万有引力与航天 -典型例题

万有引力与航天--例题

考点一 天体质量和密度的计算

1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2

r ＝m 4π2

r T

2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm

R

2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2

G ，

天体密度ρ＝M V ＝M 43

πR 3＝3g 4πGR

.

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .

①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r

3

GT 2

；

②若已知天体半径R ，则天体的平均密度

ρ＝M V ＝M 43

πR

3＝3πr 3

GT 2R 3

；

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体

密度ρ＝3π

GT

2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．

例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一

个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )

A ．地球的质量m 地＝gR 2

G

B ．太阳的质量m 太＝4π2L 3

2

GT 22

C ．月球的质量m 月＝4π2L 3

1GT 21

D ．可求月球、地球及太阳的密度

1．[天体质量的估算]“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G ＝×10－11

N·m 2/kg 2

，月球的半径

为×103

km.利用以上数据估算月球的质量约为( ) A ．×1010

kg B ．×1013

kg C ．×1019

kg D ．×1022

kg

2．[天体密度的计算]“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心成功发射．“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．已知月球半径为R 0，月球表面处重力加速度为

g 0，地球和月球的半径之比为R R 0＝4，表面重力加速度之比为g g 0＝6，则地球和月球的密度之比

ρρ0

为( )

C ．4

D ．6

估算天体质量和密度时应注意的问题

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度

时，V ＝43

πR 3

中的R 只能是中心天体的半径．

考点二卫星运行参量的比较与计算

1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

2．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 km/s.

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

例2 (2013·广东·14)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )

图1

A．甲的向心加速度比乙的小

B．甲的运行周期比乙的小

C．甲的角速度比乙的大

D．甲的线速度比乙的大

3．[卫星运行参量的比较](2013·海南·5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和倍．下列说法正确的是( )

A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍

B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍

C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的1 7

D ．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的1

7

4．[同步卫星问题的有关分析]已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( ) A ．卫星距地面的高度为 3GMT 2

4π2

B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度

C ．卫星运行时受到的向心力大小为G Mm R

2

D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

同步卫星的六个“一定”

考点三 卫星变轨问题分析

1．当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2

r

，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，

脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GM

r

可知其运行

速度比原轨道时减小．

2．当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2

r

，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，

脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GM

r

可知其运行

速度比原轨道时增大．

卫星的发射和回收就是利用这一原理．

例3 在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球．如图2所示，飞船在返回地面时，要在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的一点，M 为轨道Ⅰ上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有( )