北师大版八年级数学下册《3.2 图形的旋转》 同步练习
3.2 图形的旋转
一．选择题（共9小题）
1．下列汽车标志中，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有（）个．
A．2B．3C．4D．5
2．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形
3．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（）
A．25°B．30°C．50°D．55°
5．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）
A．1B．C．2D．4﹣
6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′，若∠AOB＝25°，则∠AOB′的度数是（）
A．60°B．45°C．35°D．25°
7．已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3cm，BO＝4cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D的长度为（）
A．cm B．1cm C．2cm D．cm
8．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D 在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是（）
A．15B．30C．45D．60
二．填空题（共6小题）
10．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．
11．由8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为．
12．时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了度．13．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为度时，△AOD是等腰三角形？
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点P旋转至CA的延长线上时，CF的长是，在旋转过程中，CF的最大长度是．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM
的最大值是．
三．解答题（共5小题）
16．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
17．已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．
（1）求证：△BAP≌△CAQ．
（2）若P A＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将线段BC绕点C顺时针旋转90°得线段CG，DG交EC于O点，求证：EO＝OC．
19．如图所示，AD∥BC，CD＝2AD，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE，延长DE交BC于F，CD＝2CF．
（1）求证：BC＝CD．
（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG．（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点．
20．小亮用一副三角板拼成了图1，然后将△AOB绕着点O顺时针方向旋转成图2．（1）若旋转角∠BOB′＝30°，求∠AOA′的度数；
（2）若∠AOA′＝a°，用含a的代数式表示∠B′OC；
（3）当a的值增大时，∠B′OC的大小发生怎样的变化；
（4）图2中∠B′OA与∠A′OC有怎样的关系．
参考答案一．选择题（共9小题）
1．A．
2．B．
3．A．
4．C．
5．C．
6．C．
7．D．
8．C．
9．C．
二．填空题（共6小题）
10 3．
11．150°．
12．60．
13．110°、125°、140°．
14．，+2．
15．3．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）．17．（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP＝AQ，∠P AQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠P AC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP+∠P AC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，，
∴△BAP≌△CAQ（SAS）；
（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，
∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，
∴QC＝4，
∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝5．
18．解：如图，把△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△GFC，
∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，
∴CF⊥AC，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴EA⊥AC，
∴EA∥FC，
∴∠CHG＝∠AMG＝∠DME，
∵△ADE和△FGC都是△ABC旋转而成，∴DE＝CG，∠AED＝∠FCG，
∴∠EDG＝∠CGD，
在△DOE和△GOC中，
，
∴△DOE≌△GOC（AAS），
∴EO＝OC，
19．证明：（1）∵CD＝2CF，CD＝2AD，∴AD＝CF，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AD＝BF，
∴BC＝BF+CF＝2AD，
∴BC＝CD；
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵BC＝CD，CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝DE，
由图形旋转的性质知CE＝CG，BE＝DG，∴DE＝DG，且CE＝CG，
∴C，D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG；
（3）如图，
∵△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CD，∠BCP＝∠DCF＝90°，
∴△BCP≌△DCF（ASA）
∴CF＝CP，
∵BC＝2CF，
∴CD＝2CP，
∴P是CD的中点．
20．解：（1）根据旋转的性质：∠AOA′＝∠BOB′＝30°，
（2）∵∠AOA′＝a°，
∴∠BOB′＝∠AOA′＝a°，
∴∠B′OC＝180°﹣∠BOB′＝（180﹣α）°；
（3）当a的值增大时，∠B′OC减小；
（4）∵∠B′OA+∠A′OA＝∠A′OC+∠A′OA＝90°，∴∠B′OA＝∠A′OC．。
精品试题北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转同步训练试题(含详解)
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，则1AB B ∠=（ ） ．A ．40°B ．50°C ．70°D ．1002、如图，A B O '''是由ABO 平移得到的，点A 的坐标为(-1，2)，它的对应点A '的坐标为(3，4)，ABO 内任意点P (a ，b )平移后的对应点P '的坐标为（ ）A．(a，b) B．(-a，-b) C．(a+2，b+4) D．(a+4，b+2)3、下列四个图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．4、2022年2月4日－2月20日，北京冬奥会将隆重举行，如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片．旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转（）．A．180°B．120°C．90°D．60°5、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°6、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝26°，∠BCA′＝44°，则α等于（）A．37°B．38°C．39°D．40°8、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，P为等边△ABC的边BC上任一点，点D在BA的延长线上，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，连BE，则∠CBE＝___．2、在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点______．3、在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____．4、在①平行四边形、②正方形、③等边三角形、④等腰梯形、⑤圆、⑥正八边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ______（填序号）．5、如图，将△ABC 平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC 边上），若∠B =55°，∠C =100°，则∠AB’A’的度数为_____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等边ABC 中，D 是边AC 上一动点，连接BD ，将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，连接CE ．（1）如图1，当B 、A 、E 三点共线时，连接AE ，若2AB =，求CE 的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD AB BE+的值． 2、已知点P （212a -，1a -）位于第三象限，点Q （x ，y ）位于第二象限且是由点P 向上平移一定单位长度得到的．（1）若点P 的纵坐标为3-，试求出a 的值；（2）在（1）题的条件下，若Q 点到x 轴的距离为1，试求出符合条件的点Q 的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点M ，使三角形MPQ 的面积为10，若不存在，请说明理由；若存在，请求出M 点的坐标；（4）若点P 的横、纵坐标都是整数，试求出a 的值以及线段PQ 长度的取值范围．3、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立如图所示的平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，且坐标分别为：A （3，3）、B （－1，1）、C （4，1）．依据所给信息，解决下列问题：（1）请你画出将ABC 向右平移3个单位后得到对应的111A B C △；（2）再请你画出将111A B C △沿x 轴翻折后得到的222A B C △；（3）若连接12A A 、12B B ，请你直接写出四边形1221A A B B 的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()3,5A -、()2,1B -、()1,3C -．（1）画出将ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；（2）写出点1A 、1B 、1C 的坐标．5、如图，三角形ABC 的项点坐标分别为()0,1A ，()3,3B ，()1,3C ．（1）画出三角形ABC 关于点O 的中心对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出三角形ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的222A B C △，并写出点2C 的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据旋转的性质，可得140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ，从而得到11ABB AB B ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，∴140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ， ∴()1111180702ABB AB B BAB ∠=∠=︒-∠=︒． 故选：C【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．2、D【分析】根据点A 的坐标和点A '的坐标确定平移规律，即可求出点P (a ，b )平移后的对应点P '的坐标．【详解】解：∵△A ′B ′O ′是由△ABO 平移得到的，点A 的坐标为(-1，2)，它的对应点A ′的坐标为(3，4)，∴△ABO 平移的规律是：先向右移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，∴△ABO内任意点P(a，b)平移后的对应点P′的坐标为(a+4，b+2)．故选：D．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．点向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；点向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．3、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．4、D【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形，∵正六边形的中心角为60°，∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．故选：D ．【点睛】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质．5、A【分析】根据旋转的性质求解80,BOD AOC 110,C A 再利用三角形的内角和定理求解1801104030,COD 再利用角的和差关系可得答案.【详解】 解： 将△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，80,BOD AOC∠A 的度数为110°，∠D 的度数为40°，110,1801104030,C A COD 803050,AOD 故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.6、B【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、D【分析】由题意根据△ABC绕顶点C逆时针选择角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．∠A=26°，∠BCA′=44°，可以求得∠CBB′和∠CB′B的度数，然后根据三角形内角和即可得到∠BCB′的度数，从而可以得到α的度数．【详解】解：∵△ABC绕顶点C逆时针选择角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，∠A=26°，∠BCA′=44°，∴∠A=∠A′=26°，CB=CB′，∴∠CBB′=∠A′+∠BCA′=70°，∵CB=CB′，∴∠CBB′=∠CB′B，∴∠CB′B=70°，∴∠BCB′=180°-70°-70°=40°.即α等于40°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的旋转问题和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．8、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．9、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A、不是中心对称图形，不符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．10、C【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．二、填空题1、120°【分析】过点D作DF∥AC交BC延长线于点F，根据等边三角形的性质，利用SAS证明△EDB≌△PDF即可求解．【详解】解：过点D作DF∥AC交BC延长线于点F，如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠BAC=∠BDF=∠BCA=∠F=60°，∴△DBF是等边三角形，∴DB=DF，∵将线段PD绕点P逆时针旋转60°得线段PE，∴△PDE是等边三角形，∴DE=DP，∠EDP=60°，∴∠EDB+∠BDP=∠PDF+∠BDP=60°，∴∠EDB=∠PDF，∴△EDB≌△PDF（SAS），∴∠EBD=∠F=60°，∴∠CBE=∠ABC+∠EBD=120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．2、C【分析】根据平行四边形是中心对称图形和中心对称图形的性质解答．【详解】如图所示：因为平行四边形是中心对称图形，所以点A关于对角线的交点O的对称点是点C．故答案为：C【点睛】考查了中心对称图形的性质，解题关键是熟记中心对称图形的性质．3、1个【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可．【详解】解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，故答案为：1个．【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键．4、②⑤⑥【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；②正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；③等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；④等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．⑤圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．⑥正八边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故答案为：② ⑤ ⑥．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 5、25【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A =25°，然后根据平移的性质得到A B AB ''∥，则=25AB A A ''=∠∠．【详解】解：∵∠B =55°，∠C =100°，∴∠A =180°－∠B －∠C =25°，由平移的性质可得A B AB ''∥，∴=25AB A A ''=∠∠，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．三、解答题1、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3 【分析】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得CD AB BE+的值 【详解】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒30DBE DEB ∴∠=∠=︒ ABC 是等边三角形60,ABC AB AC ∴∠=︒=，112AH AB ==CH ∴=30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒BD AC ∴⊥，112AD DC AB ===BD ∴=60BAC ∠=︒120EAD ∴∠=︒18030ADE EAD AED ∴∠=︒-∠-∠=︒ AED ADE ∴∠=∠1AE AD ∴==在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，点F是CE的中点∴=FE FC又FK DF=∴四边形CDFK是平行四边形∥∴=，ED KCED KC∴EDA KCA∠=∠将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，∴=∠=︒BD DE BDE,120∴=BD KCABC是等边三角形∴=AB AC∥PD BC∠=∠，60∴∠=∠=︒，CBD PDBAPD ABC∴是等边三角形APDAD AP ∴=AB AC =DC PB ∴=设CBD α∠=，则PDB α∠=,∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+ ()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒- ED KC ∥60ACK ADE α∴∠=∠=︒-ABD ACK ∴∠=∠∴ABD ACK ≌AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒ AKD ∴是等边三角形DF FK =1302FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12DF AD ∴= 即2AD DF =（3） 如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，90GMD GFD ∴∠=∠=︒,,,B M D F ∴四点共圆FGD FMD ∴∠=∠由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒60ADF ∴∠=︒FG FD =45FDG FGD ∴∠=∠=︒45FGD FMD ∠=∠=︒将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒12MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，MF ∴是EBC 的中位线MF BC ∴∥45EBC EMF ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒NBD ∴是等腰直角三角形ND NB ∴=60BAC ∠=︒90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒90,AFD DN AB ∠=︒⊥∴四边形ANDF 是矩形ND AF ∴=，AN DF =设1AN DF ==在Rt ADE △中，22AD DF ==AF ∴1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=121DC AC AD AB AD ∴=-=-==在Rt NBD 中,ND NB AF ===BD ∴==在Rt MBD 中MB ==2BE BM ∴==22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)211=+=CD AB BE +=∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．2、（1）4a =；（2）Q （4-，1）；（3）1M （1，0），2M （9-，0）；（4）12a =；23a =；34a =；45a =．14PQ ≤≤．【分析】（1）点P 的纵坐标为-3，即1-a =-3，解可得a 的值；（2）点到x 轴的距离为1，即点的纵坐标为1，据此求解即可；（3）根据三角形面积公式列式求解即可；（3）根据点P （2a -10，1-a ）位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，列得不等式组，求其整数解可得a 的值以及线段PQ 长度的取值范围．【详解】解：（1）∵点P 的纵坐标为3-．∴13a -=-，∴4a =；（2）∵4a =，∴21224124a -=⨯-=-，∵Q 点是由P 点向上平移到二象限的点，∴4x =-，∵Q 点到x 轴的距离为1，∴Q 点的坐标为Q （4-，1）；（3）∵PQ 的长为：1(3)4--=，设M 点的坐标为（m ，0），∵三角形MPQ 的面积为10． ∴144102m ⨯--=，即45m --=，∴45m --=±，∴11m =，29m =-． ∴M 点的坐标为：1M （1，0），2M （9-，0）；（4）∵P 点在第三象限，∴212010a a -⎧⎨-⎩＜＜， ∴16a ＜＜，∵a 为整数，∴a 的值为：12a =；23a =；34a =；45a =．∵PQ ＝(1)1y a y a --=+-，而25a ≤≤的整数∴14PQ ≤≤．【点睛】本题考查了图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3、（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用关于x 轴对称的点的坐标找出A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可；（3）运用割补法求解即可【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所作；（2）如图，222A B C △即为所作；（3）四边形1221A A B B 的面积=1(26)42⨯+⨯=16【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换和四边形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．4、（1）见解析；（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【分析】（1）直接利用关于点O 对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点，即可；（2）根据对应点位置直接写出坐标，即可．【详解】解：（1）如图所示，（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【点睛】本题考查了利用中心对称变换在坐标系中作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．5、（1）图见解析，()13,3B --；（2）图见解析，()23,1C -【分析】（1）写出()0,1A ，()3,3B ，()1,3C 关于原点对称的点()10,1A -，()13,3B --，()11,3C --，连接即可；（2）连接OC ，OB ，根据旋转的90°可得2OC OC ⊥，2OB OB ⊥，2OA OA ⊥，2OC OC =，2OB OB =，2OA OA =即可；【详解】（1）()0,1A ，()3,3B ，()1,3C 关于原点对称的点()10,1A -，()13,3B --，()11,3C --，作图如下；（2）连接OC ，OB ，根据旋转的90°可得2OC OC ⊥，2OB OB ⊥，2OA OA ⊥，2OC OC =，2OB OB =，2OA OA =，其中点C 2的坐标是（3，-1），作图如下：【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的旋转，作关于原点对称的图形，准确分析作图是解题的关键．。
北师大版八年级下册数学3.2图形旋转(有关旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角)(含解析)
找出旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角一、选择题1、如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B点按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于( )A .120°B .90°C .60°D .30°2、如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P 的坐标为（）A．（0，1）B．（1，-1）C．（0，-1）D．（1，0）3、在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△，则其旋转中心可能是( )A .点AB .点BC .点CD .点D4、如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )A .（1，1）B .（1，2）C .（1，3）D .（1，4）5、在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6、如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°7、如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q8、如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A .30°B .45°C .90°D .135°二、填空题9、如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1= __________ ．10、分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是__________度．11、如图所示，两个全等的正方形ABCD与CDEF，旋转正方形ABCD能和正方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有__________个．三、解答题12、在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．13、如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=4，点D的坐标是（5，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为 __________ ．14、如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，EF=DG=1，DF=2．（1）AE= __________ ，正方形ABCD的边长= __________ ；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上．①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．15、如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 __________ ．16、如图是两个等边三角形拼成的四边形．（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．17、如图1，△ABC为边长为6的等边三角形，点D为AB边上的点，且AD=2BD；过D作DE∥BC交AC边于E；AH⊥BC于H，AH交于DE于点O．（1）求梯形BDEC的面积；（2）将图1中的△ADE以每秒1个单位长度的速度沿直线AH从上往下平移，直到点A与点H重合为止，设运动时间为t秒，△ADE与四边形BDEC重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系，并写出相应的t的取值范围；（3）将图1中的△ADE沿直线DE向下翻折得△A′DE，连接CO：将△A′DE绕点O旋转，设直线A′O与直线BC相交于点P．问：是否存在这样的时刻，使得△CPO为等腰三角形？若存在，直接写出△A′DE绕点O旋转的方向（顺时针或逆时针）以及对应的旋转角度α的大小（0°＜α＜180°）；若不存在，请说明理由．找出旋转图形的旋转方向、旋转中心、旋转角的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：利用旋转的性质计算．解：∵∠ABC=60°，∴旋转角∠CB=180°-60°=120°．∴这个旋转角度等于120°．故选：A．2、答案：B试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．试题解析：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心．故旋转中心坐标是P（1，-1）．故选B．3、答案：B试题分析：连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△，∴连接、、，作的垂直平分线过B、D、C，作的垂直平分线过B、A，作的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．4、答案：B试题分析：先根据旋转的性质得到点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AA′的垂直平分线，也在线段BB′的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心。
北师大版八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转 单元复习题 (含答案)
北师版八年级数学下册图形的平移与旋转单元复习题（含答案）一、选择题1．(2019·河南期末)观察下面图案，在(A)(B)(C)(D)四幅图案中，能通过图案(1)平移得到的是(C)A B C D2．(2019·南阳唐河县期末)如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是(D)A．BC∥EF B．AD＝BE C．BE∥CF D．AC＝EF 3．(2019·驻马店平舆县期末)如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正确的平移方式是(A)A．向右平移4格，再向下平移4格B．向右平移6格，再向下平移5格C．向右平移4格，再向下平移3格D．向右平移5格，再向下平移3格4．(2019·郑州新密市期中)下列四幅图片，是中心对称图形的是(B)A B C D5．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1 B．O2 C．O3 D．O46．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C) A．30°B．60°C．72°D．90°7．(2019·驻马店确山县期末)把点A(3，－4)先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(D)A．(0，－8) B．(6，－8) C．(－6，0)D．(0，0)8．(2019·邓州市期末)如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝(D)A．78°B．132°C．118°D．112°9．(2019·南阳社旗县一模)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C)A B C D二、填空题10．(2018·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个相同的格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠部分，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．12如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A113．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．14．(2018·株洲)如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．15．(2019·新疆)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为三、解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°.若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.17.(2019·宁夏)已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．18．(2019·邓州市期末)取一副三角板按图1拼接，其中∠ACD＝30°，∠ACB＝45°.(1)如图2，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度(0°＜α＜180°)得到△ABC′，猜想当∠CAC′为多少度时，能使CD∥BC′？并说明理由．解：(1)AB∥CD.理由如下：∵∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，∴∠BAC＝∠C＝30°.∴AB∥CD.(2)当∠CAC′＝75°时，能使CD∥BC′.理由如下：延长BA交CD于点E.∵∠BAC′＝45°，∴∠BAC＝75°＋45°＝120°.又∵∠BAC＝∠AEC＋∠ACD，∴∠AEC＝120°－30°＝90°.又∵∠B＝90°，∴∠B＋∠AEC＝90°＋90°＝180°.∴CD∥BC′.。
北师大版八年级数学下册《第三章图形的平移与旋转》单元检测题-附答案
北师大版八年级数学下册《第三章图形的平移与旋转》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如左图是新疆维吾尔自治区第十四届运动会的会徽．平移此会徽中的图形，可以得到的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，将点A(3,−2)向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（）A．(−1,−2)B．(7,−2)C．(3,−6)D．(3,2)4．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为（）A．14cm B．17cm C．20cm D．23cm5．在平面直角坐标系中，以原点为中心，若将点Q(4,5)按逆时针方向旋转90°得到点P，则P的坐标是（）A．(−5,4)B．(−4,−5)C．(−5,−4)D．(5,−4)6．如图，在△ABD中∠BAD=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，此时点C恰好落在BD边上．若∠BAC=48°，则∠E的度数为（）A．20°B．24°C．28°D．32°7．如图，△ABC的边BC长为5cm．将△ABC向上平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为（）A．50cm2B．25cm2C．20cm2D．10cm28．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上．将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A(3,0)，B(0,4)，点B2024的坐标为（）A．(12132,0)B．(12144,4)C．(12140,4)D．(12152,0)二、填空题9．在平面直角坐标系中，已知点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，a+b=．10．为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为600m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．11．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置AB=9，DO=4阴影部分面积为35，则平移距离为．12．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(1,2),B(2,0)，将线段AB平移后得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C(3,a),D(b,1)，则a−b的值为．13．如图，将△ABC沿BA方向平移得到△DEF．若DB=15，AE=2则平移的距离为．14．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=4，BC=5将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△ADE，延长BC交ED于点F．若∠EAB=90°，则线段EF的长为．15．如图，在△ABC，∠C=90°，将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上，连接BB′，若∠BB′C′=35°，则∠BAC=°．16．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(2,4),B(0,1),C(0,4)，将△ABC绕某一点旋转可得到△A′B′C′,△A′B′C′的三个顶点都在格点上，则旋转中心的坐标是．三、解答题17．如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．(1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；(2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．18．如图，在△ABC中∠B=40°，∠BAC=80°将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE．(1)求∠E的度数；(2)当AB∥DE时，求∠DAC的度数．19．如图，在12×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图：(1)画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1B1C1；(2)画出将△ABC以点O为旋转中心、顺时针旋转90°后的△A2C2B2(3)△A1B1C1与△A2C2B2是否成轴对称？若是，请画出对称轴．20．如图，在△ABC中∠BAC=80°，三个内角的平分线交于点O．(1)∠BOC的度数为________．(2)过点O作OD⊥OB交BC于点D．①探究∠ODC与∠AOC之间的数量关系，并说明理由；②若∠ACB=60°，将△BOD绕点O顺时针旋转α得到△B′OD′(0°<α<90°)，当B′D′所在直线与OC平行时，求α的值．21．如图，在平面直角坐标系中，已知A(−1,0),B(3,0),M为第三象限内一点．(1)若点M(2−a,2a−10)到两坐标轴的距离相等．①求点M的坐标；②若MN∥AB且MN=AB，求点N的坐标．(2)若点M为(n,n)，连接AM,BM．请用含n的式子表示三角形AMB的面积；(3)在（2）的条件下，将三角形AMB沿x轴方向向右平移得到三角形DEF（点A，M的对应点分别为点D，E），若三角形AMB的周长为m，四边形AMEF的周长为m+4，求点E的坐标（用含n的式子表示）．22．如图，在锐角△ABC中∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，K为射线CD上一点CK=BE．①求证：BD=BK；②求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．参考答案1．解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是B．故选：B2．解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．3．解：将点A(3,−2)向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是(3+4,−2)，即(7,−2)故选：B．4．解：由平移的性质得：AD=BE=CF=3cm，AC=DF∵△ABC的周长为14cm∵AB+BC+AC=14cm∵四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=14+3+3=20cm．故选：C．5．解：如图，过点Q作QM⊥x轴，过点P作PN⊥x轴∴∠PNO=∠QMO=90°∵Q(4,5)∴OM=4由旋转的性质可知OQ=OP，∠POQ=90°∴∠PON+∠QOM=90°∵∠PON+∠OPN=90°∴∠OPN=∠QOM∴△PON≌△OQM(AAS)∴ON=QM=5，PN=OM=4∵点P在第二象限∴点P的坐标是(−5,4)故选：A．6．解：∵△ABD旋转得到△ACE∵AB=AC，∠ABC=∠ACE，∠E=∠D∵∠BAC=48°∴∠ABD=∠ACD=180°−∠BAC=66°2∵∠BAD =90°∵∠D =180°−∠ABC −∠BAD =24°∵∠E =∠D =24°．故选：B ．7．解：三角形ABC 的边BC 的长为5cm ．将三角形ABC 向上平移2cm 得到三角形A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC 则：S △ABC =S △A ′B ′C ′，四边形BCC ′B ′是长方形，BB ′=2∵S 阴影=S △A ′B ′C ′+S 长方形BB ′C ′C −S △ABC =S 长方形BB ′C ′C =BC ×BB ′=5×2=10(cm 2)故选D ．8．解：∵点A(3，0)，B(0，4)∵OA =3，OB =4∵AB =√32+42= 5∵OA +AB 1+B 1C 2=3+5+4=12观察图象可知B 、B 2、B 4…每偶数之间的B 的横坐标相差12个单位长度，点B 2n 的纵坐标为4∵2024÷2=1012∵点B 2024的横坐标为1012×12=12144，点B 2024的纵坐标为4∵点B 2024的坐标为(12144,4)．故选：B ．9．解：依题意可得：{2a −b =−(−2)a +3b =−(−8)∴{a =2b =2∴a +b =2+2=4故答案为：4．10．解：由平移的性质得，小桥总长=长方形周长的一半∵600÷2=300m∵小桥总长为300m ．故答案为：300．11．解：∵Rt △ABC ，沿着点B 到C 点的方向平移到△DEF 的位置∵△ABC≌△DEF∵AB =DE ，S △ABC =S △DEF∵S阴影=S梯形ABEO=35∵AB=9，DO=4∵OE=DE−OH=9−4=5∵12(5+9)×BE=35解得：BE=5，即为平移的距离；故答案为：5．12．解：由题意得，线段AB向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段CD∴2+2=b，2+1=a∴a=3，b=4∴a−b=3−4=−1故答案为：−1．13．解：平移的性质可得：AD=BE又∵DB=15，AE=2∵AD=BE=DB−AE2=6.5即平移的距离为6.5故答案为：6.5．14．解：连接AF∵∠ACB=90°，AC=4，BC=5∵AB=√42+52=√41由旋转的性质得AE=AC，∠E=∠ACB=90°∵∠E=∠ACF=90°∵AF=AF∵Rt△AFE≌Rt△AFC(HL)∵EF=FC，∠EFA=∠CFA∵∠EAB=90°∵DE∥AB∵∠EFA=∠FAB∵∠BFA=∠FAB∵BF=AB=√41∵EF=FC=BF−BC=√41−5故答案为：√41−5．15．解：∵将Rt△ABC绕顶点A顺时针旋转一定角度得到Rt△AB′C′，此时点C的对应点C′恰好落在AB边上∵AB=AB′，∠BC′B′=90°，∠B′AC′=∠BAC∵∠ABB′=∠AB′B而∠BB′C′=35°∵∠ABB′=90°−35°=55°∵∠B′AC′=∠BAC=180°−55°×2=70°．故答案为：70．16．解：如图所示：连接AA′，BB′，然后作AA′，BB′的垂直平分线，这两条垂直平分线交于一点，记为点P，为旋转中心，此时旋转中心的坐标是(−1，0)故答案为：(−1，0)17．解：（1）所求图形，如图所示．（2）所求图形，如图所示．18．（1）解：由旋转可得：∠E=∠C．∵∠B=40°，∠BAC=80°∵∠C=180°−∠B−∠BAC=60°∵∠E=60°．（2）如图1，当DE在AB下方时．由旋转可得：∠D=∠B=40°．∵AB∥DE∵∠BAD=∠D=40°∵∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−40°=40°．如图2，当DE在AB上方时．∵AB∥DE∵∠BAD+∠D=180°∵∠BAD=180°−∠D=180°−40°=140°∵∠DAC=360°−∠BAC−∠BAD=360°−80°−140°=140°．综上所述，∠DAC的度数为40°或140°．19．（1）解：如图,∴△A1B1C1为所求画的三角形；（2）解：如图∴△A2C2B2为所求画的三角形；（3）解：成轴对称，如图∴直线OD为所求画的对称轴．20．（1）解：∵三个内角的平分线交于点O，(∠ABC+∠ACB)∵∠OBC+∠OCB=12∵∠BAC=80°∵∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=100°∵∠OBC+∠OCB=50°∵∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−50°=130°故答案为：130°；（2）解：①∠ODC=∠AOC，理由如下：∵三个内角的平分线交于点O，(∠BAC+∠ACB)∵∠OAC+∠OCA=12∵∠BAC+∠ACB=180°−∠ABC∵∠OAC+∠OCA=12(180°−∠ABC)=90°−12∠ABC∵∠AOC=180°−(∠OAC+∠OCA)=180°−(90∘−12∠ABC)=90°+12∠ABC∵OD⊥OB∵∠BOD=90°∵∠ODC=∠BOD+∠OBD=90°+12∠ABC∵∠ODC=∠AOC；②如图∵OC平分∠ACB，∠ACB=60°∵∠OCD=12∠ACB=30°由（1）知∠BOC=130°∵∠BOD=90°∵∠COD=40°∵∠BDO=∠COD+∠OCD=70°由旋转性质可知：∠BDO=∠B′D′O=70°∵B′D′∥OC∵∠COD′=∠B′D′O=70°∵∠DOD′=∠COD′−∠COD=30°，即此时旋转角度α=30°∵α的值为30°．21．（1）解：①∵M(2−a,2a−10)到两坐标轴的距离相等，且在第三象限∵−(2−a)=−(2a−10)∵a=4∵M(−2,−2)；②∵A A(−1,0),B(3,0)∵AB=4∵MN∥AB，MN=AB，M(−2，−2)∵N(−6,−2)或(2,−2)；（2）解：∵M(n,n)在第三象限∵n<0∵三角形AMB的面积为12×4×(−n)=−2n；（3）解：∵△AMB沿x轴方向向右平移得到△DEF ∵BM=EF，AD=ME=BF．∵△AMB的周长为m∵AM+MB+AB=m．∵四边形AMEF的周长为m+4∵AM+ME+EF+AF=m+4，即2ME=4∵解得ME=2∵点E的坐标为(n+2,n)．22．（1）解：①证明：在△BCE与△CBK中{BE=CK ∠BCK=∠CBE BC=CB∵△BCE≌△CBK(SAS)∵CE=BK∵BD=CE∵BD=BK；②由①知：BD=BK，∵∠BKD=∠BDK∵△BCE≌△CBK(SAS)∵∠BKC=∠CEB∵∠BDK=∠CEB∵∠BDK=∠ADC∴∠ADC=∠CEB∵∠CEB+∠AEF=180°∴∠ADF+∠AEF=180°∴∠A+∠EFD=180°∵∠A=60°∴∠EFD=120°∴∠CFE=180°−∠EFD=180°−120°=60°；（2）解：结论：BF+CF=2CN．理由：如图2中∵AB=AC，∠A=60°∴△ABC是等边三角形∴AB=CB=AC，∠A=∠CBD=∠ACB=60°∵AE=BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠BCF=∠ABE∴∠FBC+∠BCF=60°∴∠BFC=120°∵∠BFD=60°由旋转可得：AC=CM∵BC=CM，∠BCM=∠ACB+∠ACM=120°如图2中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ∴△CNM≌△QNF(SAS)∴CM=QF，∠MCN=∠NQF∴CM=BC延长CF到P，使得PF=BF∵PF=BF∵△PBF是等边三角形∵∠BPC=60°∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°∴∠FCM=∠PBC∵∠PFQ=∠FCQ+∠CQF=∠FCQ+∠MCN=∠FCM∵∠PFQ=∠PBC∵PB=PF∴△PFQ≌△PBC(SAS)∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°∴△PCQ是等边三角形∴BF+CF=PC=QC=2CN．。
第三章图形的旋转综合训练练习 2023—2024学年北师大版数学八年级下册
第三章图形的旋转综合训练练习北师大版2023—2024学年八年级下册一、选择题1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A ．B．C ．D ．2.如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°到△OCD 的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD ＝（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°3．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°4．如图，在平面直角坐标系中，将点P （2，3）绕原点O 顺时针旋转90°得到点P '，则P '的坐标为（）A ．（3，2）B ．（3，﹣1）C ．（2，﹣3）D ．（3，﹣2）5．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.66.若点P （m ﹣1，5）与点Q m +n 的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．77．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC 的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接AA ′，若∠1＝25°，则∠BAA ′的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转31°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠DOB 的度数是（）A ．34°B ．36°C ．38°D ．40°10.如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC 上一点，DE ＝1，将△ADE 绕着点A 顺时针旋转到与△ABF 重合，则EF ＝（）A ．B ．C ．5D ．2第2题第4题第5题11．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A ′与A 对应，则角α的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．C ．3﹣D ．3﹣二、填空13．如图，在直角坐标系中，已知点A （3，2），将△ABO 绕点O 逆时针方向旋转180°后得到△CDO ，则点C的坐标是．14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转150°，得到△ADE ，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则∠B 的度数为．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE ＝EF ，则AB 的长为．16．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB ＝3，则BE ＝．17．如图，在△OAB 中，∠AOB ＝55°，将△OAB 在平面内绕点O 顺时针旋转到△OA 'B ’的位置，使得BB ′∥AO ，则旋转角的度数为．18．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，则AE 的长是．19．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，若∠EBF ＝45°，则△EDF 的周长等于．第7题第8题第9题第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第17题第18题20．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC ＝10，BD ＝9，则△AED的周长是．三、解答题21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1,1），B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。
2020-2021学年北师大版八年级下册数学 3.2图形的旋转 同步测试
3.2图形的旋转同步测试一．选择题1．下列说法中，正确的是（）A．旋转改变图形的形状B．旋转不改变图形的大小C．图形可以向某方向旋转一定距离D．由旋转得到的图形也一定可由平移得到2．△ABC绕着A点旋转后得到△AB′C′，若∠BAC′＝130°，∠BAC＝80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或150°或210°或310°D．130°3．如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．2164．如图，∠ACB＝90°，∠A＝30°，△A′CB′可以看作是由△ACB绕点C顺时针旋转α角度得到的，点D为AB边中点，若点D在A′C上，则旋转角α的大小可以是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△A′B′C′的位置，则∠CC′B′＝（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）A．5B．6C．7D．97．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（）A．149°B．69°C．62°D．31°8．如图，在△ABC中AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α°，得到△A′BC′，使得A′C′∥AB．设A′B交AC于点E，A′C′分别交AC，BC于点D，F，则在下列结论中正确的有（）①∠A＝α°；②DF＝FC；③AE＝C′F；④A′D＝CDA．①②B．③④C．①②④D．①②③④9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD＝2，则△ABC的周长等于（）A．6+2B．4+2C．12+D．6+10．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到P3…；按此规律继续旋转，直到点P2017为止，则AP2017等于（）A．2016+672B．2017+672C．2018+672D．2019+672二．填空题11．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C，若∠A＝45°．∠B′＝110°，则∠ACB的度数是．12．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A ＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝度．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为．14．△ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为．15．如图，等边三角形ABC内有一点D，连接BD、CD，将△BDC绕点B旋转至△BEA位置，若∠AEC＝50°，则∠DCE＝°．三．解答题16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）△ABC绕着点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1．请画出△A1BC1．（2）求线段BC旋转过程中所扫过的面积．17．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE连接CD、BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝35°，BC＝7．线段AD由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠DAE的大小；（2）求DE的长．参考答案一．选择题1．解：A、旋转不改变图形的形状，故本选项错误；B、旋转不改变图形的大小，故本选项正确；C、图形不可以向某方向旋转一定距离，故本选项错误；D、由旋转得到的图形不能可由平移得到，故本选项错误．故选：B．2．解：∵∠BAC′＝130°，∠BAC＝80°，∴如图1，∠CAC′＝∠BAC′﹣∠BAC＝50°，如图2，∠CAC′＝∠BAC′+∠BAC＝210°．∴旋转角等于50°或210°．同法也可以逆时针旋转310°或150°得到，故选：C．3．解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．4．解：∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴旋转角30°，故选：B．5．解：∵在△ABC中，∠CAB＝70°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AB′C′，∴∠CAC′＝40°，∠AC′B′＝∠ACB＝80°，AC＝AC′，∴∠AC′C＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠CC′B′＝∠AC′B′﹣∠AC′C＝10°，故选：A．6．解：如图，∵AC＝10，AO＝3，∴OC＝7，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，∴OD＝OP，∠POD＝60°，∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠1+∠3+∠POD＝180°，∴∠1+∠2＝120°，∠1+∠3＝120°，∴∠2＝∠3，在△AOP和△CDO中∵，∴△AOP≌△CDO，∴AP＝CO＝7．故选：C．7．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝59°，∵CA＝CA′，∴∠A＝∠CA′A＝59°，∴α＝∠ACA′＝180°﹣2×59°＝62°，故选：C．8．解：∵A1C1∥AB，∴∠A1＝∠ABA1＝α，∵∠A＝∠A1，∴∠A＝α，故①正确，∵A1C1∥AB，∴∠CDF＝∠A，∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠FDC＝∠C，∴FD＝FC，故②正确，∵∠A＝∠EBA＝∠C′＝∠C′BF，AB＝C′B，∴△ABE≌△C′BF（ASA），∴AE＝C′F，故③正确，∵∠A′BF＝∠CBE，∠A′＝∠C，BA′＝BC，∴△A′BF≌△CBE（ASA），∴A′F＝CE，BF＝BE，∴A′E＝CF，∵∠A′＝∠C，∠A′DE＝∠CDF，∴△A′DE≌△CDF（AAS），∴A′D＝CD，故④正确，故选：D．9．解：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∵∠BAB1＝15°，∴∠B1AD＝45°，∴△AB1D是等腰直角三角形，∵AD＝2，∴AB1＝DB1＝2，∴AB＝AB1＝2，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∴△ABC的周长＝2+4+2＝6+2，故选：A．10．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2，BC＝，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2++1＝3+；又∵2017÷3＝672…1，∴AP2017＝672（3+）+2＝2018+672．故选：C．二．填空题11．解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转一定角度后得到△A′B′C′，∴∠B＝∠B′＝110°，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故答案为：25°．12．解：∵∠A＝25°，∠BCA′＝45°，∴∠BCA′+∠A′＝∠B′BC＝45°+25°＝70°，∵CB＝CB′，∴∠BB′C＝∠B′BC＝70°，∴∠B′CB＝40°，∴∠ACA′＝40°，∵∠A＝∠A′，∠A′DB＝∠ADC，∴∠ACA′＝∠A′BA＝40°．故答案为：40．13．解：连接CN．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵NB′＝NA′，∴CN＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，∴MN≤CN+CM＝3，∴MN的最大值为3，故答案为3．14．解：如图，连接EC，作CH⊥AB于H．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠P AE＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠EAC，∵P A＝EQ，BA＝CA，∴△P AB≌△EAC（SAS），∴∠ABP＝∠ACE，∵∠ABP＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACE＝120°，∴∠BCE＝120°﹣60°＝60°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB，∴点E的运动轨迹是直线CE（CE∥AB），∵CB＝CA＝AB＝2，CH⊥AB，∴BH＝AH＝1，∴CH＝＝＝，根据垂线段最短，可知OE的最小值＝CH＝，故答案为．15．解：∵将△BDC绕点B旋转至△BEA位置，∴∠EAB＝∠BCD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝60°﹣∠BCD，在△AEC中，∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAC＝180°﹣50°﹣60°﹣∠BAE＝70°﹣∠BCD，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝10°，故答案为：10．三．解答题16．解：（1）如图，△A1BC1为所作；（2）BC＝＝4，线段BC旋转过程中所扫过的面积＝＝8π．17．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC；（2）如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝115°．∴∠BED＝55°．18．解：（1）∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，∴∠EAC+∠C＝180°，又：∠C＝90°，∴∠EAC＝90°，又线段AD是由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，即∠DAC＝125°，∴∠DAE＝35°；（2）∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，EF∥AB，∴∠AED＝∠F＝∠ABC，又∵∠DAE＝∠BAC＝35°，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB（AAS），∴DE＝BC＝7．。
第三章第02讲 图形的旋转(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级下册
第02讲图形的旋转(8类热点题型讲练)1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；(重点，难点)3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．知识点01旋转的概念（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.（2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.知识点02旋转的性质旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点03确定旋转中心确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.知识点04旋转作图旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.题型01判断生活中的旋转现象【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列运动形式属于旋转的是（）A ．足球在地上的滚动B ．电梯的运行C ．热气球点火升空D ．钟摆的摆动【变式训练】1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）下列现象属于旋转的是（）A ．电梯的上下移动B ．飞机起飞后冲向空中的过程C ．幸运大转盘转动的过程D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）下列生活中的实例是旋转的是（）A ．钟表的指针的转动B ．汽车在笔直的公路上行驶C ．传送带上，瓶装饮料的移动D ．足球飞入球网中题型02找旋转中心、旋转角、对应点【例题】（2023上·天津东丽·九年级校联考期中）如图，P 为正方形ABCD 内一点，1PC ，CDP △将绕点C 逆时针旋转得到CBE △，(1)旋转中心是______．旋转角为______度．(2)求PE 的长度．【变式训练】1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 上的一点，ABF △是ADE V 的旋转图形．(1)由ADE V 顺时针旋转到△(2)连接EF ，判断并说明AEF △2．（2023上·湖南永州·八年级校考开学考试）(1)旋转中心为点，并求出旋转角=度；(2)求出BAE ∠的度数和AE 的长．题型03根据旋转的性质求解【变式训练】1．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，将若AD BE ，则CAE ∠的度数为2．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）∠与AC交于点G．若B题型04求绕原点旋转90°点的坐标【例题】（2023上·江苏苏州点B，则点B的坐标为2．（2023下·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）点B到x轴的距离是8，将题型05求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标【例题】（2023上·全国·将AC绕A点顺时针旋转【变式训练】2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点点A 按逆时针方向旋转90︒得到线段题型06平面直角坐标系中旋转作图【例题】（2024上·吉林松原·九年级校联考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平而直角坐标系，OAB 的顶点都在格点上，已知点()4,2A --，()2,6B --．(1)将OAB 向右平移4个单位长度得到111O A B △，请画出111O A B △；(2)将OAB 绕点O 顺时针旋转90︒，画出所得的22OA B △．【变式训练】1．（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点()5,5A ，()6,3B ，()2,1C 均在格点上，(1)画出将ABC 向下平移4个单位长度得到的111A B C △；(2)画出ABC 绕点C 逆时针旋转90︒后得到的22A B C ，并写出点2A 的坐标；2．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1，ABC 是格点三角形．(1)画出将ABC 向右平移2个单位得到的111A B C △；(2)画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90︒得到的222A B C △，并写出点2B 的坐标．题型07坐标与旋转规律问题【变式训练】1．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将11AB C △的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C V 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点()()B 2．（2023下.广西.七年级广西大学附属中学校考期中）如图，已知点向连续翻转241次，点A 依次落在点1A ，2A ，3A ， (241)题型08旋转综合题——几何变换【例题】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在ABC 中，,BAC AB AC α∠==，点D 为BC 边上一点（不与点B 重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACE △．(1)若80α=︒，写出旋转角及其度数；(2)当α度数变化时，DAE ∠与DCE ∠之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．【变式训练】(1)将ADE V 绕A 点旋转到图2位置时，写出BD 、CE 的数量关系；(2)当90BAC ∠=︒时，将ADE V 绕A 点旋转到图3位置．①猜想BD 与CE 有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C 、D 、E 在同一直线上时，直接写出ADB ∠的度数．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD (2)【探究】：把DCE △绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，(3)【拓展】：把DCE △绕点C 在平面内自由旋转，若6AC =，CE 时，直接写出BE 的长．一、单选题1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（）A ．可回收物B ．有害垃圾C ．厨余垃圾D ．其他垃圾2．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）如图，OAB 绕点O 逆时针旋转70︒，得到OCD ，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（）A ．85︒B ．70︒C ．55︒D ．45︒3．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）如图，将一块含有30︒的直角三角板ABC （假定90C ∠=︒，30B ∠=︒）绕顶点A 逆时针旋转100︒得到AB C ''△，则BB C ''∠等于（）A ．5︒B ．10︒C ．15︒D ．20︒4．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90︒，得到线段A B ''，那么()2,5A -的对应点A '的坐标是（）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()5,2D ．()2,55．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，20CAB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC 绕A 点逆时针旋转50︒得到AB C ''△，以下结论：①BC B C ''=，②AC C B '' ，③C B BB '''⊥，④ABB ACC ''∠=∠，正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、填空题7．（2023上·安徽淮南·九年级统考期末）如图将为(,)a b ，则A 的坐标为．8．（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将点B '恰在边AC 上，若2AB =9．（2024上·天津宁河·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点针旋转，得11A BO △，点A O ，为，点1A 的坐标为10．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）如图，D 为AB 的中点，点E 在是直角三角形时，AE '的长为三、解答题(1)将ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转(2)求111A B C △的面积．12．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）点B 顺时针旋转90°到CBE '△的位置（(1)判断BEE ' 的形状为(2)若2AE =，4BE =，13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，延长ED 交AB 于点F ．(1)直接写出AFE ∠的度数；(2)若67.5A Ð=°，求证：2DE AF =．14．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，将一个钝角ABC （其中120ABC ∠=︒）绕点B 顺时针旋转得111A B C △，使得C 点落在AB 的延长线上的点1C 处，连接1AA ．(1)求证：1AA BC ∥；(2)若120A AC ∠=︒，求11AA C ∠的度数．15．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）如图，在ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF 、EF 与AC 交于点G ．(1)求证：BC EF =；(2)若64ABC ∠=︒，25ACB ∠=︒，求AGE ∠的度数．16．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，旋转角为α，CD ，DE 分别交AB 于点F ，G ，连接BD ．(1)求证：AGD α∠=；(2)若2BC =，30a =︒，BD AC ∥．①求AB 的长；②连接AD ，BE ，AE ，求四边形ADBE 的面积．17．（2024上·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知ABC 中，90B Ð=°，将ABC 沿着射线BC 方向平移得到DEF ，其中点A 、点B 、点C 的对应点分别是点D 、点E 、点F ，且CE DE =．(1)如图①，如果6AB =，3BC =，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案）(2)如图②，将DEF 绕着点E 逆时针旋转90︒得到CEG ，连接AG ，如果AB a =，BC b =，求ACG 的面积；(3)如图③，在（2）题的条件下，分别以AB ，BC 为边向外作正方形，正方形的面积分别记为1S ，2S ，且满足1216S S -=，如果平移的距离等于8，求出ACG 的面积．(1)如图1，当EC 与BC 重合，30α=︒时，ACD ∠=；(2)如图2，三角形ABC 固定不动，将三角形CDE 绕点C 旋转，使点E 落到AB 的延长线上，当射线EC 平分DEA ∠时，求ECB ∠的度数；(3)三角形ABC 固定不动，将三角形CDE 绕点C 旋转，当25ACE ∠=︒且射线CD 平分。
北师大版八年级数学下册第3章《图形的平移与旋转》单元练习题含答案解析 (15)
一、选择题1.明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化．在这个过程中，因变量是( )A．明明B．电话费C．时间D．爷爷2.下列图象中，y是x的函数的是( )A．B．C．D．3.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )A．乙前4秒行驶的路程为48米B．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C．两车到第3秒时行驶的路程相等D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度4.如图，下图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为( )（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶；（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米/时；（4）第40分钟时，汽车停下来了．A．1个B．2个C．3个D．４个5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．如下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是( )A．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多B．以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少C．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油D．以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升6.甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是( )A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h7.星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回如图是他离家的路程y(km)与时间x(min)的图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是( )A．小亮到同学家的路程是3kmB．小亮在同学家逗留的时间是1hC．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少8.如图，等边三角形ABC中，AB=4，有一动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度沿着折线A−B−C运动至点C，若点P的运动时间记作t秒，△APC的面积记作S，则S与t的函数关系应满足如下图象中的( )A．B．C．D．9.早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明，两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列图象能大致反映y与x之间关系的是( )A．B．C．D．10.一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：（1）摩托车比汽车晚到1h；（2）A，B两地的路程为20km；（3）摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；（4）汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米；（5）相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11.小明从家出发到公园，在公园锻炼一段时间后按原路返回；小明从家出发的同时，小明爸爸从公园按小明的路线返回家中．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的图象，则下列结论中正确的是．（写序号即可）①小明从家出发去公园时的速度为150米/分，小明爸爸从公园返回家中的速度为30米/分；分钟后与爸爸第一次相遇；②小明出发253③小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是900米；④小明按原路返回时的速度为60米/分．12.一天学生小明早上从家去学校，已知小明家离学校路程为2280米（小明每次走的路程），小明从家匀速步行了10.5分钟后，爸爸发现小明的一科作业忘带，爸爸立刻拿起小明忘带的作业匀速跑步追赶小明，追上小明后爸爸立即将作业交给小明，小明继续以原速向学校行走（假定爸爸将作业交给小明的时间忽略不计），爸爸将作业带给小明后，原地接了2分钟的电话后，立即以更快的速度匀速返回家中．小明和爸爸两人相距的路程y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则爸爸到达家时，小明与学校相距的路程是米．13.王师傅从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用时间与路程的关系如图所示；下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致．请根据图象所提供的信息，解答下列问题：（1）王师傅从家门口到单位需要分钟；（2）王师傅从单位到家门口需要分钟．14.甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，请求出甲乙两人相距8米时，甲出发秒．15.将关系式3x+4y=12改写成y=f(x)的形式：．16.周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松，途中，她在便利店挑选一瓶矿泉水．耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园，图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A．小丽在便利店时间为15分钟B．公园离小丽家的距离为2000米C．小丽从家到达公园共用时间20分钟D．小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟17.某校组织学生到距学校6km的光明科技馆参观．王红准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如下：当里程数在3km以下（含3km)时，收费8元，超过3km，每增加1km加收1.80元，则当x≥3时，车费y(元）与出租车行驶里程数x(km)之间的关系式为．三、解答题18.某水果批发市场的香蕉的价格如表所示，若小明购买x千克（x大于40）香蕉付了y元，请写出y关于x的函数解析式．购买香蕉的量不超过20千克20千克以上但不超过40千克40千克以上每千克价格6元5元4元19.一根弹簧原长12cm，它的挂重不超过16kg，并且每挂重1kg就伸长12cm．(1) 写出挂重后弹簧长度y（cm）关于挂重x（kg）的函数关系式；(2) 求出自变量x的取值范围．20.如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距503km．设甲、乙两车与B地之间的距离为y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图②所示．(1) A，B两地之间的距离为km；(2) 当x为何值时，甲、乙两车相距5km？21.如图（1）所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地．如图（2）是汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象．(1) 填空：a=km，AB两地的距离为km；(2) 求线段PM，MN所表示的y与x之间的函数表达式；(3) 求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？22.某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度ℎ（米）与操控无人机的时间t （分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是．(2) 无人机在75米高的上空停留的时间是分钟．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度为米/分．(4) 图中a表示的数是，b表示的数是．(5) 图中点A表示．23.如图，A，B，C为⊙O上的定点，连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90∘，交⊙O于点D，连接BD，若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间的距离为x cm，B，D两点间的距离为y cm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：(1) 通过取点，画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.250.47123456y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 1.660(2) 在平面直角坐标系中xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm．24.探究函数y=∣2x−2∣+x+12的图象和性质，洋洋同学根据学习函数的经验，对函数y=∣2x−2∣+x+12的图象和性质进行探究，下面是洋洋的探究过程，请补充完成：(1) 化简函数解析式：当x≥1时，y=．当x<1时，y=．(2) 根据（1）的结果，请在所给坐标系中画出函数y=∣2x−2∣+x+12的图象：（直尺画图，不用列表）(3) 观察函数图象，请写出该函数的一条性质：．25.如图1，在等腰直角△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α(0∘<α<360∘)，如图2．(1) 请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；(2) 请你在图3中，画出当α=45∘时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；(3) 若AD=1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】常量、变量2. 【答案】B【解析】A，C，D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义；只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．【知识点】函数的概念3. 【答案】C【解析】A．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，=4米/秒，故B正确；则每秒增加328C．由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，∴可得v=4t（v，t分别表示速度、时间），将v=12m/s代入v=4t得t=3s，则t=3s前，甲的速度小于乙的速度，∴两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C错误；D．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，∴甲的速度都大于乙的速度，故D正确．由于该题选择错误的，故选C．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系4. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系5. 【答案】D【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系6. 【答案】D【解析】由图象知：=60(km/h)，故此选项正确；A．甲车的平均速度为30010−5B．乙车的平均速度为3009−6=100(km/h)，故此选项正确；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系7. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】A【解析】等边三角形ABC中，AB=4，则△ABC的高ℎ=2√3，当点P在AB上运动时，S=12×AP×ℎ=12×x×2√3=√3x，图象为一次函数，x=4时，S=4√3；当点P在BC上运动时，同理可得：S=12×(8−x)×2√3，同样为一次函数．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系9. 【答案】D【解析】由题意可得，小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大，小明的妈妈开始给小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大，故选D．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系10. 【答案】B【解析】分析图象可知：（1）4−3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；（2）因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；（3）摩托车的速度为(180−20)÷4=40km/h，汽车的速度为180÷3=60km/h，故（3）错误；（4）根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；故正确；（5）根据图形可得出两车是匀速行驶，相遇前摩托车的速度比汽车的速度快，错误．故正确的有3个．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系二、填空题11. 【答案】①②④【解析】v小明1=150010=150米/分，v 爸=150050=30米/分，故①正确．(150+30)⋅t=1500，t1=253，故②正确．第二次相遇t=30，离家距离30×(50−30)=600（米），故③错误．v小明2=60040−30=60米/分，故④正确．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系12. 【答案】270【解析】由题意知，图形的纵坐标表示为两人相距的路程，横坐标表示为小明的出发时间，从0∼10.5分钟时，小明自己走，爸爸还没有出发，∴小明的速度v1=630÷10.5=60米/分钟，从10.5∼21分钟时，爸爸开始从家出发，并在时间t=21分钟时追上小明，∴此时小明的路程为：60×21=1260米，∴爸爸的速度为v2=1260÷(21−10.5)=120米/分钟，设爸爸返回时的速度为v，根据题意得，4v+60×6=920，∴v=140米/分钟，∴等爸爸送完作业返回家时所用时间为21×60÷140=9分钟，∴等爸爸到家小明总用时：21+9+2=32，∴此时小明与学校相距的距离为：2280−32×60=360米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系13. 【答案】7；13.4【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】2，16，123【解析】由图象，得甲的速度为：8÷2=4米/秒，乙的速度为：500÷100=5米/秒，乙走完全程时甲乙相距的路程为：b=500−4(100+2)=92米，乙追上甲的时间为：a=8÷(5−4)=8秒，乙出发后甲走完全程所用的时间为：c=500÷4−2=123秒．当甲出发2秒时；甲在乙前面8米；在跑步途中，乙在甲前面8米，5t−4t=2×4+8，解得t=16，即甲出发16秒时，乙在甲前面8米；当乙到达终点，甲还在跑时，(500−8)÷4=123秒，即甲出发123秒时，甲乙相距8米．综上所述，甲乙两人相距8米，甲出发2秒、16秒或123秒．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系x15. 【答案】y=3−34【知识点】解析式法16. 【答案】A【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系17. 【答案】y=1.8x+2.6(x≥3)【解析】由题意得，所付车费为：y=1.8(x−3)+8=1.8x+2.6(x≥3)．故：y=1.8x+2.6(x≥3)．【知识点】解析式法三、解答题18. 【答案】y=4x．【知识点】解析式法19. 【答案】x，(1) y=12+12(2) 0≤x≤16．【知识点】实际问题中的自变量的取值范围、解析式法20. 【答案】(1) 20(2) 乙车的速度为：20÷16=120(km/h)，甲车的速度为：503÷16=100(km/h)，甲比乙早出发的时间为：20÷100=0.2(h)，相遇前：(20+100x)−120x=5，解得x=0.75；相遇后：120x−(20+100x)=5，解得x=1.25；答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．【解析】(1) A，B两地之间的距离为20km．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系21. 【答案】(1) 240；390(2) 由图象可得，A与C之间的距离为150km，汽车的速度1502.5=60km/h，PM所表示的函数关系式为：y1=150−60x，MN所表示的函数关系式为：y2=60x−150．(3) 由y1=60得150−60x=60，解得：x=1.5，由y2=60得60x−150=60，解得：x=3.5，由图象可知当行驶时间满足：1.5h≤x≤3.5h，小汽车离车站C的路程不超过60千米．【解析】(1) 由题意和图象可得，a=1502.5×4=240km，A，B两地相距：150+240=390km．【知识点】行程问题、用函数图象表示实际问题中的函数关系22. 【答案】(1) t；ℎ(2) 5(3) 25(4) 2；15(5) 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米【解析】(1) 横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或ℎ）．(2) 无人机在75米高的上空停留的时间是12−7=5分钟．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度75−507−6=25米/分．(4) 图中 a 表示的数是 5025=2， b 表示的数是 12+7525=15．【知识点】自变量与函数值、用函数图象表示实际问题中的函数关系23. 【答案】(1) 2.41(2) 如图所示． (3) 1.38 或 4.62 【知识点】列表法、图像法24. 【答案】(1) y =32x −12；y =−12x +32 (2)(3) 由图象可知，当 x >1 时，y 随 x 的增大而增大 【解析】 (1) 化简函数 y =∣2x−2∣+x+12，当 x ≥1 时，y =2x−2+x+12=32x −12．当 x <1 时，y =−(2x−2)+x+12=−2x+2+x+12=−12x +32．【知识点】根据函数图像确定函数性质、解析式法、图像法25. 【答案】(1) CE =BD ；理由：连接 CE 和 BD ，如图 2 所示，由题意可知，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， ∵∠EAD =∠CAB =90∘， ∴∠EAC =∠DAB ， 又 ∵AE =AD ，AC =AB ， ∴△AEC ≌△ADB (SAS )， ∴CE =BD ．(2) 当 α=45∘ 时，连接 CE 和 BE ，如图所示，延长 AD 交 BC 于 F ， ∵α=45∘，△ABC 和 △ADE 都是等腰直角三角形， ∴∠BAF =∠CAF =∠EAC =45∘， ∴AF =BF =CF ，∠EAB =135∘， ∴∠EAB +∠ABC =135∘+45∘=180∘，∴AE∥BC，∵BC=√32+32=3√2，∴AF=12BC=3√22，∴S△CBE=12BC⋅AF=12×3√2×3√22=92.(3) 1【解析】(3) 如图4，当点M不在AC上时，取AC中点G，连接GM，∵M是CDʹ的中点，∴GM=12ADʹ=12AD=12，当点M在AC上时，由M是CDʹ的中点可得GM=12，∴在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，12长为半径的圆上，∴当点M与点E重合时AM取最小值，此时AM=AE=1．【知识点】三角形的中位线、直角三角形斜边的中线、等腰直角三角形、旋转及其性质、边角边。
2020-2021学年北师大版八年级下册数学 3.2图形的旋转 同步习题(含解析)
3.2图形的旋转同步习题一．选择题1．下列图形中，不是旋转对称图形的是（）A．正三角形B．等腰梯形C．正五边形D．正六边形2．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．3．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（）A．36°B．72°C．90°D．108°4．如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C5．如图，在△ABC中，∠B＝50°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，则∠CB′C′的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．100°6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B 的对应点为E，连接BE，下列四个结论：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（）A．2B．C．4D．38．如图，将△ABC绕A点逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，若∠CDE＝90°，则∠BCD 的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°9．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（）A．12°B．15°C．25°D．30°10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是BC上的一点，BD＝1，点P是AC上的一个动点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针旋转90°得到线段BQ，连接BQ，则线段BQ长的最小值是（）A．1B．2C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B 恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为°．12．如图，Rt△ABC和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．B，C，E三点共线，Rt△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°），当DE∥BC 时，α＝．13．如图，等边△ABC，边长为4，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边在右侧作等边△ADE，取AC中点F，连接EF，当EF的值最小时，BD＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为．三．解答题16．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．17．如图，P是等边△ABC内的一点，且P A＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数；（3）求△ABC的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．分别画出下列图形．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0）；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3．参考答案一．选择题1．解：A、正三角形旋转120°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；B、等腰梯形，不是旋转对称图形，符合题意；C、正五边形旋转72°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；D、正六边形旋转60°，可以与原图形重合，是旋转对称图形，不合题意；故选：B．2．解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．3．解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360°÷5＝72°，故选：B．4．解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，∵∠BOD≠90°，∴BD≠OB．故选：A．5．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，∴∠AB′B＝∠B，∵∠B＝50°，∴∠C′B′A＝∠AB′B＝50°，∴∠CB′C′＝180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B＝80°，故选：C．6．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；∴∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，∴∠A＝∠EBC，故④正确；∵∠A+∠ABC不一定等于90°，∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．故选：C．7．解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，∴AE＝＝＝6，∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，∴AC＝AC1，∵AD平分∠CAC1，∴∠CAD＝∠C1AD，在△ACD和△AC1D中，，∴△ACD≌△AC1D（SAS），∴∠C＝∠C1，∵DC1∥AB，∴∠C1＝∠HAB，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB＝10，∴DE＝BD﹣BE＝2，∴AD＝＝＝2，∵S△ABD＝×BD×AE＝×AD×BF，∴10×6＝2×BF，∴BF＝3，故选：D．8．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠CAE＝60°，∠E＝∠ACB，∴∠CAE+∠CDE＝360°﹣（∠ACD+∠E），∵∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠ACD＝360°﹣（∠ACD+∠E），∴∠BCD＝∠CDE+∠CAE＝60°+90°＝150°，故选：D．9．解：由旋转的性质可知，∠B′AB＝∠BAC＝30°，AB＝AB′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝（180°﹣30°）＝75°，∵∠BCB＝90°，∴∠BB′C＝90°﹣75°＝15°，故选：B．10．解：过点D作DT⊥BC交AC于点T，在DC上取一点G，使得DG＝DT，连接TG，GQ，过点B作BR⊥QG于R．∵∠TDC＝∠PDQ＝90°，∴∠PDT＝∠GDQ，在△PDT和△QDG中，，∴△PDT≌△QDG（SAS），∴∠DTP＝∠DGQ，∴点Q在射线GQ上运动，∠DGQ是定值，∵∠TDC＝∠B＝90°，∴DT∥AB，∴＝，∠DTC＝∠A，∴＝，∠DGQ＝∠A，∴DT＝DG＝，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴sin∠DGR＝sin∠A，∴＝，∴＝，∴BR＝，根据垂线段最短可知，当BQ与BR重合时，BQ的值最小，最小值为．故选：D．二．填空题11．解：∵∠BAC＝105°，∴∠B+∠C＝75°，∵AB′＝CB′，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∴∠C＝25°，故答案为：25．12．解：如图1，当DE位于BC的上方，∵DE∥BC，∴∠D＝∠BCD，∵∠E＝45°，∠DCE＝90°，∴∠D＝90°﹣∠E＝45°，∴∠BCD＝45°，∴α＝∠ACD＝45°，如图2，当DE位于BC的下方，∵DE∥BC，∴∠E＝∠BCE＝45°，∴α＝∠ACB+∠BCE+∠ECD＝90°+45°+90°＝225°，∴当DE∥BC时，α＝45°或225°．故答案为：45°或225°．13．解：如图，连接CE，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF＝2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∠ABD＝∠ACE＝60°，∴点E在∠ACB的外角的角平分线上运动，∴当EF⊥CE时，EF有最小值，∴∠CFE＝30°，∴CE＝CF＝1，∴BD＝1，故答案为1．14．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．15．解：设BC＝x，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2x，AC＝x，∵点P是AC中点，∴PC＝P A＝x，由旋转得，DP＝DF＝AC＝x，DG＝DE＝AB＝x，根据勾股定理得，PG＝＝＝x，∴AG＝AP﹣PG＝x﹣x，∴＝＝．故答案为．三．解答题16．解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，∴∠DAE＝60°，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝42°．17．解：（1）连接PQ，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△P AB绕点B逆时针旋转得到的，∴△QCB≌△P AB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，∵∠BPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，∴BH＝4+，∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，∵S△ABC＝BC2，∴S△ABC＝（25+12）＝+9．18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C2即为所求作．（3）如图，△A3B3C3即为所求作．。
北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转第2节图形的旋转课后练习
第三章图形的平移与旋转第2节图形的旋转课后练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分 一、单选题1．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C ′，若△BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于( )．A ．2﹣2B ．1C ．2D ．2﹣l 2．如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB 绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．()1,23-+B ．()3,3-C ．()3,23-+D ．()3,3- 3．如图，ABC ∆中100BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转150︒，得到ADE ∆，这时点B 、C 、D 恰好在同一直线上，则E ∠的度数为（ ）A ．50B ．75C ．65D ．604．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12B．6C．3D．15．如图，已知△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则△ABC'的度数是（）A．45°B．30°C．20°D．15°6．下列说法不正确的是（）A．旋转后图形的大小形状均不变B．旋转后对应点所连线段平行C．平移后图形的大小形状均不变D．平移后对应点所连线段相等7．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（）A．△ABD＝△E B．△CBE＝△C C．AD△BC D．AD＝BC8．如图，在Rt△ACB中，△ACB＝90°，△A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（）A．70°B．65°C．55°D．35°9．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=90°，直角△EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当△EPF在△ABC内绕点P旋转时，下列结论△EF=AP；△△EPF为等腰直角三角形；△AE=CF；△S四边形AEPF214AB，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D11．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且△CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．评卷人得分二、填空题12．如图，可以看作是由其中一个菱形至少经过_____次旋转得到的，旋转角的度数是_____．13．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是___________．14．如图，等腰Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC ＝6cm ，将△ABC 绕点A 顺时针旋转15°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分的面积是_____cm 2．15．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，AC ，AD 在同一条直线上，90ACB ADE ︒∠=∠=，45BAE ︒∠=，AB AE =，5AD =，22BC =，将ADE ∆绕点A 顺时针旋转至AE 与AB 重合，则四边形ACBD 的面积为________．16．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，将ABC ∆,绕点C 顺时针旋转30得到△A B C '''，CB '与AB 相交于点D ，连接AA '，则B A A ∠''的度数是______︒17．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，点B′ 落在边AC上，连接A′B，若△ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B 2＝_____．18．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知△ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为_____．评卷人得分三、解答题19．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2；（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．20．（1）如图1，在AEC ∆和DFB ∆中，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，AE DF =，//AE DF ，E F ∠=∠， 求证：EC BF .（2）如图2，在ABC ∆中，55CAB ∠=，将ABC ∆在平面内绕点A 逆时针旋转到''AB C ∆的位置，使'//CC AB ，求旋转角的度数.21．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，连接AD 、BD ，将BAD 绕点A 按逆时针方向旋转到CAE 的位置，连接DE .（1）若1AD =，求DE 的长；（2）连接CD ，若F 、G 、H 分别为BC 、CD 、DE 的中点，连接GF 、GH ，求证：GH GF =.22．如图，等腰直角△ABC中，△ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．（1）求△PCQ的度数；（2）当AB＝4，AP＝2时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A，C重合），求证：2PB2＝P A2+PC223．以直线AB上一点O为端点作射线OC使△BOC=60°，将一个直角三角形的直角顶点放在O处(注：△DOE=90°)．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则△COE=______；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分△AOC，则△BOD=______；(3)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好△COD=15△AOE，求△BOD的度数．24．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，延长CA到点F，使得AF＝AC，连接DF、BE，则线段BE与DF的数量关系为，位置关系为；（2）【拓展研究】将△ADE绕点A旋转，（1）中的结论有无变化？仅就图（2）的情形给出证明；（3）【解决问题】当AB＝2，AD＝2，△ADE旋转得到D，E，F三点共线时，直接写出线段DF的长．25．△ABC中，ACB90AC BC∠==，△ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且⊥AD△MN于D，AD MN⊥BE△MN于E．AD MN()1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADC①△△CBE；△DE=AD+BE；()2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，()1中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．参考答案：1．D【解析】【详解】解：△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，△BAC=90°，AB=AC=2，△BC=2，△C=△B=△CAC′=△C′=45°，AC′=AC=2，△AD△BC，B′C′△AB，△AD=12BC=1，AF=FC′= AC′▪sin45°=22AC′=1，△DC′=AC′-AD=2-1，△图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=12×1×1-12×（2-1）2=2-1，故选D．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．2．B【解析】【分析】如图，作B H y'⊥轴于H．解直角三角形求出B H'，OH即可．【详解】解：如图，作B H y'⊥轴于H．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒，∴112AH A B '''==，3B H '=， ∴3OH =，∴()3,3B '-， 故选：B ．【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．3．C【解析】【分析】根据图象旋转的性质，得AB =AD ，△BAD =150°，从而得△B =15°，结合△ADE =△B =15°，△DAE =100BAC ∠=︒，即可求解．【详解】解：△将ABC ∆绕点A 逆时针旋转150︒，得到ADE ∆，△AB =AD ，△BAD =150°，△△B =△ADB =(180°-150°)÷2=15°，△△ADE =△B =15°，△DAE =100BAC ∠=︒，△E ∠=180°-100°-15°=65°．故选C ．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD＝BG，再求出△HBN＝△MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG△△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG△CH时最短，再根据△BCH＝30°求解即可．【详解】如图，取BC的中点G，连接MG，△旋转角为60°，△△MBH+△HBN＝60°，又△△MBH+△MBC＝△ABC＝60°，△△HBN＝△GBM，△CH是等边△ABC的对称轴，△HB＝12AB，△HB＝BG，又△MB旋转到BN，△BM＝BN，在△MBG和△NBH中，BG BHMBG NBHMB NB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△MBG△△NBH（SAS），△MG＝NH，根据垂线段最短，当MG△CH时，MG最短，即HN最短，此时△BCH＝12×60°＝30°，CG＝12AB＝12×24＝12，△MG＝12CG＝12×12＝6，△HN＝6，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．5．B【解析】【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M；证明△ABC′△△B′BC′，得到△MBB′=△MBA=30°．【详解】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；由题意得：△BAB′＝60°，BA＝B′A，△△ABB′为等边三角形，△△ABB′＝60°，AB＝B′B；在△ABC′与△B′BC′中，AC'B CAB B B''''BC B'C=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ABC′△△B′BC′（SSS），△△MBB′＝△MBA＝30°，即△ABC'＝30°；故选：B．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．B【解析】【分析】根据平移和旋转的性质进行判断即可.【详解】A. 旋转后图形的大小形状均不变，符合旋转的性质，不符合题意；B. 旋转后对应点所连线段不平行，故原选项错误，符合题意；C. 平移后图形的大小形状均不变，符合平移的性质，不符合题意；D. 平移后对应点所连线段相等，符合平移的性质，不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了平移和旋转的性质，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键.7．C【解析】【详解】根据旋转的性质得，△ABD＝△CBE=60°，△E＝△C，AB=BD，则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,△ADB=60°因为△ABD＝△CBE=60°，则△CBD=60°，所以△ADB=△CBD，△AD∥BC.故选C.8．A【解析】【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：△在 Rt△ACB 中，△ACB ＝90°，△A ＝35°，△△ABC ＝55°，△将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α角到△A ′B ′C 的位置，△△B ′＝△ABC ＝55°，△B ′CA ′＝△ACB ＝90°，CB ＝CB ′，△△CBB ′＝△B ′＝55°，△△α＝70°，故选A.【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．9．C【解析】【分析】△当,PE AB PF AC ⊥⊥时，可以知道四边形AEPF 为矩形，进而得出EF=AP ，但是当EPF ∠在△ABC 内旋转时，EF AP ≠；△证明PFA PEB ∆∆≌,进而得出答案；△根据△结论进行求解即可；△根据△结论把面积进行转化，得出答案即可.【详解】解：△当,PE AB PF AC ⊥⊥时，可以知道四边形AEPF 为矩形，进而得出EF=AP ，但是当EPF ∠在△ABC 内旋转时，,EF AP ≠故△错；△根据题意得出：90APC APB FPE ∠=∠=∠=,FPA BPE ∴∠=∠,在AFP ∆和BEP ∆中，FPA BPE FAP EBP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AFP BEP ∴∆∆≌,PF PE ∴=,∴EPF 为等腰直角三角形,故△对；△在△中得：AFP BEP ∆∆≌，AF BE ∴=,AB AC =,AE CF ∴=,故△对；△根据上述可得：2111=224APB AEPF S S AB AC AB ∆=⨯⨯⨯=四，故△对. 故答案为：C.【点睛】 本题考查的是几何综合题，解题关键在于对三角形全等的证明.10．B【解析】【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到. 【详解】解：△△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，△连接PP 1、NN 1、MM 1，作PP 1的垂直平分线过B 、D 、C ，作NN 1的垂直平分线过B 、A ，作MM 1的垂直平分线过B ，△三条线段的垂直平分线正好都过B ，即旋转中心是B ．故选B ．此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点. 11．A【解析】【详解】试题分析：作PH△AB于H，如图，△△PAB为等腰直角三角形，△△A=△B=45°，AH=BH=AB=1，△△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，△PA=PB=AH=，△HPB=45°，△△CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N 而△CPD=45°，△1≤AN≤2，即1≤x≤2，△△2=△1+△B=△1+45°，△BPM=△1+△CPD=△1+45°，△△2=△BPM，而△A=△B，△△ANP△△BPM，△，即，△y=，△y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选A．考点：动点问题的函数图象．12．5,60°【分析】图中有6个菱形，因为一个菱形旋转一周的度数是360°，所以每次旋转的度数为：360°÷6=60°．【详解】解：由图可得，可以看作是由其中一个菱形至少经过5次旋转得到的，旋转角的度数是60°．故答案为5，60°．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握．13．（2，10）或（﹣2，0）【解析】【详解】△点D （5，3）在边AB 上，△BC=5，BD=5﹣3=2，△若顺时针旋转，则点D′在x 轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），△若逆时针旋转，则点D′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以，D′（2，10）， 综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故答案为：（2，10）或（﹣2，0）．14．63cm 2．【解析】【分析】根据等腰直角三角形可得6BC B C AC A C cm ''''====，△BCA=45°，进而根据旋转求出30C AB ∠='︒，再利用三角函数求出DC '，最后根据面积公式即可得出答案.【详解】根据题意可得：6BC B C AC A C cm ''''====，△BCA=45°又15C AC ∠='︒△30C AB ∠='︒在直角三角形'ADC中，23DC AC tan C AB cm =∠='''△21632S AC DC cm =⨯⨯=''阴 故答案为263cm .【点睛】本题考查的是求阴影部分的面积，用到了三角函数的知识，需要牢记常见三角函数值. 15．172； 【解析】【分析】延长D 交CB 的延长线于点F ，可以求出△ACF 为等腰直角三角形，△DBF 为等腰直角三角形，设DF=x ，则5222BD x AF x AC CF x ==+==+，，，从而可以求出x 值，进而可以求出答案.【详解】延长D 交CB 的延长线于点F ，如图所示△△BAE=△BAC+△DAE=45°△△CAD=△CAB+△EAD=45°△△ACB=△ADE=90°△△ACF 为等腰直角三角形，△DBF 为等腰直角三角形设DF=x ，则5222BD x AF x AC CF x ==+==+，，△2AF CF =，即()52222x x +=+解得x=1，△32AC =△四边形ACBD 的面积=1117323211222ACF DBF SS -=⨯⨯-⨯⨯= 故答案为172. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，能够作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键. 16．15【解析】【分析】由旋转的性质可知CA'=CA ，△ACA'=30°，则可求△AA'C 度数，则根据B A A ∠''=90°-△AA'C 即可.【详解】解：由旋转的性质可知CA'=CA ，△ACA'=30°，△△AA'C=280013︒-︒=75° △B A A ∠''=90°-△AA'C=15°【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题的关键是理解旋转前后的关系.17．13【解析】【分析】由旋转的性质可得AC=A'C=3，△ACB=△ACA'=45°，可得△A'CB=90°，由勾股定理可求解．【详解】解：△将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，△AC=A'C=3，△ACB=△ACA'=45°△△A'CB=90°△222'=13′+=A A BC C B故答案为13.【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．18．（1346，0）【解析】【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019＝336×6＋3，因此点B3向右平移1344（即336×4）即可到达点B2019，根据点B3的坐标就可求出点B2019的坐标．【详解】解：连接AC，如图所示．△四边形OABC是菱形，△OA＝AB＝BC＝OC．△△ABC＝60°，△△ABC是等边三角形．△AC＝AB．△AC＝OA．△OA＝1，△AC＝1．画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．△2019＝336×6＋3，△点B3向右平移1344（即336×4）到点B2019．△B3的坐标为（2，0），△B2019的坐标为（2＋1344，0），△B2019的坐标为（1346，0）．（1346，0）．故答案为：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．19．（1）画图见解析，A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（2）画图见解析；（3）点C经过的路径长为22π．【解析】【详解】分析：（1）根据点C移到点C1（-2，-4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C 的对应点A1、B1、C1即可解决问题；（2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；（3）利用勾股定理计算CC2，可得半径为22，根据圆的周长公式计算即可．详解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，△A1（-4，-1），B1（-2，0）；（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，由勾股定理得：CC2=224+4=42，△点C经过的路径长：12222rππ⨯⨯=．点睛：本题考查平移变换、旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问20．（1）见解析；（2）70︒.【解析】【分析】（1）根据“A A S ”可证AEC DFB ≅，可得EC BF ；（2）由平行线的性质和旋转的性质可求''55CAB C CA CC A ∠=∠=∠=︒，由三角形内角和定理可求旋转角的度数.【详解】 （1）证明：//AE DF ，A D ∴∠=∠，在AEC △和DFB △中，E F AE DF A D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，AEC DFB ∴≅()ASA ，EC BF ∴=；（2）'//CC AB ，'55ACC CAB ∴∠=∠=︒，ABC 绕点A 旋转得到''AB C ，'AC AC ∴=， '1802'18025570CAC ACC ∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，''70CAC BAB ∴∠=∠=︒.所以旋转角为70︒.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.21．（1）2；（2）见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质，可知BAD CAE ≌，90BAC DAE ∠=∠=︒，进而即可求解； （2）由BAD CAE ≌，得BD CE =，结合中位线的性质，即可得到结论．【详解】（1）△BAD 绕点A 逆时针旋转到CAE ，△BAD CAE ≌，90BAC DAE ∠=∠=︒，△1AD AE==，△2222112DE AD AE=+=+=；（2）△BAD CAE≌，△BD CE=，△F、G、H分别为BC、CD、DE的中点，△12GH CE=，12GF BD=，△GH GF=．【点睛】本题主要考查图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质，根据图形旋转的性质得到全等三角形，是解题的关键．22．（1）90°；（2）25；（3）见解析【解析】【分析】（1）先由旋转得出△ABP△△CBQ，即：△A=△ACB=△BCQ=45°，即可得出结论；（2）先求出AC，进而求出PC，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】（1）△△ABC是等腰直角三角形，△△A＝△ACB＝45°，△△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ．△△ABP△△CBQ，△△A＝△ACB＝△BCQ＝45°，△△PCQ＝△ACB+△BCQ＝45°+45°＝90°；（2）在等腰直角三角形ABC中，△AB＝4，△AC＝42，△AP＝2，△PC＝AC﹣AP＝42﹣2＝32，由（1）知，△ABP△△CBQ，△CQ＝AP＝2，由（1）知，△PCQ＝90°，根据勾股定理得，PQ＝22PC CQ+＝22+＝25；(32)(2)（3）证明：由（1）知，△ABP△△CBQ，△△ABP＝△CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ△△CBQ+△PBC＝△ABP+△PBC＝90°，△△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形，△PQ＝2PB，△AP＝CQ，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝PC2+CQ2＝P A2+PC2△2PB2＝P A2+PC2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△PCQ是直角三角形是解本题的关键．23．(1)30°；(2)△COD=30°；(3)△BOD的度数为65°．【解析】【分析】(1)代入△BOE=△COE+△COB求出即可；(2)求出△AOE=△COE，根据△DOE=90°求出△AOE+△DOB=90°，△COE+△COD=90°，推出△COD=△DOB，即可得出答案；(3)根据平角等于180°求出即可．【详解】(1)△△BOE=△COE+△COB=90°，又△△COB=60°，△△COE=30°，故答案为30°；(2)△OE平分△AOC，△COA，△△COE=△AOE=12△△EOD=90°，△△AOE+△DOB=90°，△COE+△COD=90°，△△COD=△DOB=12△BOC=30°；(3)设△COD=x，则△AOE=5x，△△AOE+△DOE+△COD+△BOC=180°，△DOE=90°，△BOC=60°，△5x+90°+x+60°=180°，解得x=5°，即△COD=5°，△△BOD=△COD+△BOC=5°+60°=65°，△△BOD的度数为65°．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．24．（1）DF＝BE，DF△BE；（2）详见解析；（3）DF＝3+1或3﹣1【解析】【分析】（1）通过证明△ABE△△AFD，可得DF＝BE，DF△BE；（2）通过证明△ADF△△AEB，可得DF＝BE，DF△BE；（3）分点D在AB左侧和右侧两种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求FH的长，即可求DF的长．【详解】（1）延长FD交BE于点M△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形△AD＝AE，AB＝AC，△BAC＝90°＝△F AD△AF＝AC△AF ＝AB ，且AD ＝AE ，△BAE ＝△DAF ＝90°△△ABE △△AFD （SAS ）△FD ＝BE ，△F ＝△ABE ，△△ABE +△AEB ＝90°△△F +△AEB ＝90°△△FME ＝90°△FD △BE故答案为DF ＝BE ，DF △BE【拓展研究】（2）△△BAC ＝90°＝△EAD△△DAF ＝△EAB ＝90°+△EAF在△ADF 和△AEB 中 AF AB DAF EAB AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADF △△AEBDF ＝BE ，△F ＝△EBA设 CF 和 BE 相交于点 H ，则△EHF ＝△CHB△∠BAC ＝∠DAE ＝90°△△EBA +△CHB ＝90°△△F +△EHF ＝90°△DF △BE（3）当点D 在AB 的左侧，如图，过点A 作AH △EF 于点H ，△△ADE是等腰直角三角形，AD＝AE＝2，AH△EF△DE＝2，AH＝DH＝12DE＝1△FH＝22AF AH＝3△FD＝FH﹣DH＝3﹣1当点D在AB右侧，如图，过点A作AH△EF于点H，同理可求：FH＝3△FD＝FH+HD＝3+1综上所述：DF＝3+1或3﹣1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．（1）证明见解析；（2）不成立，DE=AD-BE【解析】【分析】（1）由△ACB=90°，得△ACD+△BCE=90°，而AD△MN于D，BE△MN于E，则△ADC=△CEB=90°，根据等角的余角相等得到△ACD=△CBE，易得Rt△ADC△Rt△CEB，所以AD=CE ，DC=BE ，即可得到DE=DC+CE=BE+AD ．（2）根据等角的余角相等得到△ACD=△CBE ，易得△ADC△△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，所以DE=CE-CD=AD-BE ．【详解】（1）证明：△△ACB=90°，△△ACD+△BCE=90°，而AD△MN 于D ，BE△MN 于E ，△△ADC=△CEB=90°，△BCE+△CBE=90°，△△ACD=△CBE ．在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADC△△CEB ，△AD=CE ，DC=BE ，△DE=DC+CE=BE+AD ；（2）DE=AD-BE ，在△ADC 和△CEB 中， 90ADC CEB ACD CBEAC CB ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △△ADC△△CEB ，△AD=CE ，DC=BE ，△DE=CE-CD=AD-BE ；故答案为DE=AD-BE【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．。