线性规划的数学模型和基本性质
运筹学第二章线性规划
１
第二章线性规划
教学目的和要求：
目的：使学生具备线性规划的基本知识以及应用线性规划的基本能力。
要求：理解线性规划概念，标准型，解的概念，基本定理；掌握单纯形法，人工变量法，了解图解法。
重点：线性规划标准型，解的概念，单纯形法，人工变量法。
难点：线性规划基本定理，单纯形法。
教学方法：讲授法，习题法。
学时分配：12学时
作业安排：见教材P38.
线性规划是运筹学的一个重要分支。1939年苏联科学家康托罗维奇提出了生产组织和计划中的线性规划模型。1947年美国学者丹捷格(George B.Dantzig)提出了求解一般线性规划问题的方法。此后，线性规划理论日趋成熟，应用也日益广泛和深入。
第一节线性规划问题
一、问题的提出
在企业的生产经营活动中经常会面临这样两类问题：一是如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最佳的经济效果；二是在取得一定的经济效果的前提下，如何合理安排使用人力、物力、财力等资源，使花费的成本最低。
例1.生产计划问题 某工厂利用甲、乙、丙、丁四种设备生产A、B、C三种产品，具体数据如下表所示。 A、B、C单位产品的利润分别是4.5、5、7(百元)。问如何安排生产计划，才能使所获总利润最大？
解：设产品A、B、C产量分别为X1,X2,X3件,Z表示利润，要求总利润最大，即求Z=4.5X1+5X2+7X3的最大值，故记作极大化Z=4.5X1+5X2+7X3，另外对甲、乙、丙、丁设备需满足2X1+2X2+4X3≦800，X1+2X2+3X3≦650，4X1+2X2+3X3≦850，2X1+4X2+2X3≦700；同时产量应非负，故Xj≧0 (j=1,2,3)；
以上问题可用数学模型表示为：
极大化Z=4.5X1+5X2+7X3
满足 2X1+2X2+4X3≦800
X1+2X2+3X3≦650
4X1+2X2+3X3≦850
物流运筹学习题及答案1题目线性规划基本性质
习题一
1.1试述LP模型的要素、组成部分及特征。判断下述模型是否LP模型并简述理由。(式中x,y为变量；O为参数;a,b,c,d,e为常数。)
(1)maxZ=2X∣-X2-3X3
X1÷X2+X3=1
3xi-x2+5X3≤8
2x1-4X2+3X3≥5
x1>O,x2≤O
(2)minZ=π⅛*=!
EaikXkNbi,i=1,2…,m
s∙t∙IA=I
[xk≥0Λ=1,2...»w
(3)minZ=ZaiXi+»凶∕=l √=ι
xi≤ci,i=1,2,...,zn
S.t.
%十%≥%∙〃
4) )maxz=7C.XiJJj=∣
EaijXj≤bi+diΘ,/=1,2,...,∕n
5) t.；=1
Xj≥OJ=1,2,...«
1.2试建立下列问题的数学模型：
(1)设备配购问题
某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，受管130公顷，秋收470公顷。可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。
拖拉机型号 单台投资
(元) 单台工作能力(公顷)
春种 受管 秋收
东方红 5000 30 17 41
丰收 4500 29 14 43
跃进 4400 32 16 42
胜利 5200 31 18 44
问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？(2)物资调运问题 甲乙两煤矿供给A,B,C三个城市的用煤。各矿产量和各市需求如下表所示:
煤矿 日产量（吨） 城市 日需求量（吨）
甲 200 A 100
B 150
乙 250 C 200
各矿与各市之间的运输价格如下表示:
\ 运价(7C∕n¾)
A B C
甲 90 70 100
乙 80 65 80
问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？
（3）食谱问题
某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需各种养分的最低数量如下表所示：
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法
1.1 线性规划的概念
一、线性规划问题的导出
1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,
则有：
求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？
设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有：
1008.092.085.073.045.03.01005432154321xxxxxxxxxx
请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？
假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t，则有：
2.
生产计划问题
A B C 每天可利用资源量
工时（单位） 1 1 1 3
材料（t） 1 4 7 9
产品利润 （元/t） 2000 3000 1000
如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？
考虑问题： 1008.092.045.01002121xxxx5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321jxxxxxxxxxxxtsxxxxxMinZj（1）何为生产计划？
（2）总利润如何描述？
（3）还要考虑什么因素？
（4）有什么需要注意的地方（技巧）？
（5）最终得到的数学模型是什么？
二、线性规划的定义和数学描述（模型）
1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
线性规划模型
线性规划模型
线性规划的英文全称为：Linear Programming，可简称为LP．
一、线性规划所属学科
线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．
0-1线性规划
非线性规划
静态规划整数规划规划论规划
多目标规划
动态规划运筹学对策论
决策论
排队论
图论
存储论
模型论
二、线性规划发展简史
早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还
提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划 20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国
数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十
年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规
划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域．
三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点 1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；
2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析．
数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系
列数学表达式为该实际问题的数学模型．
四、线性规划方法解决的两类问题 1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；
2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．
五、线性规划可解决以下几方面的问题
１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；
2、生产组织问题：
产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(
3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；
4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；
高中线性规划
高中线性规划
高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，主要涉及到线性规划的概念、性质、解法以及在实际问题中的应用等方面。下面将详细介绍高中线性规划的相关知识。
一、线性规划的概念和性质
线性规划是数学规划的一种，它是在一组线性约束条件下，寻觅一个目标函数值最大或者最小的解的问题。线性规划的基本形式可以表示为：
Maximize（或者Minimize）目标函数
Subject to 线性约束条件
线性规划的性质包括可行域的闭性、目标函数的线性性质以及线性约束条件的可加性等。可行域是指满足所有约束条件的解的集合，它是一个闭集。目标函数是线性的，即目标函数的系数都是常数。线性约束条件的可加性是指如果两个解都满足约束条件，那末它们的线性组合也满足约束条件。
二、线性规划的解法
线性规划的求解方法主要有图解法、单纯形法和对偶理论等。其中，图解法适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到目标函数在可行域上的最优解。单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步逼近最优解。对偶理论则是通过线性规划的对偶问题来求解原问题，两者的最优解是相等的。
三、线性规划的应用
线性规划在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、投资组合等方面。以下是几个典型的应用案例： 1. 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。产品A每单位利润为100元，每单位所需生产时间为2小时；产品B每单位利润为150元，每单位所需生产时间为3小时。假设产品A和B的生产量都是非负数，问如何安排生产才干使总利润最大化？
2. 资源分配问题：某公司有两个项目，项目A和项目B，每一个项目需要的资源数量不同。假设项目A需要2个工程师和3个技术人员，项目B需要3个工程师和2个技术人员。公司现有10个工程师和12个技术人员，问如何分配资源才干使两个项目的需求都得到满足？
3. 投资组合问题：某投资者有100万元可以投资于股票和债券两种资产。假设股票的年收益率为10%，债券的年收益率为5%。投资者希翼在一年后获得的总收益最大化，问应该如何分配资金？
数学建模 第一篇第一章
1 第一篇 线性规划模型及应用
第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质
§1-1-1线性规划问题的数学模型
引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？
分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：
表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目
下料方式
长度 1B 2B 3B 4B 5B 6B 7B 8B 需要量
2.9米 2 1 1 1 0 0 0 0 100
2.1米 0 2 1 0 3 2 1 0 100
1.5米 1 0 1 3 0 2
3 4 100
余料 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。
1.假若考虑只用3B方式下料，需要用料100根；
2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：
表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表
下料方式 下料根数 2.9米根数 2.1米根数 1.5米根数
1B 50 100 0 50
5B 33 0 99 0
8B 12 0 0 48
6B 1 0 2 2
合计 96 100 101 100
动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。但这仍然不是最好的下料方法。
3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。
设用1B,2B,3B,4B,5B,6B,7B,8B方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,xxxxxxxx，则可以建立线性规划数学模型:
第1章-线性规划模型-宋
第一章 线性规划模型
1 第一章 线性规划模型
线性规划（Linear Programming）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 生产计划问题
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A、B两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？
Ⅰ Ⅱ 资源限量
设备 1 2 8(台时)
原材料A 4 0 16(kg)
原材料B 0 4 12(kg)
单位产品利润（元） 2 3
解：设12,xx分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有：
机器设备的限制条件: 1228xx
原材料A的限制条件： 1416x（称为资源约束条件）
原材料B的限制条件： 2412x
同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0xx（称为变量的非负约束）。
显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,xx以得到最大的利润，即使目标函数1223zxx的值达到最大。
综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：
例2 运输问题
某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。问在保证产销平衡的条件下，如何调运可使总运费最少？
销地
单位运价
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1 5 6 10 3 60
A2 4 1 9 7 40
A3 4 2 3 8 60
销量 30 50 40 40 第一章 线性规划模型
2 解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ijxij为从产地i运到销地j的运量
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义
线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。线性规划问题的数学模型可以表示为：
max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ
subject to
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂
...
aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ
x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0
其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,
a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,
x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法
线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法
图形法适用于二维或三维的线性规划问题。它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。 首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法
单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
第六章 线性规划及其解的实现
- 1 - 第六章 线性规划及其解的实现
线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法，它的理论和方法已十分成熟，可以应用于生产计划、物质调运、资源优化配置、地区经济规划等许多实际问题.线性规划最早由前苏联学者L V
Kantorovich于1939年提出，但他的工作当时并未为人所熟知.直到1947年，美国学者G B Danzing提出求解线性规划最有效的算法-----单纯性算法后，才引起数学家、经济学家和计算机工作者的重视，并迅速发展成为一门完整的学科而得到广泛的应用.利用线性规划建立数学模型也是中国大学生数学建模竞赛中最常用的方法之一.
优化模型的一般形式为
TnXxxxXXfz),,,(),(min21 (1)
miXgtsi,,2,1,0)(.. (2)
其中)(xf称为目标函数，)(Xgi称为约束条件.只满足式(2)的X称为可行解；同时满足式(1)、式(2)两式的解*XX称为最优解.
由式(1)、式(2)组成的模型属于约束优化，若只有式(1)就是无约束优化.一般情况下，优化问题都是有约束的，但是如果最优解不是在可行域的边界上，而是在可行域的内部，那么就可以用无约束优化作比较简单的处理.
若f，ig均为线性函数，优化模型式(1)、式(2)称为线性规划，否则称为非线性规划.
本章主要对线性规划问题及其解的实现作简要介绍.
§6.1 线性规划模型形式及其性质
线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广.线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小(或极大)值的问题.
1、线性规划的标准形式
目标函数 nnxcxcxcz2211min