安培环路定理

(1)
这里S是以L为周界的任意界面。以上便是麦克斯韦 的位移电流假说。
在电介质中 D 0 E P
E P 位移电流为 d D D dS (2) dS dS 0 t t t dt
在上式中，第二项是极化强度矢量的时间变化率。 如果单位体积的介质中有n个偶极子，每一个偶极 子为 p ql ，那么当场强变化时，偶极子间的距 离也将随之改变，所以
( L )
(S )

这便是麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式， 在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。
首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分 布的，电荷的体密度为 e 0 ，则高斯定理可写成
(S )
D dS
(V )
e0
(S )

dq0 j0 dS dt
而
q0
(S )
D dS
因此可得出
(S )
j
0
dS
(S )
D dS t
因为是对同一闭合曲面求积分，移项后得
D j0 dS 0 t (S )
由上式可知，在非稳恒情况下传导电流不连续。但是 D 这个量永远是连续的，只要边界L相同， j0 t 它在不同曲面 S1 , S2 上的面积分相等。
( S1 )

j0 dS I 0
但是对于曲面 S2 ，它穿过电 容器两极板之间，故有
( S2 )

j0 dS 0
这就是说，对同一个闭合回路L， H dl 的值不定， 这表示非稳恒情况下，我们在前面写出来的安培环路 定理不再适用。
如果再与稳恒情况相比，我们很容易看出，通过以L 为周界的任一曲面上的电流强度是相等的，因为根据 电流的稳恒条件，对于由 S1 , S2 构成的闭合曲面
dV
式中V是高斯面S所包围的体积 利用矢量分析中的高斯定理可把上式中左端的面积 分化为体积分： DdV dV

(V )

(V )
e0
上式对任何体积都成立，被积函数本身应处处相等，故有
D e0
这就是高斯定理的微分形式。同样可得磁场中的高斯定理 的微分形式
D H dl dS t ( L) (S )
它表示不仅传导电流可能激发磁场，变化的电场也能 激发涡旋磁场。
8.2
麦克斯韦方程组
麦克斯韦在引入涡旋电场和位移电流两个重要概念 之后得到了在普遍情况下电磁场必须满足的方程组 时有 D dS q0 间关 (S ) 的各 一 B 函量 般 E dl dS 数是 情 t (S ) ( L ) 空况 B dS 0 间下 (S ) 坐， 标式 D H dl I dS 0 和中 t
8.1
位移电流
由库仑定律和场的叠加原理可得出关于静电场的两条 重要定理： （1）电场的高斯定理
(S )
D dS q
E dl
0
0
（2）静电场的环路定理
(L)
由毕奥—萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：
（3）磁场的高斯定理
(S )
B dS 0
（4）安培环路定理
B E dl dS t (L) (S )
静电场的环路定理不过是其特例而已。
对于电场的高斯定理和磁场的高斯定理，当推广到普 遍情况时，则没有发现不合理之处，麦克斯韦假定它们对于 变化的电场仍然适用。但是，将安培环路定理推广到一般情 况时，麦克斯韦遇到了困难。典型的例子是电容器充放电的 情况。我们取一环路L，而 S1 和 S2 都是以L为周界的曲 面。对于曲面 S1 它与导线相交，因此
(S )

j0 dS j0 dS j0 dS
( S1 )

( S2 )

0
综合以上分析可以看出稳恒情况下安培环路定理 成立是因为此时电流是连续的；而在电容的例子中安 培环路定理之所以引出矛盾的结果，其根源在于传导 电流在电容器极板间的中断，即在非稳恒的情况下传 导电流具有不连续性。 对于非稳恒情况，电流的稳恒条件虽不成立，但 是根据电荷守恒定律：
P 式中v是束缚电荷规则运动引起的，由此可知 t
P l nq nqv t t
正是极化电流密度。
E (2)式右端第一项是与电场的时间变化率 相联系 t P 的，在真空中 P 0, 0 ，在位移电流中就只剩 t 这一项了。因此，这一项是位移电流的基本组成部分， 但是，它与“电荷的流动”无关，它仅仅是变化着的 电场，即位移电流是由变化的电场产生的。 如果把(1)式应用于没有传导电流的情形中，则得
令 D D dS
(S )
代表通过某一曲面的电位移通量
则有 d D D dS
dt
(S )
t
麦克斯韦把 d D 这个量叫做位移电流(displacement dt
D current)， 是位移电流密度。 t
传导电流
I 0 j0 dS
与位移电流合在一起
称为全电流。 全电流在任何情况下都是连续的。
dD 麦克斯韦还假定在产生磁效应上，位移电流 dt
与传导电流 I 0 等效。在非稳恒情况下，磁场环路
定理右面 I 0 应由
I0
d D H dl I 0 dt ( L)
或者写成
dD dt
代替，即：
D H dl j0 dS t ( L) (S )
( L)
H dl
I0
（5）法拉第全面系统地考察了 这些规律，并试图把这些规律推广到非稳恒的情况。正 如第五章所提到的那样，麦克斯韦首先把电场的环路定 理加以推广。他认为感生电动势现象实际上预示着变化 的磁场周围产生涡旋电场，因此电场的环路定理在普遍 情况下应是：