不定积分求解方法-换元法
不定积分求解方法-换元法
例1. 求 (a x b )m d x(m 1 ).
解: 令 uaxb,则 duadx,故
原式 = um 1 d u 1 1 um1C
a
a m1
1 (axb)m1C a(m1)
注: 当 m1时
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例2. （P222）求
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设f (u)有原函,数u(x)可导 ,则有换元
公式
f[(x) ](x)dx f(u)du u(x) 即 f[(x) ](x)dxf((x)d )(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
精选版ppt
3
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dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx 1(( aaxx )) 2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1a
du 1 u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C aa
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
解:
tanxdx
sin xdx cosx
dccoossxx
ln co x sC
类似
coxtdx? cosisnxxdx
dsinx sinx
lnsixnC
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例5. （P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a ) (x a )1( 1 1 ) ( x a )( x a ) 2a xa xa
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行不定积分来求解问题。
不定积分的计算方法有很多种，本文将对常见的不定积分计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的计算技巧。
一、基本积分法。
基本积分法是指根据不定积分的基本性质和常用函数的积分公式进行计算的方法。
常见的基本积分公式包括幂函数的不定积分、三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等。
在使用基本积分法时，需要熟练掌握各种函数的积分公式，并灵活运用。
二、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种计算方法，它通过代换变量的方式将原函数转化为一个更容易积分的形式。
常见的换元法包括代数换元法、三角换元法、指数换元法等。
在使用换元法时，需要选择合适的代换变量，并进行变量的替换和微分运算，最终将原函数转化为容易积分的形式。
三、分部积分法。
分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它通过对积分式进行分解，然后利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别为原函数中的两个部分。
在使用分部积分法时，需要选择合适的u和dv，并进行适当的求导和积分运算。
四、特殊函数的积分计算方法。
在实际问题中，常常会遇到一些特殊函数的不定积分计算，如有理函数、反三角函数、反双曲函数等。
针对这些特殊函数，我们需要掌握相应的积分计算方法，如部分分式分解法、反三角函数的积分计算公式等。
通过熟练掌握特殊函数的积分计算方法，可以更好地解决实际问题中的不定积分计算。
五、综合运用不同方法。
在实际问题中，不定积分的计算往往需要综合运用多种方法。
我们需要根据具体的函数形式和积分式的特点，灵活选择合适的计算方法，有时甚至需要多种方法的组合运用。
通过综合运用不同的计算方法，可以更高效地解决复杂函数的不定积分计算问题。
总结：不定积分的计算方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。
在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。
下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。
一、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。
5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。
2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。
3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。
4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。
三、有理函数的不定积分。
对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。
具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。
2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。
3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。
四、倒代换法。
倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
不定积分换元法
不定积分换元法1. 引言在微积分中，不定积分是求函数的原函数，也就是求导函数的逆运算。
不定积分换元法是一种求解复杂函数的不定积分的方法，通过引入一个新的变量来替代原函数中的一个或多个变量，从而简化不定积分的求解过程。
2. 换元法的基本思想换元法是一种利用代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量来代替原不定积分中的一个或多个变量，使得不定积分式子变得更加简单，从而更容易求解。
3. 换元法的步骤换元法的求解步骤如下：步骤1：选择合适的换元变量首先需要选择一个合适的变量来替代原不定积分中的一个或多个变量。
选择合适的换元变量是换元法的关键。
步骤2：计算新的不定积分将原不定积分中的变量用选定的换元变量表示，并计算出新的不定积分。
步骤3：替换回原变量将新的不定积分表达式中的换元变量替换回原变量，得到最终的不定积分表达式。
步骤4：确定积分常数在求得最终的不定积分表达式后，需要确定积分常数。
4. 换元法的应用举例以下举例说明换元法在不定积分中的应用：例1：求解∫(2x + 1)³ dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x + 1。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u 表示，得到∫u³ du。
步骤3：替换回原变量，将u³替换成(2x + 1)³，得到最终的不定积分表达式∫(2x + 1)³ dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C，其中C为积分常数。
例2：求解∫(sin 2x) dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u表示，得到∫sin u du。
步骤3：替换回原变量，将sin u替换成sin 2x，得到最终的不定积分表达式∫(sin 2x) dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(sin 2x) dx = -1/2 cos 2x + C，其中C为积分常数。
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
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(5) f (cos x)sin xdx f (cos x) dcos x
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(6) f (tan x)sec2 xdx f (tan x) dtan x
(7) f (ex )exdx f (ex ) dex
(8)
f
(ln
x)1dx x
f (ln x) dln x
1
d
u u
2
arctan u C
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例3. （P223） 求
dx (a 0). a2 x2
解:
dx
dx
d
(
x a
)
a2 x2
a
1
(
x a
)
2
1
(
x a
)
2
arcsin x C a
想到
d u arcsin u C 1u2
f [ (x)](x)dx f ( (x))d (x) (直接配元)
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx (tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
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例9. 求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求 (ax b)mdx (m 1).
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1 1 (ax b)m1 C a(m 1)
注: 当 m 1时
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F(u) f (u), u (x) 可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
f [ (x)](x)dx F[ (x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u (x)
例6.
求
x
dx (1 2 ln
x)
.
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x) 1 2 ln x
1 ln 1 2 ln x C 2
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例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
解法 2
sec xdx
sec x(sec sec x
x tan
tan x
x)
dx
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
ln sec x tan x C
csc xdx ln csc x cot x C 或 csc xdx ln tan x C (P226-P227 )
dx ax
b
1 a
ln
ax
b
C
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例2. （P222）求
dx a2 x2
.
解:
dx a2 x2
1 a2
dx
1
(
x a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u2
1 arctan u C a
1 arctan( x ) C
a
a
想到公式
例10.（P227） 求 sec xdx .
解法1
sec xdx
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1
1 sin
x
1 1 sin
x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
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例4. （P225）求 tan xdx.
解:
tan
xdx
sin xdx cos x
dcos x cos x
ln cos x C
类似
cot
xdx
?
cos x dx sin x
d sin x sin x
ln sin x C
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x2 a2
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例12 . 求 cos4 x dx.
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2 2
第一类换元法
f [(x)](x) dx
f (u) du
第二类换元法
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一、第一类换元法 （P221）
定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
公式
f [(x)](x)dx f (u)du u (x) 即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)
f (ax b)dx
1
a
f (ax b)
d(ax b)
(2) f (xn )xn1 dx 1 f (xn ) dxn n
万 能
凑
(3)
f (xn )1 dx 1 xn
f (xn)
1 xn
dxn
幂 法
(4) f (sin x)cos xdx f (sin x) dsin x
2
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例11. 求
(x2
x3
a
2
)
3 2
dx
.
解:
原式 =
1 2
x2 dx2
(
x2
a2
3
)2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
x2 a2
a2 C
例5.
（P223）求
dx x2 a2
.
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴ 原式 =
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
(1 ex ) ex 1 ex
dx
dx
d(dx
1 ex
ex 1 ex
dx
d(1 ex ) 1 ex
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
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