2019高考试题汇编理科数学---概率统计

(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.
(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.
【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：
该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 .
(Ⅱ)由题意可知，
仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ)见解析；
(Ⅲ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；
.
（2019全国1理）21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮实验中甲药的得分记为 ．
仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，
且X可能的取值为0,1,2.
， ， ，
X 分布列为：
X
0
1
2
其数学期望： .
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 的值，据此分类讨论①. ，②. ，③. ，④. 四种情况确定 满足 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定 的值.
【详解】（1）当 时，X的所有可能取值是 ．
X的概率分布为 ，
．
（2）设 和 是从 中取出的两个点．
因为 ，所以仅需考虑 的情况．
①若 ，则 ，不存在 的取法；
（2019全国1理）15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 ，客场取胜的概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率是
.
答案：
解答：
甲队要以 ，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：
先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.
【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有 种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有 种情况，
若选出的2名学生都是女生，有 种情况，
所以所求的概率为 .
【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.
支付方式
（0,1000]
（1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
A. B. C. D.
答案：C
解答：
（2019全国3理）17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成
两组，每组100只，其中 组小鼠给服甲离子溶液， 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为 ，
故 ，从面 .
所以，随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ，则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥，
记 为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中 的值；
（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
答案：
见解析
解答:
（1）依题意得 ，解得 .
（2）
得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7.
(2019江苏)25.在平面直角坐标系xOy中，设点集 ， 令 .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；
（2019全国1理）6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 个阳爻的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案： A
解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有 种，在 个位置上恰有 个是阳爻的情况有 种，所以 .
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）求 ，并根据 的值解释这种实验方案的合理性．
答案：
（1）略；（2）略
解答：
（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况： 、 、 ．
（2019浙江）7.设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时（ ）
A. 增大B. 减小
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
【答案】D
【解析】
【分析】
研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.
则 ，则 ，
再把后面三个式子相加，得 ，
则Hale Waihona Puke ．表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为 ， ， ，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而 的确非常小，说明这种实验方案是合理的．
(2019全国2理)5.演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）
且事件 与 ，事件 与 均相互独立，
从而由(Ⅰ)知：
.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(2019江苏)5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.
【答案】
【解析】
【分析】
（2019北京理）17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
交付金额（元）
（1）求 ；
（2）求事件“ 且甲获胜”的概率.
答案：
（1） ；（2）
解析：
（1） 时，有两种可能：
①甲连赢两局结束比赛，此时 ；
②乙连赢两局结束比赛，此时 ，
∴ ；
（2） 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，
此时 .
（2019全国3理）3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）
A．中位数B.平均数C.方差D．极差