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n 重积分中值定理数学与应用数学 ***** 指导老师 ****【内容摘要】 本文主要将一元函数的积分中值定理推广到n 元函数的积分中值定理.关于积分中值定理的文献和结果很多，但一般都是一元函数的积分中值定理，且一般在Riemann 积分意义下成立.本文证明了在一般的有界闭区域上，在Lebesgue 积分意义下，n 重积分中值定理同样成立，我们得到如下结论：设D 是n R 中的有界闭区域，0)(=∂D m .R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebesgue 可积，且)(P g ≥0 a.e.，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得σσd P g P f d P g P f D D )()()()(0⎰⎰=. 本文主要运用了区域的道路连通性证明.因为0D 是道路连通的，所以存在[]01,0:D c →，又因函数R R D f n →⊂:在D 上连续，故R c f →]1,0[: 连续.所以存在]1,0[0∈t ，使得00)(P t c =,故在0D 内存在一点0P ，使得本文中所得的定理成立.【关键词】 积分中值定理；道路连通性；Lebsgue 积分；开区域一 引言本文主要研究多重积分的积分中值定理，我们证明了下述定理：定理 设D 是n R 中的有界闭区域，0)(=∂D m ，R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebsgue 可积，且)(P g ≥0 a.e.于D ，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得0()()()()D D f P g P d f P g P d σσ=⎰⎰. （1） 其中()D g P d σ⎰表示g 在D 上的Lebsgue 积分.关于积分中值定理的文献很多，其中文[1]在D 为闭长方体区域,[2]在D 为零边界有界闭区域，[3]在D 为可求体积的有界闭区域，分别证明了Riemann 积分意义下，上述定理成立.众所周知，若R R D g n →⊂:在D 上Riemann 可积，则一定Lebsgue 可积.因此我们的结果包含了文[1,2,3]的结果.我们主要利用开区域的道路连通性，再利用一元连续函数的介值定理，我们的方法与他人的方法有本质的不同.二 符号、基本定义与引理本节我们主要介绍本文用到的主要术语与基本结论。

文中用D 表示n R 中的有界闭区域，0D 表示D 的内部，D ∂表示D 的边界.定义1[4] 设A 是开集，如果对于A 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于A ，则称A 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域连同它的边界一起，称为闭区域.定义2[5] 设X 是一个拓扑空间.从单位闭区间[]1,0到X 的每一个连续映射 f ：[]X →1,0叫做X 中的一条道路，并且此时)0(f 和)1(f 分别称为道路f 的起点和终点.定义3[5] 设X 是一个拓扑空间.如果对于任何两点x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路，我们则称X 是一个道路连通空间.X 中的一个子集Y 称为X 中的一个道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间.由区域与道路连通子集的定义，显然有：引理2.1 n R 中开区域为n R 的道路连通子集.引理2.2[5] n R 中有界闭区域为n R 的紧致子集.引理 2.3 设R R D g n →⊂:在D 上可积，0)(≥P g a.e.于D ,且()0D g P d σ=⎰，则0)(=P g a.e.于D .证明 设D 可表示为}1)(:{1n P g D P D n ≥∈=⋃∞=∪}0)(:{=∈P g D P ， 令}1)(:{nP g D P E n ≥∈=，则它是可测集.但 σσσd P g d P g d P g nn E D E D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==)()()(0\n E mE n d P g n⎰⎰⎰≥≥1)(σ ，故0=n mE ，从而0}1)(:{=>∈nP g D P m ，即0)(=P g a.e.于D . 引理2.4 设R D f →:连续，inf ()x Dm f x ∈=，设实数μ满足m >μ，则存在00D x ∈，使得m x f ≥>)(0μ. 证明 由引理 2.2知D 为n R 的紧致子集，故有1x D ∈，使得1()inf ()x Df x m f x ∈==. 1 若01D x ∈，取10x x =即可.2 若D x ∂∈1，则)(01'∈D x ，对于任意的0>r , 1x 的邻域);(1r x B 与0D 的交集非空.因R D f →:连续，因0m μ->，则存在01>r ，存在);(110r x B x ∈∩0D ，满足 m x f x f -<-μ)()(10，即μμ=+-<)()(10x f m x f .与引理2.4类似，我们有：引理2.5 设R D f →:连续，sup ()x DM f x ∈=，设实数μ满足：M μ<，则存在00D x ∈，使得0()f x M μ<≤.证明 由引理 2.2知D 为n R 的紧致子集，故有1x D ∈，使)(m a x )(1x f M x f D x ∈==. 1 若01D x ∈，取10x x =即可.2 若D x ∂∈1，则)(01'∈D x ，对于任意的0>r , 1x 的邻域);(1r x B 与0D 的交集非空.因R D f →:连续，因0>-μM ，则存在01>r ，存在);(110r x B x ∈∩0D ，满足 μ-<-M x f x f )()(10，即)()(10x f M x f +-<μ.引理 2.6 设R R D f n →⊂:连续，m 和M 分别为f 在D 上的最小值和最大值，对任一实数μ，满足M m <<μ，则存在00D P ∈，使得μ=)(0P f .证明 因:f D R →连续，因m μ<且M μ<由引理2.5，引理2.6可知，存在00D x ∈，满足μ<)(0x f ；存在00D y ∈，满足μ>)(0y f .因为0D 是道路连通的，则存在连续映射[]01,0:D c →，使得 0(0),c x =0(1)c y =.因:f D R →连续，[]01,0:D c →连续，故R c f →]1,0[: 连续，并且有(0)f c =))0((c f =μ<)(0x f ， )1(c f =))1((c f =μ>)(0y f .由一元连续函数的介值性定理可知：存在]1,0[0∈t ，满足μ==))(()(00t c f t c f .取00)(P t c =，则00D P ∈，所以 μ=)(0P f .三 定理的证明证明 因g P ≥（）0 a.e. 于D ，则()0D g P d σ≥⎰. 若()0D g P d σ=⎰，则由引理2.3可得g P （）=0 a.e.于D ，m 和M 分别为f 在D 上的最小值和最大值，则由不等式)()()()(P Mg P g P f P mg ≤≤ a.e.于D （2）可得()()()()D D D m g P d f P g P d M g P d σσσ≤≤⎰⎰⎰ （3）所以()()0D f P g P d σ=⎰，此时定理显然成立，因为0P 可取0D 内任何一点.若()0D g P d σ>⎰，设()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，则由（3）知M m ≤≤μ.下面分两种情况来论证：（1）若M m <<μ，则由引理2.6知存在0D 中某点0P ，使得μ=)(0P f ，从而定理成立. （2）若m μ=或M μ=，不妨设m μ=，而()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，因此 ()()()0D D f P g P d g P d σμσ-=⎰⎰.即 [()]()0D f P g P d μσ-=⎰.因(())()0f P g P μ-≥ a.e.于D ，故由引理2.3知，(())()0f P g P μ-= a.e.于D .因()0D g P d σ>⎰，故存在D 的可测子集1D ，满足1()0m D >,且对任意1P D ∈，有()0g P >.因(())()0f P g P μ-= a.e.于1D ，故()f P μ= a.e.于1D ，因()0m D ∂=,故必存在一点00P D ∈，使得0()f P μ=.从而式（1）成立.同理可证当M μ=时，式（1）仍成立.综上可得定理成立.四 定理的拓展推论 4.1 设D 是n R 中的有界闭区域，R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebsgue 可积，且)(P g ≥0a.e.于D ，存在0D 的子集A ，使得0)(>A m ，且对于任一A P ∈，均有0)(>P g ，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得 0()()()()D D f P g P d f P g P d σσ=⎰⎰.其中()D g P d σ⎰表示g 在D 上的Lebsgue 积分.证明 因g P ≥（）0 a.e. 于D ，则()0D g P d σ≥⎰. 若()0D g P d σ=⎰，则由引理2.3可得g P （）=0 a.e.于D ，m 和M 分别为f 在D 上的最小值和最大值，则由不等式)()()()(P Mg P g P f P mg ≤≤ a.e.于D （2）可得()()()()D D D m g P d f P g P d M g P d σσσ≤≤⎰⎰⎰ （3）所以()()0D f P g P d σ=⎰，此时定理显然成立，因为0P 可取0D 内任何一点.若()0D g P d σ>⎰，设()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，则由（3）知M m ≤≤μ.下面分两种情况来论证：（1）若M m <<μ，则由引理2.6知存在0D 中某点0P ，使得μ=)(0P f ，从而定理成立.（2）若m μ=或M μ=，不妨设m μ=，而()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，因此()()()0D D f P g P d g P d σμσ-=⎰⎰.即 [()]()0D f P g P d μσ-=⎰.因(())()0f P g P μ-≥ a.e.于D ，故由引理2.3知，(())()0f P g P μ-= a.e.于D .又因A 是0D 的子集，0)(>A m ，有(())()0f P g P μ-= a.e.于A . 因0)(>A m ，且对于任一A P ∈，均有0)(>P g ，所以()f P μ= a.e.于A ，因(())()0f P g P μ-= a.e.于A ，故必存在一点A P ∈0，使得0()f P μ=.所以必存在一点00P D ∈，使得0()f P μ=.从而式（1）成立.同理可证当M μ=时，式（1）仍成立.综上可得定理成立.推论 4.2 设D 是n R 中的有界闭区域，R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebsgue 可积，且)(P g ≥0 a.e.于D ，设m 和M 分别为f 在D 上的最小值和最大值，存在0,D y x ∈，使得M y f m x f ==)(,)(，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得0()()()()D D f P g P d f P g P d σσ=⎰⎰. 其中()D g P d σ⎰表示g 在D 上的Lebsgue 积分.在定理中，若)(P g ≤0 a.e.于D ，有推论4.3 设D 是n R 中的有界闭区域，0)(=∂D m ，R R D f n →⊂:在D 上连续，R R D g n →⊂:在D 上Lebsgue 可积，且)(P g ≤0 a.e.于D ，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得0()()()()D D f P g P d f P g P d σσ=⎰⎰.其中()D g P d σ⎰表示g 在D 上的Lebsgue 积分.证明 因)(P g ≤0 a.e.于D ，则⎰≤Dd P g 0)(σ. 若()0D g P d σ=⎰，则由引理2.3可得g P （）=0 a.e.于D ，m 和M 分别为f 在D 上的最小值和最大值，则由不等式)()()()(P Mg P g P f P mg ≥≥ a.e.于D （4）可得σσσd P g M d P g P f d P g m DD D ⎰⎰⎰≥≥)()()()( （5） 所以()()0D f P g P d σ=⎰，此时定理显然成立，因为0P 可取0D 内任何一点.若0)(<⎰σd P g D ，设()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，则由（3）知M m ≤≤μ.下面分两种情况来论证：（1）若M m <<μ，则由引理2.6知存在0D 中某点0P ，使得μ=)(0P f ，从而定理成立. （2）若m μ=或M μ=，不妨设m μ=，而()()()D D f P g P d g P d σμσ=⎰⎰，因此 ()()()0D D f P g P d g P d σμσ-=⎰⎰.即 [()]()0D f P g P d μσ-=⎰.因(())()0f P g P μ-≥ a.e.于D ，故由引理2.3知，(())()0f P g P μ-= a.e.于D .因()0D g P d σ>⎰，故存在D 的可测子集1D ，满足1()0m D >,且对任意1P D ∈，有()0g P >.因(())()0f P g P μ-= a.e.于1D ，故()f P μ= a.e.于1D ，因()0m D ∂=,故必存在一点00P D ∈，使得0()f P μ=.从而式（1）成立.同理可证当M μ=时，式（1）仍成立.综上可得定理成立.在定理中，在（1）式中令)()()(p g P h P f =，有 推论4. 4 若函数R R D h n →⊂:在D 上连续，0)(=∂D m ，R R D g n →⊂:在D 上Lebsgue 可积，且)(P g ≥0 a.e.于D ，则至少存在一点0P 是D 的内点，使得)()()()(00P g P h d P g d P h D D =⎰⎰σσ. 证明 若函数R R D h n →⊂:在D 上连续，令)()()(p g P h P f =，则R R D f n →⊂:在D 上连续.由定理中的（1）式，将)()()(p g P h P f =代入0()()()()D D f P g P d f P g P d σσ=⎰⎰，则可得到)()()()()(000P g P h x f d P g d P h D D ==⎰⎰σσ， 从而结论成立. 参考文献[1]陈卫星.关于推广的重积分中值定理的一个注记[J].中国煤炭经济学院学报 1994,8(3)：78—81.[2]杨彩萍.二重积分中值定理中间点的进一步讨论[J].中国民航学院学报.2000，18（2）：57—61.[3]刘许成.nR 中积分中值点取值范围的改进[J].数学实践与认识.2004， 34（4）：165—169.[4]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].第三版，北京：人民教育出版社，2001.6.[5]熊金城.点集拓扑讲义[M].第二版，北京：高等教育出版社，2001.1.[6]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].第二版,北京：高等教育出版社，2003.12.Mean-value Theorem of Integrals for n-variables[Abstract] This article mainly promotes the mean-value theorem of integrals for one variable to the mean-value theorem of integrals in function of n-variables. There are lots of literatures and results about the mean-value theorem of integrals, but generally all is the mean-value theorem of integrals in function of one variable, and establishes in the Riemann integral sense. In this paper the mean-value theorem of n-variable integrals had been established in bounded closed regions, and under the Lebesgue integral sense. We obtain the following conclusion: suppose that D is a bounded closed regions in n R , 0)(=∂D m , R R D f n →⊂: is continuous in D , R R D g n →⊂: can integral in D in Lebesgue integral sense, and )(P g ≥0 almost every where, then there exists a point 0P , which is an inner point of D , such that:σσd P g P f d P g P f DD )()()()(0⎰⎰=. In this thesis we mainly utilize the path-connectedness of the domain. Then there exists a continuous function []01,0:D c →, and the function R R D f n →⊂: is continuous on D , so R c f →]1,0[: is continuous. By the mean-value theorem for the one-variable continuous function, we obtain the existence of ]1,0[0∈t such that 00)(P t c =. Therefore, there exists one point 0P in 0D , which satisfies the main theorem of the thesis.[Keywords] Mean value theorem for Integral; path-connectedness; Lebesgue integral; open domain。