曲线和方程练习题
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质空间曲线是三维空间中的曲线，由于其具有复杂的几何特性，研究和解决空间曲线的参数方程和性质一直是数学领域的热门话题。
本文将通过解决一些典型的空间曲线练习题，来探讨空间曲线的参数方程和性质。
1. 题目一：直线的参数方程已知空间直线L过点A(1, 2, 3)，且与直线L1: x = 2t, y = 3t, z = 4t 平行，求直线L的参数方程和方向向量。
解析：空间直线L与直线L1平行，意味着L的方向向量与L1的方向向量平行。
因此，直线L的方向向量可以沿用直线L1的方向向量，即(2, 3, 4)。
又已知直线L过点A(1, 2, 3)，设直线L的参数方程为 x = x0 + 2t, y = y0 + 3t, z = z0 + 4t。
带入点A(1, 2, 3)，可得 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t。
因此，直线L的参数方程为 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t，方向向量为(2, 3, 4)。
2. 题目二：曲线在平面上的投影已知曲线C的参数方程为x = t, y = √t, z = t^2，求曲线C在xy平面上的投影方程。
解析：曲线C在xy平面上的投影即为将曲线C在z轴上的坐标消去，得到的二维曲线方程。
由曲线C的参数方程可知 z = t^2。
将其代入到x = t和y = √t中，可得到曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
因此，曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
3. 题目三：曲线的切线和法线方程已知曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, z = t，求曲线C在点(1, 1, 1)处的切线和法线方程。
解析：切线方程可以通过求曲线参数方程在给定点处的导数来得到。
法线方程是切线方程的垂直平分线。
对曲线C的参数方程分别求导数，可得 dx/dt = 2t, dy/dt = 3t^2, dz/dt = 1。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。
2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。
3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。
4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。
5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。
6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。
二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。
空间曲线的切线与法平面方程练习题
空间曲线的切线与法平面方程练习题在微积分中，切线与法平面是研究曲线与曲面性质的重要工具。
本文将介绍关于空间曲线的切线与法平面方程练习题，并通过具体例子加深理解。
一、切线方程的求解1.求曲线（1,3,2）到曲线 $x^2-z=0$ 的切线方程。
解析：首先，将曲线 $x^2-z=0$ 的导数求出。
对 $x^2-z=0$ 求导得到 $\frac{dz}{dx}=-2x$。
然后，我们需要确定曲线上某点的坐标，以曲线（1,3,2）为例。
将点(1,3,2)代入$x^2-z=0$ 中得到 $1^2-2=0$，因此该点在曲线上。
接下来，我们可以计算切向量，即曲线的方向导数。
切向量为 $(1, \frac{dz}{dx})=(1, -2)$。
最后，我们可以使用点切式得到切线方程。
切线方程为$(x,y,z)=(1,3,2)+t(1,-2,0)$，其中 t 为参数。
2.求曲线 $\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t/4 \end{cases}$ 在点$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})$ 处的切线方程。
解析：与上题类似，首先求曲线的切向量，在参数方程中导数即可得到，切向量为 $(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$。
然后，将点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4})$ 代入参数方程中，得到 $t=\frac{\pi}{4}$。
最后，使用点切式得到切线方程，即 $(x,y,z)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\pi}{4})+t(\sin t, \cos t, \frac{1}{4})$，其中 t 为参数。
二、法平面方程的求解1.求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 (1,2,5) 处的法平面方程。
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
高三数学曲线与方程练习题
高三数学曲线与方程练习题1. 求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和对称轴方程。
解：首先，我们可以将抛物线的方程表示成标准形式：$y = a(x-h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
将给定的抛物线方程展开，可以得到：$y = x^2 - 4x + 3$比较标准形式与给定方程，可以得知：$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$将$h$代入给定方程，可以得到顶点的纵坐标：$k = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$所以，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
对称轴的方程可以通过将$x$替换为$h$得到：$x = 2$综上所述，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$，对称轴方程为 $x = 2$。
2. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像过点$(-1, 0)$，切线方程为 $y = 2x - 3$，求函数的解析式。
解：首先，由于已知二次函数的图像过点$(-1, 0)$，可以得到一个方程：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$化简上述方程，可以得到：$a - b + c = 0$另外，切线的方程为 $y = 2x - 3$，说明该点处的导数为2，即对应二次函数的导数为2。
所以我们可以对二次函数求导以得到导函数。
对二次函数求导，可以得到：$y' = 2ax + b$将过点$(-1, 0)$的坐标代入导函数，可以得到一个新的方程：$2a(-1) + b = 2$化简上述方程，可以得到：$-2a + b = 2$综合以上两个方程，可以得到一个方程组：$\begin{cases}a -b +c = 0 \\-2a + b = 2 \\\end{cases}$通过解方程组，我们可以得到 $a = -\frac{2}{5}$，$b = -\frac{6}{5}$ 和 $c = -\frac{12}{5}$。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
曲线和方程典型例题
典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k)5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点． 当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==ax y xa y 得：a y a y -=∵0≥y ，∴222)(a y a y -=， 即02)1(4322=+--a y a y a ． 要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段． 解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形． 解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(． 连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程． 说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知AB PM 21=即()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解图２的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程． 分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(kya x y a x =+--++得24k ax =．由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x yx =+--+，得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-，整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式． 解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222ABPB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+． 这就是两直线的交点P 的轨迹方程． 说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，ax yk PB -=)(a x ≠， 故1-=-⋅+ax ya x y ，即222a y x =+(a x ±≠)． 要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ，x y AOC =∠tan ，有a b x y =，即x aby =． 注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=．如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222ba a x +=．由已知b a >，所以22222ba a ba ab +<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）． 说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B ∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31， 由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b xa 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B 又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ． 化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ． 由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ． 又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ． 化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++． 化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
曲线的切线与法线方程练习题
曲线的切线与法线方程练习题切线是解析几何中常用的概念，它是曲线在某个给定点处的切线，代表了曲线在该点的局部变化趋势。
而法线则是与切线垂直的直线，它用来描述曲线在给定点处的垂直方向的变化。
在解析几何中，我们经常需要求解曲线的切线和法线方程。
下面，我们就来练习一些曲线的切线与法线方程的题目。
题目一：给定曲线方程 y = 2x^2 + 3x - 4，求曲线在点 (1, 1) 处的切线和法线方程。
解答一：首先，我们求解曲线在点 (1, 1) 处的切线方程。
设曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = mx + c，其中 m 为切线的斜率，c 为切线与 y 轴的交点。
要求解切线的斜率，可以利用导数的概念。
曲线的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
因此，我们需要先对曲线方程进行求导，然后将 x = 1 代入求得切线的斜率。
对 y = 2x^2 + 3x - 4 进行求导，得到 y' = 4x + 3。
将 x = 1 代入，可得切线的斜率 m = 4*1 + 3 = 7。
接下来，我们需要求解切线与 y 轴的交点。
由于切线过点 (1, 1)，代入切线方程得到 1 = 7*1 + c，解方程可得 c = -6。
综上，曲线在点 (1, 1) 处的切线方程为 y = 7x - 6。
接下来，我们来求解曲线在点 (1, 1) 处的法线方程。
法线与切线垂直，因此切线的斜率与法线的斜率的乘积等于 -1。
切线的斜率为 7，因此法线的斜率为 -1/7。
法线通过点 (1, 1)，代入法线方程可得 1 = (-1/7)*1 + c'，解方程可得c' = 8/7。
综上，曲线在点 (1, 1) 处的法线方程为 y = (-1/7)x + 8/7。
题目二：给定曲线方程 y = 3x^3 - 2x，求曲线在点 (-1, 5) 处的切线和法线方程。
解答二：与上一题类似，我们首先求解曲线在点 (-1, 5) 处的切线方程。
高一数学方程曲线练习题
高一数学方程曲线练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错选、多选或未选均无分。
）1.双曲线x2－2y2＝16的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 2.a=5,焦距为4,焦点在y 轴上的椭圆方程是（ ）A.2212125y x += B.2212521y x += C.221254y x += D.221425y x += 3.焦点在y 轴上,a=3,b=4的双曲线方程是（ ）A.221169y x -= B.221916x y -= C.221169x y -=D.221916y x -= 4.ax2+by2=ab 且ab<0,则这曲线是（ ）A.双曲线B.椭圆C.圆D.射线 5.双曲线22148y x -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±x D.y ＝±2x 6.双曲线221916x y -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±34x B.y ＝±43x C.y ＝±916x D.y ＝±169x 7.椭圆x225＋y24=1的长轴长为 （ ） A.10 B.5C.4D.28.双曲线x29－y216=－1的顶点坐标为 （ ） A.（±4，0），（0，±3）B.（±3，0），（0，±4）C.（±3，0）D.（0，±4）9.已知ax2＋y2＝1，当－1＜a ＜0时，方程所表示的曲线为 （ ）A.焦点在y 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线10.椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（ ）A.y225＋x216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225＋x216＝1或x225＋y216＝1 D.y225＋x29＝1 11.若椭圆的两半轴之和为8，它的焦点与双曲线x2－y2＝8的焦点相同，则椭圆的离心率为（ ）A.45B.35C.12D.2212.过点（2，3）的等轴双曲线方程是 （ ） A.x24－y29＝1 B.y25－x25＝1 C.x213－y213＝1 D.y213－x213＝1 13.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹方程是（ ）A.29x ＋216y ＝1B.225x ＋29y ＝1 C.29x －216y ＝1 D.216x －29y ＝1 14.在下列双曲线中，以y ＝12x 为渐近线的双由线是 （ ） A.216x －24y ＝1 B.24x －216y ＝1 C.22x －21y ＝1 D.21x －22y ＝1 15.椭圆22x a ＋22y b＝1的离心率是方程2x2－5x ＋2＝0的一个根，长轴长2a ＝8，则焦点坐标为 （ ）A.（±4，0）B.（0，±2）C.（±2，0）D.，0）16.设椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B 且｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为 （ ） A.24x ＋23x ＝1 B.23x ＋y2＝1 C.22x ＋y2＝1 D.24x ＋y2＝1 17.已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P 到F1的距离是12，则点P 到F2的距离是（ ）A.17B.7C.7或17D.2或2218.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（ ）A.y ＝±xB.y ＝±2xC.y ＝±3xD.y ＝±2x19.已知动点P （x ，y ）到两个定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.x225－y216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225－x216＝1 D.y225＋x216＝1 20.若椭圆x216＋y2m＝1经过点M （2，15），则（ ） A.椭圆的长轴长为25，焦点在y 轴上B.椭圆的长轴长为45，焦点在y 轴上C.椭圆的长轴长为8，焦点在x 轴上D.椭圆的长轴长为4，焦点在x 轴上二、填空题21.椭圆4x2＋9y2＝36的a,b 值分别为 .22.已知椭圆的短轴长等于焦距,则离心率为 .23.双曲线221819x y -=的焦距为 . 24.以（±5，0）为焦点，且过点（0，4）的椭圆的标准方程为 .25.若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点为（2，0），则该双曲线的标准方程为 .26.双曲线x29－y227＝1的离心率为 . 27.已知双曲线x2a －y212＝1的离心率为2，则a ＝ . 28.已知椭圆25x ＋2y k＝1，则k ＝ . 29.到定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于10的点的轨迹方程为 .30.过双曲线x216－y29＝1的焦点，且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）31.已知椭圆的中心在原点,有一个焦点与抛物线y2＝－8x 的焦点重合,且椭圆的离心率e ＝23,求椭圆的标准方程. 32.求下列椭圆的焦点、焦距.(1)4x2＋y2＝16; (2)x2＋4y2＝1.33.求双曲线221124y x -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率及渐近线方程. 34.已知椭圆x29＋y2m =1（9>m>0）与双曲线x29－y2n=1的离心率分别是9x2－18x ＋8=0的两根，求m ，n 的值.35.求以3x ±2y=0为渐近线，且过点（－4，33）的双曲线的标准方程.答案一、单项选择题1.D2.B 【提示】 焦距是4,故c=2,a=5,所以b2=21,所以方程是2212521y x +=. 3.D 【提示】 由题意知方程是221916y x -=,故选D. 4.A 【提示】 双曲线ax2+by2=ab 且（ab<0）化简为221x y b a+=,其中ab 异号,所以该曲线表示双曲线,故选A.5.B6.B7.A 【提示】a2＝25，∴a ＝5，∴2a ＝10.8.D【提示】x29－y216＝－1，即y216－x29＝1，∴a2＝16，∴a ＝4，∴顶点坐标为（0，±4）. 9.D 【提示】当－1＜a ＜0时，2x 的系数是负数，2y 系数为正数，根据解析式的特征，方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选D.10.C11.A12.B13.C14.A15.C16.A17.D 【提示】 由双曲线定义知|||PF1|－|PF2|＝2a ，∵a2＝25，a ＝5，∴｜12－｜PF2｜｜＝10，解得｜PF2｜＝2或22，故选D ．18.A 【提示】 方程可化为y22－x22＝1，a2＝b2＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±a b x ，即y ＝±22x ＝±x ． 19.B 【提示】∵2a ＝10，∴a ＝5.又∵c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，∴动点P 的轨迹方程是x225＋y216＝1. 20.B 【提示】∵将点M （2，15）代入x216＋y2m ＝1得416＋15m ＝1，∴m ＝20，∴方程为x216＋y220＝1，则a2＝20，a ＝25，∴长轴长2a ＝45，焦点在y 轴上． 二、填空题21.3 2 22.2223.61024.x241＋y216＝1 【提示】c ＝5，b ＝4，∴a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴椭圆的标准方程为x241＋y216＝1. 25.22412x y -＝1 【解析】焦点在x 轴上，且c ＝4，a ＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为22412x y -＝1. 26.2 【解析】a2＝9，b2＝27，∴c2＝a2＋b2＝36，∴a ＝3，c ＝6，∴离心率e ＝c a＝2.27.428.4或25429.x225＋y29＝1 【提示】 根据椭圆定义得c ＝4，2a ＝10⇒a ＝5，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故椭圆的标准方程为x225＋y29＝1． 30.92【提示】取右焦点F （5，0），直线方程为x ＝5，则⎩⎨⎧x216－y29＝1，x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝94或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－94，即A 95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴｜AB ｜＝92. 三、解答题31.解 ∵2p ＝8,即2p ＝2,∴抛物线焦点F 的坐标为F(－2,0),即椭圆的焦距2c ＝4,∵椭圆的离心率e ＝c a＝23,∴a ＝3,b＝5,∴椭圆的标准方程为2295x y +＝1. 32.(1)焦点(0,±23) 焦距4 3 (2)焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭焦距 333.实轴长4 3 虚轴长4 顶点坐标(0,±23) 离心率233渐近线y ＝±3x34.解：由9x2－18x ＋8＝0解得x1＝23，x2＝43， ∴椭圆离心率23，双曲线离心率为43， 即9－m 9＝49，∴m ＝5，9＋n 9＝169，∴n ＝7. 35.解：设双曲线方程为9x2－4y2＝λ（λ≠0），将点（－4，33）代入，得λ＝36， ∴双曲线方程为9x2－4y2＝36，即x24－y29＝1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线和方程练习题
一、选择题
1、已知，动点满足，则点的轨迹方程是（）
2、若曲线与的交点在曲线上，则值是（）
3、曲线与的交点坐标是（）或或
4、在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（）
5、若曲线和有两个交点，则（）
6、曲线与曲线的交点个数是）
7、若直线被曲线截得的线段长为，则的值为（）
8、下列各组方程表示相同曲线的是（）与与与与
9、曲线关于点对称的曲线的方程是（）
10、曲线与曲线（）仅有个交点有个交点最多有个交点可能没有交点
11、曲线围成的区域的面积是（）
12、曲线与曲线的交点个数是（）与值有关
二、填空题
13、已知，若点在曲线上，则____________、
14、曲线与轴的交点坐标是________________________、
15、过曲线和交点的直线方程是__________________、
三、解答题
16、求曲线关于直线对称的曲线的方程、
17、已知曲线是与两定点距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程、
18、已知平面上两定点、，，平面上一动点到、距离之比为，求此动点的轨迹方程、
19、画出下列方程所表示的曲线（1）（2）
20、已知线段的长度为，点在轴上移动，点在轴上移动，求线段的中点的轨迹方程、。