八年级数学测试题 (1)
人教版八年级上数学第一单元测试题
人教版八年级上数学第一单元测试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1，2，3B. 2，2，4C. 3，4，5D. 3，4，8解析：根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。
A选项，1 + 2 = 3，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；B选项，2+2 = 4，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；C选项，3 + 4＞5，4 + 5＞3，3+5＞4，且5 3＜4，5 4＜3，4 3＜5，可以组成三角形；D选项，3+4＜8，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形。
所以答案是C。
2. 一个三角形的内角和是（）A. 90°B. 180°C. 360°D. 720°解析：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°，所以答案是B。
3. 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°解析：因为三角形内角和为180°，已知∠A = 50°，∠B = 60°，所以∠C=180°∠A ∠B = 180°50° 60° = 70°，答案是C。
4. 等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A. 80°B. 50°C. 80°或50°D. 20°解析：当80°角为等腰三角形的顶角时，底角=(180° 80°)÷2 = 50°；当80°角为底角时，底角就是80°，所以答案是C。
5. 下列图形具有稳定性的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 平行四边形解析：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，正方形、长方形、平行四边形都是四边形，所以答案是C。
八年级下数学期中测试卷(1)
八年级下数学期中测试卷（1）一．选择题（共8小题）1．（2020秋•和平区期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝1，c＝B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝1，b＝，c＝2D．a＝3，b＝4，c＝2．（2021春•西城区校级期中）下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x﹣2y＝0C．ax2+bx+c＝0D．3．（2020春•朝阳区期末）若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（）A．60B．30C．24D．154．（2021春•曲阜市期末）下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．5．（2019•德保县模拟）已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2019春•顺义区期末）方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（）A．x＝5B．x＝2C．x＝5或x＝2D．x＝1或x＝2 7．（2021春•曲阜市期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AC＝BD B．∠DAB＝90°C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°8．（2019•河东区一模）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC 上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．6B．8C．12D．10二．填空题（共8小题）9．（2014春•天津期末）二次根式有意义的条件是．10．（2009•大连）计算：（）（）＝．11．（2019•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．12．（2021春•西城区校级期中）方程（x﹣4）（x﹣5）＝0的解为．13．（2021春•昌平区校级期中）点B（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是．14．（2021春•昌平区校级期中）如图，为估计池塘两岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D、E，测得DE＝15m，则A、B两点间的距离是．15．（2019春•大兴区期末）一次函数y＝ax+b的图象如图，则不等式ax+b＞0的解集为．16．（2016•睢宁县一模）关于x的方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实根，则m＝．三．解答题（共10小题）17．（2021春•海淀区校级期中）计算：（1）（3.14﹣π）0﹣|2﹣|﹣（）﹣1；（2）﹣×+．18．（2021秋•芝罘区期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CB＝15，BD ＝9．求AD与△ABC的面积．19．（2021春•大兴区期中）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长．20．（2021春•大兴区期中）△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a：b：c＝1：：2，试判断△ABC的形状并说明理由．21．（2020春•丰台区期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（）（填推理的依据）22．（2021•重庆模拟）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．23．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，F A．求证：四边形AECF是平行四边形．24．（2021春•辛集市期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．25．（2021春•东城区期中）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝ax+1（a≠0）相交于点A（1，3）．（1）求直线l2的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l1，直线l2，和x轴围成的区域（不含边界）为W．①当k＝﹣3时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．26．（2021春•东城区期中）阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．参考小明同学的想法，解答问题：（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）请你在图3中，解决原问题：（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．。
八年级上数学第一章测试题
八年级上册数学第一章测试题一、选择题（本大题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分． ?在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于 9，则它的周长是（）A．17 B ． 22 C ．17 或22 D ．133．适合条件∠A= 1∠B=1∠C的△ ABC是（）23A．锐角三角形B．直角三角形 C ．钝角三角形D．等边三角形4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）A．30°B．75°C．105°D．30°或75°5．一个多边形的内角和比它的外角的和的 2 倍还大 180°，这个多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．86．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定7．下列命题正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部B．三角形中至少有一个内角不小于60°C．直角三角形仅有一条高 D ．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半8.能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（）A. 高线B. 中线C. 角平分线D. 以上都不对9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，│ AC-BC│=2cm，则腰AC的长为（）A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm10、在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角( ) ．(A) 都是钝角(B) 都是锐角(C)一个是锐角，一个是直角(D)互为补角11．下列图形中，是正多边形的是()A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形C．四边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形（14 题）（18 题）二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把答案填在题中横线上）12．三角形的三边长分别为5， 1+2x， 8，则 x 的取值范围是 ________．13．四条线段的长分别为5cm、6cm、8cm、13cm，?以其中任意三条线段为边可以构成___个三角形．14．如图：∠ A+∠B+∠ C+∠D+∠E+∠ F 等于 ________．15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正______边形．16．n 边形的每个外角都等于45°，则 n=________．17．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么，得到的图形是________边形， ?它的内角和（按一层计算）是_______度．18．如图，已知∠ 1=20°，∠ 2=25°，∠ A=55°，则∠ BOC的度数是 _____．19．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______度．三、解答题（本大题共 4 小题，共 43 分，解答应写出文字说明，?证明过程或演算步骤）20．（10 分）如图， BD平分∠ ABC，DA⊥ AB，∠ 1=60°，∠ BDC=80°，求∠ C的度数．21．（10 分）如图：（1）画△ ABC的外角∠ BCD，再画∠ BCD的平分线CE．（2）作出 AC边上的高。
八年级数学测试题及答案
八年级数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是等腰三角形的性质？A. 三条边相等B. 两条边相等C. 三个角相等D. 两个角相等答案：B2. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A3. 一个圆的半径是5，那么它的周长是：A. 10πB. 20πC. 25πD. 50π答案：B4. 下列哪个选项表示的是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 3x^3D. y = 1/x答案：A5. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A6. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长x满足：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 7D. 0 < x < 7答案：A7. 一个正数的倒数是1/4，那么这个数是：A. 4B. 1/4C. 1/2D. 2答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 一条直线B. 一个点C. 一个抛物线D. 一个圆答案：C10. 一个数的立方根是2，那么这个数是：A. 8B. 6C. 2D. 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方是25，那么这个数是____。
答案：±52. 一个等腰三角形的底边长是6，两腰长是5，那么它的周长是____。
答案：163. 一个圆的直径是10，那么它的半径是____。
答案：54. 一个数列的前三项是2，4，8，那么第四项是____。
答案：165. 如果一个三角形的两边长分别是5和12，那么第三边的长x满足的条件是____。
答案：7 < x < 17三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求第10项的值。
八年级(上)数学第一章测试题
八年级（上）数学第一章 《勾股定理》测试题一、 选择题1、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，比斜边短1cm ，则斜边长为（ ）A 、18cmB 、20cmC 、24cmD 、25cm2、一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端延墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是（ ）A 、1.5mB 、0.9mC 、0.8mD 、0.5m3、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16cm ，那么它的面积为（ ）A 、48cm 2B 、36 cm 2C 、24 cm 2D 、12 cm 24、观察下列几组数据：（1）8,15,17；（2）7,12,15；（3）12,15,20；（4）7,24,25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，D 为AC 上一点，且DA=DB=5，如果△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ）A 、4 B 、3 C 、5 D 、4.56、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm 。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、5cm7、在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则三角形的周长是（ ）A 、42B 、32C 、42或32D 、37或338、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm 2，则斜边长为（ ）A 、30mB 、80mC 、90mD 、120m9、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A 、900B 、600C 、450D 、30010、 已知χ，y 为正数，且()024322=+--y x ，如果以χ，y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是（ ）A 、5B 、25C 、7D 、15二、填空题11、在锐角△ABC 中，A D ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14，则AB= 。
八年级上册数学期中测试题及答案(1)
八年级数学试题一、选择题（每题3分，共24分） 1.下列图案是轴对称图形的有（）2•如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（）A. ± 1B. 1C. 0D. 0 和 13.下列说法：①用一张底片冲洗出来的 2张1寸相片是全等形；②所有的正五边形是全等形；③全等形的周长相等；④面积相等的图形一定是全等形•其中正确的是（ ）4.将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后 AB 与E B 与在同一条直线<X^X>D . 4个A. ①②③B .①③④C .①③D .③上，则/ CBD 的度数 （ ）A.大于90°B.等于90°C.小于90°D. 不能确定5.-81的平方根是()A . 9B-9C . 36.估计20的算术平方根的大小在（A . 2与3之间B . 3与4之间D . -3)C . 4与5之间D . 5与6之间7.如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是当输入X 的值为-4时，则输出的结果为 _____________ . 12. 已知等腰三角形的一个内角为70。
，则另外两个内角的度数是 ___________ 一13. 如图,△ ABDACE,则AB 的对应边是 ______________ ，/ BAD 的对应角是 _____ .8.如图，在△ ABC 中，AB=AC ,/ A=36° , BD 、CE 分别是 △ ABC >△ BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有（） A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个二、填空题（每题 4分，共32分）9. ____________________________ 无理数-的相反数是 _____ ，绝对值是 10. 在-3 , - <3 , — 1, ________________ 0这四个实数中，最大的是，最小的是 _______________________ ,11.以下是一个简单的数值运算程序: ( )B B图A .B .C .D .14.如图，AD II BC, / ABC 的平分线 BP 与/ BAD 的平分线 AP 相交于点 P ,作 PE 丄 AB 于点E .若PE=2，则两平行线 AD 与BC 间的距离为 ________________ ,15.如图，点 P 在/ AOB 的内部，点 M 、N 分别是点P 关于直线 OA 、OB ?的对称点， 线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△ PEF 的周长是 20cm ，则线段 MN 的长是16.如图所示，• E =/F =90 , - B — C , AE 二 AF ，结论：① EM 二 FN :②CD =DN :③N FAN EAM :④厶ACN ABM •其中正确的有 _____________ .三、解答题（共56分）17.计算（每小题5分，共10 分） （1） 1 . 0.81 - 3 -8496(2)血-2彳8-J (-16产(-£)（第 13题图） C（第 14题图）（第16题图）218. （6分）自由下落的物体的高度h （m）与下落时间t （s ）的关系为h = 4.9 t •有一学生不慎让一个玻璃杯从19.6 m高的楼上自由下落，刚好另一学生站在与下落的玻璃杯同一直线的地面上，在玻璃杯下落的同时楼上的学生惊叫一声，这时楼下的学生能躲开吗（声音的速度为340 m / s）?19. （6分）已知：如图，D是厶ABC的边AB上一点，DF交AC于点E, DE = FE, FC // AB.求证：AD=CF •20. （6分）如图，写出A、B、C关于y轴对称的点坐标，并作出与△ ABC关于x轴对称的图形.>13!2 d i •* -3 -i -IO B (-11"!^ '1 2 3x hL21. (8分)认真观察下图4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题:(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征1 : _____________________________________________________特征2: _________________________________________________________________(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征22. (8分)如图，两条公路AB, AC相交于点A，现要建个车站D，使得D到A村和B村的距离相等，并且到公路AB、AC的距离也相等.(1)请在图1中画出车站的位置.(2)若将A、B抽象为两个点，公路AC抽象为一条直线，请在直线AC上找一个点M , 使厶ABM是等腰三角形，这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点.C论：AE图1 图223. （10分）在厶ABC 中,AB =CB , / ABC =90o, F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上,且AE =CF •⑴ 求证：Rt △ ABE 也 Rt △ CBF ; （2） 若/ CAE =30o,求/ ACF 度数.24. ( 10分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目, 在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上, 点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ,如图I 试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明 I 理由•I D 十B‘C 1I _______________________________________ I小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结DB （填“〉”,或”“=”.第24题图1第24题图2（2 ）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _ DB （填“〉”,或:”“=”.理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F .（请你完成以下解答过程）（3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED = EC .若ABC的边长为1，AE =2，求CD的长（请你直接写出结果）一、选择题（24分）1. B2. C3. C4. B5. D6. C7. D8. A二、填空题（32分）9. <3^/3 ； 10. 0, -3 ; 11. 2 ; 12. 70° 40°或55° 55°; 13. AC , / CAE ;14. 4 ; 15. 20cm ；16.①③④.三、解答题（64分）117.（10 分）（1）原式=-0.9_（_2）7 .................................... 2 分61 9= 2亠7 ..................................... 4分6 103 、= 9 ............................................. 5 分20⑵原式=2 - .2 2 -16 （-2） ..................... 2 分4= 2 - • 2 ——32 ..................................... 4 分4= 34 -—V2 ................................................. 5 分418. （6分）解：根据题意得 4.9t2=19.6 ......................... 1分丄2 19.6 八t ....................... 2分4.9t =2 .................... 3 分声音传播所用的时间是19.6" 340、0.6（s） ..................... 4分因为0.6 v 2 ............................................. 5分答：楼下的学生能躲开。
八年级数学上册测试题及答案(1-6章)
八年级上册数学评价检测试卷第一章勾股定理一、选择题1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm3．Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或74．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对 6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ）（A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对 9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm（B ）90cm（C ）80cm（D ）40cm10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222+、1222++n n （n 为自然数），则此三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对二、填空题11．写四组勾股数组.______，______，______，______.12．若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为____________。
人教版数学八年级上册期中测试题及答案(一)
人教版数学八年级上册期中测试题（一）一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每题3分，计45分）1．（3分）若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）2．（3分）直线y=3x+6与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．6 B．12 C．3 D．243．（3分）直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A．150o B．135o C．120o D．120o或135o4．（3分）已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，3）D．（1，3）5．（3分）某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图所示（其中x=0对应的函数值为月固定租赁费），则下列判断错误的是（）A．当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同B．当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司车比较合算C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙公司多D．甲租赁公司每月的固定租赁费高于乙租赁公司6．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．117．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130° D．140°10．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°12．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．1913．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．解答题（共9小题）16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．17．（6分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC平分∠BAD．18．（7分）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．20．（8分）如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得小岛C在北偏东75°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，在小岛周围15海里处有暗礁，若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行，请问是否有触礁危险？并说明理由．21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB 于点G．求证：CG垂直平分AB．22．（10分）如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证：（1）点F为AC的中点；（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．23．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．参考答案与试题解析一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共15小题，每题3分，计45分）1．（3分）若正比例函数的图象经过点（﹣1，2），则这个图象必经过点（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（1，﹣2）【考点】待定系数法求正比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），因为正比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，2），所以2=﹣k，解得：k=﹣2，所以y=﹣2x，把这四个选项中的点的坐标分别代入y=﹣2x中，等号成立的点就在正比例函数y=﹣2x的图象上，所以这个图象必经过点（1，﹣2）．故选D．2．（3分）直线y=3x+6与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．6 B．12 C．3 D．24【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】数形结合．【分析】求出直线y=3x+6与两坐标轴的交点坐标，画出函数图象，再根据三角形的面积公式求出三角形的面积．【解答】解：设直线与x轴交点坐标为A（x，0），与y轴交点为B（0，y）．将A、B两点分别代入解析式得，x=﹣2，y=6．故A、B两点坐标为A（﹣2，0）、B（0，6）．于是S=×2×6=6．△ABC如图：3．（3分）直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A．150o B．135o C．120o D．120o或135o【考点】直角三角形的性质．【专题】计算题．【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．【解答】解：直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，故选B．4．（3分）已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），则D点的坐标是（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，3）D．（1，3）【考点】坐标与图形性质．【专题】计算题．【分析】因为四边形为正方形，四条边相等，根据正方形的性质与边长为：|AB|=4，从而可计算出D的坐标．【解答】解：设D点的坐标为（x，y），已知四边形为正方形，四条边相等，且易知|AB|=4，AB∥CD，∴C，D两点的从坐标相等，∴y=﹣3，又∵AD∥BC，∴A，D两点的横坐标相等，∴x=﹣3，∴D的坐标为（﹣3，﹣3），故选A．5．（3分）某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程x km计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y2元，若y1、y2与x之间的函数关系如图所示（其中x=0对应的函数值为月固定租赁费），则下列判断错误的是（）A．当月用车路程为2000km时，两家汽车租赁公司租赁费用相同B．当月用车路程为2300km时，租赁乙汽车租赁公司车比较合算C．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙公司多D．甲租赁公司每月的固定租赁费高于乙租赁公司【考点】函数的图象．【专题】计算题；应用题；函数及其图像．【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．【解答】解：A、交点为（2000，2000），那么当月用车路程为2000km，两家汽车租赁公司租赁费用相同，说法正确，不符合题意；B、由图象可得超过2000km时，相同路程，乙公司收费便宜，∴租赁乙汽车租赁公司车比较合算，说法正确，不符合题意；C、由图象易得乙的租赁费较高，当行驶2000千米时，总收费相同，那么可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，说法正确，不符合题意；D、∵由图象易得乙的租赁费较高，说法错误，符合题意，故选：D．6．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．11【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，则4＜x＜10，故选：C．7．（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．8．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．9．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130° D．140°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．10．（3分）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB 的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C11．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项正确．故选：B．12．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15 C．17 D．19【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．13．（3分）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【考点】轴对称的性质．【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，∵点P时直线MN上的点，∴∠MAP=∠MBP，∴A，C，D正确，B错误，故选B．14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【考点】角平分线的性质．【专题】压轴题．【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．【解答】解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上，故①正确；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得，△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D．二．解答题（共9小题）16．（6分）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．【分析】在直角三角形中，根据两锐角互余即可得到∠BAD=20°，根据角平分线的性质可求出∠BAO和∠ABO，最后由三角形外角的性质求得∠AOF=75°．【解答】解：∵AD是高，∠ABC=70°，∴∠BAD=90°﹣70°=20°，∵AE、BF是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°，∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°．17．（6分）如图，AB=AD，CB=CD，求证：AC平分∠BAD．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC即可．【解答】解：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD．18．（7分）如图，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△ADE，得到BC=DE．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．∴BC=DE．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．【解答】证明：证法一：连接AD．∵AB=AC，点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．证法二：在△ABC中，∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）…（1分）∵点D是BC边上的中点∴BD=DC …（2分）∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F∴∠BED=∠CFD=90°…（3分）在△BED和△CFD中∵，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．20．（8分）如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得小岛C在北偏东75°方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，在小岛周围15海里处有暗礁，若轮船仍然按18海里/时的速度向东航行，请问是否有触礁危险？并说明理由．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】作CE⊥AB，利用直角三角形性质求出CE长，和15海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答】解：作CE⊥AB于E，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠CAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠ACB=15°，∴AB=PB=2×18=36（海里），∵∠CBD=30°，∴CE=BC=18＞15，∴船不改变航向，不会触礁．21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分别以BC和AC为直角边向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G．求证：CG垂直平分AB．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】求证△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．【解答】证明：∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA∵△AEC和△BCD为等腰直角三角形，∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，∴∠FAB=∠FBA，∴AF=BF，在三角形ACF和△CBF中，，∴△AFC≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF∴AG=BG，CG⊥AB（三线合一），即CG垂直平分AB．22．（10分）如图，在等边△ABC中，点F是AC边上一点，延长BC到点D，使BF=DF，若CD=CF，求证：（1）点F为AC的中点；（2）过点F作FE⊥BD，垂足为点E，请画出图形并证明BD=6CE．【考点】作图—基本作图；等边三角形的性质．【专题】作图题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，则根据三角形外角性质得到∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，则BF平分∠ABC，于是根据等边三角形的性质可得到点F为AC的中点；（2）如图，过点F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CF=2CE，而CD=CF，则CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵CF=CD，∴∠CFD=∠D，∴∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°，∵FB=FD，∴∠FBD=∠D=30°，∴BF平分∠ABC，∴AF=CF，即点F为AC的中点；（2）如图，在Rt△EFC中，CF=2CE，而CD=CF，∴CF=2CE，在Rt△BCF中，BC=2CF，∴BC=4CE，∴BD=6CE．23．（11分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】（1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF．（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形．【解答】证明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，又∵F是AB中点，∴∠ACF=∠FCB=45°，即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS）；（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，∴DF=FE，∴△DFE是等腰三角形，又∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，∴∠AFC=∠DFE，∵∠AFC=90°，∴∠DFE=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．。
八年级数学上册第一单元测试题(含答案)
八年级数学上册第一单元测试题(含答案)满分120分, 考试时间120分钟一、单选题（30分）1. 现有3cm、4cm、5cm、7cm长的四根木棒, 任选其中三根组成一个三角形, 那么可以组成三角形的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 12. 如图, 工人师傅在安装木制门框时, 为防止变形常常钉上两根木条, 这样做的依据是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间, 线段最短C. 直角三角形的两个锐角互为余角D. 垂线段最短第2题图第3题图第4题图3. 如图, 在△ABC中, ∠1＝∠2, G为AD的中点, BG的延长线交AC于点E, F为AB上的一点, CF与AD垂直, 交AD于点H, 则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个4．如图, 若△ABC≌△DEF, 且BE＝5, CF＝2, 则BF的长为（）A. 5B. 3C. 2D. 1.55．将一副常规的三角尺按如图方式放置, 则图中的度数为（）A. B. C. D.第5题图第6题图第7题图6. 如图所示, △ABC≌△BAD, 点A与点B, 点C与点D是对应顶点, 如果∠DAB＝50°, ∠DBA＝40°, 那么∠DAC的度数为（）A. 5°B. 10°C. 40°D. 50°7．如图, 若, 则添加下列一个条件后, 仍无法判定的是（）A. B. C. D.8．如图, 、、分别是、、的中点, 若△BFD的面积是3, 则的面积是( )A. 6B. 18C. 24D. 12第8题图 第9题图 第10题图9. 如图, 点B.C.D 在同一直线上, AB CE, 若∠A ＝55°, ∠ACB ＝65°, 则∠1的值为（ ） A. 80° B. 65° C. 55° D. 60° 10.如图, 在平面直角坐标系中, 点A(2, 0), B(0,4), 若以B, O, C 为顶点的三角形与△ABO 全等, 则点C 的坐标不能为( )A.(-2,0)B.(0,-4)C.(2,4)D.(-2,4) 二、填空题（24分）11. 如图, 七边形ABCDEFG 的对角线共有 ________条.第11题图 第13题图 第14题图 12. 已知BD 是 的中线, , , 且 的周长为16, 则 的周长为________. 13. 如图, 是直角三角形, , 是 的高, , , , 则AD 的长为_______.14. 如图, 在△ABC 中, D, E 分别是边AB, AC 上一点, 将△ABC 沿DE 折叠, 使点A 落在边BC 上, 若∠A ＝60°, 则∠1+∠2+∠3+∠4＝______.15．如图, 点F 是△ABC 的边BC 延长线上一点, DF ⊥AB 于点D, ∠A ＝30°, ∠F ＝50°, ∠ACF 的度数是_____．第15题图 第16题图16. 如图, 一种测量工具, 点O 是两根钢条AC.BD 中点, 并能绕点O 转动.由三角形全等可得内槽宽AB 与CD 相等, 其中△OAB ≌△OCD 的依据是 （写出全等的简写）17．如图, ∠1, ∠2, ∠3是五边形ABCDE 的3个外角, 若 , 则 ________.第17题图 第18题图18. 如图, 方格纸中△ABC 的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上, 这样的三角形叫格点三角形, 图中与△ABC 全等的格点三角形共有__________个(不含△ABC). 三、解答题（66分）19. （8分）如图, 已知: AD 是△ABC 的角平分线, CE 是△ABC 的高, ∠BAC ＝60°, ∠BCE ＝40°, 求∠GABCD EFB C DAADB 的度数.20.（8分）如图, D 是AC 上一点, AB=DA,DE ∥AB, ∠B=∠DAE,求证: BC=AE21. （8分）如图所示, AC=AE, ∠1=∠2, AB=AD. 求证: BC=DE.22.（8分）如图所示, 是 的角平分线, 是 的外角平分线, 、 交于点 , 若 , 求的度数.23. （8分）如图, 四边形ABCD 中, BC=CD, CB ⊥AB 于B, CD ⊥AD 于D, 求证: AB=AD.24. （8分）某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED 的高度, 在大树AB 与居民楼ED 之间的地面上选了一点C, 使B, C, D 在一直线上, 测得大树顶端A 的视线AC 与居民楼顶端E 的视线EC 的夹角为90°, 若AB=CD=24米, BD=64米, 请计算出该居民楼ED 的高度.DE A B C25. （9分）将一个凸边形剪去一个角得到一个新的多边形, 其内角和为1620°, 求的值.26.（9分）如图, 在四边形ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90°, AD=12, BC=24, 动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿 AD 向点 D运动, 动点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位的速度沿 CB 向点 B 运动, P, Q 同时出发, 当点 P 停止运动时, 点 Q 也随之停止, 连接PQ, DQ.设点 P 运动时间为 t 秒, 问当 t 为何值时, △PDQ ≌△CQD , 并证明△PDQ ≌△CQD答案一、单选题1. 现有3cm、4cm、5cm、7cm长的四根木棒, 任选其中三根组成一个三角形, 那么可以组成三角形的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1答案: B2．如图, 工人师傅在安装木制门框时, 为防止变形常常钉上两根木条, 这样做的依据是（）A. 三角形具有稳定性B. 两点之间, 线段最短C. 直角三角形的两个锐角互为余角D. 垂线段最短答案: A第2题图第3题图第4题图3. 如图, 在△ABC中, ∠1＝∠2, G为AD的中点, BG的延长线交AC于点E, F为AB上的一点, CF与AD垂直, 交AD于点H, 则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个答案: A4．如图, 若△ABC≌△DEF, 且BE＝5, CF＝2, 则BF的长为（）A. 5B. 3C. 2D. 1.5答案: D5．将一副常规的三角尺按如图方式放置, 则图中的度数为（）A. B. C. D.答案: D第5题图第6题图第7题图6. 如图所示, △ABC≌△BAD, 点A与点B, 点C与点D是对应顶点, 如果∠DAB＝50°, ∠DBA＝40°, 那么∠DAC的度数为（）A. 5°B. 10°C. 40°D. 50°答案: B7．如图, 若, 则添加下列一个条件后, 仍无法判定的是（）A. B. C. D.答案: C8．如图, 、、分别是、、的中点, 若△BFD的面积是3, 则的面积是( )A. 6B. 18C. 24D. 12答案: C第8题图第9题图第10题图9. 如图, 点B.C.D在同一直线上, AB CE, 若∠A＝55°, ∠ACB＝65°, 则∠1的值为（）A. 80°B. 65°C. 55°D. 60°答案: D10.如图, 在平面直角坐标系中, 点A(2, 0), B(0,4), 若以B, O, C为顶点的三角形与△ABO全等, 则点C的坐标不能为( )A.(-2,0)B.(0,-4)C.(2,4)D.(-2,4)答案: B二、填空题11. 如图, 七边形ABCDEFG的对角线共有________条.答案: 14第11题图第13题图第14题图12. 已知BD是的中线, , , 且的周长为16, 则的周长为________.答案: 1313．如图, 是直角三角形, , 是的高, , , , 则AD的长为_______．答案: 4.814．如图, 在△ABC中, D, E分别是边AB, AC上一点, 将△ABC沿DE折叠, 使点A 落在边BC上, 若∠A ＝60°, 则∠1+∠2+∠3+∠4＝______．答案: 240°15．如图, 点F是△ABC的边BC延长线上一点, DF⊥AB于点D, ∠A＝30°, ∠F＝50°, ∠ACF的度数是_____．答案: 70°第15题图第16题图16. 如图, 一种测量工具, 点O是两根钢条AC.BD中点, 并能绕点O转动.由三角形全等可得内槽宽AB 与CD相等, 其中△OAB≌△OCD的依据是（写出全等的简写）答案: SAS17．如图, ∠1, ∠2, ∠3是五边形ABCDE的3个外角, 若, 则________.答案: 210°第17题图第18题图18. 如图, 方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上, 这样的三角形叫格点三角形, 图中与△ABC全等的格点三角形共有__________个(不含△ABC).答案: 7三、解答题19. 如图, 已知: AD是△ABC的角平分线, CE是△ABC的高, ∠BAC＝60°, ∠BCE＝40°, 求∠ADB的度数.【解析】∵CE是△ABC的高∴∠BEC=90°△BEC为直角三角形∵∠BCE＝40°∴∠B=90°-∠BCE＝90°-40°=50°∵∠BAC＝60°, AD是△ABC的角平分线∴1302BAD BAC∠=∠=︒在△ADB 中, ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°20.如图，D 是AC 上一点，AB=DA,DE ∥AB, ∠B=∠DAE,求证：BC=AE 【解析】 ∵DE ∥AB∴∠EDA=∠CAB在△ADE 和△BAC 中EDA CAB DA AB DAE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BAC(ASA) ∴AE=BC21. 如图所示, AC=AE, ∠1=∠2, AB=AD. 求证: BC=DE. 【解析】 ∵∠1=∠2∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB 即∠CAB=∠EAD 在△CAB 和△EAD 中AC AE CAB EAD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB ≌△EAD(SAS) ∴BC=DE22.如图所示, 是 的角平分线, 是 的外角平分线, 、 交于点 , 若 , 求 .【解析】∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵ ,∴12DCE A DBC ∠=∠+∠∵DCE D DBC ∠=∠+∠ ∴ , 即 . 【答案】35︒23. 如图, 四边形ABCD 中, BC=CD, CB ⊥AB 于B, CD ⊥AD 于D, 求证: AB=AD. 【解析】连接AC ∵CB ⊥AB, CD ⊥AD∴△CBA 和△CDA 为直角三角形 在Rt △CBA 和Rt △CDA 中AC AC BC DC =⎧⎨=⎩∴Rt △CBA ≌Rt △CDA (HL) ∴AB=AD24. 某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED 的高度, 在大树AB 与居民楼ED 之间的地面上选了一点C, 使B, C, D 在一直线上, 测得大树顶端A 的视线AC 与居民楼顶端E 的视线EC 的夹角为90°, 若AB=CD=24米, BD=64米, 请计算出该居民楼ED 的高度.【解析】根据题意∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°DEABC∴∠ACB+∠ECD=90°在Rt △ABC 中, ∠ACB+∠CAB=90° ∴∠CAB=∠ECD 在△ABC 和△CDE 中CAB ECD AB CDABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDE(ASA) ∴BC=DE∵BC=BD-CD=64-24=40 ∴DE=4025. 将一个凸 边形剪去一个角得到一个新的多边形, 其内角和为1620°, 求 的值. 【解析】分三张情况,（1）剪去一个角后得到的新多边形边数少1, 如图所示：(3)1801620n -⋅︒=︒解得n=12（2）剪去一个角后得到的新多边形边数不变, 如图所示:(2)1801620n -⋅︒=︒解得n=11（3）剪去一个角后得到的新多边形边数多1, 如图所示:(21)1801620n -+⋅︒=︒解得n=10所以n 的值为12, 11或1026.如图, 在四边形ABCD 中, AD ∥BC, ∠ABC=90°, AD=12, BC=24, 动点 P 从点 A 出发以每秒1个单位的速度沿 AD 向点 D 运动, 动点 Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位的速度沿 CB 向点 B 运动, P, Q 同时出发, 当点 P 停止运动时, 点 Q 也随之停止, 连接PQ, DQ 。
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒6．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒ D ．()201803y x x =<<︒ 7．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（ ）A．30°B．60°C．50°D．55°8．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2019=（）A．22017B．22018C．22019D．220209．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，AC AD=，BC BD=，则有（）A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD11．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A ．125B ．95C ．85D ．7512．如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 的垂直平分线EF 交AB 于点D ，连接CD ，如果CD ＝6，那么AB 的长为（ ）A ．6B ．3C ．12D ．4．5二、填空题13．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．14．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．15．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．16．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________17．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．18．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，……按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=___________．19．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．20．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为________米．三、解答题21．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （−4，5），B （﹣3，1），C （−2，3）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点B 1的坐标是________；（2）若点M 是x 轴上的动点，在图中画出使△B 1CM 周长最小时的点M ．22．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．23．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．（1）若7AC BC ==，求DE 的长；（2）求证：BE CD BC +=．24．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点,A C 的坐标分别为()()3,5,0,3.A C -（1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系并作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆ （2）写出点1B 的坐标并求出111A B C ∆的面积．25．已知：(0,1),(2,0),(4,4)A B C -．（1）在图中所示的坐标系中描出各点，画出ABC ，并求ABC 的面积．（2）若ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以1-，在同一坐标系中描出对应的点A '，B '，C '，并依次连结这三个点得A B C '''，并写出ABC 与A B C '''有怎样的位置关系？26．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt △ABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）画△ABC 的角平分线CD 交AB 于点D ；（2）画AB 边的垂直平分线l 交直线CD 于点P ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；∴∠CAD=∠BAD=∠B，∴AD=BD，AD=2CD，②正确；∴BD=2CD，③正确；根据已知不能推出CD=DE，故④错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3．C解析：C【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．【详解】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．4．B解析：B【分析】根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝12AC，又因为BF＝AC所以CE＝12AC＝12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故①正确；连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．∵CE＝AE，∴AE＜BG．故②错误．在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．∴CE＝AE＝12AC．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．∴BF＝AC，∴CE ＝12AC ＝12BF ， ∴2CE ＝BF ；故③正确；由③可得△DFB ≌△DAC ．∴BF ＝AC ；DF ＝AD ．∵CD ＝CF +DF ，∴AD +CF ＝BD ；故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．5．A解析：A【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．6．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及a 2=2a 1，得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=2，a3=4a1=22，a4=8a1=32，a5=16a1=42，，以此类推：a2019=22018．故选：B．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16…进而发现规律是解题关键．9．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．10．D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】∵AC AD=，BC BD=，∴AB垂直平分CD，故D正确，A、B错误，OC不平分∠ACB，故C错误，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．11．A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC5=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．12．C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DB=6，则∠DCB=∠B，由∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，得∠A+∠B=90°，从而∠A=∠ACD，DA=DC=6，则AB=AD+DB便可求出．【详解】∵EF是线段BC的垂直平分线，DC =6，∴DC=DB=6，∴∠DCB=∠B，又∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ACD，∴DA=DC=6，∴AB=AD+DB=6+6=12．故选：12．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，熟记性质是解题的关键．二、填空题13．25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=解析：25【分析】作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠CMD=120°，∴∠2+∠3=60°，即∠A’MB’=120°-60°=60°，又M为AB的中点，∴AM=MA’=MB’=MB ，∴△A’MB’为等边三角形，∴A’B’=AM=7，由两点之间线段最短可知：CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A 关于CM 的对称点A’，作点B 关于DM 的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．14．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，∴AD=CD ，AE=BE ，∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，∴,2C x B x ∠=∠=，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴322180x x x x x ++++=︒，解得20x =︒，∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，故答案为：80．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．15．【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题 解析：【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20．【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．16．25°【分析】先根据AB=AD 利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小【详解】解：∵AB=AD ∴∠B=∠ADB ∵∠BAD=80°∴∠B=∠ADB==50°解析：25°【分析】先根据AB=AD ，利用三角形内角和定理求出∠B 和∠ADB 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C 的大小．【详解】解：∵AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠BAD=80°，∴∠B=∠ADB =180802︒︒-=50°， ∵AD=DC ，∴∠C=∠ACD ，∴∠C=12∠ADB=25°， 故答案为：25°．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．17．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA进而可得BA＝BE ＝AC然后问题可求解【详解】∵AB+解析：3a b【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA，进而可得BA＝BE＝AC然后问题可求解．【详解】∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC＝108°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵BE a=，EC b=，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．18．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O依此类推即可得到结论【详解】解：∵B1A2＝B1B2∠A1B1O＝α∴∠A2B2Oα同理∠A3B3O∠A2B2Oα∠A4B4Oα∴∠AnBnOα解析：512α． 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 2B 2O ，依此类推即可得到结论．【详解】解：∵B 1A 2＝B 1B 2，∠A 1B 1O ＝α，∴∠A 2B 2O 12=α， 同理∠A 3B 3O 12=∠A 2B 2O 212=α， ∠A 4B 4O 312=α， ∴∠A n B n O 112n -=α， ∴∠A 10B 10O 95221αα==． 故答案为：512α． 【点睛】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．19．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ，∴912x x -=，即：x=6， ∴AD =6．故答案是：6【点睛】 本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．20．15【分析】如图在Rt △ABC 中∠ABC ＝30°由此即可得到AB ＝2AC 而根据题意找到CA ＝5米由此即可求出AB 也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt △ABC 中∵∠ABC ＝30°∴AB ＝2解析：15【分析】如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，由此即可得到AB ＝2AC ，而根据题意找到CA ＝5米，由此即可求出AB ，也就可以求出大树在折断前的高度．【详解】如图，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ，∵CA ＝5米，∴AB ＝10米，∴AB ＋AC ＝15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故答案为：15．【点睛】本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．三、解答题21．（1）图形见解析；B 1（3，2）；（2）见解析【分析】（1）分别找到A 、B 、C 点关于y 轴的对称点，然后连接即可；（2）找C 关于x 轴的对称点C′，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【详解】解：（1）111A B C △如图所示；根据图形可知B 1(3，2)，故答案为：(3，2)；（2）如图所示：找C 关于x 轴的对称点C′，则C′(-2，-3)，CM C M '=，连接1B C '交x 轴于一点M ，根据两点之间线段最短，可知此时的M 即为使1B CM △周长最小时的点M ．【点睛】本题考查作图-轴对称、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基础知识．22．（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．（1） 3.5DE =；（2）见解析．【分析】（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．【详解】（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=7，又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522==AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，∵∠A=60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE=AE=3.5；（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵BF=BF∴△EBF ≌△HBF （SAS ），∴∠EFB=∠HFB=60°．∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，∴∠CBD+∠BCE=60°，∴∠BFE=60°，∴∠CFB=120°，∴∠CFH=60°，∵∠BFE=∠CFD=60°，∴∠CFH=∠CFD=60°，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．∴CD=CH ，∵CH+BH=BC ，∴BE+CD=BC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（2）()11,1B ；面积4【分析】（1）根据A ，C 两点的坐标确定坐标系，分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A 1，B 1，C 1′即可；（2）由平面直角坐标系可得B 1的坐标，运用分割法可得111A B C ∆的面积．【详解】解：（1）如图所示，（2）点1B 的坐标为（1，1）111A B C ∆的面积=11134122324222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =12-1-3-4=4【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．25．（1）图见解析，3；（2）ABC与A B C'''关于x轴对称【分析】（1）根据点坐标确定其在坐标系中的位置，顺次连线即可得到ABC，利用割补法求面积；（2）根据点A、B、C纵坐标都乘以1-，得到对应的点A'，B'，C'的坐标，再确定各点位置，即可得到两个三角形的关系．【详解】（1）如图，ABC即为所求，111451245(15)23222ABCS=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=；（2）∵(0,1),(2,0),(4,4)A B C-，∴A'（0，-1），B'（2,0），C'（4,4），∴ABC与A B C'''关于x轴对称．．【点睛】此题考查点坐标的确定，坐标与图形，图形的变换关系，正确根据点的坐标确定其在直角坐标系中的位置是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求．（2）取格点G，R，作直线GR交直线CT于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，线段CD即为所求．（2）如图，直线l即为所求．【点睛】本题考查作图的应用与设计，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
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八年级数学测试题
姓名 班级
一、选择题
1．下列式子中二次根式的个数有（ ） ①
3
1； ② 3-； ③ 12+-x ； ④ 2)3
1(-； ⑤
322++x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．下列二次根式有意义的范围为x ≥3的是（ ） A ．3+x
B ．3-x
C ．
3
1+x D ．3
1-x
3．下列各组数为勾股数的是（ ） A ．6，12，13 B ．3，4，7 C ．4，7，10
D ．8，15，17
4．下列计算正确的是（ ）
A ．2828+=+
B ．916)9)(16(--=--
C ．
323
21+=- D ．2
122
14=
5．把ab
a 123化去分母中的根号后得（ ）
A ．4b
B ．2b
C ．
b 2
1
D ．
b
b 2 6．已知：n 20是整数，则满足条件的最小正整数n 为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．如果a ＝2＋3，b ＝3
21-，那么（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＝b
C ．a ＜b
D ．a ＝b
1
8．下列命题中是假命题的是（ ）
A ．△ABC 中，若∠
B ＝∠
C －∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 中，若a 2＝(b ＋c )(b －c )，则△ABC 是直角三角形
C ．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，则△ABC 是直角三角形
D ．△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝5∶3∶4，则△ABC 是直角三角形
9．直角三角形中，若斜边长为5 cm ，一直角边的长为3 cm ，则另一条直角边的长为（ ）
A ．4 cm
B ．4 cm 或34cm
C ．34cm
D ．不存在
10.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：① △ABG ≌△AFG ；② BG ＝GC ； ③ AG ∥CF ； ④ S △FGC ＝3．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、选择题
11．在实数范围内分解因式：x 2－3＝______________ 12．若
x
x x
x --=--3232
成立，则x 满足的条件为__________
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ∶AC ＝3∶4，则BC ＝__________
14．已知2
2
3=-b a a b ，那么b
a
a b +的值等于__________ 15．如图，一块长、宽、高分别是5 cm 、2 cm 和3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面爬行到长方体上和点A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________cm
16．若4)6(122+-++=x x y ，在x 的取值范围内，y 的最小值为_________ 三、解答题 17．计算：(1) 123+ (2)
2
2
2)1(83
⨯--+
18．化简：(1) ))((b a b a +- (2) 35416x x
x x
x -+
19．化简求值，已知：3
1
=a ，求a a a a a a a -+---+-2221
2121的值
20．如图：∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，AD＝21 cm，CD＝29 cm，求四边形ABCD的面积。
3，21．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是ABC的角平分线，CD＝
2
5，求AC的长。
2
22．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是中
线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AE2－BE2＝AC2
23．已知：如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，顶点B落在长方形外的点E处，CE交AD于点F，AB＝6，BC＝8。
(1) 求证：△APC是等腰三角形。
(2) 求△AFC的面积。
24．将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决．将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②。
(1) 求证：△CDO是等腰三角形。
(2) 若DF＝8，求AD的长。
25．已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△AP Q，连接Q E并延长交BP 于点F。
(1) 如图1，若AB＝23，点A、E、P恰好在一条直线上时，则EF= 。
(2) 如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等，并加以证明。
(3) 若AB＝23，设BP＝4，求Q F的长。