选修2-1空间向量正交分解及坐标表示
已知A(x 1，y1，z 1）,
(4)则点A(x 1，y 1，z 1）关于x轴的 对称点A 4(x 1，-y 1，-z 1 ); (5)则点A(x 1，y 1，z 1）关于y轴的 对称点A5(-x 1，y 1，-z 1 ); (6)则点A(x 1，y 1，z 1）关于z轴的 对称点A6(-x 1，-y 1，z 1 )。
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 （ b b 0）， a / /b的 充要条件是存在实数，使a＝ b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
一、空间向量的正交分解 设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向
如果 i , j , k 是空间三个两两垂直的向量，那么， 对空间任一向量 p ，存在一个有序实数组 x, y, z, 使得
p xi y j z k
这一过程叫做将空间向量正交分解
我们称xi,y j, z k为向量 p在i, j, k上的 分向量
思考2：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类 似的结论吗？
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5O 1y源自x例．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
z
A` B` B D`
O A
2.将向量的终点坐标减去起点坐标，即为向量 坐标。
探究：向量运算的坐标表示
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
a - b＝(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
a x1 , y1 , z1
a· b＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2
由空间向量的基本定理可知，存在有序实数组x, y, z,
使得
p xi y j z k
三、空间向量的坐标表示： 1.单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且 长都为1，则这个基底叫做单位正交基底。
常用表示： i , j , k 2.空间向量的坐标： 以 i , j, k 作为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
从空间某一个定点０ 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系０－xyz．
z
o
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
一、空间直角坐标系
已知A(x 1，y1，z 1）,
(1)则点A(x 1，y 1，z 1）关于xoy平面的
对称点A1(x 1，y 1，-z 1 ); (2)则点A(x 1，y 1，z 1）关于yoz平面的 对称点A1( - x 1，y 1，z 1 ); 对称点A1(x 1，-y 1，z 1 );
(3)则点A(x 1，y 1，z 1）关于xoz平面的
如果对于空间任意一个向量 p, 存在有序实数组x, y, z, 使得 p xi y j z k
我们把x, y, z叫做向量 p在单位正交基底i , j, k下的坐标。 记作： p x, y, z
思考：如何求空间向量的坐标？与求平 面向量的坐标有什么联系？
1.将原向量平移成起点与原点O重合，则平移 后的向量的终点坐标就是向量的坐标。
二、空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任 一向量p,
x, y, z, 使得 存在有序实数组
p x a yb z c
由于这个向量可看作是 由向量a, b, c生成的，所以 我们把 a, b, c 叫做空间的一个 基底，
a， b， c都叫做 基向量
思考：空间中能构成基底的三个向量应该具备 什么关系？
空间任何三个不共面的向量都可构成空间 的一个基底
特别地，
设i , j , k为有公共起点 O的三个两两垂直的单位 向量 ,
以i , j , k的公共起点 O为原点，分别以
i , j , k的方向
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直 角坐标系Oxyz
那么，对于空间任意一个向量 p, 一定可以把它平移， 使它的起点与原点O重合，得到向量OP p
量，且有公共起点O。 思考：对于空间中任一 向量 p，
它是否可以用 i , j, k表示呢？
x i
z
p
P
k O j
y
Q
在OQ, k所确定的平面上，存在 实数z，使得: OP
OQ z k
在i, j所确定的平面上，存在 有序实数对（ x, y），使得
OQ xi y j, OP xi y j z k
r r r a// b? a
r lb
? x 1 l x 2, y1 = l y 2, z 1 = l z 2 r r r r a ^ b圩a b = 0
Û x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2 ＝0
r | a |= x +y +z
2 1 2 1 2 1
r r r r a ×b cos < a, b > = r ur | a || b | x 1x 2 + y1y 2 + z 1z 2 = 2 2 2 2 2 2 x 1 + y1 + z 1 x 2 + y 2 + z 2
C` D
y
C
x
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么 特点？
１．x轴上的点横 坐标就是与x轴交 z 点的坐标，纵坐标 B(0, y , z ) 和竖坐标都是０． R(0,0, z ) ２．xoy坐标平面 M ( x, y, z ) C ( x , o, z ) 内的点的竖坐标为 O ( 0, 0, 0 ) y ０，横坐标与纵坐 o Q(0, y ,0) 标分别是点向两轴 A( x , y ,0) x P ( x ,0,0) 作垂线交点的坐标．
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人教A版高中数学选修2-1课件 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件2
1 2 解:OP OM MP OA MN 2 3 1 2 M OA (ON OM ) 2 3 1 2 1 Q OA (OB OC ) A 6 3 2
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
O
P N
C
一、空间向量的坐标分解
z
给定一个空间坐标系和向量 p p 且设 i, j , k 为空间两两垂直的向 k 量，设点Q为点P在 i, j所确定平 i O j 面上的正投影 由平面向量基本定理有
x
P
y Q
一、空间向量的坐标分解
在OQ , k所确定的平面上, 存在 实数 z , 使得OP OQ z k
为基向量 a 、 b、 c 的有关运算来处理 , 而且不用添 辅助线及作证明.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
O
M A
Q
P B N
C
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
分析 : ⑴ 这种表 示式的寻 找 ,只 要 结合图形, 充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化
z
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
1 1 1 OA OB OC 6 3 3
量 OA， OB， OC 表 示OP和OQ .
O
P N
C
一、空间向量的坐标分解
z
给定一个空间坐标系和向量 p p 且设 i, j , k 为空间两两垂直的向 k 量，设点Q为点P在 i, j所确定平 i O j 面上的正投影 由平面向量基本定理有
x
P
y Q
一、空间向量的坐标分解
在OQ , k所确定的平面上, 存在 实数 z , 使得OP OQ z k
为基向量 a 、 b、 c 的有关运算来处理 , 而且不用添 辅助线及作证明.
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
O
M A
Q
P B N
C
练习 1.已知空间四边形 OABC 的四条边及 AC 、BD 的长都等于 1 , 点 M 、N 、P 分别是 OA 、BC 、OC 的 中点,且 OA a , OB b , OC c , ⑴用 a 、 b、 c 表示 MN , MP ; ⑵求 MN MP .
分析 : ⑴ 这种表 示式的寻 找 ,只 要 结合图形, 充分运用空间向 量加法和数乘的运算律即可. ⑵运用⑴的结果,可以把 MN MP 的计算转化
z
在i, j所确定的平面上, 存在 实数x, y, 使得OQ xi y j
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A版选修2-1)
O
y
的坐标系都是右手直角坐标
系.
x
复习回顾：
2.向量共线定理:
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
3.向量共面定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
4.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
新知探究：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
复习回顾：
1．空间直角坐标系：
（1）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
xOy 135 (或45 ), yOz 90
（2）在空间直角坐标系中，
z
让右手拇指指向 轴x的正
方向，食指指向 轴y的正
z 方向，如果中指指向 轴
的正方向，称这个坐标系为
右手直角坐标系。本书建立
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
如结图论，：设如果i ,ij,,jk, k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的向量.
且的有向公量，共那的么起，点对O于. 空间任一向量 p，
高二数学,人教A版选修2-1, 空间向量的正交分解,及其坐标表示, 课件
• 3.a，b的夹角是钝角与a· b<0并不等价，a· b<0 中包含着<a，b>＝180°的情形，<a，b>＝ 180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a· b ＝－|a||b|，即cos<a，b>＝－1求得;同样当已 知a与b的夹角为锐角，要求参数取值范围时， a· b>0也包含着<a，b>＝0°的情形，解题时 应把这种情况剔除.
高中数学人教A版 选修2－1 第三章
第3课时 空间向量的正交分解 及其坐标表示
• (2)空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c 不共面，那么对于空间中任一向量p，存在 唯一的有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb ＋zc.其中，我们把{a，b，c}叫作空间的一 个基底，a、b、c叫作基向量.空间任意三个 不共面的向量都可以构成空间的一个基底. • 议一议:如何从“任意性”“唯一性”两个方面 理解空间向量基本定理?
• 预学3:空间向量的四则运算，平行、垂直的坐标表 示 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， • 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， • a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， • λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)， • a· b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， • a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， • a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
• 议一议:与平面向量的坐标对比，空间向量的坐标有什么新 特点? • 【解析】①记法:空间直角坐标系Oxyz; • ②坐标面:经过任意两个轴的平面为坐标面，它们分别为 xOy面，xOz面和yOz面; • ③坐标向量:e1，e2，e3; • ④画法:一般使用∠xOy＝45°或135°，∠yOz＝90°; • ⑤点的坐标:p＝xe1＋ye2＋ze3， • 则p＝(x，y，z)，x，y，z分别叫横坐标，纵坐标，竖坐标.
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
高中数学选修2-1精品课件12：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
那么对于空间任意一个向量 p＝O→P，可以沿三条坐标 轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这样的分解称为空间 向量的正交分解．
(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底{i，j， k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 1＝μ，
所以1＝λ， 此方程组无解， 0＝λ＋μ.
所以 a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、 四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的 向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的 判断．
A．0
B．1
C．2
【解析】①④错误，②③正确．
【CD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的 一个基底的是( )
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D D.A→C1，A→1C，C→C1
【解析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，只有 C 中的三 个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面，可以作为空间向量的 一个基底． 【答案】C
变式训练 已知a，b，c是不共面的三个向量，
则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
人教A版高中数学选修2-1课件【24】空间向量的正交分解及其坐标表示
→ → → (4)AQ＝AC＋CQ → 4 → → AA ′ ＝AC＋ ( －AC) 5 1→ 4 → ＝ AC＋ AA′ 5 5 1→ 1 → 4 → ＝5AB＋5AD＋5AA′ 1 1 4 ＝ a＋ b＋ c. 5 5 5
12．已知{i，j，k}是空间的一组基底，设 a1＝2i－j＋k，a2 ＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实 数 λ，μ，υ，使 a4＝λa1＋μa2＋υa3 成立？如果存在，求出 λ，μ， υ 的值，如果不存在，请给出证明．
1 → 1→ → ＝2AD＋2AB＋AA1. → → → 以AB、AD、AA1为单位正交基底，建立空间直角坐标系，如 图所示， → → → → 则BD1＝－AB＋AD＋DD1 → → → ＝－AB＋AD＋AA1＝(－1,1,1)．
→ 1 → 1 → → 1 1 AE＝2AB＋2AD＋AA1＝2，2，1.
解析：①②正确，③中，由题意得 a，b，c 共面，故③为假 命题．
答案：C
→ → → 2．若向量MA，MB、MC的起点与终点 M、A、B、C 互不重 合且无三点共线，且满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向 → → → 量MA、MB、MC成为空间一组基底的关系是( → 1→ 1→ 1→ A.OM＝3OA＋3OB＋3OC → → → B.MA≠MB＋MC → → → → C. OM＝OA＋OB＋OC → → → D.MA＝2MB－MC )
解析： d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β ＋ γ)e1 ＋ (α ＋ β － γ)e2 ＋ (α － β ＋ γ)e3 ＝ e1 ＋ 2e2 ＋ 3e3 ， 则 α＋β＋γ＝1， α＋β－γ＝2， α－β＋γ＝3， 5 1 ∴α＝2，β＝－1，γ＝－2.
高中数学选修2-1精品课件1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
典例讲练
[例 1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b ＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是空间的一个基底； ②判断{a＋b，b＋c，c＋a}是否也可作为该空间的一个基 底．解答本题可先用反证法，判断 a＋b，b＋c，c＋a 是否共 面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基 底．
[解析] 由 G 为△BCD 的重心易知 E 为 BC 的中点， ∴B→E＝12(B→A＋B→C)＝ 12[(O→A－O→B)＋(O→C－O→B)] ＝21[(a－b)＋(c－b)]＝12(a＋c－2b)， O→G＝O→B＋B→G＝b＋23B→E＝b＋13(a＋c－2b)＝13(a＋b＋c)．
[例 3] 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、BC 的中点，以{A→B，A→D，A→A′}为基底， 求下列向量的坐标．
起点 与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xe1＋ye2＋ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的 坐标，记作 p＝ (x，y，z)．
要点点拨
1．用空间三个不共面的已知向量 a，b，c 可以线性表示出空间任 意一个向量，而且表示的结果是唯一的． 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基 底． 3．由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个 向量，二者是相关联的不同概念．
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
重难聚焦
第一章
三角函数
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个 基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底. z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底. ④假设a+b,b+c,a+b+c共面, 则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc, ������ = 1, 则 ������ + ������ = 1, 该方程组无解. ������ = 1, 故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底. 栏目 导引 答案:C
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)空间向量的基底是唯一的. ( × ) (2)若a,b,c是空间向量的一组基底,则a,b,c均为非零向量. ( √ ) (3)已知A,B,M,N是空间四点,若 ������������, ������������ , ������������ 不能构成空间的一个 基底,则A,B,M,N共面. ( √ ) (4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0, 则有x=y=z=0. ( √ )
3.1.4
空间向量的正交分解及其坐标表示
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 空间向量基本定理, 会用空间向量基本定理解 空间向量正交分解及坐标表示 决问题. 空间向量基本定理 2.了解 空间向量正交分解 的含义. 单位正交基底 3.理解 空间向量坐标的含 空间向量的坐标表示 义,能用坐标表示空间向 量.
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探究一对基底与基向量的理解 【例1】 判断下列说法是否正确?并说明理由. (1)空间任意三个不共线的向量均可作为一组基底; (2)基向量中可以含有零向量,但至多一个; (3)如果向量a,b与空间任何向量都不能构成一组基底,那么向量 a,b一定是共线向量; (4)如果向量组{a,b,c}是空间的一个基底,且m=a+c,那么{a,b,m} 也是空间的一组基底. 分析：按照基底与基向量的定义进行判断分析.
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2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基 底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 ������������ =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数 组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z 称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).