高中物理--万有引力与航天

高中物理复习---万有引力定律与航天

知识梳理

考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：

k T

a =23

。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T

a =2

3

，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。

（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：

①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T

R =2

3

，R ——轨道半径。

2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。 （2） 公式：2

21r

m m G F =，G 叫万有引力常量，2211

/10

67.6kg m N G ⋅⨯=-。

（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系

(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22

ω-=；

②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2

；故纬度越大，重力加速度越大。

由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。

(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2

2

R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：

22)()(h R GM g mg h R Mm G

h h +=⇒=+，所以g h R R g h 2

2

)

(+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度

1．T 、r 法：2

3

2224)2(GT

r M T mr r Mm G ππ=⇒=，再根据3

23

33,34R GT r V M R V

πρρπ=⇒==

，当r=R 时，2

3GT πρ=

2．g 、R 法：G

g

R M

mg R

Mm G 22

=

⇒=，再根据GR

g V

M R V πρρπ43,3

43=⇒==

3．v 、r 法：G

rv M r v m r Mm G 2

22

=⇒=

4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,3

22

2

2=⇒==

考点三、星体表面及某高度处的重力加速度

1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则2

2

R GM g mg R Mm G =⇒=。

注意：R 指星球半径。

2、 距星球表面某高度处的重力加速度：22)()(h R GM g mg h R Mm G

h h +=⇒=+，或g h R R g h 2

2

)

(+=。 注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度2

)(h R GM a n

+=

，即向心加速度与重力加速度相等。 考点四、天体或卫星的运动参数

我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，

)

4(2222

2T

mr mr r v m ma r Mm G n πω====，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：

1、 线速度：r r GM v r v m r Mm G 12

2∝=⇒= 2、角速度：3

3221r

r GM mr r Mm G ∝=⇒=ωω

3周期：3

3

22

2)2(r GM

r T T mr r Mm G ∝=⇒=π

π 4、向心加速度：2

2r

GM a ma r

Mm G n n =⇒=

规律：当r 变大时，“三小”（v 变小,ω变小,a n 变小）“一大”（T 变大）。

考点五、地球同步卫星

对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。 1、 轨道平面一定：与赤道共面。

2、 周期一定：T=24h ，与地球自转周期相同。

3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。

4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。

5、 高度一定：由2

732

2222

226106.34,4)()(R m R T gR h gR GM T h R m h R Mm G

≈⨯=-=⇒=+=+π

π。 6、 线速度大小一定：

s m h

R gR h

R GM

v gR GM h R v

m h R Mm G

/101.3,)()

(32

22

2

⨯=+=+=⇒=+=+。 7、 向心加速度一定：22

222

2/23.0)

()(,)(s m h R gR h R GM a gR GM ma h R Mm G

n n =+=+=⇒==+。 考点六、宇宙速度

1、 对三种宇宙速度的认识：

⑴第一宇宙速度——人造卫星近地环绕速度。大小v 1=7.9km/s 。 第一宇宙速度的算法： 法一：由r

GM v r

v

m r Mm G =

⇒=2

2

，r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，则R

GM v R v m R Mm G =⇒=2

2

，代入数据可算

得：v 1=7.9km/s 。

法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则gr v r

v m mg =⇒=2

，同理r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，

gR v R

v

m

mg =⇒=2

，代入数据可算得：v 1=7.9km/s 。 对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重力加速度时一般与以下运动结合：①自由落体运动；②竖直上抛运动；③平抛运动；④单摆 （2）第二宇宙速度——脱离速度。