∠=∠=ACB APQ ∠=∠AP AQ ⇒=四、21cos (1)x y ++-=222(1)(1)1x y x y x y +++--+=22(2)2()111x y xy x y x y +-+-++-+2(1)11x y x y -++==-+111x y x y -++-+由于201cos <+(1)2x y +-≤，故10x y -+>，从而1121x y x y -++≥-+21cos (1)211x y xy ⎧++-=⇒⎨-+=⎩2cos (1)1x y x y ⎧+-=⇒⎨=⎩1,x y k k Zx y π+-=∈⎧⇒⎨=⎩12k x y π+⇒==，k Z xy ∈⇒=211(),24k k Z π+≥∈ 故min 1()4xy =.五、(1)令()tan[(f x x =-1)]()2x A π∈，则()f x 单调增,且其值域为R ,因此A 和B 是保序同构的；(2)集合,A Z B Q ==不是保序同构的.事实上上若集合,A Z B Q ==是保序同构的.则存在函数()y f x =,使得(1),(2)f a f b ==,其中,,a b Q a b ∈<. 考察数2a b c Q +=∈，则a c b <<,由于A 和B 是保序同构的,则存在x Z ∈使()f x c =， 结合()y f x =单调递增,则12x <<,矛盾.。