(五)摩擦力和功能关系

（五）摩擦力的训练和功能关系
摩擦力训练：
1. 如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F 而运动，则它们受到摩擦力大小关系是( )
A ．三者相同
B ．乙最大
C ．丙最大
D ．条件不足无法确定
2. 如图所示，斜面体M 的底面粗糙，斜面光滑，放在粗糙水平面上。

弹簧的
一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m 相连，弹簧的轴线与斜面
平行。

若物块在斜面上做上下往返运动，斜面体保持静止，则地面对斜面体
的摩擦力f 与时间t 的关系图象是下图中的（ C ）
3. 在水平地面上有一固定的楔形物块a ，其斜面上静止一小物块b 。

现用力F 沿不同方向作用在小物块b 上，小物块b 仍保持静止，如图所示。

则a 、b 之间的静摩擦力一定增大的是（ AC ）
功能关系：
选择题训练：
4. 如图所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中(容器固定)由静
止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力为F N .重力
加速度为g ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其所做的功为( )
A.12
R (F N －3mg ) B.12R (3mg －F N ) C.12
R (F N －mg ) D.12
R (F N －2mg )
5. 质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周
运动，如图5所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一
时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球
继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中
小球克服空气阻力所做的功是 ( )
A.14
mgR B.13mgR C.12mgR D ．mgR
6. 水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ＝37°的倾斜滑道
AB 和水平滑道BC 平滑连接，起点A 距水面的高度H ＝7.0 m ，
BC 的长度d ＝2.0 m ，端点C 距水面的高度h ＝1.0 m ．一质量m
＝50 kg 的运动员从滑道起点A 无初速度地自由滑下，运动员与
AB 、BC 间的动摩擦因数均为μ＝0.1.(取重力加速度g ＝10 m/s 2，
cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，运动员在运动过程中可视为质点)
(1)求运动员沿AB 下滑时加速度的大小a ；
(2)求运动员从A 滑到C 的过程中克服摩擦力所做的功W 和到达C 点时速度的大小v C ；
(3)保持水平滑道端点在同一水平线上，调节水平滑道高度h 和长度d 到图中B ′C ′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B ′C ′距水面的高度h ′. 解析 (1)运动员沿AB 下滑时，受力情况如图所示F f ＝μF N ＝μmg cos θ
根据牛顿第二定律：mg sin θ－μmg cos θ＝ma
得运动员沿AB 下滑时加速度的大小为：a ＝g sin θ－μg cos θ＝5.2 m/s 2
(2)运动员从A 滑到C 的过程中，克服摩擦力做的功为：
W ＝μmg cos θ·H －h sin θ
＋μmgd ＝μmg [d ＋(H －h )cot θ]＝10μmg ＝500 J ， mg (H －h )－W ＝12
m v 2C －0 解得运动员滑到C 点时速度的大小v C ＝10 m/s (3)在从C ′点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t ，
h ′＝12gt 2 t ＝ 2h ′g
下滑过程中克服摩擦力做功保持不变，W ＝500 J
根据动能定理得：mg (H －h ′)－W ＝12
m v 2－0，v ＝2g (H －1－h ′) 运动员在水平方向的位移：x ＝v t ＝2g (H －1－h ′) 2h ′g
＝4(H －1－h ′)h ′ 当h ′＝H －12＝3 m 时，水平位移最大．
7. 如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h ，质量为m 的小物块A
从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使
A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端
恰位于坡道的底端O 点．已知在OM 段，物块A 与水平面间的动摩擦
因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求：
(1)物块滑到O 点时的速度大小；
(2)弹簧被压缩至最短，最大压缩量为d 时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；
(3)若物块A 能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
解析 (1)由机械能守恒定律得mgh ＝12
m v 2 解得v ＝2gh . (2)在水平滑道上物块A 克服摩擦力所做的功为W ＝μmgd
由能量守恒定律得12
m v 2＝E p ＋μmgd 以上各式联立得E p ＝mgh －μmgd . (3)物块A 被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为W ＝μmgd
由能量守恒定律得E p ＝μmgd ＋mgh ′ 所以物块A 能够上升的最大高度为h ′＝h －2μd .
8. 如图所示，为一传送装置，其中AB 段粗糙，AB 段长为L ＝0.2 m ，动摩擦因数μ＝0.6，BC 、DEN 段均可视为光滑，且BC 的始、末端均水平，具有h ＝0.1 m 的高度差，DEN 是半径为r ＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DN 沿竖直方向，C
位于DN 竖直线上，CD 间的距离恰能让小球自由通过．在左
端竖直墙上固定一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球
质量m ＝0.2 kg ，压缩轻质弹簧至A 点后由静止释放(小球和弹
簧不粘连)，小球刚好能沿DEN 轨道滑下．求：
(1)小球到达N 点时的速度；
(2)压缩的弹簧所具有的弹性势能．
解析 (1)小球刚好能沿DEN 轨道滑下，则在半圆最高点D 点必有：mg ＝m v 2D r
从D 点到N 点，由机械能守恒得： 12m v 2D ＋mg ·2r ＝12
m v 2N ＋0 联立以上两式，代入数据得： v D ＝2 m/s ，v N ＝2 5 m/s.
(2)弹簧推开小球的过程中，弹簧对小球所做的功W 等于弹簧所具有的弹性势能E p ，根
据动能定理得W －μmgL ＋mgh ＝12
m v 2D －0 代入数据得W ＝0.44 J 即压缩的弹簧所具有的弹性势能为0.44 J.
9. 如图所示，有一个可视为质点的质量为m ＝1 kg 的小物块，从光滑平台上的A 点以v 0＝3 m /s 的初速度水平抛出，到达C 点时，恰好沿C 点的切线方向进入固定在水平地面上
的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D 点的质量为M ＝3 kg 的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R ＝0.5 m ，C 点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝53°，不计空气阻力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：
(1)A 、C 两点的高度差；
(2)小物块刚要到达圆弧轨道末端D 点时对轨道的压力；
(3)要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6) 解析 (1)小物块在C 点时的速度大小为
v C ＝v 0cos 53°
＝5 m /s ，竖直分量为v Cy ＝4 m/s 下落高度h ＝v 2
Cy 2g
＝0.8 m (2)小物块由C 到D 的过程中，由动能定理得
mgR (1－cos 53°)＝12m v 2D －12
m v 2C 解得v D ＝29 m/s 小球在D 点时由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2D R
代入数据解得F N ＝68 N 由牛顿第三定律得F N ′＝F N ＝68 N ，方向竖直向下
(3)设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度，大小为v ，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为
a 1＝μg ＝3 m/s 2， a 2＝μmg M
＝1 m/s 2 速度分别为v ＝v D －a 1t ，v ＝a 2t 对物块和木板系统，由能量守恒定律得 μmgL ＝12m v 2D －12
(m ＋M )v 2 解得L ＝3.625 m ，即木板的长度至少是3.625 m。