高一数学竞赛试题及答案详解
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
湖北高一高中数学竞赛测试带答案解析
湖北高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或4006.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．317.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A ．B ．C ．D ．9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（ ）. A ．B ．C ．D ．10.在的对边分别为，若成等差数列,则（ ）. A ．B ．C ．D ．二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是 ．2.已知，若，化简______________．3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a, b, c ，若△ABC 的面积为 S = a 2－(b －c)2，则= .4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为 ．6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ．7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝ ；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ．三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值．2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．3.已知数列{an}的前n 项和，（1）求通项公式an ；（2）令，求数列{bn}前n 项的和Tn.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.湖北高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向右平移个单位，函数解析式为=，横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为.【考点】三角函数的图形变换.2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】A【解析】，=====.【考点】诱导公式.3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．【答案】B【解析】由图象最高点可知，，则，.原函数化为，图象过，则.可得 .【考点】的图像与系数的关系.4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或400【答案】A【解析】由等比数列的前项和公式，，，由两式解得，，.【考点】等比数列的前项和.6.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.7.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．【答案】D【解析】第一个需8根，第二个需8+6=14（根），第三个8+6+6=20（根），需要的火柴棒根数呈等差数列，首项为8，公差为6，则第个需（根）.【考点】等差数列的通项公式.8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知则.则.所以公差的范围是.【考点】等差数列的通项公式.9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】角依次成等差数列,则，所以，且.【考点】等差数列，三角形内角和，三角形面积公式.10.在的对边分别为，若成等差数列,则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得，由正弦定理可得，即，则，B=.【考点】正弦定理.二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①=为奇函数；②，最大值；③令,，，但；④对称轴可由，求得，也满足；⑤在区间上的最大值为2.【考点】三角函数的性质.2.已知，若，化简 ______________．【答案】【解析】，，又，则，所以【考点】三角恒等变形，三角函数的性质.3.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若△ABC的面积为S = a2－(b－c)2，则= .【答案】4【解析】,可化为，又，代入可得，所以=.【考点】余弦定理.4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为【答案】【解析】当时，，当时，，上式不成立，则可得通项公式.【考点】由前n 项和公式求通项公式.5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为 ． 【答案】【解析】由题可得，又c=2a ，所以.考点:等比数列的概念，余弦定理.6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ． 【答案】【解析】由题可知，且，据等比数列的前ｎ项和公式可得,解之.【考点】等比数列的前ｎ项和公式，等差数列的定义.7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝ ；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ． 【答案】（1）3 （2）【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，与函数在每个周期内有两个零点，结合图像，b－a 的最小值为【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值． 【答案】（1）（2）【解析】（1）由三内角成等差可求，再利用余弦定理可求c;(2)由，可将转化为，再由A 范围求出最值.试题解析：解：（1）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（2）因为，所以9分因为，所以，所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，余弦定理，的性质.2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1）,=2cosx（2）【解析】（1）由向量的坐标运算，利用公式化简即可；（2）原函数由向量坐标运算可化为即又最小值，则结合二次函数最值可求得. 试题解析：解：（1）==，∵，∴∴=2cosx. 6分（2）由（1）得即∵，∴时，当且仅当取得最小值－1，这与已知矛盾．时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾．综上所述，为所求． 12分【考点】向量的坐标运算，二次函数求最值，函数与方程的数学思想，分类讨论的数学思想.3.已知数列{an}的前n项和，（1）求通项公式an；（2）令，求数列{bn}前n项的和Tn.【答案】(1);（2）.【解析】试题解析：解：(1)当时，.又，也满足上式，所以（2），所以，，两式相减，得所以【考点】数列的通项公式的求法，错位相减法求前n项和公式，等比数列前n项和公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.【答案】（1）(2)证明见解析.【解析】（1）设成等差数列的三个正数分别为,可得，又成等比，可得方程，则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n 项和为,由可知数列是等比数列.试题解析：解:(1)设成等差数列的三个正数分别为依题意,得所以中的依次为依题意,有(舍去)故的第3项为5,公比为2.由所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分(2)数列的前项和,即所以所以，数列是等比数列. 12分【考点】等差数列定义，等比数列的定义，等比数列的前n项和公式.。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
高一数竞试题及答案
高一数竞试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上恒等于0B. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上至少有一个零点C. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递增D. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递减答案：B2. 已知\( \triangle ABC \)的内角\( A, B, C \)满足\( \sin A +\sin B + \sin C = 0 \)，则\( \triangle ABC \)的形状是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：A3. 设\( a, b \)是方程\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)的两个实数根，则\( a^2 + b^2 \)的值为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C4. 若\( \log_{2}(3x-2) > 1 \)，则\( x \)的取值范围是：A. \( x > 2 \)B. \( x > \frac{5}{3} \)C. \( x < 2 \)D. \( x < \frac{5}{3} \)答案：B5. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \)的值域是：A. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0] \cup [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)D. \( (-\infty, 1] \cup [1, +\infty) \)答案：D6. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，且\( a_{n+1} =2a_n + 1 \)，\( n \geq 1 \)，则\( a_3 \)的值为：A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \cos \alpha =\frac{4}{5} \)，则\( \tan \alpha \)的值为______。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
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2006年苍南县高一数学竞赛试题
一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)
1.已知函数f (x )满足f (|
|2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) ?x x C. ?log 2 x ?2
2.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称,
则直线l 的方程为( )
=2 =1 =2
1 =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (
21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( )
＞2或21＜x ＜1 ＞2 C.21＜x ＜1 D.2
1＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则
( )
A. f (5)＜f (2)＜f (7)
B. f (2)＜f (5)＜f (7)
C. f (7)＜f (2)＜f (5)
D. f (7)＜f (5)＜f (2)
5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,2
1]成立, 则a 的最小值为( ) B. ?4 C.?5 D. ?6
6.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增.
如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )
A.恒大于0
B.恒小于0
C.可能为0
D.可正可负
7.若函数f (x )=25?|x +5| -4×5?|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )
＞0 ≤4 ＜m ≤4 ＜m ≤3
8.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得2
21)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )
A.10
1 C.43 D.23
二、填空题(每小题5分, 共30分)
9.已知集合A={x | 4?2k ＜x ＜2k ?8}, B={x | ?k ＜x ＜k },
若A ? ≠
B, 则实数k 的取值范围是____________________ 10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________
11.集合P ={x |x =2n ?2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________
12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y x
y x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________
13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,
则实数m 的取值范围是_________________
14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B), 且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b ?c +2c , 则max{a , b }的最小值是______
三、解答题(每题10分, 共30分)
15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.
(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;
(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a
1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立. 已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.
(1)求f (2
1)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f (x 2)＞f (8x ?6) ?1. 17.已知函数f (x )=log a (ax 2?x +
21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围. (洪一平命题, 后附参考答案)
参考答案
9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞)
12. 12 13.]52,4
21[-- 15.(1)当a =2时, f (x )=|x +1|+|2x +1|=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-≥+-<<---≤--21,23211,1,23x x x x x x ∴当x ≤?1时, f (x )递减, 故f (x )≥f (?1)=1, 当?1＜x ＜?
21时, f (x )递减, 故f (x )＞f (?21)=2
1, 当x ≥?21时, f (x )递增, 故f (x )≥f (?21)=21, 因此, f (x )的最小值为21 (2)由f (?1)=f (1)得 2+|a +1|=|1?a | (*), 两边平方后整理得|a +1|= ?(a +1) ∴ a ≤?1 ①
同理, 由f (-
a 1)=f (a 1)得2+|a 1+1|=|1?a 1|, 对比(*)式可得 a
1≤?1 ∴ ?1≤a ＜0 ② 由①②得a = ?1
16.(1)令x =y =1, 则可得f (1)=0, 再令x =2, y =
21, 得f (1)=f (2)+f (21), 故f (2
1)= ?1 (2)设0＜x 1＜x 2, 则f (x 1) +f (12x x )=f (x 2) 即f (x 2) ?f (x 1)=f (1
2x x ), ∵12x x ＞1, 故f (1
2x x )＞0, 即f (x 2)＞f (x 1) 故f (x )在(0, +∞)上为增函数 (3)由f (x 2)＞f (8x ?6) ?1得f (x 2)＞f (8x ?6) +f (21)=f [2
1(8x ?6)], 故得x 2＞4x ?3且8x ?6＞0, 解得解集为{x |4
3＜x ＜1或x ＞3} 17.题设条件等价于(1) 当a ＞1时, ax 2?x +2
1＞1对x ∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a ＜1时, 0＜ax 2?x +2
1＜1对x ∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a ＞21)11(2112122-+=+x x x
对x ∈[1, 2]恒成立, 故得a ＞23. 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-->-+<21
)11(2121)11(2122x a x a 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得21＜a ＜85.
因此, a 的取值范围是a ＞23或21＜a ＜85。