高中物理经典曲线运动

《曲线运动》——亮点题粹题1 如图6－158所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小为多少？（结果用v 和θ表示）亮点 绳系物体运动的合成与分解问题，采用多种解法。

解析 这里给出三种解法。

解法一：速度分解法 物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。

与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。

分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。

将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如图6－159所示。

根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。

解法二：位移微元法 如图6－160所示，假设端点N 水平向左匀速移动微小位移△s 至N ′，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过N 向ON ′作垂线NP ，因顶角很小，故OP ≈ON ），即物体上升了△s 1，显然，△s 1＝△s cos θ。

由于v ＝△s /△t （△s 很小、△t 很小），可得v 1＝v cos θ。

所以，物体M 上升速度的大小为v ’＝v cos θ。

解法三：功能原理法 不计滑轮、绳子质量及一切摩擦，由功能关系可知，在汽车前行牵引物体上升的过程中，汽车对绳子的拉力F 所做的功W （对应功率设为P ）等于绳子对物体拉力F ’所做的功W ’（对应功率设为P ’），设作用时间（相等）为△t ，则因F ＝F ’，W ＝W ’，故tW t W ∆'=∆，P ＝P ’。

又因为P ＝Fv cos θ，P ’＝F ’v ’， 以上几式联立解得物体上升速度的大小为v ’＝v cos θ。

联想 有些同学认为只要将绳速v 1分解为水平向左的速度v 和竖直向下的速度v 2，如图6－161所示，根据平行四边形定则易得绳速v 1＝v /cos θ。

其实，这种解法的错误是一目了然的：难道汽车在向前运动的同时还在向地下钻吗？产生错误的主要原因是没有分清哪个是合运动、哪个是分运动，继而搞错了合运动、分运动的方向。

错误的根本原因是混淆了运动的分解和力的分解。

中学物理所研究的绳子一般都不计质量和形变，因此当绳子被拉紧时，绳子上各点沿绳子方向的速度大小总是相等的，所以常把连在绳子上的物体的实际运动速度分解成沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动。

绳子拉船模型是一个比较常见的、非常有用的物理模型。

准确地理解和掌握这个模型，不仅对理解运动的合成和分解大有益处，而且还可以举一反三，触类旁通，提高我们的解题技巧和速度。

题2 如图6－162所示，某人与一平直公路的垂直距离h ＝50m ，有一辆汽车以速度v 0＝10m/s 沿此公路从远处驶来，当人与汽车相距L ＝200m 时，人开始匀速跑动，若人想以最小的速度赶上汽车，人应沿与v 0成多大角度的方向以多大的速度跑动？亮点巧选参考系，应用运动的合成与分解研究相遇极值问题。

2 图6－161 v图6－159 1图6－158图6－162图6－160 图6－163解析 如图6－163所示，以汽车为参照系，人相对于汽车的合运动v 合的方向如图中虚线OP 所示，人相对于地面的运动速度为v ，由图可知，要使v 最小，v 的方向显然应垂直于OP 连线方向，设汽车运动方向（即v 0方向）与OP 连线夹角为θ，则tan θ＝h L ＝14。

v min ＝v 0sin θ＝10×sin(arctan0.25)m/s ＝2.4 m/s 。

联想 如果汽车静止在路面上，这个问题就非常简单，人只要沿着人、车的连线方向运动即可。

在本例中，由于汽车在运动，问题就较为复杂，但是，如果我们以汽车为参照系，这个问题就变得较为简单，同样只要人沿着人、车的连线方向运动（即人相对于汽车的运动方向沿人、车的连线方向）就可赶上汽车，这时，由于是以汽车为参照系，人相对汽车来说已经具有一个分速度－v 0（负号表示方向相反），我们需要解决的是另一个分运动（即人相对于地面的运动）的大小和方向的问题。

灵活选择参考系往往可使问题得到简化。

在本题中，如果我们仍以地面为参照系，可以假设经过时间t人正好赶上汽车（同时到达某点B ），如图6－164所示。

根据矢量三角形知识及数学极值问题的讨论方法，也可得到相同结论，有兴趣的同学不妨一试。

题3 如图6－165所示，在倾角为θ的斜面顶端P 点以初速度v 0水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q 点，求：⑴ 小球在空中运动的时间以及P 、Q 间的距离。

⑵ 小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？ 亮点 平抛运动中的极值问题，要求有较强的分析能力。

解析 根据平抛运动分运动的特点，两个分运动的位移与合运动的位移构成一个直角三角形，如图6－166所示，在小球抛出直至落到斜面上的过程中竖直方向位移s y 与水平方向位移s x 之比即为tan θ；同样，两个分运动的速度与合运动的速度也构成一个直角三角形，如图6－167所示，当小球与斜面间距离最远时，竖直方向分速度v y 与水平方向分速度v x 之比也等于tan θ。

⑴ 由 s y s x ＝tan θ＝gt 2v 0 ，可得小球在空中运动的时间 t ＝2v 0tanθg。

P 、Q 间的距离 θθcos tan 22022g v s s s y x =+=。

⑵ 设小球抛出后经时间t 离开斜面的距离最大，由v y v x ＝tan θ＝gt v 0 ，可得 t ＝v 0tanθg。

联想 平抛运动是匀变速曲线中最简单的一种，一般而言，解决此类问题的方法是：根据题意，正确地画出运动轨迹示意图，识别运动性质，运用运动的合成与分解的知识将曲线运动转化为直线运动进行研究，最后，运用有关运动规律或公式，列方程求解。

在分解的过程中，灵活选取坐标轴的方向，或根据平抛运动的特点（如对称性等）可简化解题过程，本例还涉及极值的求解，这提醒我们正确建立几何图景，熟练应用数学知识、数学手段讨论分析问题也是我们必须熟练掌握的能力之一。

对于本题，你能求出小球抛出后离开斜面的最大距离距离吗？(提示：求出小球离开斜面距离最大时所处的位置，再由几何关系求解；或者将小球的运动分解为平行于斜面与垂直于斜面的两个分运动进行分析。

)题4 如图6－168所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在离网3m 的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出（不计空气阻力，g 取10m/s 2）。

⑴ 设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。

⑵ 若击球点在3m 线的正上方的高度小于某个值，那么无论水平图6－165s图6－166图6－167 图6－168击球的速度多大，球不是触网就是越界。

试求这个高度。

亮点 平抛运动中的临界问题，联系排球运动，贴近生活实际。

解析 ⑴ 球恰好擦网而过时应为球初速度最小的情况，而恰好到达边界时则为初速度最大的情况。

作出图6－169所示的平面图，若球刚好不触网，设球的速度为v 1，则球发生水平位移为3m 的过程中：水平方向有x ＝v 1t ，即3＝v 1t ；竖直方向有y ＝12 gt 2，即2.5－2＝12 gt 2。

由以上两式可得v 1＝310 m/s 。

同理可得刚好不越界的速度 v 2＝12 2 m/s 。

故击球速度的范围为 310 m/s ＜v 0＜12 2 m/s 。

⑵ 如图6－170所示，球擦网而过恰不越界，这种情况下求出的高度即为所求高度，因为在这个高度下如果速度过小则触网，而如果速度过大则越界，如果速度大小适当则球擦网而过又正好不越界。

设击球高度为H 时，击出的球刚好越过球网而落在边界线上，则排球刚好不触网时有： 水平方向x ＝v 0t ，即3＝v 0t ；竖直方向y ＝12 gt 2，即H －2＝12gt 2。

同理，当排球刚好落在边界线上有3＝v 0t ′，H ＝12gt ′ 2。

由以上四式可得 H ＝3212m ＝2.13m 。

即当击球高度小于2.13m 时，无论球的水平速度多大，球不是触网就是越界。

联想 排球被水平击出后做平抛运动，当水平速度较小时，水泡射程较小，可能触网；当水平速度较大时，水平射程较大，可能越界，所以v 0存在一个范围。

如击球点过低，则球不是触网就是越界。

本题求解时，对排球恰好触网和压线这两种临界状态进行分析，求出击球速度或击球点高度的临界值，是解决问题的关键。

求解联系实际的物理临界问题，必须首先弄清所求问题的物理情景，建立实际问题的物理模型，找出相关的临界条件。

题5 在水平地面上匀速行驶的拖拉机，前轮直径为0.8 m, 后轮直径为1.25 m, 两轮的轴水平距离为2 m, 如图6－171所示。

在行驶的过程中，从前轮边缘的最高点A 处水平飞出一小块石子，0.2 s 后从后轮的边缘的最高点B处也水平飞出一小块石子，这两块石子先后落到地面上同一处，求拖拉机行驶的速度的大小.。

(g 取10 m/s 2) 亮点 以拖拉机两轮边缘飞出的石子为背景，涉及两个物体平抛运动间的联系。

解析 由题设知，从A 处水平飞出的石子和0.2 s 后从B 处水平飞出的石子均做平抛运动，抛出的初速度大小相等，且均为拖拉机行驶速度的2倍。

如图6－172所示，有x A =2vt A =2v g d A 2，x B =2vt B =2v gd B 2，x Ａ+d =x B +vt 0， 联立以上各式解得拖拉机行驶的速度 v 2.0108.0221025.122222220+⨯⨯-⨯⨯=+-=t g d g d d A B m/s =5 m/s 。

联想 上述解析中指出，从A 、B 处飞出的两石子抛出的初速度大小相等，且均为拖拉机行驶速度的2倍。

其依据是什么呢？这是因为两轮均沿地面滚动，轮子的触地点即为轮子的瞬时转动中心，A图6－170图6－169图6－171 图2′ 图6－172点（或B 点）的转动半径为其轮轴转动半径的2倍，由v=ωr 可知其线速度亦为轮轴运动速度（即拖拉机的行驶速度）的2倍。

在处理较为复杂的问题特别是涉及多个物体的运动时，画出各物体运动的草图，寻找相应的几何关系至关重要。

题6 在同一水平高度上有A 、B 两个物体，它们的质量分别为m 、M ，A 物体从如图6－173所示位置开始以角速度ω绕O 点在竖直平面内顺时针做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，同时B 物体在恒力F 作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x 轴正方向做直线运动，试问：⑴ A 物体运动到什么位置时，它的速度可能与B 物体相同？⑵ 要使两物体速度相同，作用在B 物体上的力F 应多大？⑶ 当物体速度相同时，B 物体的最小位移是多少？亮点 圆周运动与直线运动综合的周期性多解问题，求解时易发生漏解。