北师大版九年级上册第四章测试卷
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漳州正兴学校九年级数学（下）第8周试卷
（考试时间：120分钟 满分100分）
一．选择题
1、如果ab=cd ，那么有（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、下列说法中正确的是：所有的（ ）都相似。
A 、菱形
B 、矩形
C 、正方形
D 、梯形 3下列说法中正确的是（ ）
（1）相似三角形一定全等（2）不相似的三角形一定不全等
（3）全等的三角形不一定是相似三角形（4）全等的三角形一定是相似三角形
A 、（1）（2）
B 、（2）（3）
C 、（2）（4）
D 、（3）（4）
4、如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90˚，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E ，则图中相似（但不全等）的三角形共有（ ）
(A)6对 (B)8对 (C)9对 (D)10对 5、关于对位似图形的表述，下列命题正确的是（ ） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． A ①② B ①③ C ②③ D ②④
6、已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则下列等式中成立的是（ ）
A ．A
B 2
=AC ·CB B ．CB 2
=AC ·AB C ．AC 2
=CB ·AB D ．AC 2
=2BC ·AB 7、如图4—9—3，AD 是△ABC 的中线，AE =EF =FC ，则下列关系式：
①
AD AG =21 ②BE GE =31 ③BE BC =4
3
,其中正确的是（ ） A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
8、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，
现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0种
B. 1种
C. 2种
D. 3种
9、如图,根据下列条件中( )可得AB ∥EF
(A) OA:AE=OB:BF (B) AC:AE=BD:DF (C) OA:OE=OB:DF (D)AE:BF=OA:DB
10、某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4—9—4，在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =30 cm ，AB =50 cm ，依次裁下宽为1 cm 的矩形彩条a 1、a 2、a 3…….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是（ ）
A.24
B.25
C.26
D.27
二、填空题
6、如图4—7—1，若OA ∶OD =OB ∶OC =n ，则x =________（用a ,b ,n 表示）.
7、（2006•深圳）如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续
往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于________
8、(2010年滨州)如图,A 、B 两点被池塘隔开,在AB 外取一点C,连结AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM=3MC ，
作MN ∥AB 交BC 于N ，量得MN=38cm,则AB 的长为
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八年 班 姓名： 座号：
2。
北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似(单元综合卷)(解析版)
第四章 图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】 设234a b c k ===、 则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（ ） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（ ）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（ 、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（ ）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =． 故选：A ．【点睛】 本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确； 由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ， 、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2， 、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ， 、AB AC AE AD=， 、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12， 、241812AE =， 、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==， 、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ， 、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ， 、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22， 解得x 2＝94， 即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值． 【答案】52【解析】【分析】 由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值． 【详解】 解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】 本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥． 、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ； 、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。
北师大版九年级上册数学第四章检测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第四章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（）.A. 900cmB. 1000cmC. 1100cmD. 1200cm2.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A. =B. =C. =D. =3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为（）A. 7.5B. 10C. 15D. 204.将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是( )A. B. C. D.5.应中共中央总书记胡锦涛的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚渝先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于（）A. 一个篮球场的面积；B. 一张乒乓球台台面的面积；C. 《重庆时报》的一个版面的面积；D. 数学课本封面的面积。
6.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，BD长0.5m，且△ADE∽△ABC ，则梯子的长为（）A. 3.5mB. 3.85mC. 4mD. 4.2m7.下列叙述正确的是（）A. 所有的矩形都相似B. 有一个锐角相等的直角三角形相似C. 边数相同的多边形一定相似D. 所有的等腰三角形相似8.如图，当小颖从路灯AB的底部A点走到C点时，发现自己在路灯B下的影子顶部落在正前方E处．若AC=4m，影子CE=2m，小颖身高为1.6m，则路灯AB的高为（）A. 4.8米B. 4米C. 3.2米D. 2.4米9.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.10.如图2，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A. S△AFD=2S△EFBB. BF=DFC. 四边形AECD是等腰梯形D. ∠AEB=∠ADC11.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A. 30厘米、45厘米；B. 40厘米、80厘米；C. 80厘米、120厘米；D. 90厘米、120厘米12.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点，，．下列说法正确的是（）A. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）B. △与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0） C. △与△ABC是相似图形，但不是位似图形 D. △与△ABC不是相似图形二、填空题（共6题；共12分）13.如图，AB∥DE，AE与BD相交于点C.若AC＝4，BC＝2，CD＝1，则CE的长为________.14.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为________．15.若两个相似多边形的周长的比是1：2，则它们的面积比为________16.如图，已知点A在反比例函数y= （x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=________．17.如图，线段AC与BD相交于点O，，若OA∶OC＝4∶3，的面积是2，则的面积等于________．18.如图，点A(2，2 ),N(1，0), ∠AON=60°,点M为平面直角坐标系内一点,且MO=MA,则MN的最小值为________.三、解答题（共3题；共15分）19.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．20.“两个三角形相似，对应点连线经过同一点，那么这两个图形位似”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例．21.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．求证：．四、作图题（共1题；共10分）22.如图，△ABC与△A´B´C´是位似图形，且相似比为.（1）在图中画出位似中心；（2）若，求的长.五、综合题（共4题；共59分）23.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．24.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和EF是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．25.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．26.在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE．①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE．经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；…请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE．（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系是________．（直接给出结论无须证明）答案一、单选题1. D2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. A9. C 10. A 11.C 12. B二、填空题13. 2 14.15.1：4 16.16 17.18.三、解答题19. 解答：△ABD∽△CBE ，△ABC∽△DBE ．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE ，∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE ，∴△ABC∽△DBE20.解：命题为真命题．因为两个三角形相似，对应点连线经过同一点，则利用相似三角形的性质可证明对应边平行或共线，所以那么这两个三角形位似．21.解：证明．证明：过B作BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知= ， = ，∴× × = × × =1四、作图题22. （1）解：如解图，连接，交于点，则点即为位似中心；（2）解：∵与是位似图形，且相似比为，，∴五、综合题23. （1）解：①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=3．②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，∴D′F= ，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．（2）解：如图②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2，∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF∽△A′D′C，∴= ，∴= ，∴DF= ，同理可得△CDE∽△CB′A′，∴= ，∴= ，∴ED= ，∴EF=ED+DF= ．（3）解：如图③中，作FG⊥CB′于G．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=3，∵S△CEF= •EF•DC= •CE•FG，∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°，∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴= ，∴AC2=AD•AF，∴AF= ，∵S△ACF= •AC•CF= •AF•CD，∴AC•CF=AF•CD= ．24. （1）解：设DB=xm，∵AB∥CD ，∴∠QBA=∠QDC ，∠QAB=∠QCD ，∴△QAB∽△QCD∴同理可得∵CD=EF∴∴∴x=12即小明距离路灯12m（2）解：由得∴CD=6即路灯高6m 25. （1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴= ，∴BC2=BE•BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x= ，即AE=26. （1）30°（2）①②思路1：如图2（a），连接AE，∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAD=60°，∴∠EAB=∠CAD，在△AEB△与ADC中，，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE；思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵DF∥AB，∴∠DFC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADF与△DEB中，，∴△ADF≌△DEB，∴DF=BE=CD；思路3：如图2（c），延长CB至G，使BG=CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=60°，∵CD=BG，∴DG=AC，∴∠ADE=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DAF=∠EDB，在△ADC与△DEG中，，∴△ADC≌△DEG，∴CD=EG=BG=60°，∴BE=BG=CD；（3）k（BE+BD）=AC。
2023年北师大版九年级上册数学第四章综合测试试卷及答案
第四章综合练习
解：(1)“能相似分割”的三角形，如等边三角形， 连接各边的中点分割得到，图略； “能相似分割”的四边形，如平行四边形，连接对边 中点分割得到，图略．(本题答案不唯一，符合要 求即可) (2)任意的三角形都是“能相似分割”的图形． 分割方案：顺次连接三角形三边中点，得到的四个 小三角形都和原三角形相似，图略．
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第四章综合练习
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11．已知两个相似三角形的面积之比为9∶16， 则这两个相似三角形的相似比为 3∶4 ．
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第四章综合练习
12．如图，测量玻璃管口径的量具ABC，AB的长 为3 cm，AC被分为6等份．若玻璃管口DE正好对 着量具上2等份处(DE∥AB)，那么玻璃管口径DE 的长为 2 cm ．
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第四章综合练习
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴∠ABC＋∠BAD＝90°，∠ABC＋∠C＝90°， ∴∠C＝∠BAD．
又∵E为AC的中点，∴ED＝12AC＝EC， ∴∠C＝∠EDC＝∠FDB，∴∠BAD＝∠FDB． ∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF．
第四章综合练习
第四章综合练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如果ba ＝ 35，那么a－a b的值是( C )
A．13
B．23
C．25
D．35
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第四章综合练习
2．如图，直线l1，l2，l3分别与直线m交于点A，B，
C，与直线n交于点A1，B1，C1，l1∥l2∥l3．若AB
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第四章综合练习
六、(本题满分12分) 21．如图，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D， AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在 点P，使得以C，D，P为顶点的三角形与以P，B， A为顶点的三角形相似?如果存在，求出DP的长； 如果不存在，请说明理由．
北师大版数学九年级上册第四章测试题及答案(共2套)
北师大版数学九年级上册第四章测试题（一）（图形的相似测试卷）一、选择题1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′=1：3，则S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´=（）A．1：9 B．1：3 C．1：4 D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A．= B．=C．= D．=10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，。
北师版九年级数学上册第四章达标测试卷含答案
北师版九年级数学上册第四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四组图形中，不是相似图形的是( )2．【教材P 79随堂练习T 3改编】已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a＝2 cm ，b ＝4 cm ，c ＝5 cm ，则d 等于( )A ．1 cmB ．10 cmC ．52 cmD ．85 cm 3．【教材P 119复习题T 3改编】如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F ．已知a ∥b ∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( )A ．34B ．43C ．37D ．474．【教材P 119复习题T 1(3)改编】若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝8 cm ，AC ＞BC ，则AC 的长为( )A ．5－12 cm B ．2(5－1)cm C ．4(5－1)cm D ．6(5－1)cm 5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF 相似的是( )A ．AB DE ＝AC DF B ．AB DE ＝BCEF C ．∠A ＝∠E D ．∠B ＝∠D 6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( )A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．【2021·兰州】如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为()A．4.36 mm B．29.08 mm C．43.62 mm D．121.17 mm8．【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E 是CD的中点，则△DEO与△BCD的面积的比等于()A．12B．14C．16D．189．【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是()A．四边形NPMQ B．四边形NPMRC．四边形NHMQ D．四边形NHMR10．【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC 边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每题3分，共24分)11．【教材P119复习题T1(2)改编】假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km．12．若a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________．13．【2020·郴州】如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，23为相似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A(2，3)，则点A1的坐标是__________．14．【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝______m．16．【2021·南充】如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD：AC的值为________．17．【2021·扬州】如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F，G分别在BC，AC上，若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长为________．18．【2021·宿迁】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是________．三、解答题(19，20，21，23题每题10分，其余每题13分，共66分) 19．(1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm．A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？20．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于点F．(1)求△AEF与△CDF的周长之比；(2)如果△CDF的面积为20 cm2，求△AEF的面积．21．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向上平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的相似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．22．【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ABE∽△DF A；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．23．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2 m高的标杆CD和EF，两标杆相距52 m，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，点G与建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4 m到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．24．【2020·南京】如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，ADAB＝A′D′A′B′．(1)当CDC′D′＝ACA′C′＝ABA′B′时，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．(2)当CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．答案一、1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A10．B 点拨：易证△AFD ∽△EBA ，得AD EA ＝DFAB ，即10AE ＝63，则AE ＝5．由AD ＝10，DF ＝6，得AF ＝102－62＝8． 故EF ＝AF －AE ＝8－5＝3 ．二、11．160 12．2 13．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 14．5 15．5.5 16．33 17．12518．43 点拨：连接DE ，易证△CDE ∽△CBA ，得DE BA ＝CD CB ＝23，∠CED ＝∠CAB ，故DE ∥BA ．易证△DFE ∽△AFB ，得DE AB ＝DF AF ＝23， 则S △AFE ＝35S △ADE ．由CE ＝2AE ，得S △ADE ＝13S △ADC ，故S △AFE ＝15S △ADC ． 由CD ＝2BD ，得S △ADC ＝23S △ABC ，故S △AFE ＝215S △ABC ． 当AB ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即△AFE 面积最大，计算得解．三、19．解：(1)△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．理由如下：∵AB A ′B ′＝412＝13，BC B ′C ′＝618＝13，AC A ′C ′＝821， ∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′≠AC A ′C ′． ∴△ABC 与△A ′B ′C ′不相似．(2)当A ′C ′＝24 cm 时，两三角形相似．20．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．∴∠EAF ＝∠DCF ，∠AEF ＝∠CDF ． ∴△AEF ∽△CDF ． ∵AE ：EB ＝2：3，∴△AEF 的周长△CDF 的周长＝AE CD ＝25．(2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF＝⎝⎛⎭⎪⎫252＝425．∵S△CDF＝20 cm2，∴S△AEF＝20×425＝165(cm2)．21．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．(2)如图，△A2B2C就是所要画的三角形，点A2的坐标为(－2，－2)．22．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°．∴∠AEB＝∠DAF．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B．∴△ABE∽△DFA．(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2．∵AB＝6，∠B＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝62＋22＝210．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4．∵△ABE∽△DFA，∴ABDF＝AEAD．∴DF＝AB·ADAE＝6×4210＝6510．23．解：由题意得CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝52 m，FH＝4 m．∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°．又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH．∴CDAB＝DGBG，EFAB＝FHBH，即CDAB＝DGDG＋BD，EFAB＝FHFH＋DF＋BD．∴2AB＝22＋BD，2AB＝44＋52＋BD．∴22＋BD＝44＋52＋BD，解得BD＝52 m．∴2AB＝22＋52，解得AB＝54 m．答：建筑物AB的高度为54 m．24．解：(1)CDC′D′＝ACA′C′＝ADA′D′；∠A＝∠A′(2)△ABC与△A′B′C′相似．理由如下：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB．∴△ADE∽△ABC．∴ADAB＝DEBC＝AEAC．同理，A′D′A′B′＝D′E′B′C′＝A′E′A′C′．∵ADAB＝A′D′A′B′，∴DEBC＝D′E′B′C′．∴DED′E′＝BCB′C′．同理，AEAC＝A′E′A′C′．∴AC－AEAC＝A′C′－A′E′A′C′，即ECAC＝E′C′A′C′．∴ECE′C′＝ACA′C′．∵CDC′D′＝ACA′C′＝BCB′C′，∴CDC′D′＝DED′E′＝ECE′C′．∴△DCE∽△D′C′E′．∴∠CED＝∠C′E′D′．∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°．同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°．∴∠ACB＝∠A′C′B′．AC A′C′＝CBC′B′，∴△ABC∽△A′B′C′．又∵。
北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试(含答案)
K 从点 P 出发沿折线 PE ﹣﹣ 以E每F 秒 1 个单位长的速度匀速运
动．点 P、K 同时开始运动，当点 K 到达点 F 时停止运动，点 P 也
随之停止．设点 P、K 运动的时间是 t 秒（ t＞0 ）．
（1）当 t=1 时， KE= ， EN= ；
（2）当 t 为何值时，△
的面A积PM与△
（ 1 ）求证：△
ABM ∽△ EFA ；
（2）若 AB=12 ，BM=5 ，求 DE 的长．
21 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为
E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠
AFE= ∠ B ．
（ 1 ）求证：△
ADF ∽△ DEC ；
（2）若 AB=4 ，AD= ，AE=3 ，求 AF 的长．
（ 2）如图所示，以 B 为位似中心，画出△Ａ2B2C2，使△Ａ2B2C2 与△
ABC 位似，且位似比为 2：1 ，点 C2 的坐标是（ 1 ，0），
故答案为：（ 1）（2 ，﹣ ；2 （）2 ）（1 ，0）
23 ．解：（ 1）当 t=1 时，根据题意得， AP=1 ，PK=1 ， ∵ PE=2 ， ∴ KE=2 ﹣ 1=1 ， ∵四边形 ABCD 和 PEFG 都是矩形， ∴△ APM ∽△ ABC ，△ APM ∽△ NEM ，
按比例尺 1：2，把△ 缩EF小O，则点 E 的对应点 E ′的坐标为（
）
A．（2，﹣ 1 ）或（﹣ 1） 2 ， B．（8，﹣ 4 ）或
（﹣ 8 ，﹣ 4 ）
C．（2，﹣ 1 ）
D．（8 ，﹣ 4 ）
5．如图，已知 AD 为△ AB的C角平分线，
交DEA∥C 于ABE，如
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册
第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。
北师大版九年级上册数学第四章单元测试卷及解析
北师大版九年级上册数学第四章单元测试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题l 1，l 2这与三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 82.能说明△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( ) A. AB A′B′=AC A′C′或BC B′C′=AC A′C′B. AB AC =A′B′A′C′且∠A ＝∠C ′C. AB A′B′=BC B′C′且∠B ＝∠B ′D. ABA′B′=BC A′C′且∠B ＝∠A ′ 3.如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（ ）A ．1：25B ．1：5C ．1：2．5D ．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为（ ）1A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 46.如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A 、13B 、23C 、34D 、457.如图，P 是ABC 的边AC 上一点，连接BP ，以下条件中不能判定ABP ∽ACB 的是()A. AB AC AP AB =B. AC BC AB BP =C. ABP C ∠=∠D. APB ABC ∠=∠ 8.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶4，则S △BDE ∶S △ADC ＝( )A. 1∶16B. 1∶18C. 1∶20D. 1∶24第II 卷（非选择题）二、解答题（题型注释） 9.若a ＝d ＝f ＝5，求： (1) a−c b−d ；(2) 2a+3c−4e 2b+3d−4f ； (3) 比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？10.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1 cm)(参考数据：黄金分割比为√5−12，√5≈2.236)11.如图，已知平行四边形ABCD，AE与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.求证：△AFD∽△EA B．12.将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标．(1)沿y轴正方向平移2个单位；(2)关于y轴对称；(3)以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．13.如图，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD.14.如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC 于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．15.如图，矩形ABCD 中，E 是BD 上的一点，∠BAE=∠BCE ，∠AED=∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F 。
九年级数学上册第四章检测试题北师大版附答案
适用精选文件资料分享九年级数学上册第四章检测试题（北师大版附答案）第四章检测题 ( 时间：120 分钟满分：120分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．假如 mn＝ab，那么以下比率式中错误的选项是＝＝＝＝bn 2．( 贺州中考 ) 如图，在△ ABC中，点 D、E 分别为 AB、AC的中点，则△ ADE与四边形 BCED的面积比为 ( C ) A ．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 3．如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°， CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ ABC 相似的三角形的个数有( D) A．1 个 B．2个 C．3 个D．4个 , 第 2题图),第 3 题图 ), 第 6 题图 ) 4．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为 ( A ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 5．( 通辽中考 ) 某人要在报纸上刊登广告，一块 10cm×5cm的矩形版面要付广告费180 元，他要把该版面的边长都扩大为本来的 3 倍，在每平方厘米版面广告费同样的状况下，他对付广告费(C)A ．540元 B ．1080 元 C．1620 元 D．1800 元 6 ．( 永州中考 ) 如图，在△ ABC 中，点 D是 AB边上的一点，若∠ ACD＝∠ B， AD＝1，AC＝2，△ ADC 的面积为 1，则△ BCD的面积为 ( C ) A ．1 B．2 C．3 D．4 7 ．( 眉山中考 ) “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获取，则井深为 ( B ) A．尺 B．57.5 尺 C．6.25 尺 D．56.5 尺 , 第 7 题图) , 第 8 题图) , 第 9 题图) , 第 10 题图) 8 ．以以以下图，在矩形ABCD中，F 是 DC上一点， AE均分∠ BAF交 BC于点 E，且 DE⊥AF，垂足为点 M，BE＝3，AE＝26，则 MD的长是 ( C ) A.15 B.1510 C．1 D.1515 点拨：设 DM＝a，证△ AEM≌△ AEB，△ ADM≌△ DEC，可得(a ＋3)2 ＝a2＋(15)2 9 ．如图，在△ ABC中， A、B两个极点在 x 轴的上方，点C的坐标是 ( －1，0) ．以点 C为位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形△ A′B′C，并把△ ABC的边长放大到本来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B的横坐标是 ( D ) A．－ 12a B．－ 12(a ＋1) C．－12(a －1) D．－12(a ＋3) 10．如图，在矩形 ABCD中，DE均分∠ ADC交 BC于点 E，点 F 是 CD边上一点 ( 不与点 D重合 ) ．点P为 DE上一动点， PE＜PD，将∠ DPF绕点 P 逆时针旋转 90°后，角的两边交射线 DA于 H，G两点，有以下结论：① DH＝ DE；② DP＝ DG；③DG＋ DF＝ 2DP；④DP?DE＝DH?DC，此中必定正确的选项是 ( D ) A．①②B．②③ C．①④ D．③④二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分) 11．若x∶y＝1∶2，则 x－yx＋y＝__－13__．12 ．若△ ABC∽△ A′B′C′，且 AB∶A′B′＝ 3∶4，△ ABC的周长为 12 cm，则△ A′B′C′的周长为 __16_cm__. 13．( 锦州中考 ) 如图， E 为?ABCD的边 AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝__3∶5__．, 第 13 题图), 第 14 题图), 第 15 题图),第 16 题图 ) 14．(阿坝州中考 ) 如图，在平面直角坐标系中，已知 A(1，0)，D(3，0) ，△ABC与△ DEF位似，原点 O是位似中心．若 AB＝1.5 ，则 DE＝__4.5__ ． 15 ．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF丈量树的高度 AB，他调整自己的地点，想法使斜边 DF保持水平，而且边 DE与点 B 在同向来线上，已知纸板的两条直角边 DE＝ 50 cm，EF＝25 cm，测得边 DF离地面的高度 AC＝1.6 m ，CD＝10 m，则树高AB＝__6.6__m. 16 ．如图，在△ ABC中，分别以 AC，BC为边作等边△ACD和等边△ BCE.设△ ACD，△ BCE，△ ABC的面积分别是S1，S2，S3，现有以下结论：①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接AE，BD，则△BCD≌△ ECA；③若 AC⊥BC，则 S1?S2＝34S32.此中结论正确的序号是__①②③ __．三、解答题 ( 共 72 分) 17．(6 分) 如图，在△ ABC中，点D是边AB的四均分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形 DECF的周长．解：∵ DE∥AC，DF∥BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，DF＝EC，∵ DF∥BC，∴△ ADF∽△ ABC，∴ DFBC＝AFAC＝ADAB＝14，∵ AC＝8，BC＝12，∴ AF＝2，DF＝3，∴ FC＝AC－AF＝8－2＝6，∴ DE＝FC＝6，DF＝EC＝3，∴四边形 DECF的周长是DF＋CF＋CE＋DE＝3＋6＋3＋6＝18. 答：四边形 DECF的周长是 1818．(6 分)( 凉山州中考 ) 如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ ABC三个极点分别为 A(－1，2) 、B(2，1) 、C(4，5)． (1) 画出△ ABC关于 x 轴对称的△ A1B1C1； (2) 以原点 O为位似中心，在x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为 2，并求出△ A2B2C2的面积．解：(1) 以以以下图，△A1B1C1就是所求三角形 (2) 以以以下图，△A2B2C2就是所求三角形．分别过点 A2、 C2作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E、F，∵ A(－ 1，2) ，B(2 ，1) ，C(4 ，5) ，△A2B2C2与△ ABC位似，且相似比为 2，∴ A2(－ 2，4) ，B2(4 ，2) ，C2(8，10) ，∴S△A2B2C2＝8×10－12×6×2－12×4×8－12×6×10＝2819．(6 分) 九年级 (1) 班课外活动小组利用标杆丈量学校旗杆的高度，以以以下图，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度 EF＝1.6 m，人与标杆 CD的水平距离 DF＝2 m，则旗杆 AB的高度．解：∵ CD⊥FB，∴ AB⊥FB，∴ CD∥AB，∴△ CGE∽△ AHE，∴ CGAH＝ EGEH，即： CD－EFAH＝FDFD＋BD，∴3－＝22＋15，∴ AH＝11.9 ，∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9 ＋＝13.5(m)20．(7 分) 如图，在梯形 ABCD中， DC∥AB， AD＝BC，E 是 DC延长线上的点，连接 AE，交 BC于点 F. (1) 求证：△ ABF∽△ ECF； (2) 假如AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE的长． (1) 证明：∵ DC∥AB，∴∠ B＝∠ ECF，∠ BAF＝∠ E，∴△ ABF∽△ ECF(2) 解：∵ AD＝ BC，AD ＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm. ∵由 (1) 知，△ABF∽△ ECF，∴BACE＝BFCF，即 8CE＝32. ∴CE＝ 163(cm) 21．(8 分) 如图，四边形 ABCD是矩形，E是 BD上的一点，∠BAE＝∠B CE，∠AED＝∠ CED，点 G是 BC、AE延长线的交点，AG与 CD订交于点 F. (1)求证：四边形 ABCD是正方形； (2) 当 AE＝2EF时，判断 FG与 EF有何数目关系？并证明你的结论． (1) 证明：易证△ ABE≌△ CBE，∴AB＝B C，∴四边形 ABCD是正方形 (2) 解：当 AE＝2EF时， FG＝3EF.证明以下：∵四边形 ABCD是正方形，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴△ ABE∽△ FDE，△ ADE∽△ GBE. ∵AE＝ 2EF，∴ BE∶DE＝AE∶EF＝2.∴BG∶AD＝BE∶DE＝ 2，即 BG＝2AD. ∵ BC＝AD，∴ CG＝AD.易证△ADF∽△ GCF，∴ FG＝ AF，即 FG＝AF＝AE＋EF＝3EF22．(8 分)( 泰安中考 ) 如图，在四边形 ABCD中， AB＝AC＝AD，AC平分∠ BAD，点 P 是 AC延长线上一点，且 PD⊥AD. (1) 证明：∠ BDC＝∠PDC； (2) 若AC与 BD订交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长． (1) 证明：∵ AB＝AD，AC均分∠ BAD，∴ AC⊥BD，∴∠ ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ ACD＝∠ADC，∴∠ ADC＋∠ BDC＝90°，∵PD⊥AD，∴∠ ADC＋∠ PDC＝90°，∴∠ BDC ＝∠ PDC (2) 解：过点 C作 CM⊥PD于点 M，∵∠ BDC＝∠ PDC，∴ CE＝ CM，∵∠ CMP＝∠ ADP＝90°，∠ P＝∠ P，∴△ CPM∽△ APD，∴ CMAD＝ PCPA，设 CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝ 32x，∵AB＝ AD＝ AC＝1，∴x1＝32x32x＋1，解得 x ＝13，故 AE＝1－13＝23 23 ．(9 分) 晚餐后，小聪和小军在社区广场闲步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思虑片晌，建议用广场照明灯下的影长及地砖长来丈量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线 NQ挪动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点( 距 N点 5 块地砖长 ) 时，其影长 AD恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点( 距 N点 9 块地砖长 ) 时，其影长 BF恰好为 2 块地砖长．已知广场所面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC为米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你依据以上信息，求出小军身高BE 的长． ( 结果精确到 0.01 米) 解：由题意得：∠ CAD＝∠ MND＝90°，∠CDA＝∠ MDN，∴△ CAD∽△ MND，∴ CAMN＝ ADND，∴＝1×（5＋1）×0.8 ，∴MN＝9.6 ，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△ EFB∽△ MFN，∴ EBMN＝ BFNF，∴＝2×0.8 （ 2＋9）× 0.8 ，∴EB≈1.75 ，∴小军身高约为 1.75 米24．(10 分) 如图 (1) 是一种广场三联闲步机，其侧面表示图如图 (2) 所示，此中 AB＝AC＝120 cm，BC＝80 cm，AD＝30 cm，∠ DAC＝90°. (1) 求点 A 到地面的距离； (2) 求点 D到地面的高度是多少？解：(1)过 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，过点 D作 DH⊥AF，垂足为 H.∵AF⊥BC，垂足为 F，∴ BF＝FC＝12BC＝40 cm.依据勾股定理，得 AF＝AB2－BF2＝1202－402＝802(cm) (2) ∵∠ DHA＝∠ DAC＝∠ AFC＝90°，∴∠ DAH ＋∠ FAC＝90°，∠C＋∠ FAC＝90°，∴∠ DAH＝∠ C，∴△DAH∽△ ACF，∴AHFC＝ADAC，∴ AH40＝30120，∴ AH＝10 cm，∴ HF＝ (10 ＋802)cm.答： D到地面的高度为 (10 ＋802)cm25．(12 分) 从三角形 ( 不是等腰三角形 ) 一个极点引出一条射线与对边订交，极点与交点之间的线段把这个三角形切割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的圆满切割线．(1) 如图 1，在△ABC中，CD为角均分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的圆满切割线； (2) 在△ ABC中，∠ A＝48°， CD是△ ABC的圆满分割线，且△ ACD为等腰三角形，求∠ ACB的度数． (3)如图 2，在△ ABC 中， AC＝2，BC＝ 2，CD是△ ABC的圆满切割线，且△ ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求圆满切割线 CD的长．解：(1) 如图 1 中，∵∠ A＝40°，∠B＝60°，∴∠ ACB＝80°，∴△ ABC 不是等腰三角形，∵CD均分∠ ACB，∴∠ ACD＝∠ BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ ACD＝∠ A＝40°，∴△ ACD为等腰三角形，∵∠ DCB＝∠ A＝40°，∠CBD＝∠ ABC，∴△ BCD∽△ BAC，∴CD是△ ABC的圆满切割线 (2) ①当 AD＝CD时，如图 3，∠ACD＝∠ A＝48°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠ BCD＝∠ A＝48°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ BCD＝96° ②当 AD＝AC时，如图4 中，∠ACD＝∠ ADC＝180°－ 48°2＝66°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠BCD ＝∠ A＝48°，∴∠ ACB＝∠ ACD＋∠ BCD＝114°；③当 AC＝CD时，如图 5 中，∠ADC＝∠ A＝48°，∵△ BDC∽△ BCA，∴∠ BCD＝∠ A＝48°，∵∠ ADC＞∠ BCD，矛盾，舍弃．∴∠ ACB＝96°或 114° (3) 由已知AC＝AD＝2，∵△ BCD∽△ BAC，∴ BCBA＝ BDBC，设 BD＝x，∴( 2)2＝x(x ＋2) ，∵ x＞0，∴ x＝ 3－1，∵△ BCD∽△ BAC，∴ CDAC＝BDBC＝3－1 2，∴ CD＝ 3－1 2×2＝ 6－ 2。
北师大版初中九年级数学上册第四章素养基础测试卷课件
(3)△OAB的内部一点M的坐标为(a,b),直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的
坐标为
.
解析 (1)如图,点P为所作,P点坐标为(-5,-1).
(2)如图,△OA2B2为所作. (3)点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为(2a,2b).
18. (新独家原创,★☆☆)(8分)如图,在正方形ABCD中,E是CD边上任意一点,连接 AE,过E作EF⊥AE交BC于F,若AD=5,DE=2,求CF的长.
4
到图②的位置,则图②中 BD的值为
5
CE
. 对应目标编号M9104005
第15题图
答案 4 5
解析 在题图①中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,∴AC= AB2 BC2 = 82 62 =10. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴ AD = AE .在题图②中,∵将△ADE绕A点顺时针旋转到题图②的位置,∴∠DAB=
.
答案 5 2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC, 又∵BE∥AC,∴四边形AEBC是平行四边形, ∴AC=BE,∴BE=2OA,∵BE∥AC,
∴△OAF∽△EBF,∴ OF = AF = OA = 1 ,∴ S AEF = EF =2, S OBF = BF =2,
EF BF BE 2 S AOF OF S AOF AF
璃管的内径DE正对“30”刻度线,已知AB的长为5 mm,DE∥AB,则玻璃管内径
DE的长度为
(
)
B
A. 2.5 mm
B. 3 mm
C. 3.5 mm
D. 4 mm
解析 B 根据题意得CD=30,AC=50,∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴ CD=