《等比数列的前n项和ppt课件》
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4.3.2等比数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
21 + 22 + 23 + ……
①
+ 262 + 263 + 264 ②
② ①得S 64 2 1(粒) 1844674407 4709551615 (粒)
64
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约
为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
2
3
n
解 : ①当 x 0时, S n 1
②当x 1时, S n n 1
1(1 x n 1 ) x n 1 1
③ 当x 1且x 0时, S n
1 x
x 1
总结归纳
等比数列的前n项和公式
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
①q 1时, S n na1
②q 1时, S n
n 1
a
a
q
1
a1 (1 q ) n
n
1 q
知a1 , q, n
a1 an q
Sn
1 q
知a1 , q, an
注：当公比不确定时，应当分 = 和 ≠ 两种情况讨论.
以实现上述要求."
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒
的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约为
7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
情景引入
“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子
里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类
等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
a1 1 q
Sn
1 q
前
n
项
和
首
项
公
比
特殊情况：
n
项
数
a1 an q
q 1
1 q
通
项
a1 1 q n
Sn
1 q
a1 an q
Sn
1 q
回顾思考
国王需要给发明者多少粒小麦？
估计1000粒麦子的质量约为40g，那么麦粒
的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度
4.3.2 等比数列前n项和公式
复习回顾
等比数列的有关概念
an 1
q an 0, n N *
1. 定义:
an
2.通项公式：
an a1q
n 1
新课引入
国际象棋的传说
相传古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨。
于是，这位国王对宰相说:我可以满足你的任何要求.
陛下，赏小
等比数列求和问题
Sn a1 a2 a3 a4 an
Sn a1 a1q a1q a1q 究
问题2:当公比为时,等比数列前项和是什么呢？
Sn a1 a1q a1q a1q a1q
2
3
n -1
1
1 q
1
n
1 q
a1 , q, n, Sn , an ，五个基本量，知三求二．
特殊情况：
数学思想：特殊到一般、归纳猜想、分类讨论、方程思想。
课后作业
课本37页练习题
等差数列求和
高斯用首尾相加法来“消项”
等比数列的前n项和ppt课件
等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2
第七章 第三节 等比数列及其前n项和 课件(共54张PPT)
(2)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章 数 列
第三节 等比数列及其前n项和
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念． 考情分析： 等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式 等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
等比数列前N项和的性质ppt课件
AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a