轨道方程下有心力的解法研究及其评价
轨道运动的牛顿定律解析
轨道运动的牛顿定律解析牛顿定律是经典力学的基石之一，它对物体运动的规律进行了深入而准确的描述。
而在许多情况下，物体的运动并不仅仅局限于直线运动，而是沿着特定轨道运动。
本文将对轨道运动下的牛顿定律进行解析，探讨其在不同条件下的应用。
首先，我们需要明确轨道运动中物体所受的力和运动方向。
在一般的轨道运动中，物体所受的力可以分为两类：一类是向心力，它指向物体所绕轨道中心的方向；另一类是切向力，它与物体的运动方向相切于轨道。
在轨道运动中，物体总是受力于向心力以保持在轨道上运动，而切向力则会改变物体的速度。
其次，我们可以利用牛顿第二定律对轨道运动进行分析。
根据牛顿第二定律，物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
在轨道运动中，物体受到向心力的作用，因此合外力即为向心力。
根据这一定律，我们可以推导出轨道运动中物体的加速度和向心力之间的关系。
假设物体质量为m，其所受向心力为F，加速度为a。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下等式：F = ma对于向心力，它可以用力和半径之间的关系来表示。
根据牛顿定律和万有引力定律，我们可以获得向心力与物体质量、物体所绕轨道的半径以及轨道上的重力之间的关系。
设向心力为Fc，半径为r，重力为Fg，我们可以得到以下等式：Fc = Fg由于重力与物体质量成正比，我们可以将其表示为mg，其中g为重力加速度。
将上述等式带入，我们可以得到以下结果：Fc = m * g这样，我们就得到了物体所受的向心力与物体质量、轨道半径、重力加速度之间的关系。
在轨道运动中，切向力的作用也非常重要。
切向力的作用会改变物体的速度，使得物体的速度在方向上发生变化。
当物体在运动过程中，速度发生变化，即速度的大小或方向发生变化时，就会存在切向力的作用。
在轨道运动中，切向力的来源有很多，比如摩擦力、空气阻力等。
这些力都与物体的运动速度和轨道的特性有关。
在大多数情况下，我们可以对切向力进行简化，将其视为物体所受的摩擦力。
这样，在物体运动过程中，我们可以通过牛顿第二定律来分析物体的加速度和切向力之间的关系。
有心力作用下物体运动的稳定性研究
有心力作用下物体运动的稳定性的研究摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。
对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。
关键词稳定性;封闭性；有心势场The study of the stability of the movement under the affectionof centripetal forceSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force目次1 引言 (1)2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 66 结论 (8)参考文献 (8)致谢 (9)1 引 言开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。
轨道方程知识点归纳总结
轨道方程知识点归纳总结一、轨道方程的定义轨道方程又称为轨迹方程，是描述运动体在空间运动的轨迹的方程。
在物理学和数学中，轨道方程是描述运动体在空间中运动的方程，通常是一组参数方程或者方程组。
通过轨道方程，我们可以了解运动体在空间中的具体运动轨迹，对于物理学、工程学、航空航天等领域都有着重要的应用价值。
二、轨道方程的表示形式轨道方程可以有不同的表示形式，其中常见的有参数方程和直角坐标方程。
1. 参数方程：轨迹方程中的变量用参数 t 表示，通常表示时间。
轨道方程可以表示为 x =f(t), y = g(t), z = h(t) 的形式。
2. 直角坐标方程：轨迹方程可以通过直角坐标系表示为 F(x, y, z) = 0 的形式。
不同的表示形式适用于不同的问题，具体选择何种表示形式需要根据具体问题进行分析。
三、轨道方程的求解方法在物理学和数学中，我们可以通过不同的方法来求解轨道方程。
1. 已知运动规律，求参数方程：如果我们已经知道了运动体的运动规律，例如位置、速度、加速度等与时间的函数关系，那么我们可以通过积分来求解参数方程。
2. 已知轨迹，求轨道方程：如果我们已经知道了运动体的轨迹，通过观察或者实验得到了轨迹方程，那么我们可以通过逆向推导的方法来求解轨道方程。
3. 根据运动体的物理性质，推导轨道方程：有时候，我们可以根据运动体所受的力、能量守恒等物理性质来推导轨道方程。
四、轨道方程的应用轨道方程在物理学、工程学、航空航天等领域有着广泛的应用。
1. 物理学：在物理学中，我们可以通过轨道方程来描述天体的运动轨迹、粒子在电磁场中的运动轨迹等。
2. 工程学：在工程学中，轨道方程可以用来描述机械运动体的运动轨迹，例如汽车行驶的轨迹、机械臂的运动轨迹等。
3. 航空航天：在航空航天领域，轨道方程可以用来描述飞行器的轨迹，例如卫星、飞船等的轨迹。
五、轨道方程的相关知识点在研究轨道方程的过程中，还涉及到一些相关的知识点。
有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程怎么积分
有心力轨道方程是描述质点在中心力场中运动的方程。
一般来说，有心力场是指力的大小只与质点到场中心的距离有关的力场。
在这种力场中，质点的运动可以由有心力方程描述，一般形式为：
μ(d²r/dt²) = -∇U + μv²/r.
其中，μ是质点的质量，r是质点到场中心的距离，U是势能函数，v是质点的速度。
这个方程可以通过积分来求解。
首先，我们可以将有心力方程化为极坐标系下的形式，然后利用角动量守恒等方法简化方程。
接着，我们可以利用分离变量的方法，将方程分解为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过变量代换或者适当的技巧化为一阶微分方程，然后进行积分。
角向方程也可以通过类似的方法进行求解。
在实际应用中，具体的积分方法会根据具体的力场和势能函数的形式而有所不同。
一般来说，需要运用微分方程的解法、变量代换、积分技巧等数学方法来对有心力轨道方程进行积分求解。
总的来说，对有心力轨道方程进行积分求解是一个复杂而繁琐的过程，需要根据具体情况采用不同的数学方法和技巧来完成。
希望这个回答能够帮助你对这个问题有一个初步的了解。
有心力问题的初步研究
有心力问题的初步研究作者：冯晨来源：《课程教育研究》2018年第40期【摘要】在学习高中物理选修3-5时，我想对于散射的问题（卢瑟福α粒子实验）有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。
本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。
当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。
当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。
【关键词】极坐标系 ;有心力 ;比耐公式【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0160-021.背景介绍在学习高中物理选修3-5时，我学习了碰撞、反冲等知识，但是课本上有的只是简单的两小球相撞后的轨迹的问题和散射问题（卢瑟福α粒子实验），我想对于散射的问题有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。
2.极坐标系下的运动方程研究有心力问题需要用到极坐标系的一些知识，可是高中数学中的极坐标系的知识还不足够解决这一问题，在《大学物理学》这本书里有这部分的知识。
极坐标系是指在平面内由极点，极轴和极径组成的坐标系。
在平面上取定一点O，称为极点。
从极点O出发引一条射线，称为极轴。
φ表示极轴转过的角度，ρ表示点到极点距离。
极坐标下的位矢A可以表示为：A=Aρeρ+Aφeφ对于有心力问题，如果把有心力的原点就当作极坐标的极点，那么质点的位置矢量就从极点指向质点位置，位矢就退化为：ρ=ρeρ下面我们研究一下极坐标下基矢的求导，利用直角坐标系的基矢来表示极坐标下基矢：eρ=cosφi+sinφjeφ=-sinφi+cosφj对这两个基矢对时间求导：■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ由此得到速度：ρ=ρeρ+ρφeφ进一步对上式速度求导，可以得到加速度：ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ3.有心力问题的研究3.1 有心力问题质点在有心力场中的运动是自然界的运动之一。
第08章 轨道车辆动力性能分析与评价
k M
Z 2Z 0
(3) 振动方程解及结果分析
Z Acost B s Z 0
Z0 sint
自由振动 位移
Z Z 0 cost C sin(t )
自由振动 振幅
C
2 Z0 (
第2节
轨道车辆垂向振动分析
一、一系悬挂轨道车辆的垂直振动 二、二系悬挂轨道车辆的垂直振动 三、轨道车辆的横向振动 四、轨道车辆的随机振动
一、一系悬挂轨道车辆的垂直振动 1、轮对簧上质量系统 无阻尼自由振动
2、轮对簧上质量系统 无阻尼受迫振动 3、具有一系簧的有阻 尼车轮荷重系统的 受迫振动
1、轮对簧上质量系统无阻尼自由振动
3、轨道车辆动力性能
（1）平稳性：舒适性。 （2）稳定性（稳定性脱轨、抗倾覆稳定性）： 安全性。
（3）曲线通过性能：导向机理。
二、激振原因
1、线路的构造和状态
2、轮对的构造和状态
1、线路原因
（1）钢轨接头：12.5m、25m、无缝轨。 （2）钢轨垂向变形：轮重下的弹性变性。 （3）轨道的不平顺：轨道实际的几何学形状与其名义形状之间偏差。
2、滚摆
由于弹簧对称支撑于车体下部，车体横摆时，其重力 与弹簧支持力形成的力矩使车体车滚，即产生横摆时肯定 发生侧滚，横摆与侧滚的耦合振动称为滚摆。 滚心在车体重心之上的滚摆称为上心滚摆。 滚心在车体重心之下的滚摆称为下心滚摆。
3、蛇行运动
指的是 具有一定踏 面斜度的轮 对，沿直线 运行时，受 到微小的激 扰后，产生 一种一面横 向往复摆动， 一面绕铅垂 中心转动， 中心轨迹城 波浪形的特 有运动。
固有 频率
激振 频率
f ( )
(3) 振动方程解及结果分析
平方反比律有心力场中经典轨道问题的另一种讲授方法
平方反比律有心力场中经典轨道问题的另一种讲授方法
刘长富;丁世英
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1984(000)001
【摘要】有心力场中质点动力学问题是理论力学教学中的典型课题之一．它有助加深学生对能量和角动量这两个概念及其守恒原理的理解．同时这个课题在天文学和物理学中也有重要实际意义．
【总页数】3页(P10-12)
【作者】刘长富;丁世英
【作者单位】南京大学物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O313.1
【相关文献】
1.平方反比律有心力场中轨道问题的又一解法 [J], 郭雅洁;桑芝芳
2.平方反比有心力场中粒子运动轨道的相对论修正 [J], 舒新文;王竹平
3.推导平方反比有心力场中质点轨道的一种方法 [J], 李体俊
4.平方反比律有心力场中的一种特殊恒矢量 [J], 郑容官
5.利用Rung—Leng矢量求解平方反比律有心力场中轨道问题 [J], 曲建国
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轨道运动中的离心力与向心力分析
轨道运动中的离心力与向心力分析在物理学中，轨道运动是指物体沿着一条规定的轨道进行运动。
而离心力和向心力则是轨道运动中的两个重要概念，它们对于理解和描述物体在轨道上的运动具有重要意义。
一、离心力的作用离心力是指物体在轨道运动中受到的由于惯性而产生的力。
当物体在轨道上运动时，由于惯性的作用，物体会倾向于沿着直线运动，而离开轨道。
这时，为了使物体保持在轨道上运动，需要施加一个力，这个力就是离心力。
离心力的大小与物体的质量和速度有关。
根据牛顿第二定律，离心力等于物体的质量乘以加速度。
而加速度则可以通过速度的平方除以轨道半径来计算。
因此，离心力与物体的质量和速度成正比，与轨道半径成反比。
离心力的作用是使物体保持在轨道上运动，并且使物体与轨道形成一个特定的角度。
在行星绕太阳运动的例子中，离心力的作用使行星保持在轨道上运动，并且使行星与太阳之间形成一个特定的角度，这个角度被称为轨道倾角。
二、向心力的作用向心力是指物体在轨道运动中受到的由于轨道的曲率而产生的力。
当物体在轨道上运动时，由于轨道的曲率，物体会受到一个指向轨道中心的力，这个力就是向心力。
向心力的大小与物体的质量、速度和轨道半径有关。
根据牛顿第二定律，向心力等于物体的质量乘以加速度。
而加速度则可以通过速度的平方除以轨道半径来计算。
因此，向心力与物体的质量和速度成正比，与轨道半径成反比。
向心力的作用是使物体沿着轨道进行圆周运动。
在行星绕太阳运动的例子中，向心力的作用使行星沿着轨道进行圆周运动，并且使行星与太阳之间保持一个恒定的距离。
三、离心力与向心力的关系离心力和向心力是轨道运动中的两个相互作用力。
它们的大小和方向相等，但是方向相反。
离心力指向轨道外侧，向心力指向轨道内侧。
离心力和向心力的大小与物体的质量、速度和轨道半径有关。
离心力与物体的质量和速度成正比，与轨道半径成反比。
而向心力与物体的质量和速度成正比，与轨道半径成反比。
离心力和向心力的平衡是使物体保持在轨道上运动的关键。
有心力
6
理论力学
质点力学
此时必有： 此时必有：
B
F = −∇V
B r2 A r1
W = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fr i ⋅ (dri +rdθ j ) = ∫ Fr dr = −(V2 − V1 )
A
机械能守恒： ∴ 机械能守恒：
1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2 1 & & m(r 2 + r 2θ 2 ) + V(r) = E 2
哈雷慧星
第一章 质点力学
1
理论力学
本节教学目的： 本节教学目的：
质点力学
(1) 掌握有心力的概念和基本性质； 掌握有心力的概念和基本性质； (2) 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； 掌握有心力作用下质点运动轨道满足的方程； (3) 掌握两种重要的有心力 与距离平方成反比的引力和 掌握两种重要的有心力:与距离平方成反比的引力和 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质. 斥力作用下质点的运动规律及动力学性质 (4) 掌握行星运动规律 掌握行星运动规律——开普勒定律。 开普勒定律。 开普勒定律
1 1 k 2m & E = mv 2 + V ( r ) = m ( r 2 + r 2θ& 2 ) − 2 2 r
k 2m V ( r ) = − r
& r 2θ = h
dr du dθ 1 du du & r= ⋅ ⋅ = - 2 ⋅ hu 2 ⋅ =-h du dθ dt u dθ dθ
c p , ⇒ p = a(1 − e2 ), e < 1 B点： = a − c = a(1 − ) = a(1 − e) = 点 r a 1+ e 13
有心力场中圆形轨道稳定性的线性分析
有心力场中圆形轨道稳定性非线性近似分析摘要本文利用微扰法研究质点在有心力作用下圆形轨道的稳定性问题。
通过对比分析了一阶与二阶两种微扰近似条件下质点运动轨道的相图。
在引力与距离n次方成反比的有心力场中,影响圆形轨道稳定性的因素有幂次n、轨道初始半径及微扰强度。
当n趋近于2时,圆形轨道抗扰动能力比较强; 当n确定时,轨道半径越大的圆形轨道,所能承受的微扰越小。
并从粒子的运动方程出发,利用非线性动力学的方法分析了行星在有心力场中运行轨道的稳定性。
并指出，当粒子在与位置矢量n次方成反比的有心力的作用下，其运行轨道的稳定条件是n小于三。
关键词：稳定性；微扰法；相图；运行轨道NONLINEAR ANALYSIS ON STABILITY OF A CIRCULAR ORBIT IN THE CENTRAL FORCE FIELDABSTRACTIn this paper，the perturbation method is used to study the stability problem of a mass particle forced by a central force in a circular orbit. By comparative analysis, phase diagram of the perturbation orbit of mass is performed under the conditions for the first-order and second-order perturbation approximations. In the central force field where the gravity is in inverse proportion to nth power of the modulus of situation vector, Influence factors on the stability of circular orbit are power index n，initial orbit radius and the strength of the perturbation. When power index n tends to 2, the anti-disturbance capability of the circular orbit is strong. The larger the circular orbit radius is, for the same power index, the smaller perturbation the orbit can endure. Based on the basic motion equation, the stability of the planet orbits in central force field is studied by using nonlinear dynamics method. It is indicated that the stability condition of planet orbits in the central force field is that n is smaller than three when particle is forced by the central force which is in inverse proportion to nth power of situation vector.Key words: stability; perturbation method; phase diagram; orbit stability目录1．前言--------------------------------------------------------------------1 2．线性稳定性分析和奇点的分类----------------------------------------------2 2．1非线性方程的线性化和线性稳定性定理----------------------------------2 2．2线性方程的解及其稳定性----------------------------------------------3 2．3奇点（定点）的分类----------------------------------------------------4 3．圆形轨道的稳定性--------------------------------------------------------5 3．1圆形轨道的微扰微分方程----------------------------------------------5 3．1．1取一阶微扰近似------------------------------------------------5 3．1．2取二阶微扰近似------------------------------------------------6 3．2有心力场中圆形轨道的稳定性分析--------------------------------------73．2．1当10C=时的稳定性分析----------------------------------------73．2．2当10C≠时的稳定性分析----------------------------------------74．行星轨道的稳定性分析---------------------------------------------------12 5．结论-------------------------------------------------------------------15 参考文献-----------------------------------------------------------------16 致谢---------------------------------------------------------------------171 前言对于现行通用的理论力学教材中关于有心力场中圆形轨道稳定性的讨论，方法一般分为两类：第一类用有效势能法；第二类用比耐公式，然后归结为用线性近似方程判别稳定性。
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用式（ ３ ） 即／ ２ ＝ ｈ 进行代换从而计算出 即可， 但计算过程依然繁琐．
１ ． ３ 动 能导数 法
在有 心力场 中 ， 质 点动 能定理 的微 分形式 在极 坐标 系下 可表 为 ｄ ７： Ｆ ｄ ｒ ：ｄ Ｅ ｋ
．
（ １ ０ ）
其 中动能 Ｅ ： １ 删： ： １ ｍ（ ｚ ＋， ｚ ｚ ） 将前 面式 （ ３ ） （ ７ ） 代人 即得
院教 授 ．
一
２２ 一
ｄｒ ＂
＝ ＝
ｈ ｄ ｒ
（ ７ ）
Ｊ — ／ ｈ ． ２ ｄ ｄ Ｏ／ （ ｈ ． ２ ｄ Ｏ ｒ １ Ｊ
＝ 一
（ ＼ ８ ｕ ） ／
将式（ ８ ） 及（ ３ ） 代人式 （ １ ） 便 得
ｍ
［ ￣ ， … ｄ ， ｄ ｒ ） 一 等 】 ＝ ｍ ， ｈ ２ ［ … ［ ， ｌ ｄ ｒ ） 一 】
摘 要： 该 文介 绍 了由轨 道方 程计 算有 心 力的 四种方 法 ， 分析 了彼 此 间 内在 的联 系， 并 对 这 四种
方 法的难 易程 度进 行评 价 ， 指 出其 中的动 能导数 法往 往使 用更为 简便 ， 它是 除 比耐公 式 法外 另一 实
用的计算 方 法．
关键词： 有心力； 轨 道 方程 ； 比耐公 式 ； 动 能导数 法
，
Ｅ ＝ １
ｍ
［ （ ｄ ｒ ） ２ ＋ 等 】 ＝ 【 （ ｄ － ／ ） ２ ＋ ｒ ］
—
（ １ １ ）
联立 式 （ １ ０ ） （ １ １ ） 即得
：
］
ｉ ￣ ｔ ＝ ｆ ： Ｆ （ ｒ ） 是 ｒ 的 单 值 函 数 ， 因 此 公 式 （ １ ２ ） 中 的 嵩 总 能 表 示 成 ｒ 的 函 数 ！ 在 付 ， ｄ ｒ 砥 ／ － Ｊ 成 ｒ 的 函 数 后 ， 剩
（ ９ ）
可见 ， 公式（ ９ ） 是 比耐公式 （ ６ ） 在 未作 “＝１ ／ ｒ 代 换 时 的原 始形 式 ！但形 式 较复 杂 ， 不 易记 忆 ！而且 计算 过 程
也偏 复杂化 ， 不够 简 明 ！ 需 要指 出的是 ， 直接 计算 法不一 定要 用到 公式 （ ９ ） ， 在 轨道 方程 ｒ ＝ｒ （ ０ ） 比较 复杂 的情 况下 ， 只需 充分 利
下 的 只 是 关 于 ｒ 的 简 单 的 一 阶 导 数 计 算 ， 从 而 避 免 了 比 耐 公 式 中 经 常 恼 人 的 等 计 算 和 Ｈ ｕ 及 “ ＝ － ／ 代 换 ・
因此 ， 在 纯粹 的 由轨 道方 程 ｒ ＝ｒ （ ０ ） 求 有 心力 Ｆ ， （ ｒ ） 的 问题 中 ， 采 用这 里 的动 能导 数公 式 （ １ ２ ） 往往 要 比采用 前 面 的 比耐公 式 （ ６ ） 和直接 计算 法 公 式 （ ９ ） 使 用 起 来更 方 便 ， 计算 量 更 小 ！在 文 献 ［ ２ ］ 中， 石 晓斌 老 师 利用
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６— ０ ６—１ ０ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ６—１ ０— ２ ０
基金项 目： 南京 晓庄学 院校级教改项 目： 《 理论力学》 网络课程开发及其教 学效 果分析．
作者 简介 ： 邵云， 南京晓庄学 院电子工程学 院讲 师 ， 主要从事 理论 物理教学 和研究 工作 ； 窦瑾 ， 南京晓庄 学 院电子工程 学
（ 孚 ＋ ｕ ） ＝ 一 Ｆ ｒ
将 轨道 方程 ｒ ＝ ｒ （ ） 即 “＝ｕ （ 口 ） 代人 比耐 公式 左边 便 可通过 求 导得 出有心 力 Ｆ （ ｒ ） ．
１ ． ２ 直接 计算 法
不 必作 变量 代换 ｕ：１ ／ ｒ ， 而是 直 接利用 式 （ ３ ） 或（ ４ ） 对 轨道 方程 ｒ ＝ ｒ （ ） 进 行正 面计 算 ．
法 的难 易程度 进行 了评 价 ．
１ 由轨道 方程计 算有心力的 四种方法
１ ． １ 比耐公 式 法
在 以力 心 为原点 的极 坐标 系 中 ， 质 点受有 心力 作 用 的分量方 程可 表 为…
， ｍ（ 一ｒ ０ ）＝Ｆ
１ ｍ ｒ ｏ ＋ ２ ） ＝ ｒ １ ｄ Ｐ ｂ ） ＝ ０
２ ０ １ ６年 １ １ 月
南 京 晓 庄 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＡＮＪ Ｉ ＮＧ ＸＩ ＡＯ Ｚ ＨＵＡＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
ＮＯ Ｖ． ２ ０１ ６ Ｎｏ ．６
第 ６期
轨道方程 下有心力的解法研 究及其评价
邵 云 ， 窦 瑾
（ 南京 晓庄学 院 电子工程学院 ， 江 苏 南京 ２ １ １ １ ７ １ ）
中图 分 类 号 ： Ｏ ３ １ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ９— ７ ９ ０ ２ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６— ０ ０ ２ ２—力 的表 达式 时 ， 人 们 通常都 会选 择用 比耐 （ Ｂ ｉ ｎ ｅ ｔ ） 公式ｎ 进 行计 算 ． 研 究发 现 ， 除此 方法 外仍 有 多 种解 题 方法 ， 在文献 ［ ２— ４］ 中给 出 了零零 种 种 的介 绍 ， 但 都很 不 具体 ， 没 有 系 统性 ． 笔 者 根据 多年 教学 经验 积 累 ， 系统地 总结 出四种从轨 道 方程 计算 有 心 力 的方 法 ， 分析 彼 此 间联 系 ， 并 对 这 四种 方
由式 （ ２ ） 即得
ｒ ：ｈ
其 中积分 常量 ｈ就 相 当于 角动量 Ｌ＝ ｍｒ ０＝ｍ ｈ ． 利用 式 （ ３ ） 可 得
／ ／ ／ ／
ｄ￡＝ｈ ｄ Ｏ
＼，
１
２
、
、，
３
４
、，
设 Ｍ＝１ ／ ｒ ， 微 分得
ｄ ： 一 ，
将式 （ ３ ） （ ４ ） （ ５ ） 代入 式 （ １ ） ， 消去 ｄ ｔ ， 整理 后便 得 比耐公 式