北师大版选修1-2高中数学第三章推理与证明 反证法名师点拨课件
即假设结论的反面成立； (2)归谬：从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾，这是反证法的核心，在推理 论证的过程中要有意识地制造矛盾和发 现矛盾．
用反证法证明问题时一般叙述过程是： ①否定结论⇒A⇒B⇒C； 与课本公理抵触 与已学定理不相容 与本题题设冲突 ②而 C 不合理 与临时假定违背 自相矛盾 与事实矛盾 ③因为结论不能与事实矛盾，故结论成立．
1．反证法的原理
反证法的原理是“否定之否定等于肯
定”． 反证法的主要依据是逻辑中的排中 律．排中律的一般表现形式是：或者是 A，或者是非A，即在同一讨论过程中， A和非A有一个且仅有一个是对的．不能 有第三种情形出现．
2．反证法证题的一般步骤 (1)假设：假设所要证明的结论不成立，
【错解】 证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根， 由已知实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，
◎已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 2 2 2 2 解得－ 2< p < － ，而关于 x 的方程 x － 2 x ＋ 5 － p ＝ 0的 用反证法证明：关于 x 的方程 x － 2 x ＋ 5 － p 2 ＝0无实根． 根的判别式 Δ＝4(p2－4)．
反证法可以证明的命题范围相当广
泛．如：唯一性问题，无限性问题，肯 定性问题，否定性问题，存在性问题， 不等式问题，等式问题，函数问题，整 除问题，几何问题等．常见的基本题型 是： (1)一些基本定理； (2)“否定性”命题； (3)“唯一性”命题； (4)“必然性”命题； (种不同
情况，需对各种不同情况一一导出矛盾， 加以否定，才能使原判断得到充分肯 定． 2．有些待证命题的相反判断虽然只有一 种情况，但在证明过程中有必要进行分 类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并 且就各类一一导出矛盾．
3．有些待证命题的相反判断是断言一
个对象在某一范围内恒有某种属性，对 此只要我们能够在该范围内举一特例导 出矛盾，即可予以否定，从而达到证明 的目的． 4．用直接法证明几何问题时，所画的 图形应力求准确，但反证法恰好相反， 我们往往故意画出不正确的甚至不可能 存在的图形，才便于探索导出矛盾的途 径． 5．有些命题在证明过程中，可以连续 运用反证法，即反证法中套反证法．
【正解】 证明：假设方程 x2－2x＋5－p2＝0 有实根， 则该方程根的判别式 Δ＝4－4(5－p2)≥0， 解得 p≥2 或 p≤－2， 而由已知条件实数 p 满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0， 1 解得－2<p<－ ，二者无公共部分，所以假设不成立， 2 故关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根.
原 至少有n 至多有n 结 至少有 至多有 个 个 论 一个 一个 常见的“结论词”与“反设词”归纳如 词 下：一个也 至多有 至少有 反 没有 至少有 (n－1) (n＋1) 设 (不存 两个) 个 个 词 在
只有一 对任意x不 原结论词 对任意x成立 个 成立 没有或 至少 存在某个x不 存在某个x 反设词 有两 成立 成立 原结论 都是 一定是 p或 q p且 q 个 词 不一定 綈p且綈q 綈p或綈q 反设词 不都是 是
1 1 2 ∵－2<p<－ ，∴ <p <4，∴Δ<0， 2 4 即关于 x 的方程 x2－2x＋5－p2＝0 无实根．
【错因】
利用反证法进行证明时，首 先对所要证明的结论进行否定性的假设， 并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则 原命题成立．即反证法必须严格按照 “反设→归谬→存真”的步骤进行．错 解在解题的过程中并没有用到假设的结 论，故不是反证法．
1 ．间接证明不是从正面论证命题的真
实性，而是通过证明它的等价命题， 间接地达到证明的目的，最常见的间 接证明是反证法．
2．间接论证的应用，有一定困难．因
为在间接证明过程中，不得不暂时离开 所讨论的论题，引进许多补充的材料 (如结论的反面等)，致使全部过程复杂 化．但这种方法我们务必学会，因为在 学习中，时常会遇到这样的命题，当时 并无直接证明它的论据，必须用间接法 来证明它的真实性．
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北师大版数学选修12 第三章 推理与证明章末归纳总结课件37张
2．演绎推理及合情推理不同，演绎推理是由一般到特 殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推 理形式正确，得到的结论就正确．
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
3．合情推理及演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者 为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．
第三章 章末归纳总结
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知识结构
第三章 章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2 第三章 章末归纳总结
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误区警示
第三章 章末归纳总结
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1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似 性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现 象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就 会犯机械类比的错误．
第三章 章末归纳总结
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类比推理 若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的
运算，即 a*b＝a＋2 b，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且 对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是________.
第三章 章末归纳总结
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[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2 ＝ f(2) ＝ 1 ， x3 ＝ f(1) ＝ 4 ， x4 ＝ f(4) ＝ 5 ， x5 ＝ f(5) ＝ 2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2015＝x3＝4，故应选 C．
第三章 章末归纳总结
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3．合情推理及演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者 为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．
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第三章 章末归纳总结
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误区警示
第三章 章末归纳总结
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1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似 性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现 象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就 会犯机械类比的错误．
第三章 章末归纳总结
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类比推理 若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的
运算，即 a*b＝a＋2 b，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且 对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是________.
第三章 章末归纳总结
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[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2 ＝ f(2) ＝ 1 ， x3 ＝ f(1) ＝ 4 ， x4 ＝ f(4) ＝ 5 ， x5 ＝ f(5) ＝ 2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2015＝x3＝4，故应选 C．
2019_2020学年高中数学第三章推理与证明4反证法课件北师大版选修1_2
证明:假设a,b,c都不大于0,
即a≤0,b≤0,c≤0,得a+b+c≤0,
而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>0,
即a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,
所以a,b,c中至少有一个大于0.
反思结论中含有“至少”“至多”等词的命题,常用反证法证明,注意
假设要写正确,这是反证法证题的关键.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
“至多”“至少”类命题的证明
【例 2】 已知 a,b,c 均为实数,且 a=x2-2y+ π , ������ = 2������2 − 2������ +
π , ������ = ������2 − 2������ + π.
2
3
6
求证:a,b,c中至少有一个大于0.
分析:本题要证明的是AB,CD能不能互相平分.由于不易证明 “AB,CD不能互相平分”,不妨假设“AB,CD能互相平分”,以此为出发 点,得出与条件“AB,CD不全为直径”矛盾的结论.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:假设AB,CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形, 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 因为四边形ACBD为圆内接四边形, 所以∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°. 因此∠ACB=90°,∠CAD=90°, 所以对角线AB,CD均为直径,这与已知中“AB,CD不全为直径”相 矛盾. 因此AB,CD不能互相平分. 反思用反证法证明该几何问题时,假设之后,以假设为出发点,并 且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论,从而证明 了原命题成立.另外,证明含否定词的命题常用反证法.
2019_2020学年高中数学第三章推理与证明本章整合课件北师大版选修1_2
+
������������-������������������ ������������-������������������
+
������������-������������������ ������������-������������������
=
������������-������������������
������������' ������������'
+
������������' ������������'
=
������������-������������������ ������������-������������������
+
������������-������������������ ������������-������������������
������������' ������������'
+
������������' ������������'
=
������△������������������ ������△������������������
+
������△������������������ ������△������������������
1
3
= 4 − 2 cos(2������ + 60°) + 2 cos(2������ + 60°) = 4,
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
综合应用
所以原结论成立.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
北师大版选修1-2--第三章-4-反证法----课件(22张)
§4 反证法
-1-
目标导航
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
1.反证法的定义
(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必
居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推
出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛
盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断
定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作
为条件使用的是(
)
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原结论.
A.①②
B.①②④
至少有 n 个 至多有 n-1 个
都是
不都是
至多有 n 个 至少有 n+1 个
是
不是
p或q
p 且q
p且q
p 或q
只有一个
反设词
没有或至少
有两个
知识梳理
【做一做2】 命题“在△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该
是(
)
A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b
答案:B
【做一做3】 用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”
1
故假设不成立,即函数 f(x)=2x+1除 − 外没有零点.
2
综上所述,函数 f(x)=2x+1 有且只有一个零点.
典例透析
题型一
题型二
题型三
-1-
目标导航
1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.
2.了解反证法的思考过程、特点.
知识梳理
1.反证法的定义
(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必
居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推
出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛
盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断
定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法是一种间接证明的方法.
【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作
为条件使用的是(
)
①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、
定义等;④原结论.
A.①②
B.①②④
至少有 n 个 至多有 n-1 个
都是
不都是
至多有 n 个 至少有 n+1 个
是
不是
p或q
p 且q
p且q
p 或q
只有一个
反设词
没有或至少
有两个
知识梳理
【做一做2】 命题“在△ABC中,若A>B,则a>b”的结论的否定应该
是(
)
A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b
答案:B
【做一做3】 用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”
1
故假设不成立,即函数 f(x)=2x+1除 − 外没有零点.
2
综上所述,函数 f(x)=2x+1 有且只有一个零点.
典例透析
题型一
题型二
题型三
2018_2019学年高中数学第三章推理与证明4反证法课件北师大版选修1_2
证明
引申探究 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于4.
证明
反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较
复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如
下： 结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 结论词 对所有x成立 对任意x不成立 p 或q 反设词 存在某个x不成立 存在某个x成立 綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
跟踪训练2
已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋
c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与
x轴有两个不同的交点.
证明
类型三 用反证法证明唯一性命题
例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根. 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根. 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的. 假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则 2b ＝3, 2b ＝3，两式相除得 2b －b ＝1，
[思考辨析 判断正误] 1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( × ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )
题型探究
类型一 用反证法证明否定性命题 例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab
证明
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题 例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
引申探究 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于4.
证明
反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较
复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如
下： 结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 结论词 对所有x成立 对任意x不成立 p 或q 反设词 存在某个x不成立 存在某个x成立 綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
跟踪训练2
已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋
c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与
x轴有两个不同的交点.
证明
类型三 用反证法证明唯一性命题
例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根. 证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程2x＝3有根. 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的. 假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则 2b ＝3, 2b ＝3，两式相除得 2b －b ＝1，
[思考辨析 判断正误] 1.反证法属于间接证明问题的方法.( √ ) 2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( × ) 3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( √ )
题型探究
类型一 用反证法证明否定性命题 例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab
证明
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题 例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
高中数学 第三章 推理与证明 综合法名师点拨课件 北师大版选修1-2(1)
B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能 更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推 演出结论D即可．
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应
当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．
◎如图，正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中
心，B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】
证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂面AD1C
∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C
∴B1H⊥AD1
Байду номын сангаас 【错因】
上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准
确，而出现了由 B1H⊥D1O 推出 B1H⊥ 面 AD1C. 事实上要得线面
垂直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．
【正解】
证明：连结BD，
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 又B1B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD， ∴B1B⊥AC， ∵B1B∩BD＝B， ∴AC⊥面BB1D1D， 而B1H⊂面BB1D1D，
∴AC⊥B1H， 又B1H⊥D1O， D1O∩AC＝O，
∴B1H⊥面AD1C.
又∵AD1⊂面AD1C，
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证， 即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求的问题，有如从长江源头顺流而下，一直 到达上海的长江口． 若 P 表示已知条件，已有的定义，定理，公理等，Q 表 示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，
4．在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应
当是前面一个论断的必然结果．因此所用语气必须是肯定的．
◎如图，正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中
心，B1H⊥D1O，H是垂足，
求证：B1H⊥AD1
【错解】
证明：∵B1H⊥D1O，D1O⊂面AD1C
∴B1H⊥面AD1C 又∵AD1⊂面AD1C
∴B1H⊥AD1
Байду номын сангаас 【错因】
上述证法错在对线面垂直的判定定理掌握不准
确，而出现了由 B1H⊥D1O 推出 B1H⊥ 面 AD1C. 事实上要得线面
垂直，必须直线垂直于平面内的两条相交直线．
【正解】
证明：连结BD，
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， 又B1B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD， ∴B1B⊥AC， ∵B1B∩BD＝B， ∴AC⊥面BB1D1D， 而B1H⊂面BB1D1D，
∴AC⊥B1H， 又B1H⊥D1O， D1O∩AC＝O，
∴B1H⊥面AD1C.
又∵AD1⊂面AD1C，
综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证， 即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达 到待证结论或需求的问题，有如从长江源头顺流而下，一直 到达上海的长江口． 若 P 表示已知条件，已有的定义，定理，公理等，Q 表 示所要证明的结论，则综合法可以用以下的框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
1．从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，
本课件为高中数学(北师大版)选修1-2第三章 推理与证明第4节《反证法》PPT课件
第三章
§4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，
但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推 理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾； 与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛 盾．
第三章
§4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
2．反证法的适用对象
作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数
学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2) 结论本身是以否定形式出现的一类命题 —— 否定性命 题； (3)关于唯一性、存在性的命题； (4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
第三章
§4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
课堂典例探究
第三章
§4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
D．②③
第三章
§4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修1-2
2 ．使用反证法证明三角形中最多只有一个内角是直角
时，正确的假设是( ) A．三角形中有两个内角是直角 B．三角形中有三个内角是直角 C．三角形中至少有两个角是直角 D．三角形中没有一个内角是直角 [答案] C [解析] 至多有一个的否定是至少有两个．
3
【精编】北师大版高中数学选修1-2课件第3章推理与证明本章整合-精心整理
如:������������△△������������������������12������������12
=
������������1 ������������2
·��������������������������1������1 ������△������������2������2
证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino���s���������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否 定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字 句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
·������������������������12
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻 找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗 透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思 路,增加解题途径.
高中数学 第三章 推理与证明整合课件 北师大版选修1-2
-5-
本章整合
专题二
知识网络
专题探究
专题一
专题三
【应用 2】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似 地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂 巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数.
(1)试给出 f(4),f(5)的值,并求 f(n)的表达式(不要求证明); (2)证明:
(1)解:f(4)=37,f(5)=61. 因为 f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, … 所以当 n≥2 时,有 f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以 f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1. 又 f(1)=1=3×12-3×1+1, 所以 f(n)=3n2-3n+1.
O 所作的
不在同一平面内的三条射线 OP,OQ 和 OR 上分别有点 P1,P2,点 Q1,Q2,点 R1,R2,则类似的结论为 .
图①
图②
-4-
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如:
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高中数学 第三章 推理与证明 点拨 反证法 拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件
点拨“反证法”反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考．1．宜用反证法证明的题型①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．2．步骤①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．3．典例分析例 求证：a 、b 、c 为正实数的充要条件是0a b c ++>，且0ab bc ca ++>和0abc >．分析：由a 、b 、c 是正实数，显然易得0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度，于是，试试反证法．证明：（1）证必要性．（略）（2）证充分性．假设a 、b 、c 不全为正实数（原结论是a 、b 、c 都是正实数），由于0abc >，则它们只能是二负一正．不妨设0a <且0b <且0c >，又由于0()0ab bc ac a b c bc ++>⇒++>，∵0bc <，∴()0a b c +>．①又∵0a <，∴0b c +<．②而0()0a b c a b c ++>⇒++>，∴0a >，与0a <的假设矛盾．∴假设不成立，原结论成立，即a 、b 、c 均为正实数．说明：如果从①处开始，如下进行推理：∵0a b c ++>，即()0a b c ++>，又0a <，∴0b c +>． 则()0a b c +<，与①式矛盾． 这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是0a b c ++<，与已知0a b c ++>矛盾，这个途径最简捷． 评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．。