集合与简易逻辑知识点归纳
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{}9B =,;B A =B B =
)()();
U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+
()()card B card A B -
()U A =ð()U A =ð13设全集,2,3,4A = {3,4,5} B = {4,7,8}, 求:(C U A )∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B).
有两相)(,2121x x x x <有两相等a
b x x 221-
==无实根
有意义的
①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. (否命题⇔逆命题.)②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.(原命题⇔逆否命题.)
4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。充分条件与必要条件
答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案
例1选A;
例2填{(2,1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A
B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-,
{}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若2
9a =,则3a =±①当3
a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-.
[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性,切入点是分类讨论思想,由于集合中元素用字母表示,检验必不可少。
例4C 例5C 例6①∉,②Ü,③Ü,④
例7填2 例8C 例9∅
例10解:∵M={y|y =x 2+1,x ∈R}={y |y ≥1},N={y|y =x +1,x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合。实际上,从函数角度看,本题中的M ,N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合{y |y =f (
x ),x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x ,y )|y=x 2+1,x ∈R}是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y =x 2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。
例11填∅注:点集与数集的交集是φ.
例12埴∅,R
例13解:∵C U A = {1,2,6,7,8} ,C U B = {1,2,3,5,6},
∴(C U A)∩(C U B) = {1,2,6} ,(C U A)∪(C U B) = {1,2,3,5,6,7,8},
A ∪
B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴
C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-;
例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332
2x R x x ⎧⎫∈-<-<⎨⎬⎩
⎭
≤或
≤ 例17分析:关键是去掉绝对值.方法1:原不等式等价于4304304321(43)21
x x x x x x --<⎧⎧⎨⎨
->+-->+⎩⎩≥或,即3344123x x x x ⎧
<⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩
≥或,∴x >2或x <31,∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2:(整体换元转化33
例18分析:关键是去掉绝对值.
方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)
①当1- ②当13x -<≤时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ,∴}32 1 |{< 综上,原不等式的解集为}2 1 |{>x x 也可以这样写: 解:原不等式等价于①⎩⎨ ⎧<++---<1 )1()3(1x x x 或②⎩⎨ ⎧<+---<≤-1 )1()3(31x x x 或 ③⎩⎨ ⎧<+--≥1)1()3(3x x x ,解①的解集为φ,②的解集为{x | 21 1 }. 方法2:数形结合:从形的方面考虑,不等式|x -3|-|x +1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点 ∴原不等式的解集为{x |x > 2 1 }. 例19答:{x |x ≤0或1 例20解:要原方程有两个负实根,必须:12122(1)0000k x x x x +≠⎧⎪∆≥⎪⇔⎨+<⎪⎪>⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+13 21 0121 0)1(2230)1(24020 12k k k k k k k k k k k k k 或或. 1 3 212<<-<<-⇔k k 或∴实数k 的取值范围是{k|-2 否命题:若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y ≠2(真) 逆否命题:若 x ≠ 3 或y ≠2 则 x + y ≠5(假) 例22答:真 解:逆否:a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真. 例23答:若a 、b 都不为0,则ab ≠0 例24解:假设x <1且y <1,由不等式同向相加的性质x +y <2与已知x +y ≥2矛盾, ∴ 假设不成立∴ x 、y 中至少有一个不小于1 [注]反证法的理论依据是:欲证“若p 则q”为真,先证“若p 则非q”为假,因在条件p 下,q 与非q 是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p 则非q”为假时,“若p 则q”一定为真。 例25解:函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c 不等式|2|1 |2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于