【一轮复习】江苏省南京市2021届高三上学期期初数学试题(解析版)
江苏省南京市2021届高三上学期期初考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --<，B ＝{}13x x <<，则AB ＝ A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x << 2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4CD 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2bcosC ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，3π] B ．(0，23π] C ．[3π，π) D ．[23π，π)6．设4log 9a =， 1.22b -=，138()27c -=，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为A ．2214180x y x +-+=B ．2214180x y x +++=C ．2210180x y x +-+=D ．2210180x y x +++=8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈(0，1]时，()f x ＝2log (23)x +，则93()2f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点(6π，0)对称 C ．函数()g x 在区间(512π-，6π-)上单调递增D ．函数()g x 在区间(0，76π)上有两个零点11．已知5234560123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则A ．0a 的值为2B ．5a 的值为16C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5D ．135a a a ++的值为12012．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有A ．()ln f x x =，1()g x x=B ．()e x f x =，()e g x x =C ．3()f x x =，2()g x x =D ．1()f x x x=+，()3g x x =三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高3r，则R r＝ ．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学 第13题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为 ．15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *∈，则4a ＝ ；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）16．若不等式2(1)e 1x ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cosx ，﹣1)，n ＝sinx ，2cos 2x)，x ∈R ，设函数()1f x m n =⋅+．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若a ∈[3π，712π]，且8()5f a =，求cos2a 的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，（1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），（1附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．（2生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1）求证：CD ⊥AE ；（2）记二面角C —AE —D 的平面角为θ，且cos θ=，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ⋅的取值范围；（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．江苏省南京市2021届高三上学期期初考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A ＝{}220x x x --<，B ＝{}13x x <<，则A B ＝ A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<< C ．{}12x x << D ．{}23x x << 答案：C解析：∵集合A ＝{}220x x x --<，∴集合A ＝{}12x x -<<， 又∵B ＝{}13x x <<，∴AB ＝{}12x x <<，故选C ．2．已知(3﹣4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B解析：1i 17i 34i 25z +-+==-，故在复平面内z 对应的点为(125-，725)，在第二象限，故选B ． 3．已知向量a ，b 满足a ＝1，b ＝2，且3a b +=，则a 与b 的夹角为A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π答案：D解析：223+2=31a b a b a b a b +=⇒+⋅⇒⋅=-， 11cos ,122a b a b a b⋅-<>===-⨯，故a 与b 的夹角为23π，故选D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P(0)到双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线的距离为6，则双曲线C 的离心率为A ．2B ．4CD 答案：A解析：双曲线C ：22219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=，6=，解得a =2c e a ===，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2bcosC ≤2a ﹣c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，3π] B ．(0，23π] C ．[3π，π) D ．[23π，π)答案：A解析：∵2bcosC ≤2a ﹣c ，∴2sinBcosC ≤2sinA ﹣sinC ，故cosB ≥12， ∴0＜B ≤3π，故选A ． 6．设4log 9a =， 1.22b -=，138()27c -=，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 答案：C解析：∵9＞8，∴3＞322，故32223log 3log 22>=， 从而有 1.2423log 9log 3122a cb -==>=>>=，故选C ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：22(1)1x y -+=，点B(3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT PB ，则动点P 的轨迹方程为A ．2214180x y x +-+=B ．2214180x y x +++=C ．2210180x y x +-+=D ．2210180x y x +++= 答案：C解析：设P(x ，y)，∵PT PB ，∴PT 2＝2PB 2，∴2222(1)12[(3)]x y x y -+-=-+，整理得：2210180x y x +-+=，故选C ．8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且(1)(1)f x f x +=-．若当x ∈(0，1]时，()f x ＝2log (23)x +，则93()2f 的值是 A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．3 答案：B解析：根据奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x +=-，可知函数的周期为4， ∴2933331()(48)()()()log 4222222f f f f f =-+=-=-=-=-=-，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产岀做出预测由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势 答案：ABD解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C 错误，故选ABD ．10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图象，则 A ．函数()g x 的图象关于直线12x π=对称B ．函数()g x 的图象关于点(6π，0)对称 C ．函数()g x 在区间(512π-，6π-)上单调递增D ．函数()g x 在区间(0，76π)上有两个零点答案：ACD解析：可得()sin(2)3g x x π=+，当12x π=，232x ππ+=，故A 正确；当6x π=，2233x ππ+=，故B 错误； 当x ∈(512π-，6π-)，23x π+∈(2π-，0)，故C 正确； 当x ∈(0，76π)，23x π+∈(3π，83π)，故D 正确．故选ACD ．11．已知5234560123456(2)(12)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则A ．0a 的值为2B ．5a 的值为16C ．123456a a a a a a +++++的值为﹣5D ．135a a a ++的值为120 答案：ABC解析：令x ＝0，得02a =，故A 正确；5544552(2)(2)16C C ⨯-+-=，故516a =，B 正确；令x ＝1，得01234563a a a a a a a ++++++=-①，又02a =， ∴1234565a a a a a a +++++=-，故C 正确；令x ＝﹣1，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=②，由①②得：135123a a a ++=-，D 错误．故选ABC ．12．记函数()f x 与()g x 的定义域的交集为I ．若存在0x ∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式[()f x0()]()0g x x x --≥恒成立，则称(()f x ，()g x )构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有A ．()ln f x x =，1()g x x=B ．()e x f x =，()e g x x =C ．3()f x x =，2()g x x =D ．1()f x x x=+，()3g x x =答案：AC 解析：选项B 满足()()f x g x ≥，故不成立；选项D ，()()F x f x =-()g x 存在两个非零的零点，故不成立． 故选AC ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高3r ，则R r＝ ． 答案：2解析：223244233r R RRr r rππ=⇒=⇒=． 14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：214y x =交于A ，B 两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为 ． 答案：643解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y ＝2x ﹣4，y ＝﹣2x ﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为188322⨯⨯=，故弦与拋物线C 所围成的封闭图形的面积为643． 15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且12n n n S a a +=，n N *∈，则4a ＝；若1a ＝2，则20S ＝ ．（本题第一空2分，第二空3分） 答案：4；220解析：根据12n n n S a a +=①，得112n n n S a a --=②，①﹣②得112n n a a +--=，故4224a a =+=；当1a ＝2，可得该数列满足212k k a a -=，且{}21k a -与{}2k a 均为公差为2的等差数列，即可求得20S ＝220．16．若不等式2(1)e 1x ax bx ++≤对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a ＋b 的取值范围是 ． 答案：(-∞，﹣1]解析：令2()(1)e x f x ax bx =++，()(0)f x f ≤恒成立，显然a ≤0， 2()e [(2)1]x f x ax a b x b '=++++，则(0)101f b b '=+=⇒=-，2()e [(21)]e (21)x x f x ax a x x ax a '=++=+-，当a ＝0时，()f x 在(-∞，0)递增，(0，+∞)递减，()(0)f x f ≤符合题意，a ＜0时，()f x 在(-∞，12a a -)递减，(12aa-，0)递增，(0，+∞)递减x ＜12a a-，210()0ax x f x -+<⇒<，故()(0)f x f ≤符合题意，综上，a ≤0，b ＝﹣1，因此a ＋b ∈(-∞，﹣1]．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量m ＝(2cosx ，﹣1)，n ＝sinx ，2cos 2x)，x ∈R ，设函数()1f x m n =⋅+．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若a ∈[3π，712π]，且8()5f a =，求cos2a 的值．解：因为 m ＝(2cosx ，－1)，n ＝(3sinx ，2cos 2x)，所以f(x)＝m·n＋1＝23sinxcosx －2cos 2x ＋1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)． （1）T ＝2π2＝π．（2）由f(α)＝85，得sin(2α－π6)＝45．由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π6≤π，所以cos(2α－π6)＝－1－sin 2(2α－π6)＝－1－(45)2＝－35，从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π6＝－35×32－45×12＝－4－3310．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ，（1）在①13222S S S +=+，②373S =，③2344a a a =，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列{}n a 的通项公式，并判断此时数列{}n a 是否满足条件P ：任意m ，n N *∈，m n a a 均为数列{}n a 中的项，说明理由；（2）设数列{}n b 满足11()n n n na b n a -+=，n N *∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选①， 因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，因此a n ＝1×2n －1＝2n －1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m ＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． 选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13，因此a n ＝13×2n －1．此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． 选③， 因为a 2a 3＝4a 4，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m ＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项， 因此数列{a n }满足条件P ．（2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n＝2，因此b n ＝n×2n －1．所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n －1，则2T n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n×2n ，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n×2n ＝1－2n1－2－n×2n＝(1－n)2n －1，所以T n ＝(n －1)2n ＋1． 19．（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），（1附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．（2生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望． 解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得χ2＝100×(36×30－24×10)2(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，因为当H 0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01， 所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．由题意知：P(A)＝2460＝25，P(B)＝3040＝34．随机变量X 的取值可能为0，1，2，3． P(X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝9100，P(X ＝1)＝C 12×25×(1－25)×(1－34)＋34×(1－25)2＝39100， P(X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25，P(X ＝3)＝(25)2×34＝325．所以随机变量X 的分布列为：期望E(X)＝0×9100＋1×39100＋2×25＋3×325＝1.55．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．（1）求证：CD ⊥AE ；（2）记二面角C —AE —D 的平面角为θ，且cos 5θ=，求实数λ的值．（1）证明：因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，PA ⊂平面PAD ， 所以PA ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．在四边形ABCD 中，AD//BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝2． 在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝2，AD ＝2，z x PABCDE y所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC×AD×cos ∠CAD ＝2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2． 所以CD ⊥AC ． 又AC∩PA＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ． 又AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE ． （2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，故以{→AB ，→AD ，→AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2， 所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)， 则→CD ＝(－1，1，0)，→AD ＝(0，2，0)． 因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，设E(x ，y ，z)，则(x －1，y －1，z)＝λ(－1，－1，1)， 故E(1－λ，1－λ，λ)，所以→AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．由（1）知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得⎩⎨⎧(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)． 因此 |cos θ|＝|cos<m ，n>|＝|m ·n|m||n||＝|λ2·λ2＋(1－λ)2|＝105， 化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝23或2．因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝23．所以当|cos θ|＝105时，实数λ的值为23． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2214x y +=． （1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求12TF TF ⋅的取值范围；（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：（1）因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设T(x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－3． 因为点T(x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 024＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34x 02－2，且x 02∈[0，4]，所以TF 1→·TF 2→的取值范围是[－2，1]．（2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m≠－1，k ≠0)．设B(x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1) 1＋4k 2．因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2) x 1x 2＋k(m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2＝0， 即 (1＋k 2)×4(m 2－1) 1＋4k 2－k(m ＋1)×8km 1＋4k2＋(m ＋1)2＝0， 也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2) (m ＋1)＝0， 解得m ＝35．又线段BD 的中点M(－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2)，且AM ⊥BD ， 所以m1＋4k 2＋1－4km 1＋4k 2＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2，解得k ＝± 5 5．又当k ＝±5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝57625＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝±5 5x ＋35. 22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当k ＝2时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0＜x ≤1时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 解：（1）当k ＝2时，f (x)＝2x －xlnx ，f′(x)＝1－lnx ， 由f′(x)＞0，解得0＜x ＜e ；由f′(x)＜0，解得x ＞e ，因此函数f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)． （2）f (x)＝kx －xlnx ，故f′(x)＝k －1－lnx ． 当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k －1≥0≥lnx， 因此f′(x)≥0恒成立，即f (x)在(0，1]上单调递增， 所以f (x)≤f (1)＝k 恒成立．当k ＜1时，令f′(x)＝0，解得x ＝e k －1∈(0，1)． 当x ∈(0，e k －1)，f′(x)＞0，f (x)单调递增；当x ∈(e k －1，1)，f′(x)＜0，f (x)单调递减；于是f (e k －1)＞f (1)＝k ，与f (x)≤k 恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． （3）由（2）知，当0＜x≤1时，x －xlnx≤1．令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n 2lnn≤1，即2lnn≤n 2－1，因此lnn n ＋1≤n －12．所以ln12＋ln23＋…＋lnn n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n(n －1)4．。
B04 江苏省南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数学试卷解析版
南京市、盐城市2021届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式： 锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则AB = ▲ .2．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ . 3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本 数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲ .5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .第4题图7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为▲ .8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ . 9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .11．在ABC ∆中，已知AB =3C π=，则CA CB ⋅的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)13y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点． （1）求证：11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =． （1）求角C ； （2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.ABCA 1B 1C 1DE 第15题图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b+=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.第17题图如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）F第18题图B设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长. B .（选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.P[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X).23．（本小题满分10分）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k nn n n n nC C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.参考答案与解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．【答案】{}1【命题立意】本题考查集合交集的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
江苏省南京市秦淮区2021届高三上学期期中三校联考数学试卷(解析版)
江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题(解析版)
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。
2021届江苏省南京大学附属中学高三上学期第一次阶段检测数学试题(解析版)
2021届江苏省南京大学附属中学高三上学期第一次阶段检测数学试题一、单选题1．设集合122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}21B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x < D ．{}12x x ≤<【答案】A【解析】先解不等式，化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以{}12A B x x ⋃=-≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )A ．1-B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值3．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．289359【答案】C【解析】首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果． 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=. 故选C 【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题．4．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．0或2【答案】A【解析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>. 综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性 【详解】解：函数的定义域为R ，因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=-+--=+=， 所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，所以排除B ， 设()()'sin 1cos 0g x x g x x x +⇒+=≥=， 所以当0x >时，()()00g x g >=所以'()2sin cos (sin )(1cos )0f x x x x x x x x x =++=+++>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以排除B ，D ， 故选：A【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题 6．函数()()sin 2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】利用图象求出函数()y f x =的解析式，利用三角函数图象变换的基本原则可得出结论. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为5241243T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 不妨设0>ω，则23Tπω==，当512x π=时，函数()y f x =取得最小值，则()5332122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得()24k k Z πϕπ=+∈， 2πϕ<，所以，0k =，4πϕ=，则()sin 3sin 3412f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此，为了得到函数()sin3g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位长度， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了利用图象求解正弦型函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 3=b ，13=c e ，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【详解】因为12110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1ln ln103b =<=，0131c e e >==，所以c a b >>. 故选：B. 【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.二、多选题9．已知()sin 2f x x =，()cos2g x x =，下列四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象向左平移2π个单位长度，即可得到()g x 的图象B ．当8x π=时，函数()()f x g x -C ．()()y f x g x =+图象的对称中心是,028k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．()()y f x g x =⋅在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】CD【解析】对选项逐一验证，即得答案. A 项，求出()f x 向左平移2π个单位长度后的函数解析式，可得A 的正误；B 项，令()()()h x f x g x =-，由辅助角公式可得()24h x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，从而可判断B 的正误；C 项，由辅助角公式可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求其对称中心，从而可判断C 的正误；D 项，由倍角公式可得1sin 42y x =，可判断它在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得D 的正误. 【详解】A 项，()f x 的图象向左平移2π个单位长度可得()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，而()cos2g x x =，故A 错误.B 项，令()()()h x f x g x =-，则()sin 2cos 224h x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，当8x π=时，20884h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.C 项，sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.令2,4x k k Z ππ+=∈，,28k x k Z ππ∴=-∈.∴函数()()y f x g x =+图象的对称中心是8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 正确. D 项，1sin 2cos 2sin 42y x x x ==. 当3,82x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数1sin 42y x =单调递增，故D 正确.故选：CD . 【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.10．已知函数f (x )＝21xx x e +-，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f (x )不存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e <k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝25e ，则t 的最大值为2 【答案】BCD【解析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项. 【详解】A.()2010f x x x =⇒+-=，解得x =，所以A 不正确； B.()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确.C.当x 趋向于+∞时，y 趋向于0，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图像可知，t 的最大值是2，所以正确. 故选：BCD . 【点睛】本题考查了用导数分析函数的单调性、极值点，以及函数的图像等知识点，考察运算求解能力，属于基础题型.11．在长方体1111ABCD A B C D -中，142AA AB BC M N ===，，，分别为棱111C D CC ，的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．BN ∥平面ADMC ．直线BN 与1B M 所成角的为60D ．平面ADM ⊥平面11CDD C【答案】CD【解析】由空间中点与面的位置关系，直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案. 【详解】对于A ，A 、B 、M 在平面11ABC D 内，N 在平面11ABC D 外，故A 错误； 对于B ，若//BN 平面ADM ，又//BC 平面ADM ，则平面11//BCC B 平面ADM ， 而平面11//BCC B 平面11ADD A ，矛盾，故B 错误． 对于C ，如图，取CD 中点E ，连接BE ，NE ，可得1//BE B M ，EBN ∠为直线BN 与1B M 所成角， 由题意可得BEN 为等边三角形，则60EBN ∠=︒，故C 正确；对于D ，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CDD C ，AD ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面11CDD C ，故D 正确 故选：CD. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，属于中档题. 12．集合(){}|0A x y x y a a =+=>，，，(){|1}B x y xy x y =+=+，，若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（ ）A ．a 的值可为2B ．a 2C ．a 的值可为22+D ．a 的值可为22【答案】BC【解析】确定集合A 表示以四个点()0a ，，()0a -，，()0a -，，()0a ，为顶点的正方形，如在第一象限直线方程为x y a +=，在第四象限直线方程为x y a -=，集合B 表示四条直线1x =±和1y =±，它们有八个交点，是正八边形的八个顶点，求出交点坐标（只需相邻三个即可，题中求出了四个），由边长相等可求得a ． 【详解】集合A 表示以四个点()0a ，，()0a -，，()0a -，，()0a ，为顶点的正方形， 集合B ：()()1101x y x --==±，或1y =±，所以当A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合时，y 轴右边的4个交点为()11a -，，()11a -，，()11a -，，()11a -，-，21a =-，解得a =，2=，解得2a =2-， 故选：BC ． 【点睛】本题考查集合交集的概念，正确理解集合的意义是解题关键．三、填空题13．若集合{}260M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且M N N =，则实数m的值为_____ 【答案】0或12-或13【解析】先化简集合{}3,2M =-，再由MN N =，得到N M ⊆，分N =∅，和N ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】因为{}{}2603,2M x x x =+-==-，又M N N =，所以N M ⊆，若N =∅，则方程10+=mx 无解，只需0m =，若N ≠∅，则{}110N x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为N M ⊆，所以只需13m -=-或12m-=，解得13m =或12m =-. 故答案为：0或12-或13. 【点睛】本题主要考查由交集的结果求参数，属于基础题型.14．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________. 【答案】()1,0【解析】由log 10a =知431x -=，解出x ，进而可知图象所过定点的坐标 【详解】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,0 【点睛】本题考查对数函数的性质，属于简单题．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________． 【答案】43钱 【解析】分析：根据条件列出等差数列相关条件，再根据基本量关系求首项. 详解：等差数列{}n a 前五项和为5，前两项和与后三项和相等，求首项，因为5123455S a a a a a =⎧⎨+=++⎩，所以11111115545,2234a d a a d a d a d a d⎧+⨯⨯=⎪⎨⎪++=+++++⎩ 1112114,=8063a d d a a d +=⎧∴=-⎨+=⎩，因此甲所得为43钱. 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________【答案】y =【解析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为3by x x a=±=±. 故答案为：3y x =±. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.四、解答题17．已知函数2()2cos ()sin 212f x x x π=++．（1）若()1,(0,)f ααπ=∈，求α的值； （2）求()f x 的单调增区间． 【答案】（1）522336πππαππα∴+==或即或； （2）()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 【解析】【详解】先通过降幂公式和三角恒等变换公式把f(x)转化成()sin(2)13f x x π=++.(1)再根据()1,(0,)f ααπ=∈,建立关于α的三角方程，求出α的值. （2）根据正弦函数的单调增区间求出f(x)的单调增区间.（1）；7(0,)(2)(,)333πππαπα∈+∈又即522336πππαππα∴+==或即或（2）()f x 单调递增，故2[2,2]()322x k k k Z πππππ+∈-+∈，即5[,]()1212x k k k Z ππππ∈-+∈， 从而()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 18．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD a =，2AD a=点E 是SD 上的点，且(02)DE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有AC BE ⊥ （2）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若sin cos ϕθ=，求λ的值【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出,AC BE ，证明0AC BE ⋅=即可； （2）利用向量法表示出sin ,cos ϕθ，即可建立方程求解. 【详解】（1）证法：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(22,0),2,0),(0,0,)D A a B a a C a E a λ，∴(2,2,0),(2,2,)AC a a BE a a a λ=-=- ∴222200AC BE a a a λ⋅=-+⋅=，即AC BE ⊥；（2）由（1）得(2,0,),(0,2,),(2,,)EA a a EC a a BE a a λλλ=-=-=-. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =，则由,n EA nEC ⊥⊥得00n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z z λλ-=-=， 取2z =，得(,,n λλ=·易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为()0,0,2DS a =与()0,,0DC =.2sin ,cos 4DC n DS BE DS BEDC nϕθλ⋅⋅∴====⋅⋅+.sin cos φθ=22λ=⇔=.由于(0,2]λ∈，解得λ=.【点睛】本题考查空间直线垂直的证明，考查空间角的求解，属于中档题. 19．已知函数ln ()m xf x x+=，m R ∈，1x >. （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）12m ≥【解析】分析：（1）求出导函数21ln '()m xf x x--=，对m 分类讨论得出'()f x 正负，从而得()f x 的单调区间；（2）不等式为()2ln 1x m x <-，1x >恒成立，然后构造函数()()2ln 1,1g x x m x x =-->，问题转化为()max 0g x <，利用()g x 的导函数求得最大值，注意对m 分类讨论，再解不等式可得． 详解：（1）()21ln 'm xf x x --=，1x >当10m -≤时，即1m ≥时，1ln 0m x --≤在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 的单调减区间是[)1,+∞，无单调增区间．当10m ->时，即1m <时，由()'0f x >得()11,mx e-∈．由()'0f x <，得()1m x e ，-∈+∞，所以()f x 的单调减区间是()1m e -+∞，，单调增区间是(11,m e -⎤⎦（2）由题意，()2ln 1x m x <-，1x >恒成立，()()2ln 1,1g x x m x x =-->，()max 0g x <()21122,1mx g x mx x x x-='-=>()()()()()00(1),1,1,10,m g x x g x x g x g ≤>>+'∞∴>>=①时，在递增舍去()()()()()10(1),1,21,10,m g x x g x x g x g ②时，在递减成立≥<>+∞∴><=' ()()()()()1100(1),2211,,0,102m g x x x mx g x g x g x g m <<=>=⎛⎫∴∈>>= ⎪ ⎪⎝⎭''③时，递增，舍去综上，12m ≥．点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于第2问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想．20．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.（1）根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）答案详见解析，有99%的把握；（2）95；（3）方案二. 【解析】（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为35P =，知ξ服从二项分布，即3(3,)5B ξ，可求得其期望和方差；（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】（1）由已知得出联列表：所以2260(1081230)7.033 6.63522384020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123205P ==， 3()5B ξ∴3, ，3()35E ξ=⨯=95（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元若选方案二，设实际付款X 元，则X 的取值为1200，1080，1020，()02021111200=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()20221111020=224P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1111200108010201095424E X ∴=⨯+⨯+⨯=11001095>∴，选择第二种优惠方案更划算【点睛】本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.21．己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）当63x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）最大值为2，此时6x π=；最小值为－1，此时6x π=-. （22m ≤<【解析】（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ-≤≤时，解出26x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值；（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围. 【详解】解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+.根据()y f x =的图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到3sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得3m =，1n =.()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x 最大值为2，此时6x π=，()f x 最小值为－1，此时6x π=-.（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位得2sin 22sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令23x t π=-，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，如图当3sin 12t ≤<时， ()g x m =在[]0,2π有两个不同的解∴32sin 223x π⎛⎫≤-<⎪⎝⎭，即32m ≤<.【点睛】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.22．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =.（1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由； （3）若不等式()()42xxf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域； （2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性；（3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122xxy =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x => （2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x xf t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x x t +≥∴2114122x x x xt ≥=++令122xxy =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min15222y =+=∴12552t ≥=又∵20x t ->∴()min22xt <=.综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。
江苏省南京师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ，所以A B ={}210，，，故答案选B. 2.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=，则z 的虚部为为23，故答案选C. 3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2，由焦点在y 轴正半轴上，则0>-mn，即mn <0，所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件， 故答案选C.4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥，可得021=+-λ，解得21=λ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211，n ，则()312，=+n m ，所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m，，因为[]π，，02>∈+<m n m ，所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π，故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ）A. “宫、商、羽”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题：等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为23a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为4323⨯a ，即89a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为2389⨯a ；即1627a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为431627⨯a ，即6481a ，则a ，89a ，6481a 成公比为89的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π，而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ，即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06，π，且为相邻的对称中心，故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ，则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即π=T ，所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ，令2-=k ，解得1211π-=x ，故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x ，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x ，设()()22--='=x e x f x g x ，则()2-='x e x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B.8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点，12,x x ，则[)1,e k ∈ 则1e x k =，1ln x k =，21x k -=，21x k =+， 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-，令()2ln g k k k k k =+-，()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-， 而()12120k g k k k-''=-=>，所以()g k '在()e ，1上单调递增，则()()120g k g ''>=>， ()g k ∴在()e ，1上单调递增，且()21=g ，()2e e g =，())22,e g k ⎡∴∈⎣，故答案选D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少 【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A 正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为600015.015002400=-（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B 错误，选项C 正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D 正确；所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=，可令y =0，可解得202=x ，即52=c ，由双曲线的渐近线方程为x aby ±=，且222c y x =+，与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ，，所以()b a N ，-，又由ME ON ⊥，则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ，，，即0322=--b b a ，联立20222==+c b a ，解得b =4，a =2，所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=，△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ，所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，可取AB 的中点为点M ，连结A 1M ，可得A 1M ⊥AE ，又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ，所以A 1F ⊥AE ，故选项A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可得BC 1∥AD 1，则可得到BC 1∥平面AED 1，又因点P 在BC 1上，则点P 到平面AED 1的距离为定值，故选项B 错误；取B 1C 1的中点为点N ，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ，因为AE =D 1N =5，AD 1=22，NE =2，所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ，故选项C 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可设点1A 到平面1AED 的距离为h ，且在△AD 1E 中，D 1E =3，AE =5，AD 1=22，由余弦定理可得，()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ，所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ，则由1111D AA E AED A V V --=，可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ，即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ，解得h =34，故选项D 错误；综上答案选AC. 12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-，则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线()y f x =的一条切线为y =0，故A 选项正确；令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=，解得x =0、2π、2π-，即为3个极值点，故B 选项正确；由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C 选项错误；因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ，所以函数()x f 为偶函数，则D 选项正确；综上，答案选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________.【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr r r r r r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令32312=-r ，解得r =2，则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ，故答案为240. 14.已知α、β均为锐角，且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角，且()0552cos 102sin >=+=βαα，，所以()πβα，0∈+，则()55sin 1027cos =+=βαα，，所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯，则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ，故答案为45. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时，e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立，此时b ∈R ；②当0x ≤时，b ax e x +≤，取对数得，b ax x +≤ln ，即ax x b -≥ln ，因为2a ≥，则可得到ln ln 2x ax x x -≤-，∴()max ln 2b x x ≥-，令()x x x f 2ln -=，则()21-='x x f ，可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21上单调递减，所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，则b ≥2ln 1--，所以b 的取值范围为[)∞+--，2ln 1. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.【答案】32；1627π 【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知，一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，取BC 中点为D ，连结SD ，AD ，可作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD =====-=，则该正四面体的体积为111323133233ABC V S SO =⋅⋅=⋅⋅=△，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V ==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，过球心作OE SD ⊥，则OE 就是球半径，因为SO OD SD OE ⨯=⨯，所以球半径23633696SO OD R OE SD ⨯====，所以该球表面积的最大值为23164927S ππ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，所以答案为32；1627π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 3，求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】（1） A B c C b cos 4cos cos -=+，且2=a ，∴A a B c C b cos 2cos cos -=+， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中，π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=，∴A A A cos sin 2sin -=，在ABC ∆中，),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴21cos -=A ，则32π=A .（2）334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π，则34=bc ， 由余弦定理得：bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=，则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ，∴316)(2=+c b ， 在ABC ∆中，0,0>>c b ，∴334=+c b ，∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；∴数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列； ∴数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；∴数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】（1） 选条件∴x a x f =)(，∴n a n a a f =)(， )}({n a f 是首项为4，公比为2的等比数列，则11224+-=⨯=n n a n a ，则2log )1(2log 1a n a n n a +==+；2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+，则}{n a 为等差数列. （2）当2=a 时，12log )1(2+=+=n n a n ，又 n n b )21(=，∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------（*）1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------（**） ∴（*）减去（**）得：1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系11=AA ，2=AB ，BC AE ⊥∴，3=AE ，111=D A ，()0,0,0A ()1,0,01A ∴，()0,0,3E ，()1,1,01D ，()0,1,3C ，()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ，()1,1,01-=D D ，()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =，平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由（1）可设()0,,3m E ，11≤≤-m ，()0,,3m AE =∴，()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0，30-=∴y ，30=z ，()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ，设3n ，4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ，2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3∴0或3∴1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∴2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3∴1取胜的概率为()f p . （∴）求出()f p 的最大值点0p ;（∴）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】（1）()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.（2）前三场赢两场，第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=，满足最大值点要求. （3）X 可能取的值为0、1、2、3∴3X =⇒前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2X =⇒前四场赢两场，第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1X =⇒前四场赢两场，第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴0X =⇒前三场全输，或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴X 的分布列为：21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题 【解析】（1）当2a =时，()e 2e 2x x f x x -=+--，()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞（2）()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时，()0f x '<，()x f 单调递减；当ln x a >时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点， 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-，e a > 当0x >时，()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时，()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-，令0e 2ln 2x a a x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点， 综上：a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】（1）由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+（2）由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =，设AP ABBP BQλ==，()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=∴×∴得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ∴-∴22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。
江苏省南京市第一中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题及答案解析
2021-2022学年江苏省南京市第一中学高三上学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知复数，为虚数单位)，若z 1z 2是纯虚数.则实数a =( )A. −12B. 12C. −2D. 32. 已知集合A ={x |y =1√x+1}，B ={x |1x<1}，则A ∩B =( )A. x|x >1.B. {x|−1<x <0或x >1}C. {x |0<x <1}D. {x |−1<x <1}3. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足(a⃗ +b ⃗ )·b ⃗ =2，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|a ⃗ +b ⃗ |=( ) A. √3B. √2C. 1D. 2√34. 若数列{F n }满足F 1=1，F 2=1，F n =F n −1+F n −2(n ≥3)，则{F n }称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n ≥2时，前n 项之和等于第n +2项减去第2项；随着n 的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近( )(备注：，A. 31万B. 51万C. 217万D. 317万5. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1>0，命题q ：函数y =−(a +1)x 是减函数，则命题p 成立是命题q 成立的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a >0，b >0，直线l 1：x +(a −4)y +1=0，l 2：bx +y −2=0，且l 1⊥l 2，则1a+1+1b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 23D. 457. 在二项式(x √x)n 的展开式中，各项系数的和为128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率为( )A. 435B. 34C. 314D. 1148.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l.点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若PF⃗⃗⃗⃗⃗ = 3FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P到准线l的距离为()A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. g(x)的最小正周期为B. g(x)在区间上单调递减C. 函数g(x)的图象关于点对称D. g(x)在上的最小值为−1210.关于函数f(x)=|xlog2(1−x2)||x−1|−1的性质的描述，正确的是()A. f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)B. f(x)有且仅有一个零点C. f(x)的图象关于原点对称D. f(x)的值域为(−∞,0)11.已知实数x､y､z满足z⋅lnx=z⋅e y=1.则下列关系式中可能成立的是()A. x>y>zB. x>z>yC. z>x>yD. z>y>x12.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是()A. 点F的轨迹是一条线段B. A1F与BE是异面直线C. A1F与D1E不可能平行D. 三棱锥F−ABD1的体积为定值三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线x29−y216=1的左右焦点分别是F1,F2，P点是双曲线右支上一点，且，则三角形PF1F2的面积等于14.已知sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，则sin2α+sin2α1+cos2α=．15. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =2π3，AP =3，AB =2√3，Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为π3，则该三棱锥外接球的表面积为 ．16. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f (x ⋅y )=f (x )+f (y )，f (13)=−1，当x >1时，f(x)>0，则满足不等式f(x)−f(x −2)≥2的x 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }满足a 3=16，a n+1=a n2a n +1．(1)求证：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若_______，求数列{b n }的前n 项和T n ． 在①b n =a n a n+1；②b n =(−1)n a n；③b n =1a n+(13)a n 三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分．18. 在△ABC 中，AB =6，cosB =34，点D 在BC 边上，AD =4，∠ADB 为锐角．(1)若AC =6√2，求线段DC 的长度； (2)若∠BAD =2∠DAC ，求sinC 的值．19.今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组．(1)第一小组决定从单次完成1−15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11−15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1−5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表．学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2⩾k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.82820.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°,AB=AD=2DC=2√2,E,F分别为PD,PB的中点．(1)求证：FC//平面PAD；(2)若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为π4，求PA的长度．21.已知点M(−1,m)(m>0)，不垂直于x轴的直线l与椭圆C:x24+y23=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点．(1)若M为线段AB的中点，证明：y2−y1x2−x1>12；(2)设C的左焦点为F，若M在∠AFB的角平分线所在直线上，且l被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，求l的方程．22.已知函数f(x)=lnx+a．x(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)设g(x)=f(x)+1，若对任意的x∈(0,+∞)，都有g(x)≤e x恒成立，求a的取x值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：复数z 1=a −i ，a ∈R ，z 2=2+i ， ∴z 1z 2=(a −i)(2+i)=(2a +1)+(a −2)i ， 又∵z 1z 2是纯虚数，所以2a +1=0且a −2≠0，可得a =−12． 故选A ．2.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 先把集合A 、B 解出来，再求交集即可． 【解答】解：由题意，集合A ={x|y =√x+1}={x|x >−1}，B ={x |1x <1}={x|x <0或x >1}， 根据集合的交集的运算，可得A ∩B ={x|−1<x <0或x >1}． 故选：B ．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的运算，属于基础题．根据平面向量的数量积运算求出a⃗·b⃗ 的值，再利用模的计算公式即可求解．【解答】解：因为(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =a⃗·b⃗ +|b⃗ |2=a⃗·b⃗ +4=2，所以a⃗·b⃗ =−2，所以|a⃗+b⃗ |=√(a⃗+b⃗ )2=√a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=√1+2×(−2)+4=1．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列的递推关系、数列求和，属于中档题．根据题意得到当n≥2时，利用迭代法进行数列求和得S n=F n+2−F2，再利用F29= 0.618F30.计算即可．【解答】解：根据题意得，F30=832040，假设{F n}的前n项和为S n，则∵当n≥2时，S n=F n+2−F2，则S28=F30−1，因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，则F29=0.618F30，由S30=S28+F29+F30=F30−1+0.618F30+F30=2.618F30−1≈218万.故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查充分必要条件问题，属于基础题．先分别解出p，q为真命题时a的范围，再由充分条件与必要条件的判断方法判断即可．【解答】解：命题为真时，①当a=0时，ax2+ax+1>0在R上恒成立，②当a≠0时，Δ=a2−4a=a(a−4)<0，且a>0，解得：0<a<4，综上，不等式ax2+ax+1>0在R上恒成立，有：0⩽a<4；命题q：函数y=−(a+1)x是减函数，则：a+1>1，解得a>0；所以：当0⩽a<4，推不出a>0；当a>0时，不能推出0⩽a<4；则p是q的既不充分也不必要条件．故选：D．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．根据l1⊥l2可得a、b的关系式，再由基本不等式即可求解．【解答】解：因为l1⊥l2，所以b+a−4=0，a>0，b>0，所以a+b=4，a+1+b=5，所以1a+1+1b=15(1a+1+1b)(a+1+b)=15(2+ba+1+a+1b)⩾15(2+2√ba+1⋅a+1b)=45，当且仅当{ba+1=a+1ba+b=4即a=32，b=52时取等号，1a+1+1b的最小值为45，故选D．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查二项展开式的系数问题及“插空法”、排列公式、古典概型，属于中档题． 由已知求出n ，再利用通项可得有理项与无理项的项数．利用“插空法”及排列公式即可得出概率． 【解答】解：因为各项系数的和为128，令x =1，2n =128 解得n =7，二项式(x +√x )7的通项为T k+1=C 7k x 7−k (√x )k =C 7k x7−3k2， 其中当k =0,2,4,6时为有理项，因为二项式的展开式中共有8项，全排列有A 88种排法，其中4项为有理项，4项为非有理项，有理项要求互不相邻，可先将4项非有理项全排列共A 44种，然后将4项有理项插入4项非有理项产生的5个空隙中共A 54种，即有理项都互不相邻的排法有A 44A 54种，所以有理项都互不相邻的概率为P =A 44A 54A 88=114．故选D ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查抛物线的定义和性质，属于中档题．过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ，由三角形相似可知|FO||PN|=|FQ||QP|=14，|PN|=4|FO|=4，可得点P 到准线l 的距离． 【解答】解：由抛物线C:y 2=4x ，可知F(1,0)，即|OF|=1(O 为坐标原点)， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 由三角形相似可知|FO||PN|=|FQ||QP|=14，所以|PN|=4|FO|=4，所以点P 到准线l 的距离为5． 故选C ．9.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查了三角函数图象的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，属于中档题，由函数图象的变换可得g(x)=cos (2x +π3)，结合余弦函数的周期性、单调性、对称中心等即可判断选项，得出答案． 【解答】解：g(x)=cos [2(x +π8)+π12]=cos (2x +π3).g(x)的最小正周期为π，选项A 正确； 当x ∈[0,π2]时，2x +π3∈[π3,4π3]时，故g(x)在[0,π2]上有增有减，选项B 错误； 因为g (π12)=0，所以g(x)的图象关于点(π12,0)对称，选项C 正确； 当x ∈[−π6,π6]时，2x +π3∈[0,2π3]，且当2x +π3=2π3，即x =π6时，g(x)取最小值−12，选项D 正确． 故选ACD ．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义域，值域，奇偶性，函数的零点，属于中档题． 解可判断A ，由f(x)=0得log 2(1−x 2)=0，可判断B ，由f(−x)=−f(x)，得函数f(x)为奇函数，可判断C ，当x ∈(0,1)时，f(x)=log 2(1−x 2)，结合奇函数可得f(x)的值域，可判断D ． 【解答】 解：由题意，函数有意义，则满足{|x −1|−1≠0,1−x 2>0,解得−1<x <1，且x ≠0，即函数f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，所以A 正确．因为f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，所以．由f(x)=0得log2(1−x2)=0，注意x≠0，f(x)没有零点，所以B不正确．由上可知f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，可得，则满足f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以C正确．当x∈(0,1)时，1−x2∈(0,1)，所以=log2(1−x2)∈(−∞,0)．又由函数f(x)为奇函数，可得f(x)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以D不正确．故选AC．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．先进行转化，再画出指数函数、对数函数以及幂函数图象，即可得出关系．【解答】=t(t>0)，解：根据题意可得ln x=e y=1z的图象的交点的横坐标，则x，y，z分别为直线y=t(t>0)与y=lnx和y=e x和y=1x分别作出y=lnx和y=e x和y=1的图象，如图所示；x由图象可知，x，y，z可能的关系为x>y>z，或x>z>y，或z>x>y，故选ABC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查立体几何中的动点轨迹问题，属于较难题．首先画图找到平面A1MN//平面D1AE，根据面面平行的性质定理得到点F的轨迹，接着依次判断选项即可.解决该类题目一般是通过线线，线面，面面之间的平行垂直关系，根据判定定理或者性质定理得到动点的轨迹，接着再求题目的相关问题，考查体积是定值的问题时，一般就是研究距离和面积是不是定值，关键在于选择合适的顶点和底面．【解答】【详解】如图，分别找线段BB1，B1C1中点为M，N，连接A1M,MN,A1N，因为正方体AC1，易得MN//AD1,MN⊄面D1AE，AD1⊂面D1AE，所以MN//面D1AE，A1M//D1E，A1M⊄面D1AE，D1E⊂面D1AE，所以A1M//面D1AE，又MN∩A1M=M，MN,A1M⊂面A1MN，所以平面A1MN//平面D1AE，因为A1F与平面D1AE的垂线垂直，又A1F⊄平面D1AE，所以直线A1F与平面D1AE平行，所以A1F⊂面A1MN，又点F是侧面BCC1B1内的动点，且面A1MN∩面BCC1B1=MN，所以点F的轨迹为线段MN，故选项A正确；由图可知，A1F与BE是异面直线，故选项B正确；当点F与点M重合时，直线A1F与直线D1E平行，故选项C错误；因为MN//AD1，MN⊄面ABD1，AD1⊂面ABD1，所以MN//面ABD1，则点F到平面ABD1的距离是定值，又三角形ABD1的面积是定值，所以三棱锥F−ABD1的体积为定值，故选项D正确．故选：ABD．13.【答案】48【解析】【分析】本题重点考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的面积计算，属于基础题．由题意可得a，b，c的值，可得|PF2|，利用双曲线的定义可得|PF1|，结合三角形的形状和面积公式可得结果．【解答】解：由a=3，b=4，a2+b2=c2,得c=5，所以|PF2|=|F1F2|=5×2=10，再由双曲线定义得：|PF1|−|PF2|=2a=6，所以|PF1|=16，所以△PF1F2是等腰三角形，×6×16=48．过顶点F2作底边PF1的高，可得高为6，所以△PF1F2的面积是12故答案为：4814.【答案】43【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，二倍角公式，属于基础题．利用诱导公式化简已知式子，求出tanα=2，利用二倍角公式化简所求式子，再把分式的分子分母同时除以cosα，即可求出结果．【解答】解：由诱导公式，sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，可得−sinα=−2cosα，即tanα=2，故sin2α+sin2αsin2α+2cos2α=sin2α+2sinαcosαsin2α+2cos2α=tan2α+2tanαtan2α+2=43故答案为：43．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了几何体外接球的应用问题，考查了空间想象能力和运算能力，属于较难题．根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P−ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【解答】解：三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示：可知：∠PQA为直线PQ与平面ABC所成角，则sinθ=PAPQ=3PQ，且sinθ的最大值是√32，∴(PQ)min=2√3，∴AQ的最小值是√3，即A到BC的距离为√3，∴AQ⊥BC，∵AB=2√3，在Rt△ABQ中可得∠ABC=π6，即可得BC=6；取△ABC 的外接圆圆心为O′，作OO′//PA ，设△ABC 的外接圆的半径为r ， ∴6sin1200=2r ，解得r =2√3；∴O′A =2√3，取H 为PA 的中点，设三棱锥P −ABC 外接球的半径为R ， ∴OH =O′A =2√3，PH =32，由勾股定理得OP =R =√PH 2+OH 2=√572，∴三棱锥P −ABC 的外接球的表面积是 S =4πR 2=4×π×(√572)2=57π．故答案为57π．16.【答案】(2,94]【解析】 【分析】本题考查了抽象函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 先由已知条件判断函数的单调性，再解不等式即可． 【解答】解：设任意x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1< x 2，因为f(xy)=f(x)+ f(y)，所以f(xy)−f(x)=f(y)，取xy =x 2，x =x 1，则y =x2x 1，即f(x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)，因为x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2，所以x2x 1>1,又当x >1时，f(x)>0恒成立，所以f(x 2)−f(x 1)=f(x 2x 1)>0， 即f(x 1)<f(x 2)，所以f(x)是(0,+∞)上的增函数． 因为f(x)−f(x −2)≥2， 可化为为f(x)−2≥f(x −2)，又f(13)=−1，∴f(13)+f(13)=f(19)=−2， 所以不等式等价于f (x9)⩾f (x −2)所以{x9>0x −2>0x9⩾x −2，解得2<x ⩽94，所以x 的取值范围为(2,94]． 故答案为(2,94]．17.【答案】解：(1)显然a n ≠0，由a n+1=a n2a n +1，两边同时取倒数得：1a n+1=2a n +1a n=1a n+2，即1an+1−1a n=2，所以数列{1a n}是公差为2的等差数列．故1a n=1a 3+(n −3)×2=2n ，即a n =12n ．(2)选①：b n =a n a n+1，由已知得，b n =a n a n+1=12n ⋅12n+2=14n(n+1)=14(1n −1n+1)，故数列{b n }的前n 项和T n =14(1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4， 选②：b n =(−1)n a n，由已知得，b n =(−1)n ⋅2n ，故数列{b n }的前n 项和T n =−2+4−6+8+⋅⋅⋅+(−1)n ⋅2n ， 当n 为偶数时，T n =2⋅n2=n ； 当n 为奇数时，T n =−2+(−2)×n−12=−n −1，故选③：b n =1a n+(13)1a n，由已知得，b n =2n +(13)2n=2n +(19)n，故数列{b n }的前n 项和T n =(2+4+6+8+⋅⋅⋅+2n)+[19+(19)2+⋅⋅⋅+(19)n ]=(2+2n)n 2+19(1−19n )1−19=n 2+n +18(1−19n ).【解析】本题主要考查了通过数列的递推关系求数列的通项公式，等差数列的判定与证明，数列求和，裂项相消法，等差数列和等比数列求和的应用，属于中档题． (1)对递推公式两边同时取倒数，结合等差数列的定义进行判断即可； (2)选①：运用裂项相消法进行求解即可； 选②：运用分类讨论方法进行求解即可；选③：运用分组求和法，结合等差数列和等比数列前n 项和公式进行求解即可．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，因为cosB =34，所以sinB =√74， 由正弦定理得，AB sin∠ADB =ADsinB ，所以sin∠ADB =3 √78．因为∠ADB 为锐角，所以cos∠ADB =18．所以cos∠ADC =−18． 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2=AD 2+DC 2−2DC ×DAcos∠ADC ，得DC 2+DC −56=0，解得DC =7或DC =−8(舍去)． 所以DC =7．(2)在△BAD 中，设∠DAC =θ，则θ∈(0,π3)．且．因为θ为锐角，sin 2θ=1−cos2θ2=732，sin2θ=5√716， 所以sinθ=√1−cos2θ2=√148，cosθ=√1+cos2θ2=5√28．所以sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ=17√1464， 同理cos3θ=5√264． 所以sinC =sin(π−B −3θ)=sin(B +3θ)=sinBcos3θ+cosBsin3θ=7√1432．【解析】本题考查正余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数关系，属于中档题．(1)利用正余弦定理即可求出结果；(2)利用同角三角函数关系结合两角和与差的三角函数公式即可求出结果．19.【答案】解：(1)①0.02:0.03:0.06=2:3:6，所以211×11=2，311×11=3，611×11=6，即从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，又因为单次完成11−15个引体向上的人共有0.06×5×400=120人， 记“单次完成11−15个引体向上的甲被抽中”为事件A ， 则p(A)=C 1195C 1206=6120=120 ②X 的所有可能取值有0、1、2，P(X =0)=C 93C 113=2855P(X =1)=C 21C 92C 113=2455P(X =2)=C 22C 91C 113=355所以X 的分布列如下： X 0 12P2855 2455 355所以E(X)=0×2855+1×2455+2×355=3055=611．(2)因为K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(5000−10000)2300×100×150×250=809≈8.889>7.879所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．【解析】本题考查分层抽样，考查古典概型的计算与应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，属于中档题．(1)①由频率分布直方图确定单次完成1−5、6−10、11−15个引体向上人数比例，即可得从1−5中选2个，6−10个中选3个，11−15个中选6个，又因为单次完成11−15个引体向上的人共有120人，由古典概型的概率公式即可得结果;②X的所有可能取值有0、1、2，分别计算出每个取值对应的概率，即可得分布列，由公式计算数学期望即可；(2)由2×2列联表中的数据计算得K2，与临界值表比较即可得答案．20.【答案】(1)证明：取PA的中点Q，连接QF,QD，∵F是PB的中点，∴QF//AB，且QF=12AB．∵底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90∘，AB=AD=2DC=2√2，∴CD//AB,CD=12AB，∴QF//CD，且QF=CD．∴四边形QFCD是平行四边形，∴FC//QD．又∵FC⊄平面PAD,QD⊂平面PAD，∴FC//平面PAD ．(2)解：如图，分别以AD,AB,AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，设PA =a(a >0)， 则A(0,0,0),B(0,2√2,0),C(2√2,√2,0), D(2√2,0,0),E(√2,0,a2),F(0,√2,a2)， 取平面ABCD 的一个法向量为， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√2,a 2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0,a 2)， 设平面CEF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0,即{−√2x −√2y +a2z =0,−2√2x +a2z =0,不妨取z =4√2，则x =a,y =a ，即，，解得a =4，即PA 的长为4.【解析】本题考查线面平行的判定，考查利用空间向量求两平面的夹角，属于中档题． (1)取PA 的中点Q ，连接QF,QD ，可证得FC//QD ，由线面平行的判定可得CF//平面PAD ； (2)建立空间直角坐标系，设PA =a(a >0)，取平面ABCD 的一个法向量为，再求出平面CEF 的法向量，利用公式可得PA 的长．21.【答案】解：(1)由x 24+y 23=1可得3x 2+4y 2=12，因为M(−1,m)(m >0)是A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点的中点， 所以x 2+x 1=−2，y 2+y 1=2m ， 因为A , B 在椭圆上，所以{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12, 两式相减得：3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 所以y 2−y 1x2−x 1=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−3×(−2)4×2m=34m ，因为M(−1,m)(m >0)为AB 中点，故点M 在椭圆C 的内部，所以14+m 23<1，又因为m >0，所以0<m <32，故y 2−y 1x2−x 1=34m >12； (2)①当l 的斜率为0时，M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，直线l 方程为y =0，l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为4，不符合题意； ②当l 的斜率不为0时，设直线l:x =ty +n ， 由{x =ty +n3x 2+4y 2=12，得(3t 2+4)y 2+6tny +3n 2−12=0， 则Δ=48(3t 2−n 2+4)>0，即3t 2>n 2−4， 则y 1+y 2=−6tn3t 2+4，y 1y 2=3n 2−123t 2+4，又F(−1 , 0)，则MF ⊥x 轴， 因为MF 平分∠AFB ，所以k AF +k BF =0，即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，得y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=y 1(ty 2+n +1)+y 2(ty 1+n +1)=2ty 1y 2+(n +1)(y 1+y 2)=2t ⋅3n 2−123t 2+4+(n +1)(−6tn3t 2+4)=0，所以6tn +24t =0，因为t ≠0 所以解得n =−4，所以，直线l 的方程为x =ty −4，因为l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，圆的半径为r =2，则圆心O (0,0)到直线l:x =ty −4的距离为√r 2−(AB 2)2=√4−3=1，所以d =√1+t 2=1，则t =±√15，且满足3t 2>n 2−4， 于是l 的方程为x ±√15y +4=0．【解析】本题考查了椭圆的中点弦问题，考查点差法，考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由A , B 在椭圆上，代入椭圆方程，可得y 2−y 1x 2−x 1=34m ，利用点M 在椭圆C 的内部，可得0<m <32，即可证明结论；(2)当l 的斜率为0时，不符合题意；当l 的斜率不为0时，设直线l:x =ty +n ，与椭圆方程联立，再利用MF 平分，可得直线l 的方程，l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3列式，即可求出l 的方程．22.【答案】解：(1)令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，当0<x <e 时，g′(x)>0；当x >e 时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，当x →0时，g(x)→−∞；当x =e 时，g(x)=1e ；当x →+∞时，g(x)→0， 所以当0<−a <1e ，即−1e <a <0，f(x)有两个零点， ∴f(x)有两个零点时，a 的取值范围是(−1e ,0)． (2)∵对任意的x >0，不等式g(x)≤e x 恒成立， ∴a ≤xe x −lnx−1x在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=xe x −lnx−1x(x >0)，则F′(x)=x 2e x +lnxx 2，令ℎ(x)=x 2e x +lnx ，则ℎ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0， ∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数， 又ℎ(1)=e >0，ℎ(1e)=e 1e e2−1=e1e −2−1<0， ∴∃x 0∈(1e ,1)，使得ℎ(x 0)=0，即x 02e x 0+lnx 0=0，∴0<x <x 0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，F(x)在(0,x 0)上单调递减； x >x 0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，F(x)在(x 0,+∞)上单调递增， ∴F(x)min =F(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−1x 0，由x 02e x 0+lnx 0=0，可得x 0ex 0=−lnx 0x 0=1x 0ln 1x 0=(ln 1x 0)eln1x 0，令t(x)=xe x ，则t(x 0)=t(ln 1x 0)，又t′(x)=(x +1)e x >0， ∴t(x)在(0,+∞)上单调递增， ∴x 0=ln 1x 0，则e x 0=1x 0，∴x 0e x 0=1， ∴F(x)min =F(x 0)=x 0e x 0−lnx 0−1x 0=1+x 0−1x 0=1，∴a ≤1，综上所述，满足条件的a 的取值范围是a ≤1．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于难题． (1)令g(x)=lnx x，求导研究函数g(x)的单调性及取值情况，分析可得−1e <a <0；(2)问题等价于a ≤xe x −lnx−1x在(0,+∞)上恒成立，令F(x)=xe x −lnx−1x(x >0)，求出函数F(x)的最小值即可．。
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题Word版含解析
2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。
江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷【含答案】
江苏省南京市三校2021届高三第一学期期中联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,52. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种B. 50种C. 80种D. 100种4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里B. 86里C. 90里D. 96里5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>>B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 438. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞ D. (,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ） A.43πB.23π C. 23π-D. 43π-11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________.14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数）15. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）16. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类Aab类Bcd有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表（部分）()2P k χ≥0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合： ①方程()0f x x -=有实数解； ②函数()f x 的导数fx 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．（答案）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A. []1,5B. ()2,3C. [)1,2D. (]3,5【答案】B2. 已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A.75B. 75-C. 15D. 15-【答案】D3. 从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A. 20种 B. 50种C. 80种D. 100种【答案】B4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A. 80里 B. 86里C. 90里D. 96里【答案】D5. 若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a y x x =>在同一个坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C6. 设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A. a b c d >>> B. d c b a >>>C. b a c d >>>D. b a d c >>>【答案】C7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A. 8B. 16C. 4D. 43【答案】B8. 设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[)0,+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()x f x +>0的解集是（ ） A. (3,)+∞ B. (1,)+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ） A. (1,)+∞ B. (,0)-∞C. (,)-∞+∞D. (0,)+∞【答案】AB10. 若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A.43π B.23π C. 23π-D. 43π-【答案】AC11. 设0a >，0b >，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.11a b+的最小值为2 B.21a b+的最小值为2 C. 12a b+的最小值为94D.111b a a b +≥++ 【答案】BCD12. 设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1)n a x +的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A. 若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B. 若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C. 若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D. 若2a =-，7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中相应的横线上.13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为1的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为__________. 【答案】3±14. 今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是__________元．（四舍五入，精确到整数） 【答案】36720915. 数学家研究发现，对于任意的x ∈R ，()357211sin (1)N 3!5!7!(21)!n n x x x x x x n n --*=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为_________米．（精确到1米）【答案】8616. 如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB DC ，//HG DE ，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为___________.【答案】108四、解答题：本题共6小题；共70分.将解答写在答题卡中相应的空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数2()434sin cos 1f x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）T π=；[323,523]-++；（2）31,3]+.18. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得：对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【答案】答案见解析19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．【答案】（1）1；（26 .20. 在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．未感冒感冒使用血清17 3未使用血清14 6（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1 类2 Ⅰ类A a b类B c d有22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表（部分）()2P k χ≥ 0.50 0.40 0.25 015 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001k0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.21. 设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数f x 满足0()1f x '<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．【答案】（1）是集合M 中的元素．理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为42（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22196y x +=或2231248y x +=；（2）答案不唯一见解析.。
2021届江苏省南京高三上学期第一次模拟考试(二)数学试题(解析版)
15．在△ABC中，角 所对的边分别为 向量 ，向量 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的最大值.
【答案】（1） （2）2
【解析】（1）转化条件得 ，进而可得 ，即可得解；
（2）由 化简可得 ，由 结合三角函数的性质即可得解.
【详解】
（1） ， ，
由正弦定理得 ，
即 ，
又 ， ，
又 ， ， ，
【详解】
由题 均为正数，不等式 恒成立，等价于
恒成立，
令 则 ，
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.
13．在直角三角形 中， 为直角， ，点 在线段 上，且 ，若 ，则 的正切值为_____.
【答案】
【解析】利用等体积法求解点到平面的距离
【详解】
由题在长方体中， ，
，
所以 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为
，解得
故答案为：
【点睛】
此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.
8．如图所示的流程图中，输出 的值为______.
【答案】4
【解析】根据流程图依次运行直到 ，结束循环，输出n，得出结果.
【详解】
设
，
交圆 于点 ，所以
易知:
即 .
故答案为：
【点睛】
此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.
12．对于任意的正数 ，不等式 恒成立，则 的最大值为_____.