齐齐哈尔市2020-2021学年高二数学(文)上学期期末卷附答案解析
2
3
A． y2 x
B． y 2 2x
C． y2 4x
D． y2 8x
10. 若函数 f ( x) 1 x2 x a ln x 有两个不同的极值点，则实数 a 的取值范围是 2
A． a 1 4
B． 1 a 0 4
C． 0 a 1 4
D． a 1 4
11．已知双曲线
x2 a2
1
D．
2
A. 1 1 1 1 234
B. 1 1 1 1 2 32 432
C. 1 1 1 1 1 2345
D. 1 1 1 1
1
2 32 432 5432
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十
二里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”
其大意为：有一个人走 252 里路，第一天健步走，从第二天起
二空 3 分）
15．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7 位评委的评
分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是 81，乙班成绩的平均数是 86，
若正实数 a、b 满足：a，G，b 成等差数列，且 x，G，y 成等比数列，则 1 9 ab
的最小值为______.
16．在平面直角坐标系中，已知点 P( x, y) 满足：
i 1
i 1
19.本小题满分 12 分
中央电视台播出的《主持人大赛》火遍全国，下面是组委会在选拔时随机抽取的 100 名选手的成绩，按成绩
分组，得到的频率分布表如下所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
0.100
第2组
[165,170)
①
第3组
[170,175)
20
②
第4组
[175,180)
等式 f (x) x3 2021 的解集为
A． , 1 B． 1,1
C． 1,
D． ,1
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把正确答案写在答题卡相应题的横
线上.
13．中国古代钱币（如图 2）继承了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖
了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔.如图 1，圆形钱
3. 4 张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则
取出的 2 张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为
1
A.
3
1
B.
2
1
C.
6
4. 已知单位向量 a,b 的夹角为 60 ， ka b 与 b 垂直，则 k 的值为
3
D.
4
A．2
B．
C． 2
2
5．执行右面的程序框图，如果输入的 N＝5，那么输出的 S＝
若 r 0,0.25，则 x 、 y 相关性较弱．）参考数据： 30 5.5 ．
n
(xi x)( yi y)
参考公式：回归方程： yˆ bˆx aˆ ，其中 bˆ= i1 n
, aˆ y bˆx ，
(xi x)2
i1
n
(xix)( yi y)
相关系数: r
i 1
．
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
A. y x
B. y x 1 2
C. y x 2
D. y x 2
1
9. 已知抛物线 C : y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F，点 M ( x0,
2)
( x0
p ) 是抛物线 2
C
上一点，以点
M
为圆心
的圆与直线 x
p
交于 E，G 两点，若 sin MFG
1
，则抛物线 C 的方程是
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）设 m Z ，当 a 1 时，关于 x 的不等式 f (x) m (x 2) ex 在区间 0,1上恒成立，求 m 的最小值.
4
5
6
7
8
因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地，则此人后四天走的路程为
A．198 里
B．192 里
C．60 里
7. 函数 f x ln
x2 4x 4 (x 2)3
的图象可能是
D．90 里
A．
B．
C．
D．
8. 已知函数 y x sin x ，则它在点 x 处的切线方程是 2
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.00
3
（1）请先求出频率分布表中①，②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）． （2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在第一轮成绩高的第 3,4,5 组用分层抽样抽取 5 名选手进入第二
轮比赛，则第 3,4,5 组每组各抽取多少名选手进入第二轮比赛？ （3）在（2）的前提下，组委会决定在 5 名选手中随机抽取 2 名选手接受上一级考官面试，求第 4 组至少有一
年龄（ x ）
2
3
4
5
6
患病人数（ y ）
32
32
27
24
20
（1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）计算变量 x 、 y 的相关系数 r （计算结果精确到 0.01 ），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流
感人数与年龄相关性很强？
（若 r 0.75,1，则 、 y 相关性很强；若 r 0.3,0.75，则 x 、 y 相关性一般；
币的半径为 4cm，正方形边长为 1cm，在圆形内随机取一点，则此点取
自正方形部分的概率是______.
14.
已知函数
f
(
x)
ex ln
,x x,
0 x
0
，则
f
( f (1)) ______；设
g(x) f (x) x a ，若函数 g (x) 存在 2 个零点，则实数 a 的取值范围是______.（注：第一空 2 分；第
y2 b2
1 (a
0,b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，双曲线的左支上有 A, B 两点使得
AF1
2F1B
.若
AF1F2
的周长与
BF1F2
的周长之比是
4 3
，则双曲线的离心率是
A． 2
5
B．
3
C． 5
D． 2
12．定义在 R 上的函数 y f (x) ，满足 f (1) 2020 ，且对任意的 x R ，都有 f (x) 3x2 0 成立，则不
名选手被上一级考官面试的概率．
20.本小题满分 12 分
如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为边长为 1 的菱形, DAB DBF 60 ， 且 FA FC ． （1）求证： FC ∥平面 EAD ； （2）求点 A 到平面 BDEF 的距离．
21.本小题满分 12 分
已知椭圆 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 ，短轴长为 4. 2
齐齐哈尔市 2020-2021 学年高二数学（文）上学期期末卷
第I卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1.已知集合 A 0,1,2, B x x 2a , a A ，则 A B
A． 0,1,2,4
B． 1,2,4
17.本小题满分 10 分
2
在 ABC 中，已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 a cos B b cos A 2c cos C .
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c 2, a b 2 3 ，求 ABC 的面积.
18.本小题满分 12 分 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要 通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国 北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密 集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
( x 1)2 x4
y2
1 ，记点 P 2
的轨迹为曲线 W，关于曲线 W 有如下命题： ①曲线 W 关于 y 轴对称； ②曲线 W 关于坐标原点对称； ③曲线 W 过坐标原点 O；
④点 M 是曲线 W 上的动点，且 A(1,0), B(1,0) ，则 ABM 面积的最大值为 3 .
其中所有正确命题的序号是______. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.
（1）求椭圆 的标准方程； （2）设 P(4,0) ，过椭圆 左焦点 F 的直线 l 交 于 A, B 两点，若对满足条件的任意直线
l ，不等式 PA PB ( R) 恒成立，求 的最小值.
22.本小题满分 12 分
已知函数 f (x) a ln x x a 1 ，其中 a 2 ． xx
C． 1,2
D． 1
2.下列说法正确的是
A．命题“ 2 1”是假命题； B．命题“ x R, x2 1 0 ”的否定是“ x0 R, x02 1 0 ”；
C．命题“若 2a 2b ，则 a b ”的否命题是“若 2a 2b ，则 a b ”； D．“ x 1”是“ x 2 ”的必要不充分条件.
黑龙江省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试题2套(含答案)
黑龙江省高二上学期期末考试含答案数 学一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线214y x =的焦点坐标为 11.(1,0).(2,0).(0,).(0,)816A B C D2.将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两个点数相同”则概率()P A 等于10515....1111636A B C D 3．已知点12F F ，为椭圆221925x y +=的两个焦点,则12,F F 的坐标为 .(4,0),(4,0).(3,0),(3,0).(0,4),(0,4).(0,3),(0,3)A B C D ----4．命题P ：30,0x x ∀>>，那么P ⌝是3333.0,0.0,0.0,0.0,0A x x B x x C x x D x x ∃≤≤∃>≤∀>≤∀<≤5．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段间隔为.50.40.25.20A B C D6．从甲乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率1289....552525A B C D 7.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是22222222.1.1.1.14422y x y x A x B y C x D y -=-=-=-= 8．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人则该样本中的老年职工抽取人数为.9.18.27.36A B C D9．集合{}{}03,02M x x N x x =<≤=<≤，则a M ∈是a N ∈的....A B C D 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件10.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x x 甲，乙，中位数分别为m m 甲，乙，则.A 乙甲x x <，m m >甲乙 .B x x <甲乙，m m <甲乙 .C x x >甲乙，m m >甲乙 .D x x >甲乙，m m <甲乙11.对具有线性相关关系的变量y x ,，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为a x y +=∧5.10，据此模型预测当20=x 时，y 的估计值为.210.210.5.211.5.212.5A B C D12．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1212,,,,,,,,n n x x x y y y 构成n 个数对()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为242....mn mmA B C D nm nn二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．集合{}{}2,3,1,2,3A B ==从A ，B 中各任取一个数，则这两数之和为4的概率 ．14．从区间[]1,0内任取两个数x y ,，则1≤+y x 的概率为________________.15． 下列4个命题：（1）若xy=1,则x,y 互为倒数的逆命题；（2）面积相等的三角形全等的否命题；（3）若21,20m x x m ≤-+=则有实数解的逆否命题；（4）若0,00xy x y ===则或的否定.其中真命题 ________.（写出所有真命题的序号） 16．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为,B 若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则双曲线离心率的取值范围是 ．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会，共有4个奖品，其中一等奖2个，二等奖2个，甲、乙二人依次各抽一次. （Ⅰ）求甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率； （Ⅱ）求甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率.18．（本题满分12分）已知曲线:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），直线:(cos )12l ρθθ=.（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）设点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值.19. （本题满分12分）一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下求y 关于x 的线性回归方程.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为____1_21()()ˆˆˆ,()n iii n ii x x y y bay b x x x ==--==--∑∑. 20. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：32,542.5x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），它与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点． （Ⅰ） 求AB 的长； （Ⅱ） 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛43,22π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．21．（本题满分12分）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点F是AB 边上动点，点Ｅ是棱1B B 的中点． （Ⅰ）求证：11D F A D ⊥； （Ⅱ）求多面体1ABCDED 的体积．22．（本题满分12分）抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，抛物线C 上点M 的横坐标ＡＢＣＤ1A1B1C1D为1，且5.4 MF（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ 面积的最小值.高二上学期期末数学答案一、选择题二、填空题13．13 14．2115．(1)(2)(3) 16． 1⎤⎦三、解答题17. （本题满分10分） （Ⅰ）13（Ⅱ）5618.（本题满分12分）（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程:120x -=,曲线C 的普通方程221273x y += . （Ⅱ）点P 到直线l 的距离的最小值为3，此时P )23,29(-. 19.（本题满分12分）25.2075.0+=∧x y .20.（本题满分12分）（Ⅰ）=7AB （Ⅱ）点P 到线段AB 中点M 的距离为307. 21.（本题满分12分）（Ⅰ）证明略（Ⅱ）多面体1ABCDED 的体积为1. 22.（本题满分12分）（Ⅰ）抛物线C 的方程2y x =，（Ⅱ）四边形MPNQ 面积的最小值2,此时1±=k .黑龙江省高二上学期期末考试含答案数 学一.选择题(共12题,每题5分)1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A ．21- B ．i 21 C ．21D ．i 21-2. 已知121:≥-x p , 1:<-a x q .若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n 为（ ）A.20B.30 C ．40 D ．80 4．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,给出下列命题： ①l ⇒⊥βα∥m ； ②α∥m l ⊥=β； ③α⇒⊥m l ∥β④l ∥βα⊥⇒m ；其中正确命题的序号是( )A ．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④5. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若12≠x ，则1x ≠” 6．设随机变量δ服从正态分布()7,3N ，若()()22-<=+>a p a p δδ，则a =( ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式nK x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为y x ,，设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“y x ,中有偶数，且y x ≠”，则概率()A B P =( )A ．12B ．13C ．14D ．259．已知()821x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ab=( ) A ．1285 B ．2567C ．5125D ．1287 10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( ) A ．1 2 B ．24 C ．36 D ．48 11. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设21,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. 21x x =,21s s < B. 21x x =，21s s > C.21x x >，21s s > D.21x x =，21s s =12．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，34=SA ，2=AB ，4=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π二.填空题(共4题,每题5分)13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________． 14. 设n 为正整数,n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，3)16(>f ,27)32(>f ，……观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ .15. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 .16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_______.三.解答题(共6题,共70分) 17. (本小题满分10分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：x 3 45 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91已知77211280,3487ii i i i xx y ====∑∑.(1)求,x y ； （2）求纯利润ˆy与每天销售件数x 之间的回归方程. (参考公式：x b y a xn xyx n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221)18.（本小题满分12分）我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正 常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.空气质量指数频率 组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a19.（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (1) 证明：1AC AB =；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =, 求二面角111A A B C --的余弦值.20．(本小题满分12分)组别 理科文科性别 男生 女生 男生 女生 人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21．(本小题满分12分)如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，AE BN =2,M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由.22.（本小题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：222313kk a +>； （2）若2=, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.高二数学答案 一.选择题CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.83 14.()222+≥n f n 15.95 16.3三.解答题17.(1)86.797559,6≈==y x (2)75.4419==b 36.5114719≈=a18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. (4)分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B ξ ………5分ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19. (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，ξ 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ……… 4分 （Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以COAO =又因为BC AB =，所以BOA BOC ∆≅∆.故OB OA ⊥，从而OB OA ,,1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又BC AB =，则3A ⎛ ⎝，()1,0,0B ，13B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭133AB ⎛= ⎝， 1131,0,,A B AB ⎛== ⎝ 1131,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n AB n ， 即33030y x ⎧=⎪⎪=⎪⎩所以可取(1,3,3n = 设m 是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001111C B m B A ， 同理可取(1,3,3m =则71cos =⋅>=⋅<mn ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 12分20. 解：(Ⅰ) 33106P =（4分） (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，于是ξ的分布列为ξ123P564242524241084248424（只写出正确分布列表格的扣4分） ξ的数学期望为()106E ξ=（12分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分（2）证明：俯视图和侧视图，得︒=∠90CAB ， 3=DC ,2==AB CA ，2=EA ，1=BN ，⊥EA 平面ABC ,NB DC EA ////.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，则EA DC FM ////，且()221=+=DC BN FM …4分 ∴FM 平行且等于EA , ∴四边形EAFM 是平行四边形， ∴EM AF //，又AF ⊆平面ABC ，∴EM ⊆平面ABC .…………………………7分（3）解，以A 为原点，以A C的方向为x 轴的正方向，的方向为y 轴正方向，AE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0）， D （－2，0，3），N （0，2，1），C （－2，0，0）. 设ND =（－2，－2，2），NE =（0，－2，1），CB =（2，2，0），CN =（2，2，1）.假设在BC 边上存在点G 满足题意，(2,2,0),[0,1],(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).04410,,,882003[0,1].4CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得∴边BC 上存在点D ，满足CB CG 43=时，GN ⊥平面NED ………………12分22. (I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=， 得.012)31(222=-+-+a y k y k①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222k k a +>… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312k ky y +=+因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222k ky +-= ……………8分于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=23||32||331||32=≤+=k k k k 其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y kk y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………12分。
黑龙江省2020-2021学年高二数学上学期期末考试模拟试题2套(含答案)
黑龙江省高二上学期期末考试含答案（数 学）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 （ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断 2．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的充分不必要条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，2320x x -+≥”．3．已知,m n 是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题① 若n m n //,=βα ，则βα//,//m m ； ② 若βα⊥⊥m m ,，则βα//；③ 若n m m ⊥,//α，则α⊥n ； ④ 若αα⊂⊥n m ,，则n m ⊥； 其中所有真命题的序号是 （ ） A ．②④ B. ②③ C. ①④ D. ①③4．若θ是任意实数，则方程224sin 1x y θ+=所表示的曲线一定不是 （ ） A ．直线 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆5．若对任意非零实数,a b ，若a b *的运算规则如右图的程序框图所示，则(32)4**的值是（ ）A ．1312B ．12C ．32 D ．9 6．已知命题p ：111<-x ，q ：2(1)0x a x a -++>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,2] C ．(1,2] D ．[1,2)7．有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在 处应添加的条件是 （ ） A ．12i > B ．10i > C ．14i = D ．10i =8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．37B ．7C ．13D ．210317+9．斜率为3的直线l 经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ， 且交抛物线于B A ,两点，若AB 中点到抛物线准线的距离为4， 则p 的值为 （ ）输入a ,b开始 结束输出ab 1- a ≤b ?输出ba 1+ 是 否A. 1B. 2C. 3D. 410．如图，12F F 、是双曲线2221(0)9x y b b -=>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线分别交于点A B 、，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为 （ ）A ．83B ．93C ．183D ．273 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为棱1DD 和BC的中点，G 为棱11A B 上任意一点，则直线AE 与直线FG 所成的角为 （ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 12．如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值为 （ ）A ．5B ．5C ．22 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239,则=k ；14．已知抛物线245y x =-的焦点与椭圆2221(0)4x y a a +=>的一焦点重合，则该椭圆的离心率为 ；15．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x （个） 18 20 22 加工时间y （分钟）273033现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间 约为 分钟；16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=；（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），时，求||||OA OB ⋅的取值范围． 18. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线lt 为参数）；现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）过点(10)P -，且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点； ①求||AB 的值； ②求||||PA PB +的值；③若线段AB 的中点为Q ，求||PQ 的值及点Q 的坐标．19．（本小题满分12分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为()25,,2,1 =i A i ,由右边的程序运行后,输出10=n .据此解答如下问题：（1）求茎叶图中破损处分数在[50，60），[70，80），[80，90）各区间段的频数； （2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？20. （本小题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AD ==，E 是棱CD 上的一点．（1）求证：1AD ⊥平面11A B D；（2）求证：11B E AD ⊥；（3）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得//DP 平面1B AE？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．Ni =i +1n =n +170≤A i <80?YY结束N开始 n =0，i =1输入A ii ≤25？输出n21．（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD 中，2AB =，E 为AB 的中点，且△ADE 是等边三角形， 沿DE 把△ADE 折起至1A DE 的位置，使得12AC =．（1）F 是线段1A C 的中点，求证：//BF 平面1A DE ；（2）求证：1A D CE⊥；（3）求点1A 到平面BCDE 的距离．22. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个顶点为()2,0A 2，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积为425时，求k 的值．答案1—5 BDACC 6—10 DBACC 11—12 DA13. 3 14.15. 102 16.17.（1）1:2cosCρθ=，22:2 C x y=（2）[4,18.（1）:20l x y--=22:(4)16C x y-+=（2②③||2PQ=，35(,)22Q19.（1）2,10,4（2）众数75，中位数73.5，平均数73.8 20.（3）存在，2AP=21.（3）22.（1）22142x y+=（2）k=黑龙江省高二上学期期末考试含答案（数 学）一、选择题（每题5分，共60分）1．若复数12iz i=-+，则z 的虚部为（ ） A ．15i - B ．15- C ．15i D ．152.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）.A.不存在0x ∈R, 02x>0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x>03．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12．其中，正确说法的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生377370zA ．24B ．18C ．16D ．125．执行如图所示的程序框图，如果输出3=S ，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 6．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D ．若椭圆251622y x +＝1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为20． 7．已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t=( ) A ．6．7 B ．6．6 C ．6．5 D ．6．48.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为（ ） A ．1316 B ．78 C ．34 D ．589．命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(][),04,-∞⋃+∞ D ．()(),04,-∞⋃+∞ 10．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．12D ．1- 11．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p << 12.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题（每题5分，共20分） 13．若复数z 满足11zi z-=+，则|1|z +的值为 ．14.已知111()1()23f n n n +=+++⋅⋅⋅+∈N ， 且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时， 有_____________．15．用秦九韶算法计算函数43()2354f x x x x =++-当2x =时的函数值，其中2v = ．16．给出定义：若 1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①函数()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-；②函数()y f x =的图像关于y 轴对称；③函数()y f x =的图像关于坐标原点对称；④ 函数()y f x =在11(,]22-上是增函数；则其中正确命题是 （填序号）．三、解答题（17题10分18-22每题12分）17. 某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100．（1）求图中a 的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．18. 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500 ml 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖．常喝 不常喝 合计 肥胖2 不肥胖18 合计 30已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整．（2）是否有99．5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由． P （K 2≥k 0） 0．150．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828 参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．19. 已知向量a →＝(2,1)，b →＝(x ，y)． 若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a →,b →的夹角是钝角的概率．20. 从某学校 的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校800名男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为ycm xcm ,，事件{}5≤-=y x E ，事件{}15＞y x F -=，求概率()F P E ．21. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y 2．5 3 4 4．5（1221,n i ii n i i x y nx y b a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑） （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？22.已知命题p ：1x 和2x 是方程2x mx 20－－＝的两个实根，不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立；命题q ：不等式2ax 2x 10>＋－有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围.高二期末文数答案一、选择题DDCCB BAADB BB二、填空题 13.2 14.2(2)2n n f +> 15.14 16.①④ 三、解答题17. （1）0.005a = （2）73, 3271 18. （1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则＝，解得x ＝6．常喝 不常喝 合计 肥胖6 2 8 不肥胖4 18 22 合计10 20 30（2）由已知数据可得K 2＝≈8．523>7．879， 19. 1320.（Ⅰ）0.06；（Ⅱ） 144；（Ⅲ）715．. 21. （1）0.70.35y x ∧=+（2）19．6522. ∵12x x ，是方程2x mx 20－－＝的两个实根，∴1212x x m x x 2⋅＋＝，＝－，∴22121212|x x |(x x )4x x 8m -+－＝+＝， ∴当,1[]1m ∈－时，12||3max x x －＝， 4分由不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立， 可得：2a 5a 33≥－－，∴61a a ≥≤或－， 6分∴命题p 为真命题时61a a ≥≤或－，若不等式2ax 2x 10>＋－有解，则 ①当0a >时，显然有解，②当0a =时，2ax 2x 10>＋－有解， ③当0a <时，∵2ax 2x 10>＋－有解，∴44a 01a 0∆>∴<<＝＋，－，所以不等式2ax 2x 10>＋－有解时1a >－.又∵命题q 是假命题，∴1a ≤－， 故命题p 是真命题且命题q 是假命题时，a 的取值范围为1a ≤－.。
黑龙江省齐齐哈尔市2021届数学高二上学期期末教学质量检测试题
黑龙江省齐齐哈尔市2021届数学高二上学期期末教学质量检测试题一、选择题1．设实数,x y 满足条件223x y x y y x +≤⎧⎪+≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =-+的最大值为( )A.16B.6C.4D.142．设集合,,,则集合中元素的个数为( )A.B. C.D.3．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“a MODb ”表示a 除以b 的余数，若输入,a b 的值分别为195和52，则执行该程序输出的结果为()A ．13B ．26C ．39D ．784．已知抛物线的焦点（），则抛物线的标准方程是（ ）A．B ．C ．D ．5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A． B． C ． D ．6．以下有关线性回归分析的说法不正确的是A ．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)x yB ．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niii y bx a =--∑最小的a,b 的值C ．相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱D ．22121()1(ˆ)ni i i nii y y R y y ==-=--∑∑越接近1，表明回归的效果越好7．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.(25)，D.(28．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（） A.回归分析和独立性检验没有什么区别；B.回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；C.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．D.回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验； 9．相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A.1201r r <<<B.2101r r <<<C.1210r r -<<<D.2110r r -<<<10．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()'',fx g x 分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()''+0f x g x f x g x >且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．()()6,06,-⋃+∞B ．()(),60,6-∞-⋃C ．()()6,00,6-⋃D ．()(),66,-∞-⋃+∞11．已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN = A.4B.6C.8D.1012．如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则= （ ）A ．2B ．12C ．8D ．4二、填空题 13．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．14．已知抛物线24y x =，焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为PAF ∆的面积为________.15．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c -=, 那么椭圆的方程是 ．16．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由下表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中ˆ2b =-，据此预测当气温为5C 时，用电量的度数约为__________．17．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.（1）证明：直线平面； （2）若的面积为，求四棱锥的体积.18．已知数列的前n 项和．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前n 项和；对于中的，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．19．（本小题满分12分） 在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和. 20．已知抛物线经过点，过作直线与抛物线相切．（1）求直线的方程；（2）如图，直线∥，与抛物线交于，两点，与直线交于点，是否存在常数，使．21．已知圆：经过椭圆：的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于，两点，且（）.（1）求椭圆的方程；（2）当三角形的面积取得最大值时，求直线的方程.22．一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.（1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；（2）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．14．15．16．40三、解答题17．(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析:(1)由,根据线面平行的判定定理证出结论;(2) 取的中点，连结,可证明底面,由的面积为,求出,, 于是,代入体积公式即可.试题解析:（1）在平面内，因为，所以.又平面平面，故平面(2)取的中点，连结.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面.所以由题意,于是.所以四棱锥的体积18．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，可得当时，，两式相减结合，即可求出数列的通项公式；（2），结合等比数列的求和公式，利用错位相减法求出数列的和；（3）利用（2）的结论，进一步利用函数的单调性和恒成立问题求出参数的范围．【详解】数列的前n项和．当时，，得：．当时，，符合上式，故：．由于：，则：，则：，，得：，故：．由于不等式对一切恒成立，所以：不等式对一切恒成立．由于在为递增函数．若n为偶数时，，所以，当n为奇数时，所以：，故：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19．(1).（2）.【解析】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，解得，即可写出通项公式.（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.考点：等比数列、等差数列.20．（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）将T（2，2）代入y2＝2px，得抛物线方程，设直线l方程与抛物线方程联立，通过△＝0得k＝2，得直线l方程.（2）设直线l'的方程为y＝x+b，联立方程组解得P（2﹣2b，2﹣b），则PT2＝5b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，利用弦长公式，转化求解即可．【详解】（1）将代入，则，所以抛物线方程为．设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为．设直线的方程为，联立方程组消得，因相切，由得，所以直线的方程为．（2）因，∥，设直线的方程为，联立方程组解得，则．设，，联立方程组得，所以，；，所以存在实数，使．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查设而不求思想方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；（2）是确定的，，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．解析：（1）如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为. （2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为所以, 又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线方程为，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点到直线的距离，这样可把三角形的面积用参数表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值时参数的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决直线与圆锥曲线相交问题的主要方法.22．(1)；(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，……1分∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是{（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）}共4个，……3分其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），∴P(A)=0.5 ……5分（Ⅱ）设B表示事件“至少一次抽到3”，……6分∵每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个．……8分事件B包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果．∴所求事件的概率为P(B)=……10分考点：本题主要考查古典概型的概率计算。
齐齐哈尔市2020-2021学年高二数学(文)上学期期末考试卷附答案解析
齐齐哈尔市2020-2021学年高二数学（文）上学期期末考试卷全卷共150分,考试时间120分钟.第I 卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}A a x x B A a∈===,2,2,1,0，则=⋂B AA ．{}4,2,1,0B ．{}4,2,1C ．{}2,1D ．{}12.下列说法正确的是A ．命题“21≥”是假命题；B ．命题“01,2>+∈∀x R x ”的否定是“01,200<+∈∃x R x ”； C ．命题“若b a 22>，则b a >”的否命题是“若b a 22>，则b a ≤”；D ．“1>x ”是“2>x ”的必要不充分条件.3. 4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则 取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为 A.31 B.21 C.61 D.344. 已知单位向量,的夹角为︒60，b a k -与b 垂直，则k 的值为 A ．2 B ．C ．D ．5．执行右面的程序框图，如果输入的N ＝5，那么输出的S ＝A. 1111234+++ B. 1111232432+++⨯⨯⨯C. 111112345++++D. 111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…” 其大意为：有一个人走252里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，则此人后四天走的路程为 A ．里 B ．192里 C ．60里 D ．90里 7. 函数()()23ln 44(2)x x f x x -+=-的图象可能是A ．B ．C ．D ．8. 已知函数x x y sin =，则它在点2π=x 处的切线方程是A. x y =B.12-=x y πC. 2π-=x y D. x y 2π=9. 已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点)2()2,(00px x M >是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若31sin =∠MFG ，则抛物线C 的方程是A ．x y =2B ．x y 22=C ．x y 42=D ．x y 82= 10. 若函数x a x x x f ln 21)(2+-=有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是 A ．41>a B ．041<<-a C ．410<<a D ． 41<a11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，双曲线的左支上有B A ,两点使得B F AF 112=.若21F AF ∆的周长与21F BF ∆的周长之比是34，则双曲线的离心率是 A ．2 B ．35C ．5D ．212．定义在R 上的函数)(x f y =，满足2020)1(=-f ，且对任意的R x ∈，都有03)(2>-'x x f 成立，则不等式2021)(3+<x x f 的解集为 A ．(),1-∞- B ．()1,1- C ．()1,+∞D ．(),1-∞第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13．中国古代钱币（如图2）继承了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔.如图1，圆形钱币的半径为4cm ，正方形边长为1cm ，在圆形内随机取一点，则此点取自正方形部分的概率是______.14. 已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((1))=f f ______；设()()g x f x x a =++，若函数()g x 存在2个零点，则实数a 的取值范围是______.（注：第一空2分；第二空3分）15．甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：a ，G ，b 成等差数列，且x ，G ，y 成等比数列，则ba 91+的最小值为______. 16．在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 满足：214)1(22=-+-x y x ，记点P 的轨迹为曲线W ，关于曲线W 有如下命题：①曲线W 关于y 轴对称； ②曲线W 关于坐标原点对称； ③曲线W 过坐标原点O ；④点M 是曲线W 上的动点，且)0,1(),0,1(B A -，则ABM ∆面积的最大值为3. 其中所有正确命题的序号是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.17.本小题满分10分在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C c A b B a cos 2cos cos =+. （1）求角C 的大小；（2）若32,2=+=b a c ，求ABC ∆的面积.18.本小题满分12分流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（）患病人数（）32 32 27 24 20（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到01.0），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄相关性很强？（若[]1,75.0∈r ，则x 、y 相关性很强；若[)75.0,3.0∈r ，则x 、y 相关性一般； 若[]25.0,0∈r ，则x 、y 相关性较弱．）参考数据：5.530≈．参考公式：回归方程：a x b yˆˆˆ+=，其中121()()ˆˆˆ=,()niii nii x x y y b ay bx x x ==--=--∑∑， 相关系数: ∑∑∑===-⋅---=ni i ni ini iiy y x xy yx x r 12121)()())((．19.本小题满分12分中央电视台播出的《主持人大赛》火遍全国，下面是组委会在选拔时随机抽取的100名选手的成绩，按组 号 分组 频数 频率 第1组 [160,165) 0.100 第2组 [165,170) ① 第3组 [170,175) 20 ② 第4组 [175,180) 20 0.200 第5组 [180,185]10 0.100 合 计1001.00（1）请先求出频率分布表中①，②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）．（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在第一轮成绩高的第3,4,5组用分层抽样抽取5名选手进入第二轮比赛，则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮比赛？（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受上一级考官面试，求第4组至少有一名选手被上一级考官面试的概率．20.本小题满分12分如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为1的菱形,︒=∠=∠60DBF DAB ， 且FA FC =．（1）求证：FC ∥平面EAD ；（2）求点A 到平面BDEF 的距离．21.本小题满分12分已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，短轴长为4. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设)0,4(P ，过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式)(R PB PA ∈≤⋅λλ恒成立，求λ的最小值.22.本小题满分12分 已知函数xx a x x a x f 1ln )(-+-=，其中2<a ． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）设Z m ∈，当1=a 时，关于x 的不等式xe x m xf ⋅--<)2()(在区间(]1,0上恒成立，求m 的最小值.。
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线l 的方程为10x y -+=，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求直线l 的倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为θ，则tan 1θ=，又0θπ≤<， ∴45θ=︒. 故选：B.2．复数()i 1i z =⋅-+（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：()i?1i 1i z =-+=--对应点坐标为()1,1--,位于第三象限．故C 正确．【解析】1复数的运算；2复数和复平面内的点一一对应．3．已知互不重合的直线,m n ，互不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（ ） A ．若,n m α⊂∥n ，则m ∥α B ．若,n m n α⊂⊥，则m α⊥ C ．若α∥,βm ∥α，则m ∥β D ．若,m m βα⊥⊂，则αβ⊥ 【答案】D【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法. 【详解】对于A ，如果直线m 在平面内，则无法得出m ∥α，故不正确； 对于B ，直线m 只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确； 对于C ，α∥,βm ∥α，直线m 有可能在平面β内，无法得出m ∥β，故不正确； 对于D ，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确. 故选：D.4．1202年，意大利数学家斐波那契（LeonardoFibonacci ，约1170-约1250）出版了他的《算盘全书》（LiberAbaci ），在书中他向欧洲人介绍了东方数学，书中有这样一个数列{}12:1,1n F F F ==，且()*21n n n F F F n N ++=+∈，这个数列就是著名的“斐波那契数列”，则此数列的前10项和为（ ） A ．10 B ．88 C ．143 D ．232【答案】C【分析】根据121,1F F ==，且()*21n n n F F F n N ++=+∈，依次令1,2,3,4,5,6,7,8n 求出345678910,,,,,,,F F F F F F F F ，即可求出此数列的前10项和.【详解】解：因为121,1F F ==，且()*21n n n F F F n N ++=+∈，所以3122F F F =+=，4233F F F =+=， 5345F F F =+=，6458F F F =+=，75613F F F =+=， 86721F F F =+=， 97834F F F =+=， 108955F F F =+=，所以此数列的前10项和为11235813213455143+++++++++=. 故选：C.5．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11,60AB AD AA BAD ∠====，1190DAA BAA ∠∠==，则1AC =（ ）A ．2B 3C 2D ．1【答案】A【分析】选择基底，利用基底表示出向量1AC ，结合向量运算求解模长. 【详解】由题意，11AC AB AD AA =++，两边平方可得22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅111132cos 2cos 2cos AB AD BAD AB AA BAA AD AA DAA =+∠+∠+∠4=；所以12AC =. 故选：A.6．如图所示，将绘有函数()22sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，若A B ､之间的空间距离为25，则()3f=（ ）A ．1-B ．1C ．3D 3【答案】A【分析】根据空间距离求出周期，结合周期公式求出ω，得出函数解析式，代入即可.【详解】设函数()f x 的周期为T ，由题意可得A 、B 244254T++= 解得3T =23T ωππ=，即()322sin 3f x x ⎫ππ=+⎪⎪⎝⎭， 所以322232sin 32sin 2cos 13233fπππππ⎫⎛⎫==+==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.7．已知圆22:(1)4C x y -+=，过点()2,1P 的直线l 将圆C 的面积分割成两个部分，若使得这两部分的面积之差最大，则直线l 的方程为（ ） A ．2x = B ．1y = C ．30x y +-= D ．240x y +-=【答案】C【分析】先明确两部分的面积之差最大时的状态，结合直线垂直和点斜式可得直线方程. 【详解】圆心坐标为()1,0C ，要使面积之差最大，必须使过点P 的弦长最小，即直线l 与直线CP 垂直. 又10121CP k -==-，所以直线l 的斜率为1-， 由点斜式可求得直线l 的方程为()112y x -=--， 整理得30x y +-=. 故选：C.8．如图所示，已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，290BAF ∠=，且1F 是2BF 的中点，O 为坐标原点，若点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=【答案】D【分析】由题设可得2a c =，直线AB 的方程为330bx cy bc -+=，点线距离公式表示O 到直线AB 的距离，又222a b c =+联立解得22,a b 即可得出答案. 【详解】290BAF ∠=且112BF F F =，则△12AF F 是等边三角形， 设122F F c =，则2a c =①，∴直线AB 的方程为13x yc b+=-，即330bx cy bc -+=， ∴O 到直线AB 2239b c =+②， 又222a b c =+③，联立①②③，解得216a =，212b =，故椭圆C 方程为2211612x y +=.故选：D.二、多选题9．下列叙述正确的是（ ）A ．集合{}{}1,2,3,2,3,4,ABC A B ===⋃，则“任取x C ∈，使得x A B ∈”的概率为12B ．向量()()5,3,2,a m b m =--=-，若a b ⊥，则2m =C ．若{},,a b c 构成空间的一个基底，则{},,a b a b c c +++也可以构成空间的一个基底 D ．“直线1l 与2l 互相平行"是“直线1l 与2l 的斜率相等"的充分不必要条件 【答案】AB【分析】求得{}1,2,3,4A B =，{}2,3A B ⋂=，结合古典摡型，可判定A 正确；根据0a b ⋅=，列出方程，可判定B 正确；根据空间基底的概念，可判定C 错误，结合两直线的位置关系，及充分条件、必要条件的判定，可判定D 错误.【详解】对于A 中，集合{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，可得{}1,2,3,4C A B ==，{}2,3A B ⋂=， 则“任取x C ∈，使得x A B ∈”的概率为2142P ==，所以A 正确； 对于B 中，向量()()5,3,2,a m b m =--=-，由a b ⊥，可得(5)(2)(3)0a b m m ⋅=-⨯-+-⨯=，解得2m =，所以B 正确； 对于C 中，对于向量,,a b a b c c +++，满足()a b c a b c ++=++，所以向量,,a b a b c c +++为共面向量，所以{},,a b a b c c +++不能构成空间的一个基底，所以C 错误；对于D 中，当直线1l 与2l 互相平行且斜率存在时，可得直线1l 与2l 的斜率相等，当两直线的斜率都不存在时，此时直线1l 与2l 也平行，所以直线1l 与2l 互相平行是线1l 与2l 的斜率相等的必要不充分条件，所以D 错误. 故选：AB.10．扎马钉（图1），是古代军事战争中的一种暗器.如图2所示，四个钉尖分别记作A B C D ､､､，连接这四个顶点构成的几何体为正四面体，组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，设1OA =，则下列结论正确的是（ ）A ．AB CD ⊥B ．O 为正四面体ABCD 的中心C ．1BC =D ．四面体ABCD 的外接球表面积为π 【答案】AB【分析】容易判断B ；将图形还原成正四面体，取CD 中点F ， 进而证明CD ⊥平面ABF ，然后判断A ；设E 为A 在平面BCD 上的投影，设出正四面体的棱长，进而根据勾股定理求出棱长，然后判断C ；根据球的表面积公式可以判断D.【详解】如图，正四面体ABCD ，由题意，1OA OB OC OD ====，则O 为正四面体ABCD 的中心，B 正确；设E 为A 在平面BCD 上的投影，易知点E 为三角形BCD 的中心，连接CF 交CD 于F ，则F 为CD 的中点，连接AF ，则,BF CD AF CD ⊥⊥，而BF AF F =，所以CD ⊥平面ABF ，所以AB CD ⊥.A 正确；设该正四面体棱长为a，则2233BE BF a a ==⨯=，因为222213a OE OB BE =-=-，()22222222133a AE OE AB BH a a =+=-=-=，联立解得a =错误； 易知该四面体外接球半径为1，则外接球的表面积为4π. 故选：AB.11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A ､B 为平面上相异的两点，则所有满足：(0PA PBλλ=>，且1)λ≠的点P 的轨迹是圆"，后来人们称这个四为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,4,0A B -，若12λ=，则下列关于动点P 的结论正确的是( )A ．点P 的轨迹方程为2280x y x ++=B ．APB △面积的最大值为6C ．在x 轴上必存在异于,A B 的两定点,M N ，使得12PM PN=D ．若点()3,1Q -，则2+PA PQ的最小值为【答案】ACD【分析】设出点P 的坐标，根据12PA PB =即可求出点P 的轨迹方程，即可判断选项A 是否正确；根据点()()2,0,4,0A B -的位置关系和圆的性质，即可求出APB △面积的最大值，进而判断选项B 是否正确；设()(),0,,0M m N n ，根据12PM PN=可求出点P 的轨迹方程，在与2280x y x ++=方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出,m n 值，进而判断选项C 是否正确；由题意可知2=PA PB ，所以2PA PQ PB PQ +=+，当,,P Q B 三点共线时，2PA PQ +取最小值，最小值为BQ ，由此即可判断选项D 是否正确.【详解】对于选项A ，设(,)P x y ，因为P 满足12PA PB =12=，化简得2280x x y ++=，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以点P 的轨迹是以()4,0-为圆心，4为半径的圆， 又6AB =，且点,A B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，PAB △的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即PAB △的高的最大值为4，所以PAB △面积的最大值为164122⨯⨯=，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于,A B 的两定点,M N ，使得12PM PN=， 设()(),0,,0M m N n ，12==化简可得2222824033m n m n x y x --+-+=，又点P 的轨迹方程为2280x y x ++=，可得228283403m nm n -⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得612m n =-⎧⎨=-⎩或24m n =-⎧⎨=⎩（舍去），故存在异于,A B 的两定点()()60120M N --,,,，使得12PM PN=，故C 正确; 对于选项D ，因为12PA PB =，所以2=PA PB ，所以2PA PQ PB PQ +=+， 又点P 在圆2280x x y ++=上， 如图所示，所以当,,P Q B 三点共线时2PA PQ +取最小值，此时()()()22min2430152PA PQ BQ ⎡⎤+==--+-⎣⎦D 正确.故选:ACD.12．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点()()()11221,2,,,,M A x y B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线方程为24y x = B ．F 是ABM 的重心 C ．3FA FM FB ++=D ．2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△【答案】ABD【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F 是ABM 的重心，利用抛物线的定义可得6FA FM FB ++=，利用三角形面积公式及122x x +=，可得2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△.【详解】对于A ，由()1,2M 在抛物线上可得42p =，即抛物线方程为24y x =，正确；对于B ，分别取,AB AM 的中点,D E ，则2FA FB FD +=，2FM FD =-，即F 在中线MD 上，同理可得F 也在中线BE 上，所以F 是ABM 的重心，正确； 对于C ，由抛物线的定义可得121,2,1FA x FM FB x =+==+， 所以124FA FM FB x x ++=++.由()1,0F 是ABM 的重心，所以12113x x ++=，即122x x +=， 所以1246FA FM FB x x ++=++=，不正确； 对于D ，112AFO S OF y =△，221114AFO S y x ==△； 同理222214BFOSy x ==△,21MFO S =△， 所以2221213AFO BFO MFO S S S x x ++=++=△△△，正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知12F F ､分别是椭圆的左､右焦点，B 为椭圆的上顶点，且12120F BF ∠=，则椭圆离心率e =___________. 【答案】32【分析】由直角三角形的边角关系得出离心率.【详解】因为12120F BF ∠=，所以1230BF F ∠=，即3cos302c e a ==︒=故答案为：3214．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的吋候，利用了曲线方程22:22C x y x y +=+（如图所示）进行图案绘制.试求曲线C 围成的封闭图形的面积___________.【答案】84π+【分析】先对,x y 分情况讨论，去掉绝对值，然后结合方程表示的图形求解面积. 【详解】当0,0x y >>时，方程可化为2211)2,(()y x +-=-它表示圆心在()1,1，2 的圆在第一象限的部分；当0,0>≤x y 时，方程可化为22(1)(1)2,x y -++=它表示圆心在()1,1-2的圆在第四象限的部分；当0,0≤>x y 时，方程可化为22(1)(1)2,x y ++-=它表示圆心在()1,1-，半径为2 的圆在第二象限的部分；当0,0x y ≤≤时，方程可化为22(1)(1)2,x y +++=它表示圆心在()1,1--，半径为2 的圆在第三象限的部分；综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域.这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径. 所以总面积为()()22222284S =+π=+π.故答案为：84π+.15．如图棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段AD 上的动点，Q 为线段BC 上的动点，则PQ 长度的最小值为___________.【答案】1【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设出点P 、Q 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得结果.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点(),0,1P a a -、(),1,Q b b ，其中01a ≤≤，01b ≤≤，所以，PQ ==1≥，当12a b ==时，PQ 取最小值1. 故答案为：1. 四、双空题16．已知一元二次函数()f x 满足；()11f =，且()202f x x ≤≤恒成立，则()f x =___________；若()()()()23123n f f f n a f n=++++，则数列1na 的前n 项和为___________. 【答案】 2x21nn + 【分析】令2()f x ax bx c =++，由()11f =、不等式恒成立及二次函数的性质求a 、b 、c ，写出()f x 的解析式，进而可得(1)2n n n a +=，应用裂项相消法求1{}n a 的前n 项和. 【详解】令2()f x ax bx c =++且0a ≠，∵()202f x x ≤≤恒成立，∴220(2)0ax bx c a x bx c ⎧++≥⎪⎨-++≤⎪⎩恒成立，则22040204(2)0a b ac a b c a >⎧⎪-≤⎪⎨-<⎪⎪--≤⎩， ∴220244(2)a b ac b c a <<⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩，易知02404(2)0a ac c a <<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则00c c ≥⎧⎨≤⎩，即0c ，∴20b ≤，得0b =，又()2110101f a =⨯+⨯+=，得1a =，∴2()f x x =. ∴(1)1232n n n a n +=++++=，则1112()1na n n =⋅-+， ∴1n a 的前n 项和11111122(1...)2(1)223111n nT n n n n =⋅-+-++-=⋅-=+++. 故答案为：2x ，21nn +. 五、解答题17．已知直线:2360l x y +-=(1)求过点()2,3P ，且与直线l 平行的直线m 的方程；(2)直线l 与圆22:2440C x y x y +--+=相交于A B ､两点，求线段AB 的长. 【答案】(1)23130x y +-=【分析】（1）由平行直线斜率相等求出直线的m 斜率，用直线的点斜式方程求解或设直线方程为230x y C ++=，将点代入即可求解.（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据AB =. (1) 解法一：直线l 的斜率为23l k =-//l m ∴直线m 的斜率为23m k =-∴直线m 的方程为()2323y x -=-- 即23130x y +-= 解法二：//l m ∴直线m 的方程为230x y C ++=直线m 过点()2,32233013C C ∴⨯+⨯+=∴=-∴直线m 的方程为23130x y +-=(2)易知圆心()1,2C ，半径1r =∴圆心C 到直线l 的距离d ===AB ∴=18．已知等差数列{}n a 满足：2541212,3210a a a a +=-= (1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)若2na n nb a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)n a n =；(2)()1122n n S n +=-⋅+.【分析】（1）应用等差数列的通项公式及已知条件列方程组求基本量，即可写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得2nn b n =⋅，应用错位相减法求{}n b 的前n 项和n S .(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设，有113912910a d a d +=⎧⎨+=⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩. ()111n a n n ∴=+-⨯=，故{}n a 的通项公式为n a n =. (2)由（1）知：2nn b n =⋅，()1231122232122n n n S n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅① ()23412122232122n n n S n n +∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅，()1212212n n n S n +-∴-=-⋅-.∴数列{}n b 的前n 项和()1122n n S n +=-⋅+.19．在△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b csin cos 3B b C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角C 的大小；(2)若22223a c a b ==-，求△ABC 的面积. 【答案】(1)6π；【分析】（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得tan C =，即可知C 的大小.（2）由余弦定理及已知条件可得1b =或2b =，再应用三角形面积公式求△ABC 的面积. (1)sin sin cos 3C B B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0B π<<，则sin 0B ≠，∴133sin cos sin 22C C C =+，可得3tan 3C =，又0C π<<， ∴6C π=.(2)由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-且23a =，则22126c b b =+-，222332c b a +=，则228c b =-，∴228126b b b -=+-，整理得2320b b -+=，解得1b =或2b =，∴①当1b =时，7c =，此时13sin 22ABCSab C ==， ②当2b =时，2c =，此时1sin 32ABC S ab C ==△. ∴△ABC 的面积为3或32. 20．如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 是等腰梯形，AD //,,BC AC DB O PO ⋂=⊥平面,90,1ABCD BOC OA ∠==，2,OC E =在PB 上.(1)为保证风筝飞行稳定，需要在E 处引一尼绳，使得3PB PE =，求证：直线PD //平面AEC ；(2)实验表明，当tan 2PAC ∠=时，风筝表现最好，求此时直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析； 15.【分析】（1）由等腰梯形的性质可得1,2OD OB ==，连接EO ，易证//EO PD ，根据线面平行的判定证明结论.（2）由题设，构建以,,OB OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求面PBC 的法向量、直线PA 的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示，求线面角的正弦值. (1)四边形ABCD 是等腰梯形且//AD BC ，1OA =、2OC =，易知：1,2OD OB ==， 连接EO ，则13PE DO PB DB ==，故//EO PD ， EO ⊂面,AEC PD ⊄面AEC//PD ∴面AEC .(2)PO ⊥平面,ABCD AC平面ABCD∴PO AC ⊥.tan 2OPPAC OA∠==， 2OP ∴=.又OB OC ⊥，则以O 为坐标原点，分别以,,OB OC OP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，()()()()()0,0,0,0,0,2,0,1,0,0,2,0,2,0,0O P A C B ∴-()()()0,1,2,0,2,2,2,0,2PA PC PB ∴=--=-=-，设面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则220220n PC y z n PB x z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，可得()1,1,1n =，设PA 与平面PBC 所成角为θ. ∴315sin cos ,53PA n PA n PA nθ⋅===⨯即PA 与面PBC 1521．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>20y ±=，且虚轴长为(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:1l y kx =+与双曲线C 相交于不同的两点,A B ，且满足1OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22143x y -=；(2)1k -<<1k <<.【分析】（1）由双曲线渐近线方程、虚轴长可得2b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩求参数a 、b ，写出双曲线C 的方程；（2）联立直线与双曲线，由判别式求k 的范围，再应用韦达定理及1OA OB ⋅>-，结合向量数量积的坐标表示求k 的范围，进而求k 的交集即为所求范围. (1)由题意知：2b a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴双曲线C 的方程为22143x y -=. (2)联立直线与双曲线：221431x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得：()22348160k x kx ---=.()222340Δ(8)64340k k k ⎧-≠⎪∴⎨=-+->⎪⎩，可得11k -<<且k ≠ 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222816,3434k x x x x k k -+==--， ()()()()212121212121211111OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+++=++++>- ()22221618203434k k k k -+∴++>--，则221016034k k -->-，整理得2340k -<，∴k <或k > 综上，k的取值范围为1k -<<1k <<.22．已知函数()()3log 1(0)1x f x x x +=>+的图像上有一点列()()*,n n n P x y n N ∈，点n P 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且(1322n n x x n -=+≥，且)*1,2n N x ∈=.(1)求证：{}1n x +是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-吋，不等式239181n y t mt <-+恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n T ，求证：1211132nT T nT +++<. 【答案】(1)证明见解析，31nn x =-(2)()(),22,∞∞--⋃+ (3)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可，结合等比数列可求数列{}n x 的通项公式；（2）先求出n y ，判断n y 的单调性，利用单调性求出n y 的最大值，结合恒成立可求t 的取值范围；（3）先求四边形的面积表达式，然后利用放缩和裂项相消法可证结论. (1)因为2n ≥，且*1,32n n n N x x -∈=+所以()1131n n x x -+=+，即1131n n x x -+=+（常数）； 因为113x +=，所以{}1n x +是首项为3，公比为3的等比数列， 所以11333n n n x -+=⨯=，即31n n x =-；数列{}n x 的通项公式为31n n x =-.(2)由题可知()()3*log 10,1n n nn x y xn N x +=>∈+，由（1）可得3log 3033n n n n n y ==>，所以1113n ny n y n ++=<，即1n n y y +<，数列{}n y 为单调递减数列. 所以n y 最大值为113y =；因为当[]1,1m ∈-吋，不等式239181n y t mt <-+恒成立，所以29180t mt ->恒成立.所以2291809180t t t t ⎧->⎨+>⎩，解得2t <-或2t >.所以t 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+. (3)四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是()()114123n n n n n y y x x n T +++-+==.因为()()331134111n n n n n n ⎛⎫<=- ⎪+++⎝⎭，所以1211111111111313122233411n T T nT n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为*n ∈N ，所以13313311n n ⎛⎫-=-< ⎪++⎝⎭； 所以12111 3.2nT T nT +++< 【点睛】本题综合了函数和数列，数列类型的判定和证明一般采用定义法进行，数列不等式的证明常用裂项相消法，适当放缩也是常用技巧；函数恒成立问题的求解转化为函数最值问题.。
黑龙江省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二学年期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 椭圆的焦距为（ ）221259x y +=A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可得：，则，进而求解.5,3a b ==4c ==【详解】由椭圆可得：，221259x y +=5,3a b ==所以，则椭圆的焦距为，4c ==221259x y+=28c =故选：.B 2. 已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为1:3460l x y -+=2:3440l x y --=（ ） A. 2 B. 3C. 5D. 10【答案】A 【解析】【分析】由两平行线距离公式求解即可. 【详解】这两条直线之间的距离为.2d ==故选：A3. 设m 为实数，若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值22121x y m m +=--范围是（ ） A.B. C. D.322m <<312m <<>2m 1m <【解析】【分析】根据焦点在x 轴上的双曲线的方程特征列出不等式，从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x 轴上的双曲线，22121x y m m +=--所以，解得.2010m m ->⎧⎨-<⎩1m <故选：D .4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右π22221x ya b+=0a b >>焦点为，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦中点坐标为，则椭圆(3,0)F AB (2,1)-的面积为（ ） A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程，再结合2121221212y y x x b x x y y a -+=-⨯-+a 、b ，进而求出面积.c =【详解】设，，则有，两式作差得：()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 2222121222x x y y a b--=-即， 2121221212y y x x b k x x y y a-+==-⨯-+弦中点坐标为，则， AB (2,1)-2212221221x x b b k y y a a+=-⨯=-⨯+-又∵，∴，∴， 0(1)132k --==-22211b a=-⨯-222a b =又∵，∴可解得，，3c ==a =3b =故椭圆的面积为.πab =5. 已知向量，且与互相平行，则（ ）()()1,1,0,1,0,=-= a b m ka b + 2a b -r r k =A. B.C.D. 114-153512-【答案】D 【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，(1,,)ka b k k m +=- 2(3,1,2)a b m -=--因为与平行，ka b + 2a b -r r若，则，， 0m =131k k-=-12k =-若，则，无解． 0m ≠1312k k mm-==--k 综上，， 12k =-故选：D ．6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为2m ，且水流落在地面上以O 为圆心，6m 为半径的圆内，则管柱OA 的高度为（ ）A. 2mB. 3mC. 2.5mD. 1.5m【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代22(0)x py p =->C 入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得p ()02,A y -0y 的高度．OA 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为， 22(0)x py p =->因为点，所以，解得，所以抛物线方程为， (4,4)C -162(4)p =-⨯-2p =24x y =-点在抛物线上，所以，解得， 0(2,)A y -044y =-01y =-所以，所以管柱的高度为． 043OA y =-=OA 3m 故选：B ．7. 已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±1F ，过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且，的周长为2F 2F ||4PQ =1PQF △20，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B.C. D.2219y x -=22193x y -=2219x y -= 221364-=x y 【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线方程可得，再根据双曲线的定义及的周长可求得，13b a =1PQF △a 即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>13y x =±所以， 13b a =因为过的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，2F 所以，即， 12122,2PF PF a QF QF a -=-=12122,2PF PF a QF QF a =+=+则的周长为， 1PQF △11424820PF QF PQ a PQ a ++=+=+=所以，则，3a =1b =所以双曲线的标准方程为.2219x y -=故选：C.8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A ，直线2222:1(0)x y E a b a b+=>>1F 2F 与椭圆E 的另一个交点为B ，若，则椭圆E 的离心率为（ ）1AF 220F A F B =⋅A.B.C.D.4535【答案】B 【解析】【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B 的坐标，再根据1AF by x b c=+求解.220F A F B =⋅【详解】解：由题意得， ()()()1120,,,0,,0,AF b A b F c F c k c-=则直线的方程为， 1AF by x b c=+联立，消去y 得， 22221b y x bc x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222220a b ab b x x c c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭则， 22222222,B B a c a b x y b a c a c=-=-++所以， ()2222222222,,,a c a bAF c b BF c b a c a c ⎛⎫=-=+- ⎪++⎝⎭因为，220AF BF =⋅所以， 2222222222220a c a b c b a c a c+-+=++因为，化简得，222b a c =-22450a c a -=即，所以，2250c a -=2215c a =所以. e =故选：B .（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） 22:430M x y x +-+=A. 点在圆M 内 B. 圆M 关于对称 (4,0)320x y ++=C. 半径为1D. 直线与圆M 相切0x -=【答案】CD 【解析】【分析】化出圆的标准方程后，再逐项验证.【详解】解：圆的标准方程为：，22:430M x y x +-+=()2221x y -+=圆心为，半径为1，()2,0A.因为，所以点在圆M 外，故错误；()224201-+>(4,0)B.因为，即圆心不在直线上，故错误； 23020+⨯+≠320x y ++=C.由圆的标准方程知，半径为1，故正确；D.因为圆心为到直线的距离为，与圆M 的半径相()2,00x -=1d ==等，故直线与圆M 相切，故正确； 0x =故选：CD10. 已知椭圆E ：，，分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶221164x y +=1F 2F 点，点是椭圆上异于A ，B 的一个动点．下列结论中，正确的有（ ） P E A. 椭圆的长轴长为8E B. 满足的面积为4的点恰有2个 12F PF △P C. 的的最大值为16 12PF PF D. 直线与直线斜率乘积为定值 PA PB 14【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的方程得到，进而判断选项；根据三角形面积求出点的纵坐4a =A P 标的绝对值，进而判断选项；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项；设出点B C P 的坐标，代入计算整理即可判断选项.D 【详解】由椭圆方程可得：.221164x y +=4,2a b ==对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；A 28a =A对于，因为，则，B 4,2a b ==c ==2112142PF F P S F F y ==A ，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；2P y =>P B 对于，由椭圆的定义可得：C 1282a PF PF ==+≥等号成立，则， 所以的的最大值为，故选项12PF PF =1216PF PF ≤12PF PF 16C正确；对于，设点，则，则有，D 00(,)P x y 22001164x y +=2200144y x =-又因为，所以， (4,0),(4,0)A B -2200022000014144416164APBPx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---故选项错误， D 故选：.AC 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与C 的另外2:8C y x =()()000,0A x y y >两个交点分别为M ，N ，已知C的焦点为F ，且，则（ ） ||8AF =A. C 的准线方程是4x =-B.0y =C.直线过定点MN (14,-D. 当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为260x --=【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程；B 选项，由焦半径公式求出；C 0y =选项，设直线的方程，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，由MN ，求出或，分两种情况，得到所过定AM AN ⋅=104b -=+104b -=+点，舍去不合要求的情况；D 选项，在C 选项的基础上，由几何关系得到当与直线AE 垂直时，点A 到直线MN 的距离最大，由直线MN ，求出直线MN 的方MN 程.【详解】A 选项，由题意，得，C 的准线方程为，故A 错误； ()2,0F 2x =-B 选项，由焦半径，得，解得，08||2AF x =+=06x =故，20088648y x ==⨯=因为，所以，故B 正确；00y >0y =C 选项，直线的斜率不为0，设直线的方程为， MN MN x ky b =+与联立，得.2:8C y x =2880y ky b --=设，则，， ()()1122,,,M x y N x y 128y y k +=128y y b =-则，，()21212282x x k y y b k b +=++=+()21221264y y x x b ==则，((11226,,6,AM x y AN x y =--=--所以()()(121266AM AN x x y y ⋅=--+--())1212121263648x x x x y y y y =-+++-++，()226823688480b k b b k =-++--+=整理得，())2210161b -=+故或，104b -=+104b -=+当时，直线为，即， 104b -=+MN 14x ky =++(14x k y -=+此时直线过定点，MN (14,-当时，直线为，即， 104b -=+MN 6x ky =-+(6x k y -=-此时直线过定点，此时与点重合，不合要求，舍去， MN (A故直线过定点，故C 正确；MN (14,-D 选项，由C 选项，可知直线过定点， MN (14,E -故当与直线垂直时，点A 到直线MN 的距离最大， AE MN因为，所以直线MN AE k ==故直线MN 的方程为， )14y x +=-整理得，故D 正确. 260x --=故选：BCD.【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路.（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成()00,x y k 立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括k ()k ⋅号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 12. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互素，欧拉函数的函数值()()k k ϕ*∈N等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，(2)1ϕ=(3)2ϕ=，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互素，那么(6)2ϕ=(8)4ϕ=，则（ ）()()()mn m n ϕϕϕ=A.B.(4)(6)ϕϕ=()122nn ϕ-=C. 数列不是递增数列D. 数列的最大项为第(){}6nϕ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭4列【答案】ABD 【解析】【分析】根据欧拉函数定义，结合数列的单调性的性质逐一判断即可.【详解】A ：因为，，所以，因此本选项正确； (4)2ϕ=(6)2ϕ=(4)(6)ϕϕ=B ：因为在正整数中，所有的偶数与都不互质，所有的奇数都与互质， 2n 2n 所以，因此本选项正确；()122nn ϕ-=C ：因为在正整数中，都与互质，共有1,2,4,5,7,8,10,,31,32n n -- 3n 个，所以，由上可知：，()1131323n n ---=⋅()1323n n ϕ-=⋅()122n n ϕ-=显然互质， 2,3n n 所以， ()()()()16223263nn nn n n ϕϕϕϕ-==⋅⋅=因为，，所以， ()16260nn ϕ-=⋅>()()+1162661266n nn n ϕϕ-⋅==>⋅()()+166n n ϕϕ>所以数列是单调递增数列，因此本说法不正确；(){}6nϕD ：由上可知：，所以有， ()1323nn ϕ-=⋅()1(4)2(4)2233n nn nn n n n ϕ-++=⋅假设第项为数列最大项，则有 k ()(4)23n nn n ϕ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，()()111121(5)2(4)2232311(3)2(4)22323k k k kk kk k k k k k k k k k k +----⎧+++≥⎪⎪⋅⋅⇒≤≤⎨-++⎪≥⎪⋅⋅⎩因为是正整数，所以，因此本选项正确， k 4k =故选：ABD【点睛】关键点睛：正确理解欧拉函数的定义，利用数列的单调性性质是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13. 等差数列中，，则______． {}n a 2634a a +=4a =【答案】17 【解析】【分析】由，再根据等差中项求解的值即可. 2634a a +=4a 【详解】在等差数列中，是的等差中项，所以. {}n a 4a 26,a a 264172a a a +==故答案为：17.14. 如图，在长方体中，，，则与平面1111ABCD A B C D -2AB AD ==14DD =11A B 所成的角的正弦值为______．11A C D【答案】 23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z ，()()()()1110,0,4,2,0,4,0,2,0,2,2,4A B D C 设平面的法向量为，11A C D (),,m x y z =则，()()()()111,,2,2,0220,,0,2,4240m A C x y z x y m A D x y z y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ 令，则，故，1z =2,2y x ==-()2,2,1m =-设与平面所成角的大小为，11A B 11A C D θ则，12sin cos ,3m A θ= 与平面所成角的正弦值为.11A B 11A C D 23故答案为：2315. 已知点，P 是椭圆上的动点，则的最大值是______．(0,4)A 22:1259x yE +=||PA 【答案】【解析】【分析】设，利用两点间的距离公式求解. (),55,33P x y x y -≤≤-≤≤【详解】解：设，(),55,33P x y x y -≤≤-≤≤， PA ==，=当时，取得最大值 94y =-||PA故答案为：16. 对非原点O 的点M ，若点在射线上，且，则称为M 的M 'OM 2||OM OM r '⋅=M '“r -圆称点”，图形G 上的所有点的“r -圆称点”组成的图形称为G 的“r -圆称形”．G '(1,0)A 的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为22(1)(2)5x y -+-=______． 【答案】 ①. ②.()9,02490x y +-=【解析】【分析】根据题意得到，，结合点在射线上，得到故9OA OA '⋅=9OA '=A 'OA (1,0)A 的“3-圆称点”为，设出，，设其“r -圆称点”为，由()9,0(),B m n 0,0m n ≠≠(),B x y '得到方程，点在射线上，不妨设，，得到方程，求出9OB OB ⋅'=B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥.249x y +=【详解】由题意得：，又，所以， 9OA OA '⋅=1OA =9OA '=又点在射线上，即在轴正半轴上， A 'OA x 故的“3-圆称点”为；(1,0)A ()9,0设圆（不包含原点）的一点，， 22(1)(2)5x y -+-=(),B m n 0,0m n ≠≠设其“r -圆称点”为，则， (),B x y '9OB OB ⋅'=，9=又点在射线上，不妨设，，B 'OB m kxn ky =⎧⎨=⎩0k ≥所以，整理得：，()()2222125m n kx ky +=-+-=2224kx ky x y +=+综上，，即，()229k x y =+=249x y +=故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为. 22(1)(2)5x y -+-=2490x y +-=故答案为：，.(9,0)2490x y +-=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知，，过点且与直线垂直的直线为，圆：(1,2)A (1,1)B -(1,0)P AB l M ．224x y +=（1）求的方程；l （2）求与圆相交的弦长． l M 【答案】（1）220x y +-=（2 【解析】【分析】（1）根据坐标确定直线的斜率，由两条直线垂直可得直线的斜率，又,A B AB l 点斜式方程即可求得的方程；l（2）根据直线与圆相交的几何性质求解圆心到直线的距离，再根据弦长公式d 即可得与圆相交的弦长． l M 【小问1详解】因为，，所以，又，所以，(1,2)A (1,1)B -()211112AB k -==--AB l ⊥1AB l k k ⋅=-则，则直线的方程为：，即； 2l k =-l ()21y x =--220x y +-=【小问2详解】因为圆：，则圆心，半径， M 224x y +=()0,0M 2r =所以圆心到直线的距离 M l d所以相交弦长为 ==18. 已知为等差数列的前项和，，． n S {}n a n 42a =1122S =-（1）求；n a （2）是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，n S n S n说明理由．【答案】（1）210n a n =-+（2）存在，最大值20，或5 4n =【解析】【分析】（1）设公差为，根据等差数列的通项公式与前项和公式，求得即可得d n 1,a d ；n a （2）由等差数列的前项和公式得，根据二次函数的性质结合，即可确定的n n S *N n ∈n S 最大值及取得最大值时的值. n 【小问1详解】设等差数列的公差为，由，{}n a d 42a =1122S =-可得，解得，所以1132111011222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩18,2a d ==-；()()812210n a n n =+-⨯-=-+【小问2详解】()()()221119818292224n n n n n S na d n n n n --⎛⎫=+=+⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭又，所以当时，，当时，， *9N 2n =∉4n =420S =5n =520S =所以存在最大值为，取得最大值时或.n S 204n =519. 已知抛物线过点，焦点为F ，O 为坐标原点． 2:2C y px =(4,4)M （1）求抛物线C 的方程，并写出F 的坐标；（2）若直线MF 与抛物线的另一个交点为N ，求的面积． OMN A 【答案】（1），；24y x =(1,0)F （2）. 52【解析】【分析】（1）根据抛物线过点即可求出的值，进而求解； 2:2C y px =(4,4)M p （2）结合（1）的结论写出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，求出点的MF N 坐标，进而求出的长度，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，MN O MF 代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】因为抛物线过点，则，解得：， 2:2C y px =(4,4)M 168p =2p =所以抛物线的方程为：，焦点坐标为：； C 24y x =(1,0)F 【小问2详解】由（1）可得：直线的方程为：， MF 4(1)3y x =-将其代入抛物线方程可得：，解得：，， 241740x x -+=14x =214x =由题意可知：点的横坐标为，所以点的横坐标为，N 14N 41(1)134y =⨯-=-则点，所以， 1(,1)4N -254MN ==又因为点到直线的距离，O MF 45d ==所以. 11254522452OMN S MN d =⨯⋅=⨯⨯=A 20. 椭圆E 的方程为，短轴长为2．22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l ：与圆相切，且与椭圆E 交于M ，N两点，(0)y kx m k =+>222x y b +=且l 的方程．||MN =【答案】（1）2213x y +=（2）或y x =y x =【解析】【分析】（1）根据离心率，短轴长等列出方程组，求出，得到椭圆方程；1a b ==（2）由点到直线距离公式列出方程，得到，联立直线方程和椭圆方程，得到221m k =+两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出及，得到答案. 1k=m =【小问1详解】 由题意得：，，结合， 22b=c a =222a b c =+解得：，1a b ==故椭圆方程为；2213x y +=【小问2详解】直线l ：与圆相切， (0)y kx m k =+>221x y +=，即，1=221m k =+联立与得：，(0)y kx m k =+>2213x y +=()222136330k x kmx m +++-=设，()()1122,,,M x y N x y ，， 122613km x x k +=-+21223313m xx k-=+则MN===将221m k =+=解得：，21k =因为，所以，故，则，0k >1k =2212m k =+=m =所以直线l 的方程为或y x =y x =21. 已知在四棱锥中，平面，，P ABCD -PD ⊥ABCD 2,1PD CD AD AB ====，．AB DA ⊥AB CDA（1）求证：平面平面；PAD ⊥PCD （2）若是棱上的点，若二面角的余弦值为，求线段的长．M PC M BD A --PM 【答案】（1）证明见解析（2）PM【解析】【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再结合面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，，根据空间向量求得二面角的余弦[],0,1PM PC λλ=∈值，列方程即可解得的值，从而可得线段的长． λPM 【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以 PD ⊥ABCD ,⊂DA DC ABCD ,PD DA PD DC ⊥⊥又，，所以，AB DA ⊥AB CD A DA DC ⊥由于平面，所以平面， ,,DA PD D DA PD ⋂=⊂PAD DC ⊥PAD 又平面，所以平面平面； DC ⊂PCD PAD ⊥PCD 【小问2详解】由（1）得，，如图，以为原点，分别为,PD DA PD DC ⊥⊥DA DC ⊥D ,,DA DC DP 轴建立空间直角坐标系，,,x yz由，则2,1PD CD AD AB ====()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P 设，所以， [],0,1PM PC λλ=∈ ()()0,2,20,2,2PM PC λλλλ==-=-则，()()()0,0,20,2,20,2,22DM DP PM λλλλ=+=+-=-设平面的法向量为，则MBD (),,n x y z =，令，则()10222000DM n y z y z x y DB n x yλλλλ-⎧⎧⋅=⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎩ z λ=()1,1,n λλλ=-- ，又平面，所以是平面的一个法向量，PD ⊥ABCD ()0,0,2DP =BDA 所以，所以cos ,DP n DP n DP n ⋅==⋅ 420λ-+=，12λ=故当为中点时符合题意，所以. M PC 12PM PC ==22. 已知双曲线的离心率，分别为其两条渐近线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =1P 2P 上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原12PP PP =P 12OPP A O 点．（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定C 2F A B x 点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．M MA MB ⋅M 【答案】（1）22188x y -=（2）存在， (2,0)【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线,a c ,a b 方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得y x =±()1,P m m ()2,P n n -P 12PP 与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程； mn a 12OPP A a C （2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标AB 关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存(),0M t MA MB ⋅ t AB 在时是否满足该定值即可. 【小问1详解】由离心率，则双曲线的渐近线方程为ce a==c ==a b =，y x =±因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，1P 2P 12OP OP ⊥()1,P m m ()2,P n n -，由于，则点为的中点，所以， 12PP PP = P 12PP ,22m n m n P +-⎛⎫⎪⎝⎭又点在双曲线上，所以，整理得：P ()()2222144m n m n a a +--=2mn a =因为的面积为8，所以，则12OPP A 121211822OP P S OP OP =⋅=A ，228a b ==故双曲线的方程为；C 22188x y -=【小问2详解】由（1）可得，所以为4c =2F ()4,0当直线的斜率存在时，设方程为：，，AB AB ()4y k x =-()()1122,,,A x y B x y 则，所以，则()224188y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()2222181680k x k x k -+--=21k ≠恒成立，所以()()()22222Δ84116832320k k kk =----=+>， 221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---假设在轴上是否存在定点，设，则x M (),0M t ()()()()()()221122121212121211,,44MA MB x t y x t y x x t x x t y y x x t x x t k x k x ⋅=-⋅-=-+++=-+++-⋅-()()()()()()()()2222222222212122221168161814164111k k k t k k kx x t k x x ktt k k k k +++-=+-++++=-+++---()()22228881t t t k k---+=-要使得为常数，则，解得,定点，MA MB ⋅ 2288811t t t --+=2t =()2,0M ；4MA MB ⋅=-又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得AB AB 4x =22188x y -=，y=±((4,,4,A B-若，则，符合上述结论；()2,0M ((()2,2,484MA MB ⋅=⋅-=+-=-综上，在轴上存在定点，使为常数，且. x M MA MB ⋅4-()2,0M 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验221212228168,11k k x x x x k k ++=-⋅=---x M (),0M t 证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得MA MB ⋅ MA MB ⋅，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构()()22228881t t t k k---+=-k 中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使t t得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.。
2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期末考试数学(理)试题 word版
黑龙江省齐齐哈尔市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷共150分,考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用2B铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合})1(ln|{,}21|{xyxBxxA-==≥=，则A B=A. {}2x x ≥-B. {}12x x <<C. 1{|0}2x x <<D. {}112xx ≤< 2．抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点坐标为A.)41,0(a B.)4,0(a C.)04(，a D.)0,41(a3．已知3.0log ,2log ,2233.0===c b a ，则的大小关系为A. B. C. D.4．下列说法正确的是A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ． 命题“),0(0+∞∈∃x ，1ln 00-=x x ”的否定是“),0(+∞∉∀x ，1ln -=x x ”D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”5．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为A ．6B ．8C ．12D ．186．古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入n m ,的值分别为779，209，则输出的=mA ．19B ．20C ．21D ．227．在区间]2,1[-上任取一个实数k ，则直线)5(-=x k y 与圆122=+y x 相交的概率为A.43 B.31 C.32 D.218．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两结束输入m ,n 开始求m 除以n 的余数r = 0 ?是 m = nn = r输出m否个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的， 我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩. 若 将8拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为A ．B ．C ．D ．9．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题：①如果m n ⊥，m α⊥，β//n ，那么αβ⊥； ①如果m α⊥，α//n ，那么m n ⊥； ①如果βα//，m α⊂，那么β//m ；①如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么βα//.其中正确的命题是 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①10．已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的表面上，底面ABCD 是矩形，侧面⊥PAD底面ABCD ，PAD ∆为等腰直角三角形，，则球O 的表面积为 A.B.C.D.11．已知椭圆1416:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线l 与椭圆C 交于B A , 两点，且MB AM =，222MOF M OF ∠=∠，则直线l 的斜率为 A. 31±B.31C. 43±D.43 12．已知双曲线1169:22=-y x C ，其左、右焦点分别为21,F F ，点M 的坐标为)2,3(，双曲线C 上的点)0,0)(,(0000>>y x y x P 满足||||21121111F F P F =，则1PMF ∆与2PMF ∆面积的差=-∆∆21PMF PMF S SA. 2-B. 2C. 4D. 6第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把正确答案写在答题卡相应题的横线上.13．某市共有800家企业，其中中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家. 为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么______．14．已知一组数据的平均数为4.8，那么数据n ξξξ,,,21⋅⋅⋅的平均数为_______．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ,，过2F 作x 轴的垂线与C 交于,A B 两点，1F B 与y 轴相交于点D ，若1BF AD ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为________． 16．如图，一个圆柱被与其底面成︒30角的平面所截，截口为椭圆，截 面的上、下两部分分别有球1O 和球2O 与之相切，切点分别为F E 、， 且两球均与圆柱的侧面相切，若圆柱的一条母线l 与两个球的公共点 分别为B A 、，与椭圆的公共点为P ，4=AB ，则球1O 的半径为_____；截口椭圆的离心率等于________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 17.本小题满分10分在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac c a b -+=222.A O 1E F P BO 2lxOF 2 F 1 yABD（1）求角B 的大小；（2）求C B A sin sin sin ++的取值范围．18.本小题满分12分2020年12月1日23时11分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面预选着陆区. 在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨道，并于12月17日1:59分精准返回着陆. 期间，历经23天、往返路程超过76万公里. 嫦娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破.为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作. 前五天的报名情况如下：数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系a xb y ˆˆˆ+=，据此请你解决以下问题： （1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测第8天的报名人数（结果四舍五入取整数）； （2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团成员6人，其中女生2名，男生4名，现欲从中任选2人作为面试评委，求选出的2人中恰有一个男生和一个女生的概率．参考公式：∑∑==---=n i i ni iix x y yx x b121)())((ˆ∑∑==-⋅-=n i i ni ii xn x yx n yx 1221，x b y aˆˆ-=. 19.本小题满分12分已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，12a =，且248,,a a a 成等比数列．（1）求na 和nS ；（2）若n a n S b n 1)2(+=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且1+≥n mT n 对任意的*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.本小题满分12分已知点)3,(0x M 在抛物线)0(2:2>=p py x C 上，F 为抛物线C 的焦点，4||=MF . （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 且斜率为)0(≠k k 的直线1l 交抛物线C 于B A ,两点，过点F 且与直线1l 垂直的直线2l 交抛物线C 于E D ,两点，求||||DE AB +的最小值.21.本小题满分12分如图，侧棱垂直于底面的三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是1,CC AC 的中点，.（1）证明：//1C B 平面；（2）求二面角的余弦值.EDCBAC 1B 1A 122.本小题满分12分已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率21=e ，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上的动点，||PF 的最大值为3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）B A ,分别为椭圆C 的左、右顶点，过点F 作直线交椭圆C 于N M ,两点，直线AM 、BN 交于点T ，试探究点T 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.。
黑龙江省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟试题2套(含答案)
黑龙江省高二上学期期末考试含答案（数 学）试卷说明：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题：（每小题5分，共计60分，每题只有一个选项符合题目要求） 1.抛物线x y 32=的准线方程是（ ）A ．43-=y B.34x =- C ．112y =- D ．112x =-2．将两个数1,2a b =-=-交换，使2,1a b =-=-，下列语句正确的是( )A ．B ．C ．D ．3.如图，面积为4的矩形ABCD 中有一个阴影部分，若往矩形ABCD 中随机投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为350个，试估计阴影部分的面积为（ ）A ．1.4 B.1.6 C ．2.6 D ．2.44．已知向量)0,1,1(=a ，(1,0,2)b =-，且b a k +与a 互相垂直，则k ＝（ ）A.13 B.12 C.13- D.12- 5.已知抛物线245x y =-的焦点与双曲线221()4x y a R a +=∈的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．14y x =±D ．12y x =± 6. 执行右面的程序框图，若输入10011,2,5a k n ===，则输出的b 的值是（ ）A ． 38 B. 39 C. 18 D. 197.在区间)2,1(内随机取个实数a ，则直线x y 2=，直线a x =与x 轴围成的面积大于916的概率是（ ）. A.32 B. 31 C. 21 D. 438.下列说法正确的个数为（ ）a=c c=bb=ab=aa=bc=a a=b b=ca=b b=a 第3题第6题①统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。
线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2020-2021学年黑龙江省高二上学期学业水平考试 数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省高二上学期学业水平考试 数学（文）试题一、单选题1．设有直线()31y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点（ ） A ．（0，0） B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）【答案】C【分析】将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点()3,1． 【详解】原直线方程变形为()13y k x -=-，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点()3,1． 故选：C ．【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．2．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ）． A ．12y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．4y x =±【答案】B【分析】由双曲线方程的渐近线为by x a=±，结合标准方程即可得渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知：渐近线为2by x x a=±=±， 故选：B3．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（ ） A ．双曲线 B ．抛物线C ．椭圆D ．圆【答案】B【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线.【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆； 当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆； 当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆； 当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.4．设实数x ，y 满足约束条件x y 203x y 60y 3--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则yx 的最大值是（ ）A ．35B ．53C ．2D ．3【答案】D【分析】画出可行域,根据目标函数yz x=表示动点P 与原点所确定直线的斜率求解. 【详解】由实数x ，y 满足约束条件x y 203x y 60y 3--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，画出可行域如图所示：目标函数yz x=表示动点P 与原点所确定直线的斜率， 当点P 为点()1,3C 时，目标函数取得最大值，最大值是3，故选：D5．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的左右焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，两曲线的一个公共点为点P ，且满足1122:3:4::6PF F F PF =，则12e e 的值为（ ） A ．3 B ．17C ．7D ．13【答案】D【分析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出1e ，2e ，即可得出结果.【详解】因为1122:3:4::6PF F F PF =，不妨令13PF m =，124F F m =，26PF m =，因为点P 是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，两曲线的焦距为122F F c =，根据椭圆与双曲线的定义可得：12129PF PF a m ==+，21223PF PF a m ==-， 因此11244299c m e a m ===，22244233c m e a m ===， 所以12419433e e ==. 故选：D.6．已知P 为抛物线28y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点()3,1A 是平面内一点，则PA PF +的最小值为（ ） AB ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据条件作出图示，根据抛物线的定义将PF 转化为P 到准线的距离，然后根据三点共线求解出PA PF +的最小值.【详解】根据已知条件出图示如下，过P 作PP '⊥准线，且准线方程2x =-， 所以PA PF PP PA '+=+，所以当,,P P A '三点共线时，此时PP PA '+有最小值，即PA PF +有最小值， 所以()minPA PF AP '+=，且()2,1P '-，()3,1A ， 所以()min5PA PF AP '+==，故答案为：D.【点睛】思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离； （2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为()2,1M ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12C ．14D 3【答案】A【分析】根据椭圆方程，求得FP l bk k c==-，设()()1111,,,A x y B x y ，然后利用点差法得到()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，再根据AB 的中点为()2,1M 得到222b b c a-=-求解.【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，所以点(),0F c -为左焦点，点()0,P b -， 因为直线l 平行于FP ，所以FP l bk k c==-，设()()1111,,,A x y B x y ， 因为AB 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，又因为AB 的中点为()2,1M ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以()22244cac a -= ，即424410e e -+=，解得212e =，又01e <<，所以2e =， 故选：A【点睛】方法点睛：求解直线与椭圆的位置关系的常规方法：先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．[)2,+∞ C ．()1,2 D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据过点F 且倾斜角为60︒的直线的斜率与渐近线by x a=的斜率的大小关系列式可解得结果.【详解】过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线左支有且只有一个交点，等价于tan 60b a≤， 即3b a ≥，所以离心率22222c c a b e a a a +===21b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭132≥+=. 所以此双曲线的离心率的取值范围是[)2,+∞. 故选：B【点睛】关键点点睛：将问题转化为过点F 且倾斜角为60︒的直线的斜率与渐近线by x a=的斜率的大小关系求解是解题关键. 9．若直线:3l y kx k =+-与曲线2:1C y x =-恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由直线l 与曲线C 的方程可得它们的图形，结合图形分析可知直线l 与半圆相切到过(1,0)-时有两个交点，即可求k 的取值范围.【详解】由题意知：直线:(1)3l y k x =-+过定点(1,3)，曲线2:1C y x =-为y 轴上半部分的半圆，如下图示：如图，当且仅当直线l 与半圆相切，到直线l 过(1,0)-时，它们有两个交点，当直线l 与曲线C 相切时，1d ==，得43k =，当直线l 过(1,0)-时，320k -=，得32k， ∴结合图象知：4332k <≤时直线l 与曲线C 有两个交点. 故选：B10．已知抛物线()2:20C y px p =->的焦点为F ，()01,M y -是抛物线上一点，过点M 向抛物线C 的准线引垂线，垂足为D ，若MDF △为等边三角形，则p =（ ）． A ．23B ．34C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知结合抛物线定义可知MDF △的边长为12p+，应用两点距离公式可得22220||(1)2pFD p y =+=+，即可求p .【详解】由题意知：抛物线准线为2p x =，(,0)2pF -，又()01,M y -，∴0(,)2p D y ，又MDF △为等边三角形，即边长为12p+，∴22220||(1)2p FD p y =+=+，而202y p =，整理得23440p p +-=，解得23p =或2p =-（舍去），故选：A11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=，则AB =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立得1212,y y y y +，求出1212,x x x x +，根据抛物线定义化简8FA FB ⋅=解得21t =，由||||||AB AF BF =+可得结果.【详解】由24y x =得2p =，所以(1,0)F ，准线为1x =-，设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则124y y t +=，124y y =-，所以21212()242x x t y y t +=++=+，222121212()14416y y y y x x =⨯==，因为1||1AF x =+，2||1BF x =+，8FA FB ⋅=， 所以12(1)(1)8x x ++=， 所以121218x x x x +++=，所以214218t +++=，即21t =，所以12426x x +=+=， 所以1212||||||112628AB AF BF x x x x =+=+++=++=+=. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义将||AF 和|BF |转化为,A B 到准线的距离求解是解题关键.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F 、2F ，离心率为34，P 为椭圆上的一点，1223F PF π∠=.设12F PF △的外接圆和内切圆半径分别为R ，r ，则Rr 的比值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，设4,3a t c t ==，在12F PF △中，由正弦定理求得R ，利用余弦定理和等面积法求得r 即可.【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，所以设4,3a t c t ==，又P 为椭圆上的一点，1223F PF π∠=，所以在12F PF △中，由正弦定理得：622sin3tR π==，解得R =， 由余弦定理得：()()2222121212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-⋅⋅=+-⋅， 又1228PF PF a t +==，所以22123664t t PF PF =-⋅，解得21228PF PF t ⋅=， 所以()()12121211sin 22862322PF F S PF PF a c r t t r π=⋅=+⋅=+⋅，解得r =，2Rr=, 故选：A二、填空题13．动圆M 过点()0,1-且与直线1y =相切，则圆心M 的轨迹方程为______. 【答案】24x y =-【分析】设动圆的圆心为(,)M x y ，利用已知条件列出方程，即可求解. 【详解】设动圆的圆心为(,)M x y ，因为动圆M 过点(0,1)-且与直线1y =相切，1y =-，整理得240x y +=， 即动圆的圆心M 的轨迹出为24x y =-. 故答案为：24x y =-.14．若圆224x y +=与圆222210x y mx m +-+-=相外切，则实数m =_____． 【答案】3±【详解】224x y +=的圆心(0,0)，半径为2，222210x y mx m +-+-=的圆心(,0)m ，半径为1两圆外切，所以||33m m =±∴=±【解析】两圆相切的位置关系15．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 为曲线C 上异于1A 、2A 的一点，直线1PA 、2PA 的斜率分别为1k 、2k ，则12k k ⋅=______. 【答案】34-【分析】由已知可写出12,A A 的坐标，设00(,)P x y 则有2012204y k k x ⋅=-，又P 在椭圆C上有22003(4)4y x =-即可求12k k ⋅. 【详解】由题意知：12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则2000122000224y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，∵P 在椭圆C 上，即22003(4)4y x =-， ∴1234k k ⋅=-， 故答案为：34-.16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度()7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为______.【答案】4.05m【分析】根据图形，选择合适的抛物线的解析式()220x py p =->，把图形中有关数据转化为相应点的坐标，代入抛物线方程得出p ，解出抛物线的解析式；当列车刚好距离隧道顶部0.5m 时，得出列出车高度h 与BD 的关系，然后得出点D 坐标，代入抛物线方程，解出h .【详解】如图所示，设隧道上部抛物线的方程为：()220x py p =->，由图可知，点()5,5-在抛物线上，将点()5,5-代入得2510p =，得52p =，故抛物线方程为25x y =-，当行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差为0.5m 时， 设车高为h ，则0.5BD h =+，则点D 到x 轴的距离为：()70.5 6.5h h -+=-，则点()3.5, 6.5D h -，代入抛物线方程得()23.55 6.5h =--，解得 4.05h =，故车辆通过隧道的限制高度为4.05m ． 故答案为：4.05m ．【点睛】本题考查了抛物线的实际应用，解答的关键在于要建立合适的坐标系，设出抛物线的方程，根据题目中所给数据，利用待定系数法求出抛物线的方程，然后再进行目标问题求解．三、解答题17．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的实轴长为4，一条渐近线方程为2y x =.（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-与双曲线C 相交于不同两点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22143x y -=；（2）11k -<<且2k ≠±. 【分析】（1）根据渐近线方程以及实轴长度求解出,a b 的值，则双曲线的方程可求； （2）联立双曲线与直线l 的方程，利用0∆>并结合2340k -≠求解出k 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由条件可知242a b a=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2243a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为：22143x y -=； （Ⅱ）因为()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，所以()2223484120k x kx k -+--=，因为l 与双曲线交于不同两点，所以()()2222340644344120k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩， 所以解得：11k -<<且k ≠±． 【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答问题的关键是通过联立方程分析∆与0的关系完成问题求解.18．已知圆22:84160C x y x y +--+=关于直线:250l x y +-=对称的图形为圆C '.（Ⅰ）求圆C '的方程；（Ⅱ）若过点()2,1P 的直线l 与圆C 交于A ，B两点，当AB =时，求直线l 的斜率.【答案】（Ⅰ）224x y +=；（Ⅱ）k =【分析】（Ⅰ）由圆C 与圆C '关于直线l 对称有直线CC '与直线l 垂直，且C 、C '的中点在:250l x y +-=，即可求得C '坐标，进而写出圆C '的方程；（Ⅱ）由弦长AB =l 为(2)1y k x =-+，利用点线距离公式、勾股定理即可求直线l 的斜率.【详解】（Ⅰ）整理圆C 的方程：22(4)(2)4x y -+-=，即圆心为(4,2)C ，∴直线CC '：12y x =，令00(,)2x C x '，则0044(,)24x x ++在:250l x y +-=上， 代入可得：00x =，即(0,0)C '，又圆C 与圆C '关于直线l 对称，即圆C '的方程为224x y +=；（Ⅱ）当直线l 为2x =时，||0AB ==<不合题意； ∴可设直线l 为(2)1y k x =-+，而圆心(4,2)C 到直线l的距离为d =由题意，有222(21)3134144k d k -==-=+，解得k =. 19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.【答案】（1）22195x y +=；（2）max7AB =. 【分析】（1）由题意得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，求出,a c ，从而可求出b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系得1297m x x +=- 21294514m x x -=，再利用弦长公式可得AB ==【详解】解：（1）由题意可得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3,2a c ==，所以2225b a c ，所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）设()()1122,,A x y B x y222214189450195y x mx mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由22(18)414(945)0m m ∆=-⨯⨯->，得2140m -<1297m x x +=-， 21294514m x x -=77AB ∴==≤所以当0m =时，maxAB =． 20．已知F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()3,M t 是抛物线上一点，且4MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）直线l 会过定点；定点为()2,0.【分析】（1）根据抛物线的定义可知3()42p--=,求出p 后可得抛物线方程； （2）直线:l x ny m =+，与抛物线方程联立得12y y +和12y y ，求出12x x ，由4OA OB ⋅=-得12124x x y y +=-，化简可解得2m =，从而可得:2l x ny =+过定点()2,0.【详解】（1）由22y px =可知抛物线的准线方程为2px =-， 因为||4MF =，根据抛物线的定义可知3()42p--=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x ny m =+，联立24x ny m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ny m --=所以121244y y ny y m +==-，所以1212()()x x ny m ny m =++221212()n y y mn y y m =+++由4OA OB ⋅=-得12124x x y y +=-，所以22121212()4n y y mn y y m y y ++++=-，所以()()222121140n y mn y y y m +++++=，所以2224(1)440m n mn m -++++=， 所以2440m m -+=，2m ∴=:2l x ny ∴=+，恒过()2,0．【点睛】关键点点睛：设直线:l x ny m =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简4OA OB⋅=-,求出2m=是解题关键.21．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为()1F，)2F，且过点12⎫⎪⎭.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为B，过点()2,1--作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的斜率分别为MBk，NBk，试判断MB NBk k+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为1，理由见解析.【分析】（1）由题意，得出关于,,a b c的方程组，求得,a b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线MN的方程为()12y k x+=+，联立方程组()221214y k xxy⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系，得到1212,x x x x+，结合斜率公式进行计算，即可求得MB NBk k+是为定值. 【详解】（1）椭圆C：22221x ya b+=的焦点为()1F，)2F，且过点12⎫⎪⎭，可得222223114ca bc a b⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1a b==，所以椭圆的方程为2214xy+=.（2）由（1）可得点()0,1B，设()()1122,,,M x y N x y，直线MN的方程为()12y k x+=+，联立方程组()221214y k xxy⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()()22148211610k x k k x k k++-+-=，所以()()121222821161,1414k k k kx x x xk k--+=-=++，则()()()()12121212121212222221 1 2MB NB kx x k x x k x x y y k k k x x x x x x +-+-+--+=+==+2(1)8(21)22(21)116(1)k k k k k k k k -⨯-=+=--=-，所以MB NB k k +是为定值1.【点睛】有关直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知过原点的三条直线与抛物线21:4E y x =依次交于1A ，1B ，1C 三点，同样这三条直线与抛物线22:E y x =依次交于2A ，2B ，2C 三点. （Ⅰ）试判断直线11A B 与22A B 的位置关系，并证明；（Ⅱ）试判断111A B C △与222A B C △的面积比是否为定值，若是求出此定值，若不是请说明理由.【答案】（Ⅰ）平行，证明见解析；（Ⅱ）是定值，16.【分析】（Ⅰ）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，表示出1122,,,A B A B 坐标，进而得出直线11A B 与22A B 的斜率，即可判断；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得111222~A B C A B C △△，且相似比为11224A B A B =，即可得出. 【详解】解：（Ⅰ）设三条直线为123,,y k x y k x y k x ===，联立方程124y k xy x =⎧⎨=⎩可得121144,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理122244,B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立方程12y k xy x =⎧⎨=⎩可得221111,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理222211,B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1112121222124444A B k k k k k k k k k -==+-，2212121222121111A B k k k k k k k k k -==+-， 1122A B A B k k ∴=，即11A B 与22A B 平行．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1122//A B A B ，1122//A C A C ，1122//B C B C111222~A B C A B C ∴△△，11224A B A B ===，∴11224A B A B =，11122216A B C A B C S S ∴=△△． 【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题的关键是联立方程表示出各点坐标，通过斜率关系可判断位置关系.。