对数换底公式及其应用
换底公式_精品文档
换底公式1. 引言数学中，换底公式是一种常用于计算对数的方法。
它能够将一个对数从一种底数转换成另一种底数。
换底公式广泛应用于各个领域，尤其在数学、工程、物理等科学领域中。
本文将详细介绍换底公式及其应用。
2. 换底公式的定义换底公式是一种用于计算不同底数的对数的公式。
假设我们已知一个数x的N底对数，即log_N(x)，我们想要将其转换为以另一种底数M为底的对数，即求log_M(x)。
换底公式就提供了这样一种方法，用以转换对数的底数。
换底公式的数学表达如下：log_M(x) = log_N(x) / log_N(M)其中，log_M(x) 是以M为底的x的对数，log_N(x) 是以N为底的x的对数，log_N(M) 是以N为底的M的对数。
3. 换底公式的推导为了更好地理解换底公式，我们来推导一下它的表达方式。
我们已知x的N底对数是log_N(x)，即：N^(log_N(x)) = x接下来，我们想要将这个等式转换成M底的形式。
假设M底对数是log_M(x)，那么我们可以将x用M底表示：M^(log_M(x)) = x由于两个等式都表示同一个数x，所以我们可以将它们相等并求解log_M(x)：N^(log_N(x)) = M^(log_M(x))两边取对数：log_N(N^(log_N(x))) = log_N(M^(log_M(x)))应用对数的性质，我们可以将指数移到前面：log_N(x) * log_N(N) = log_M(x) * log_N(M)由于log_N(N)等于1，所以我们可以简化等式：log_N(x) = log_M(x) * log_N(M)继续化简，我们可以得到换底公式的表达形式：log_M(x) = log_N(x) / log_N(M)4. 换底公式的应用换底公式在实际应用中有着广泛的用途。
以下是一些常见的应用场景：4.1 对数计算换底公式允许我们在不同的底数下进行对数计算。
高一数学必修一高一数学对数的换底公式及其推论 教学课件PPT
log a N
1 ，m > 0
logm N logm a
,m 1,N>0)
三个推论:
1) log a b log b a 1
2) log a b log b c log c a 1
3)
log a
m
bn
n m loga b
练习： 一、利用对数的换底公式化简下列各式
(1) loga c logc a
课本
P68， 第4题
(2)log2 3 log3 4 log4 5 log5 2
(3)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2)
二、计算：
log4 8 log1 3 log
4
2
9
解：二)
log 4 8 log 1 3 log
4
2
9
log 2 8 log 3 3 log 2 4
1) log a b log b a 1
2） log a b log b c log c a 1
3）log a
m
bn
n m loga b
例1、计算：
1) log8 9 log27 32
1）10 9
2) log 2 3 log 3 4 log 4 2
2）1
3) log4 3 log9 2 log1 4 32
2.2.1 对数的换底公式 及应用
复习 对数的运算法则 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
loga N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
对数换底公式及其应用.
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a 0, 且a 1. 1 loga M loga N loga M N ; M 2loga M loga N loga N
.
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
利用对数的换底公式化简下列各式：
利用换底公式证明：
例2.利用换底公式证明 ： m m loga n b loga b.a 0, 且a 1, b 0, m R, n R n
换底时选择好底数：
例3. 已知log3 2 a， log3 7 b, 用a, b表示log14 49
log2 16 log2 16 1求 与 log4 16的值， 并看看 与 log4 16 log2 4 log2 4 的值有何关系 ？
2你能用以c(c 0, 且c 1)为底的两个对数的比来
表示log4 16吗？表示出来的等式成立吗 ？
3一般地， 如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1.
logc b 那么loga b ， 如何证明？ logc a
换底公式：
如果a 0, 且a 1, b 0, c 0, 且c 1 : logc b 那么loga b logc a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1 log2 3 log3 2 2 log8 9 log27 32
log2 9 log3 64 3 log2 3 log3 4
课堂练习：
利用对数的换底公式化简下列各式：
1 loga b logb a; 2 log2 3 log3 4 log4 5 log5 2; 3 log4 3 log8 3log3 2 log9 2
log运算法则换底公式
log运算法则换底公式在数学领域中，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题中起到了至关重要的作用。
log运算法则换底公式是指将一个对数的底换成另一个对数的底的变换方法，它可以简化对数运算、化简数学表达式并解决实际问题。
在本文中，我们将深入探讨log运算法则换底公式的原理和应用。
首先，让我们回顾一下对数的基本概念。
对数是指以某个数为底的幂运算的逆运算，常用的对数有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
对数的换底公式是log_a(b) = log_c(b) /log_c(a)，其中a、b、c分别为底数。
这个公式的作用是将一个对数的底换成另一个对数的底，从而简化对数运算。
log运算法则换底公式的应用非常广泛，特别是在解决复杂的数学问题和化简数学表达式时。
例如，在求解复杂的指数方程或对数方程时，使用log运算法则换底公式可以将问题简化为更容易解决的形式。
此外，在求导、积分和解微分方程等数学问题中，log 运算法则换底公式也经常被用到。
除了在数学理论中的应用，log运算法则换底公式在实际生活中也有着重要的作用。
例如，在工程领域中，log运算法则换底公式常常被用来分析复杂的电路、信号传输和控制系统。
在经济学和金融学中，log运算法则换底公式也被用来分析复杂的经济模型和金融市场。
总之，log运算法则换底公式是一种非常重要的数学工具，它在解决复杂的数学问题和应用数学中起着至关重要的作用。
通过深入理解log运算法则换底公式的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并且更好地理解数学的美妙之处。
希望本文能够帮助读者更深入地理解log运算法则换底公式，并在数学领域中取得更多的成就。
对数换底公式及其应用
对数换底公式及其应用logₐ(b) = logₓ(b) / logₓ(a)其中，logₐ(b) 表示以 a 为底数的 b 的对数，logₓ(b) 表示以 x 为底数的 b 的对数，logₓ(a) 表示以 x 为底数的 a 的对数。
1.计算不同底数的对数之间的关系使用对数换底公式，可以将一个底数为 a 的对数转化为底数为 x 的对数，以便计算或进行比较。
例如，要计算 log₃(2) 的值，可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₃(2) = log₁₀(2) / log₁₀(3)2.化简复杂的对数表达式有时候，对数表达式可能比较复杂，难以计算或分析。
在这种情况下，对数换底公式可以帮助我们将其转化为更简单的形式，以便进行进一步的计算。
例如，对于表达式 log₉(27)，我们可以使用对数换底公式将其转化为以 10 为底数的对数：log₉(27) = log₁₀(27) / log₁₀(9)= log₁₀(3³) / log₁₀(3²)= 3 * log₁₀(3) / 2 * log₁₀(3)=3/23.解决指数方程x = log₂(16) = log₁₀(16) / log₁₀(2) = 4 / log₁₀(2)4.求解连续复利问题连续复利是一种常见的复利计算方法，其中利息不断累积，而不是离散计算。
对数换底公式可以用于求解连续复利问题的相关计算。
例如，如果我们正在计算以年利率为8%的连续复利的总金额，我们可以使用对数换底公式将其转化为以自然对数e为底数的对数：F = P * (1 + r/n)^(nt)=P*(1+8%/1)^(1*1)=P*(1+0.08)^1= P * e^(ln(1 + 0.08))5.编程中的应用综上所述，对数换底公式是一种非常有用的数学工具，可以应用于许多不同的场景，包括计算不同底数的对数之间的关系、化简复杂的对数表达式、解决指数方程、求解连续复利问题以及在编程中的应用。
换底公式及其应用
引入
已知lg 2 0.3010,lg 3 0.4771,求log23的值.
解：设log23 x, 则2x 3.
两边取以10为底的对数, 得
lg 2x lg 3,
即 x lg 2 lg 3, 得 x lg 3 ,
lg 2
把一个对数写成了 与此对数的底数不 同的两个底数相同 的对数商。
即
log2
3
lg 3 lg 2
0.4771 0.3010
1.5851.
理论
换底公式：
换底公式把一个对数变 成了与原来对数的底数 不同的两个对数的商。
loga
b
logc logc
b a
(a
0, 且a
1, c
0, 且c
1; b
0)
换底公式的意义就在于把对数的 度数改变，把不同底问题转化为 同底问题，为使用运算法则创造
条件，更方便化简求值。
例题
例1.求 log8 9glog27 32的值.
解：
log8 9glog27 32
lg9 lg32 lg32 lg25 = lg8glg27 lg23 glg33
2lg3 5lg2 3lg2g3lg3
10 . 9
例题
例2计算下列各式的值：
(1)log5 2glog49 81;
log25
1 3
gl2)log4 3glog9 2 log1 4 32;
2
lg 2 lg81
解：（1）原式=
lg5 lg 1
3 lg25
• lg49 lg 3 4 • lg7
1 lg2 2 lg5
换底公式的证明及其应用
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。
和你一起学习对数的换底公式
ʏ刘长柏对数的换底公式可以实现不同底数的对数式之间的转化,它可正用㊁逆用,还可以变形应用㊂灵活应用对数的换底公式,有利于提高解题能力和应变能力㊂一㊁换底公式的正用例1 若l o g 142=a ,14b=5,用a ,b 表示l o g 3528=㊂解:因为14b=5,所以b =l o g 145,所以l o g 3528=l o g 1428l o g 1435=l o g 1414+l o g 142l o g 1414+l o g 145-l o g 142=1+a1+b -a㊂对数的换底公式中的底,可由题中的条件决定,也可换为常用对数的底㊂用已知对数的值表示所求对数的值的关键是灵活 换底 ㊂练习1:已知l g 2=a ,l g 3=b ,则l o g 475=( )㊂A .a -b +22a B .b -2a +22aC .b -a +22aD .2a -b +22a提示:因为l o g 475=l g 75l g 4=l g 3ˑ522l g2=l g 3+2l g 52l g 2=l g 3+2(1-l g 2)2l g2,又l g 2=a ,l g 3=b ,所以l o g 475=b +2-2a2a㊂应选B ㊂二㊁换底公式的逆用例2 若2x=5,l o g 35=y ,则x -y x +y=㊂解:因为2x=5,所以x =l o g 25,所以x -y x +y =1y -1x1y +1x =l o g 53-l o g 52l o g 53+l o g 52=l o g 523l o g 56=l o g 623㊂逆向应用对数的换底公式是解答本题的关键㊂练习2:已知2x=3,l o g 289=y ,则yx=㊂提示:由2x=3,可得x =l o g 23㊂因为y =l o g 289,所以y x =l o g 289l o g 23=l o g 389=3l o g 32-2㊂三㊁换底公式的变形应用例3 若12a =3b=m ,且1a -1b=2,则m =㊂解:因为12a =3b=m ,且1a -1b=2,所以m >0且m ʂ1,所以a =l o g 12m ,b =l o g 3m ,所以1a =l o g m 12,1b =l o g m 3,所以1a -1b=l o g m12-l o g m 3=l o g m4=2,所以m =2㊂换底公式的变形式l o g ab =1l o g ba ,体现了底数㊁真数交换后,两个对数的关系㊂本题将指数式转化为对数式,求出1a ,1b ,代入1a -1b=2,再利用对数的运算性质得到m 的值㊂练习3:已知3a =5b=A ,且1a +2b=2,则A 等于㊂提示:由3a =5b=A ,可得a =l o g 3A ,b =l o g 5A ,且A >0,所以1a =l o g A 3,1b=l o g A5㊂因为1a +2b=2,所以l o g A 3+2l o g A5=2,可得l o g A 3+l o g A 25=2,即l o g A75=2,所以A 2=75㊂因为A >0,所以A =53㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑 郭正华)6知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
(完整版)对数函数公式汇总
(完整版)对数函数公式汇总引言对数函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用。
本文将对常见的对数函数公式进行汇总和解释，旨在帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、自然对数函数自然对数函数（Natural logarithm n）是以底数为常数e（自然常数）的对数函数。
其公式如下：$$ y = \ln(x) $$其中，x为自变量，y为函数值。
二、常用对数函数$$ y = \log_{10}(x) $$其中，x为自变量，y为函数值。
三、换底公式换底公式（Change of Base Formula）用于将对数函数转换到不同的底数上。
对于任意正数a、b和x，换底公式如下：$$ \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} $$四、对数函数的性质- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 自然对数函数和常用对数函数是单调递增函数，即函数随着自变量的增加而增加。
- 对数函数的图像是一条曲线，其形状取决于底数。
五、对数函数的应用对数函数广泛应用于科学、工程、经济等领域。
主要的应用包括：1. 数据比较：对数函数可以用于比较数据的大小，特别是在数据跨度较大的情况下，比较各个数据点的对数值可以更加直观地观察数据的差异。
2. 指数增长：对数函数常用于模拟指数增长的现象，如人口增长、病毒传播等。
3. 解方程：对数函数常用于解决含对数的方程，通过变换可以简化计算过程，提高解题效率。
结论本文对自然对数函数、常用对数函数及其应用进行了总结和解释。
通过深入理解对数函数的基本公式和性质，读者可以更好地应用对数函数解决实际问题，提高数学建模的能力。
高一数学对数的换底公式及其推论
x 10 3 x 解 得x 2或x 5 检 验x 2( 舍 ） x 5
2
小结:
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0) 三个推论:
l ogm N 换底公式 loga N l ogm a
1) loga b logb a 1
2)
loga b logb c logc a 1
3) log4 3 log9 2 log1
2
32
3 3） 2
条件求值
例2．已知
log2 3 a, log3 7 b
l og3 21 l og3 ( 3 7) 解： l og6 21 l og3 ( 2 3) l og3 6
l og3 3 l og3 7 l og3 2 l og3 3
探究：
三个推论: 设 a, b > 0且均不为1,则
1) loga b logb a 1
2） loga b logb c logc a 1
3）loga m b
n
n l oga b m
例1、计算： 1)
log8 9 log27 32
10 1） 9
2）1
4
2) log2 3 log3 4 log4 2
用a, b 表示 l og6 21
log2 2 1 log2 3 a log3 2 log2 3 a 1 b a ab 原 式 = 1 1 a 1 a
例3 解对数方程
log9 ( x 10) log9 3 x
2
解： l og9 ( x 10) l og9 3 x
2.各小组数学负责人17:50办公室
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2．换底公式的正用与反用； 3．针对具体问题，选择好底数.
作业：
1. P75. A组第11题
2.例 1第 2小，题 换底时选 2时 择怎 底 ？ 么 数
底数 3呢 ？ 为
3 .已 lo 5 知 2 g a ,lo 5 3 g b ,求 lo 11 2 g 的 5.
2你能用 c(c以 0,且c1)为底的两个对数
表示 lo4g16吗？表示出来的等 ？式成立
3一般 ，如 地 a 果 0,且 a1 ,b0,c0,且 c1. 那lo 么 ab gllo oc cb a g g ，如何 ？证明
换底公式：
如果a 0,且a 1,b 0,c 0,且c 1:
那么loga
导入新课
1.同底的两个对数可以进行加减运算， 对数的加减运算是利用那两个性质？
a0,且a1.
1loga Mloga NlogaMN;
2l
o
ga
.
Mlo
ga
N
lo
ga
M N
2.遇到同底两个对数相除，怎么办？
换底公式及其应用
提出问题
1求 llo o221g 4 g与 6lo41g的 6 ，值 并看 llo o221 看 g 4 g与 6lo41g6 的值有 ？何关系
b
logc logc
b a
换底公式的应用示例：
例1.利用对数的换底公式求 下列各式的值 .
1log 2 3 log 3 2 2log 8 9 log 27 32 3 log 2 9 log 3 64
log 2 3 log 3 4
课堂练习： 利用对数的换底公式化简下列各式：
1 logbloga; a b 利用对数的换底公式化简下列各式： 2 lo2g3lo3g4lo4g5lo5g2; 3 lo4g3lo8g3lo3g2lo9g2
4.计：算 lo43 glo92 glo14 g32
2Leabharlann 2020/6/5利用换底公式证明：
例 2.利用换底 ： 公式证明
loang bmm nloab g.a0,且 a1,b0,mR,nR
换底时选择好底数：
， 例 3 . 已 lo 3 2 知 a g lo 3 7 b g ,用 a ,b 表 lo 14 示 4g
2020/6/5
课堂小结：
利用换底公式可以实现对数问题中的“化异为同”， 它在求值或恒等变形中作了重要作用，在解题过程 中应注意：