甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷Word版含答案
甘肃省天水市秦安县第二中学2015-2016学年上学期期中考试高二年数学（文科）试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分100分，考试时间100分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 1．不等式111-≥-x 的解集为 （ ） A ．(-∞,0]∪(1,+∞) B ．[0,+∞)C ．[0,1)∪(1,+∞)D ．(-∞,0]∪[1,+∞)1．平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足|PA|+|PB|=6，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．射线C ．椭圆D ．双曲线 2． “m＜”是“方程x 2+x+m=0有实数解”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在等差数列{a n }中，a 1+a 5=8，a 4=7，则a 5等于（ ）A. 3B. 7C. 10D. 11 4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3， 0），离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2=（a ﹣b ）2+6，C=，则△ABC的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．36．设m 、n 为实数，若m+n=2，则错误！未找到引用源。
的最小值为（ ） A ．18 B ．6 C ．2错误！未找到引用源。
D ．9 7．下列命题中正确的是 （ ） A ．函数xx y 1+=的最小值为2.B ．函数2322++=x x y 的最小值为2.C ．函数)0(432>--=x xx y 的最小值为342-. D ．函数)0(432>--=x xx y 的最大值为342-. 8．在ABC ∆中，若2222sin sin b C c B +2cos cos bc B C =，则ABC ∆是 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 9．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则θcos 等于 （ ）A ．721 B ．1421 C ．14213 D ．282110．已知点O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ ∠cos 取最小值时的POQ ∠的大小为 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π11．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为 （ ）A ．23 B ．22C ．21 D ．21- 12．已知2)1()(=-+x f x f ，)1()1()1()0(f nn f n f f a n +-+++= *)(N n ∈，则数列{}n a 的通项公式为 （ ）A ．1-=n a nB ．n a n =C ．1+=n a nD ．2n a n =第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．）13．对∀x ∈R ，kx 2﹣kx ﹣1＜0是真命题，则k 的取值范围是 _________ ．14．若关于x 的不等式2x 2﹣3x+a ＜0的解集为{m ，1}，则实数m= _________ ． 15．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是 _________ ． 16．设F 1和F 2是双曲线﹣y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是 _________ ．三、 解答题（本大题共5小题，共48分）17．（本小题8分）解关于x 的不等式0)1(2>--+a a x x ，)(R a ∈．18．（本小题8分）（1）若0>x ，0>y ，1=+y x ，求证：411≥+yx .（3分） （2）设x ，y 为实数，若122=++xy y x ，求y x +的最大值.（5分）19．（本小题10分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B .（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积． 20．（本小题10分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n a a b 21log =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .21．已知数列{}n a 满足21=a ，1124+++=n n n a a ()*∈N n .（1，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求满足240≥n a 的最小正整数n .高二级期中数学（文科）答案第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共16分）13. 错误！未找到引用源。
甘肃省秦安县二中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
一．选择题 (共10题，每题3分)1.已知集合}12|{},31|{<<-=<<-=x x B x x M ，则=⋂B M ( ).)1,2.(-A )1,1.(-B )3,1.(C )3,2.(-D2．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ）..A 不存在01,23≤+-∈x x R x .B 存在01,23≥+-∈x x R x .C 存在01,23>+-∈x x R x .D 对任意的01,23>+-∈x x R x【答案】C3．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）..A 1- .B 21.C 2 .D 14．如图在△ABC 中,MN ∥BC ,MC ,NB 交于点O ,则图中相似三角形的对数为( ). A ．1 B ．2C ．3D ．45.经过点M (1,5)且倾斜角为3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ).A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211B ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211【答案】D 【解析】7．函数46y x x =-+-的最小值为( )A ．2 B． C ．4 D ．6 【答案】A8．下列四个不等式： ①12(0)x x x +≥≠；②(0)c c a b c a b <>>>；③(,,0)a m aa b m b m b+>>+， ④222()22a b a b ++≥恒成立的是( ).A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 【解析】9．若曲线 02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为( ).A ．72 BC ．27D ．30 【答案】D10．如图，过圆内接四边形ABCD 的顶点C 引圆的切线MN ，AB 为圆直径，若∠BCM =038，则∠ABC =( )A ．038 B ．052 C ．068 D ．042A【答案】B二．填空题（共5题，每题4分）11.已知直线112:2x t l y kt=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）, 若12l l ⊥，则实数k = ．【答案】-1.12.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 【答案】31. 【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以3193)(==A P . 考点：古典概型.13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x ，则使得2)(≤x f 成立的x 的取值范围是 .【答案】(]8,∞-.14.已知)3,1(,)2()(2-∈-=x x x f ，函数)1(+x f 的单调减区间为 . 【答案】)1,2(-.15.函数1]3,0[142≠∈-+=x x x x y 且的值域为 . 【答案】(][)+∞-∞-,54, .三．解答题（共5题，50分）16．设函数()|21||3|f x x x =+--. （1）解不等式()0f x >；（2）已知关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2(,4)(,)3-∞-⋃+∞；（2）132a <-． （2）27-；因为关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，所以273-<+a ，即实数a 的取值范围213-<a .考点：1.绝对值不等式；2.不等式恒成立.17.已知函数()3f x x =-.（1）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求a 的范围； （2）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(abf a ab f >. 【答案】（1）1≤a ；（2）证明略．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24(4x t t y t=⎧⎨=⎩为参数）交于,A B 两点，求线段AB 的长．【答案】28． 【解析】 试题分析：解题思路：先将直线与抛物线的参数方程化为普通方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解即可.规律总结：涉及以参数方程或极坐标方程为载体的直线与曲线的位置关系问题，往往先将参数方程或极坐19．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ.(1) 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2) 设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.(2) 由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为28)3sin(228sin cos 3-+=-+=παααd 所以当1)3sin(=+πα时，d 的最小值为23，此时点P 的坐标为)21,23(.考点：1.参数方程、极坐标方程与普通方程的互化；2.点到直线的距离.20．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B 、C 两点，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于点E ，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅. （1）求证：CE EB EF EP ⋅=⋅；（2）若:3:2CE EB =，3DE =，2EF =，求PA 的长.PA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA .考点：直线与圆的位置关系.。
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上．4分*10=40分．） 1.已知集合}74|{≤≤-=x x M }06|{2>--=x x x N ,则N M 为( ) A.}7324|{≤<-<≤-x x x 或 B.}73,24|{<≤-≤<-x x x 或 C.}32|{>-≤x x x 或 D.}32|{≥-<x x x 或 2.抛物线y x =2的准线方程是 ( ) （A ）4x +1=0 （B ）4y+1=0（C ）2x +1=0（D ）2y+1=03．已知条件3=k p ：，条件q ：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切，则q p 是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m = ( )（A ）41-（B ）－4 （C ）4 （D ）41 5.首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A .209d >B .52d ≤C .20592d <≤D .20592d <≤6. 已知a ＞0，b ＞0，a+b=1，则y =14a b+的最小值是 ( )A ．72B ．4B ．9D ．57. 椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．在等比数列}{n a 中, 若3a 、7a 是方程091132=+-x x 的两根, 则5a 的值为（ ） A ．3B ．±3C ．3D ．±39．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是2y x =±，则双曲线的离心率为（ ）AB ．5C ．2D ．310.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 ( )A.3690B.1830C.1845D.3660二、填空题（请将所解的答案填在答题卡相应位置．5分*4=20分．） 11.全称命题“,a Z a ∀∈有一个正因数”的否定是 . 12. 已知58+=a ，67+=b ，则)(___””或“填“><b a13.已知1260,1020a b <<<<，则ba的取值范围是___．14.已知向量()()1,2,4,x y a b →→=-=，若a b →→⊥，则164xy +的最小值为 .三、解答题（10分*4=40分．）15. （10分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，且4,2231+==a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 .（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S ．16.（10分）在对角线有相同长度d 的所有矩形中． （1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值； （2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．17.（10分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>），斜率为1的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ∆的面积. 18. （10分）已知抛物线2: =2(p>0)C y px 过点(1,-2)A （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.且直线OA与l的距离等于5甘肃省天水市秦安县二中2014-2015学年度第一学期期中考试高二数学试题答案（文科）一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确选项涂到答题卡上．4分*10=40分．）二、填空题（请将所解的答案填在答题卡相应位置．5分*4=20分．） 11. 00,aZa ∃∈没有正因数 12. < 13. 1563b a << 14. 8 ． 三、解答题（10分*4=40分．）（Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x m x y 得.01236422=-++m mx x 设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x <AB 中点为E ),(00y x ， 则,432210m x x x -=+=400mm x y =+=；因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE⊥AB.所以PE 的斜率.143342-=+--=m mk 解得m=2。
2014秦安二中高二第二学期文科数学期末试卷含答案
题.
4
分.
丄
□
n
□
□
□
已一
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丄
I
为一
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数一
n
丄
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丄
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择一
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色
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•
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•
2
C
•
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K M
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年下学期期中考试高一数学试题第I 卷 共30分一、选择题：（每小题3分，共31030⨯=分，每小题有且仅有一个正确答案） 1. 化简sin 420°的值是A B. 12 D.－122. 已知向量()2 1=-，a ，()4k =，b ．若⊥a b ，则实数k 的值是 A ．2k = B. 2k =- C. 8k = D. 8k =- 3. 如果点(tan ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C . 第三象限 D. 第四象限4. 设向量()1 0=，a ，11 22⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ，给出下列四个结论：①=a b ；②⋅a b ； ③-a b 与b 垂直；④a //b ，其中真命题的序号是A. ①B. ③C. ①④D. ②③5. 已知)2(53sin ππ<<=x x ，则x 的值 A ．53sin arc B ．）—（53sin arc C ．53sin arc —π D ．53sin arc 2+π6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r ,向量1)b =-r，则2a b -r r 的最大值、最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，07．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y8．要得到函数y=cos (42π-x )的图象，只需将y=sin 2x的图象 （ ） A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位9．已知()f x 是R上的函数，当[0,]2x π∈时，()sin f x x x =，若(cos1),(cos 2),a f b f ==(cos 3)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<10．使函数sin(2))y x x ϕϕ=++为奇函数，且在［0,4π］上是减函数的φ的一个值为( ) A ．3πB ．35π C ．32π D ．34π第I 卷 共30分二、填空题：（每小题4分，共4416⨯=分） 11．函数22()2cos 2sin 1,,63f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域为________。
2014-2015学年甘肃省天水市秦安二中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年甘肃省天水市秦安二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥03．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣4．（5分）数列{a n}中，a3=2，a7=1，且数列{}是等差数列，则a11等于（）A．B．C．D．55．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．6．（5分）命题p：函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函数；命题q：y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称8．（5分）一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=，DC=2，BC=1，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）10．（5分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立；则称函数f（x）为理想函数．下面有三个命题：若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；函数f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函数；若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f （x0）]=x0，则f（x0）=x0；其中正确的命题个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上11．（5分）过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为．12．（5分）角α的终边过P（sin，cos），则角α的最小正值是．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2（a n+1），则a7=．15．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a2+b2）x+y的最大值为8，则a+b的最小值为．16．（5分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式恒成立，如果命题“p∨q“为真命题，且“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是．17．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）已知函数f（x）=．（1）求的值；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．19．（12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后，得到如图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在[80，90）的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[85，90）概率．参考数据：82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，（Ⅱ）在a n与a n+1求数列的前n项和T n．21．（14分）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．．22．（14分）已知g（x）=mx，G（x）=lnx．（1）若f（x）=G（x）﹣x+1，求函数f（x）的单调区间；（2）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）令b=G（a）+a+2，求证：b﹣2a≤1．2014-2015学年甘肃省天水市秦安二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选：D．2．（5分）已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0【解答】解：由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x∴3sinx＜3x＜πx∴f（x）=3sinx﹣πx＜0即命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0故选：D．3．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选：C．4．（5分）数列{a n}中，a3=2，a7=1，且数列{}是等差数列，则a11等于（）A．B．C．D．5【解答】解：∵数列{a n}中，a3=2，a7=1，且数列{}是等差数列，设公差为d，则=+4d，解得d=．故=+4d=+4d=，∴a11=．故选：B．5．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC ×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为•AB•BC•sinB=•4•4•=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．6．（5分）命题p：函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函数；命题q：y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：y′=；∵函数y=lg（x+﹣3）在区间[2，+∞）上是增函数；根据函数y=lg（x+﹣3）知，x+﹣3＞0；∴x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴，即函数x+在[2，+∞）是增函数；∴，∴a＞2；由x2﹣a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x2恒成立，∴a≤4；∴2＜a≤4；y=lg（x2﹣ax+4）函数的定义域为R，所以不等式x2﹣ax+4＞0的解集为R；∴△=a2﹣16＜0，∴﹣4＜a＜4；显然2＜a≤4是﹣4＜a＜4的既不充分又不必要条件；∴p是q成立的既不充分也不必要条件．故选：D．7．（5分）已知函数的最小正周期为π，则该函数的图象是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称【解答】解：依题意得，故，所以，==≠0，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称．故选：A．8．（5分）一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中AD=，DC=2，BC=1，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△AFD中，易知AF=1，∠A=45°，梯形的面积，扇形ADE的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选：B．9．（5分）已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．10．（5分）对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立；则称函数f（x）为理想函数．下面有三个命题：若函数f（x）为理想函数，则f（0）=0；函数f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函数；若函数f（x）是理想函数，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f （x0）]=x0，则f（x0）=x0；其中正确的命题个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f （0）≤0，∴f（0）=0；（2）证明：由题设知：f（1）=2﹣1=1，由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得f（x）∈[0，1]，有f（x）≥0，设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则≥1，≥1．∴f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=（﹣1）﹣[（﹣1）+（﹣1）]=（﹣1）（﹣1）≥0，即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）．∴函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③；（3）证明：若f（x0）＞x0，则由题设知：f（x0）﹣x0∈[0，1]，且由①知f[f （x0）﹣x0]≥0，由题设及③知：x0=f（f（x0））=f[（f（x0）﹣x0）+x0]≥f[f（x0）﹣x0]+f（x0）≥f（x0），矛盾；若f（x0）＜x0，则由题设知：x0﹣f（x0）∈[0，1]，且由①知f[x0﹣f（x0）]≥0，同理得：f（x0）=f[（x0﹣f（x0））+f（x0）]=f[x0﹣f（x0）]+f（f（x0））≥f（f（x0））=x0，矛盾．故由上述知：f（x0）=x0．∴正确命题的个数由3个．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上11．（5分）过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为y=ex．【解答】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y﹣e x0=e x0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．12．（5分）角α的终边过P（sin，cos），则角α的最小正值是．【解答】解：∵sin=，cos=﹣，∴P（，﹣）为第四象限，由cosα==cos（2π﹣）=cos（），sinα=﹣=sin得角α的最小正值是α=，故答案为：．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200．【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2（a n+1），则a7=﹣128．【解答】解：∵s n=2（a n+1），∴当n=1时，a1=2（a1+1），解得a1=﹣2，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，∴=2；∴数列{a n}是﹣2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=﹣2n．∴a7=﹣27=﹣128．故答案为：﹣128．15．（5分）设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a2+b2）x+y的最大值为8，则a+b的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=（a2+b2）x+y为直线方程的斜截式y=﹣（a2+b2）x+z．由图可知，当直线y=﹣（a2+b2）x+z过C时直线在y轴上的截距最大，z最大．联立，得C（1，4），∴a2+b2+4=8，即a2+b2=4．∵（a+b）2≤2（a2+b2）=8，∴．∴a+b的最小值为﹣．故答案为：．16．（5分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣4x+a2）的定义域为R；命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式恒成立，如果命题“p∨q“为真命题，且“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪（2，6）．【解答】解：若命题p为真，则x2﹣4x+a2＞0的解集为R，∴△=16﹣4a2＜0，解得a＞2或a＜﹣2；若命题q为真，因为m∈[﹣1，1]，所以，∵对于∀m∈[﹣1，1]，不等式恒成立，只需满足a2﹣5a﹣3≥3，解得a≥6或a≤﹣1；∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p，q一真一假；①当p真q假时，可得，解得2＜a＜6；②当p假q真时，可得，解得﹣2≤a≤﹣1；综合①②可得a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪（2，6）．故答案为：[﹣2，﹣1]∪（2，6）．17．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤18．（12分）已知函数f（x）=．（1）求的值；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．【解答】解：（1）化简可得=2sin（x++）+2=2sin（x+）+2，∴=2sin（+）+2=1（2）∵﹣≤x≤，∴≤x+≤，∴≤sin（x+）≤1∴当x+=时sin（x+）=1，即x=时，f（x）取最大值4；当x+=﹣时sin（x+）=﹣，即x=﹣时，f（x）取最小值119．（12分）2015年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后，得到如图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在[80，90）的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在[85，90）概率．参考数据：82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4．【解答】解：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”，符合系统抽样的原理，∴市教育局在采样中，用到的是系统抽样方法；…（3分）估计这40人体能测试成绩平均数为：（82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02）×5=19.4×5=97；.6分（2）从图中可知，体能测试成绩在[80，85）的人数为m1=0.01×5×40=2（人），分别记为B1、B2；体能测试成绩在[85，90）的人数是=0.02×5×40=（人），分别记为A1、A2、A3、A4；从中任抽取2人，共有B1B2、B1A1、B1A2、B1A3、B1A4、B2A1、B2A2、B2A3、B2A4、A1A2、A1A3、A1A4、A2A3、A2A4、A3A4，15种，体能测试成绩在[85，90）的抽取方法有A1A2、A1A3、A1A4、A2A3、A2A4、A3A4，6种，∴体能测试成绩在[85，90）的概率为P==0.4．20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）在a n与a n之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，+1求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减得：，即a n=3a n﹣1（n∈N*，n≥2），又S1=得a1=2，所以数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，=a n+（n+1）d n，所以，因为a n+1所以=，令，则①，②，①﹣②得﹣==，∴；21．（14分）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若，求b的最大值．．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0），∴f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）依题意有，∴．解得，∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．．（2）∵f'（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0），依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=8．∴，∴b2=3a2（6﹣a）∵b2≥0，∴0＜a≤6设p（a）=3a2（6﹣a），则p′（a）=﹣9a2+36a．由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，∴当a=4时，p（a）有极大值为96，∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，∴b的最大值为．22．（14分）已知g（x）=mx，G（x）=lnx．（1）若f（x）=G（x）﹣x+1，求函数f（x）的单调区间；（2）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）令b=G（a）+a+2，求证：b﹣2a≤1．【解答】（1）解：f（x）=G（x）﹣x+1=1﹣x+lnx，求导得：，由f′（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．∴函数y=f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；（2）解：令h（x）=G（x）+x+2﹣g（x）=lnx+x+2﹣mx=lnx+（1﹣m）x+2，则，令h′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上是增函数；当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上是减函数．∴h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（）=ln+1=1﹣ln（m﹣1）≤0，解得m≥e+1．∴当m≥e+1时G（x）+x+2≤g（x）恒成立；（3）证明：由题意知，b=lna+a+2．由（1）知f（x）=1﹣x+lnx，且f（x）=lnx+1﹣x≤f（1）=0，即有不等式lnx≤x﹣1（x＞0）．于是b=lna+a+2≤a﹣1+a+2=2a+1，即b﹣2a≤1．。
甘肃省秦安二中2015届高三第二次检测数学(文)试题(教
秦安二中2014-2015学年高三第二次检测考试题数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B ⋂= ( B )A ．∅B ．{ 2 }C ．{ 0 }D ．{2-} 2. 已知i 为虚数单位,则复数21ii-+在复平面上所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限， 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B )A ．x e y -=B ．3x y = C ．x y ln = D ．=y |x |4.函数2f(x)In(43x x )=+-的单调递减区间是（ D ）A.3(,]2-∞B.3[,)2+∞C.3(1,]2- D.3[,4)25.设向量,+=10-=6，则=⋅（ D ）A ．5B ．3C ．2D ．16.在△ABC 中，“sin A >”是“3πA >”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( D )A ．y ＝f(x)是奇函数B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图像关于点(,0)2π-对称8．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =,则c =（ B ） A．B ．2CD ．19．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围 ( B )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)10.直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( B ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．111．已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的取值范围是（ C ）A ．()+∞,2B ．()+∞,1C ．()2,-∞-D ．()1,-∞-12.已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x kx ≥,则k 的取值范围是（D ） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为 2 .14．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为 43 .15． 设5234,2021+⋅-=≤≤-x x y x 则函数的最大值是 25.16.设奇函数()x f 的定义域为R ，且周期为5，若()1f ＜—1，(),log 42a f =则实数a 的取值范围是 2>a .三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题10分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-==2,43,1232x x x y y A ，{}12≥+=m x x B ．命题A x p ∈:，命题B x q ∈:，且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4343,18．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．(1)求5()4f π的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：方法一：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. ………………6分(2)因为f(x)＝2sin xcos x ＋2cos2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. ……………12分19．（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，cos A＝，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝asin Bsin A＝3×6333＝3 2. ………………………6分(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)， 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B)] ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×3×32×13＝322. …………………12分 20．（本小题12分）设函数)0(19)(23<--+=a x ax x x f ，且曲线)(x f y =斜率最小的切线与直线612=+y x 平行.求：（1）a 的值；（2）函数)(x f 的单调区间.解：（1）)(x f 的定义域为R)0(39)3(3923)('222<--+=-+=a a a x ax x x f …………2分所以39)('2mina x f --=，…………4分由条件得12392-=--a ，解得3-=a 或3=a （舍）……6分所以3-=a（2）因为3-=a ，所以193)(23---=x x x x f ，0963,963)('22=----=x x x x x f 令，解得3121=-=x x 或，所以当31>-<x x 或时，0)('>x f ……………8分， 当31<<-x 时，0)('<x f ，……10分所以193)(23---=x x x x f 的单调增区间是)1,(--∞和（+∞,3）， 减区间是（-1，3）. …………12分21.（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数。
2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2} 2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝．14．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015年甘肃省天水市秦安二中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2+3x+2＜0}，集合N＝{x|（）x≤4}，则M∪N＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x≤﹣2}【解答】解：M＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N＝{x|（）x≤4}＝{x|x≥﹣2}，则M∪N＝{x|x≥﹣2}，故选：A．2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1，其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：复数z＝＝＝1+i的四个命题：p1：|z|＝≠2，因此是假命题；p2：z2＝（1+i）2＝2i，是真命题；p3：z的共轭复数为1﹣i，是假命题；p4：z的虚部为1，是真命题．其中真命题为p2，p4．故选：C．3．（5分）下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．4．（5分）函数f（x）＝的图象关于原点对称，g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．﹣D．【解答】解：∵f（x）＝关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，∴a ＝1∵g（x）＝lg（10x+1）+bx是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x）对任意的x都成立，∴lg（10﹣x+1）﹣bx＝lg（10x+1）+bx，∴lg（）＝lg（10x+1）+2bx∴﹣x＝2bx对一切x恒成立，∴b＝﹣，∴a+b＝故选：D．5．（5分）某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由上表，可得回归直线方程中的＝﹣4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为（）A．48个B．49个C．50个D．51个【解答】解：＝17.5，＝39∵b＝﹣4，＝bx+a∴a＝39+4×17.5＝109∴回归直线方程为＝﹣4x+109∴x＝15时，＝﹣4×15+109＝49件；故选：B．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【解答】A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x＝2且y＝1时，x+y＝3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）＝ax2+2x﹣1有一个零点时，a＝﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a＝﹣1或a＝0；∴命题错误．故选：B．7．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝+λ，则λ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，已知D是边AB上的一点，，，而由题意可得＝＝＝，故有λ＝，故选：B．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4＝0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S＝＝，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S＝，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为＝，故选：D．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y＝f（x）的图象如图所示：因为f（0）＝f（3）＝2，1＜a＜2，所以函数y＝f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：D．10．（5分）定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：由定义的行列式运算，得＝＝＝＝．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m＝．当k＝0时，m有最小值．故选：C．11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）A．B．C．4D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2＝2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+＝3∴p＝2∴抛物线方程为y2＝4x∵M（2，y0）∴∴|OM|＝故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f （y）＝f（x+y），若a1＝，a n＝f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y），∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），即＝＝f（1）＝，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n＝f（n）＝（）n，∴S n＝＝1﹣（）n∈[，1）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4＝14．【解答】解：有框图知S＝a⊗b＝∴5⊗3+2⊗4＝5×（3﹣1）+4×（2﹣1）＝14故答案为1414．（5分）若tanθ+＝4，则sin2θ＝．【解答】解：若tanθ+＝4，则sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝＝，故答案为．15．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2＝1，∴a2＝b2＝1，c2＝a2+b2＝2，可得F1F2＝2∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝8又∵P为双曲线x2﹣y2＝1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝±2a＝±2，（|PF1|﹣|PF2|）2＝4因此（|PF1|+|PF2|）2＝2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．（5分）已知曲线y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【解答】解：因为y＝（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'＝0有解，即y'＝在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1＝0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）＝3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（12分）某网站针对2014年中国好声音歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：（1）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值．（2）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．【解答】解：（1）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，∴＝，解得n＝40；（2）从“支持C方案”的人中，用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在20岁以下的有4人，分别记为1，2，3，4，年龄在20岁以上（含20岁）的有2人，记为a，b，则这6人中任意选取2人，共有＝15种不同情况，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），其中恰好有1人在20岁以下的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8种．故恰有1人在20岁以下的概率P＝．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a4+6，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+1，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵S3＝a4+6，∴3a1+＝a1+3d+6．①∵a1，a4，a13成等比数列，∴．②…（2分）由①，②可得：a1＝3，d＝2．…（4分）∴a n＝2n+1．…（6分）（Ⅱ）由题意，设数列{b n}的前n项和为T n，，＝＝4，（n∈N*），∴数列{∁n}为以8为首项，以4为公比的等比数列…（9分）∴＝．…（12分）19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求点C1到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）解：由题意，△AB1D中，AD＝，B1D＝，AD⊥B1D，∴＝＝，设点C1到平面AB1D的距离为h，则由＝可得＝，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C的方程是+＝1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）若椭圆的左顶点为（﹣2，0），离心率e＝，求椭圆C的方程；（2）设向量＝λ（+）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆方程为．…（3分）．（2）设直线l的方程为y＝x﹣c．由，得（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2（c2﹣b2）＝0，∴，从而．…（5分）∴，，∵点P在椭圆C上，∴…（8分）4λ2a2c2+4λ2b2c2＝（a2+b2）2，解得…（10分）∴，且0＜e＜1，∴＝又λ＞0，∴即λ的取值范围是．…（12分）21．（12分）对于函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求其单调区间；（2）点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线y＝x﹣2的最小距离；（3）若g（x）＝8x﹣7lnx﹣k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，所以f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；（2）由题，知直线y＝x﹣2的斜率为k＝1，令f′（x）＝＝1，得2x2﹣x﹣1＝（2x+1）（x﹣1）＝0，解得x＝1或（舍），此时y＝1﹣ln1＝1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y＝x﹣2时，那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d＝＝；（3）令f（x）＝g（x），即x2﹣lnx＝8x﹣7lnx﹣k，得k＝﹣x2+8x﹣6lnx，记G（x）＝﹣x2+8x﹣6lnx，令G′（x）＝＝＝0，解得，x1＝1，x2＝3，不难判断x1＝1是极小点，x2＝3是极大点，故G min（x）＝G（1）＝﹣1+8＝7，G max（x）＝G（3）＝﹣9+24﹣6ln3＝15﹣6ln3，又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→﹣∞，故要使f（x）与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15﹣6ln3．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．【解答】（1）证明：连结OP，OM，∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OP A+∠OMA＝180°，∵圆心O在∠P AC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆…（5分）（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM，由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠P AC的内部，∴∠OPM+∠APM＝90°，∴∠OAM+∠APM＝90°…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+y的最小值．【解答】解：（1）由直线L的参数方程消去参数t得直线L的直角坐标方程为：x﹣y+2﹣＝0，由公式ρ2＝x2+y2得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1；（2）曲线C经过伸缩变换变为，将其代入直角坐标方程得到曲线C′的方程为，即，记z＝x+y，联立方程组，消去x，得，显然，解得z＝，故x+y得最小值为．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|＝|a+|＝a+≥2＝2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
甘肃省天水市秦安二中高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)
甘肃省天水市秦安二中2014-20 15学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分1．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题3．“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，那么k的值为（）A．B．C．或﹣1 D．或﹣5．已知B（﹣5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB﹣sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程为（）A．=1（x＜﹣3）B．=1（x≤﹣3）C．=1 D．=1（x＞3）6．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣87．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种8．若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S19．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．21010．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（）A．78种B．72种C．120种D．96种11．已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=012．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，{F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）共20分．13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）14．已知函数f（x）=3x2+2x+1，若（a＞0）成立，则a=．15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．16．设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．19．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．21．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系中，若=（x﹣，y），=（x+，y），且||+||=4，（I）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知定点P（t，0）（t＞0），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，且对于轨迹C上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得=cosθ•+sinθ成立，试求出满足条件的实数t的值．甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共40分1．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．2．命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．专题：计算题．分析：由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．解答：解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题，∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题．3．“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当a=1时，两直线方程分别为x+2y=0与直线x+2y+2=0满足，两直线平行，充分性成立．若直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行，则a2+1=2且a+1≠0，解得a=±1且a≠﹣1，即a=1，∴“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a2+1）y+a+1=0平行”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用直线平行的条件是解决本题的关键．4．曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，那么k的值为（）A．B．C．或﹣1 D．或﹣考点：椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先把曲线5x2﹣ky2=5化为标准形式，分曲线5x2﹣ky2=5是椭圆和曲线5x2﹣ky2=5是双曲线两种情况进行分类讨论，能求出k的值．解答：解：曲线5x2﹣ky2=5化为标准形式，得，∵曲线5x2﹣ky2=5的焦距为4，∴当曲线5x2﹣ky2=5是椭圆时，=2，解得k=﹣1；当曲线5x2﹣ky2=5是双曲线时，=2，解得k=．∴k的值为或﹣1．故选：C．点评：本题考查实数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5．已知B（﹣5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且sinB﹣sinC=sinA，则顶点A的轨迹方程为（）A．=1（x＜﹣3）B．=1（x≤﹣3）C．=1 D．=1（x＞3）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由正弦定理，得|AC|﹣|AB|=6＜10=|BC|，点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线右支，结合双曲线的标准方程用待定系数法，即可求出顶点A的轨迹方程．解答：解：∵sinB﹣sinC=sinA，∴由正弦定理，得|AC|﹣|BC|=a（定值），∵双曲线的焦距2c=10，|AC|﹣|BC|=a=6，即|AC|﹣|AB|=6＜10=|BC|，可得A的轨迹是以BC为焦点的双曲线左支b2=c2﹣a2=16，可得双曲线的方程为=1（x＜﹣3）∴顶点A的轨迹方程为=1（x＜﹣3）故选：A．点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，正弦定理的应用，判断点A的轨迹是以B、C 为焦点的双曲线一支，是解题的关键．6．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣8考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：首先可求出P（4，8），Q（﹣2，2），然后根据导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ，再根据点斜式写出切线方程，然后联立方程即可求出点A的纵坐标．解答：解：∵P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，﹣2，∴P（4，8），Q（﹣2，2），∵x2=2y，∴y=，∴y′=x，∴切线方程AP，AQ的斜率K AP=4，K AQ=﹣2，∴切线方程AP为y﹣8=4（x﹣4），即y=4x﹣8，切线方程AQ的为y﹣2=﹣2（x+2），即y=﹣2x﹣2，令，∴，∴点A的纵坐标为﹣4．故选：C．点评：本题主要考查了利用导数的几何意义求出切线方程，属常考题，较难．解题的关键是利用导数的几何意义求出切线方程AP，AQ的斜率K AP，K AQ．7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．8．若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．210考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．解答：解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120．故选：C．点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．10．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（）A．78种B．72种C．120种D．96种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，需要分类，快车A停在第1道上和快车A不停在第1道上，根据分类计数原理可得．解答：解：若快车A停在第1道上，其它4列任意停，故有A44=24种，若快车A不停在第1道上，则快车A有3种停法，货车B也有3种停法，其它3列任意停，故有3×3×A33=54种，根据分类计数原理，共有24+54=78种，故选：A．点评：本题考查了分类计数原理，特殊元素特殊安排原则，属于中档题．11．已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标；据点斜式写出直线方程．解答：解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3∴f′（1）=﹣2f′（1）+3∴f′（1）=1f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1∴f（1）=2f（1）+1∴f（1）=﹣1∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0故选A点评：本题考查对数的几何意义，在切点处的对数值是切线斜率，求切线方程．12．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：压轴题；导数的概念及应用．分析：根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；解答：解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令f（x）=，∴f′（x）==，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∵正数a＞0，∴f（a）＞f（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选B．点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，{F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）共20分．13．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：算法和程序框图．分析：本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时，当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14点评：本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．14．已知函数f（x）=3x2+2x+1，若（a＞0）成立，则a=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：先求出f（x）在[﹣1，1]上的定积分，再建立等量关系，求出参数a即可．解答：解：由∫﹣11f（x）dx=∫﹣11（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|﹣11=4=2f（a），得f（a）=3a2+2a+1=2，解得a=﹣1或．∵a＞0．∴a=故答案为：．点评：本题主要考查了微积分基本定理、定积分的运算，属于基础题．15．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．考点：二项式系数的性质；基本不等式．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．解答：解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．点评：本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．16．设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°）．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）点评：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；复合命题的真假．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．解答：解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．点评：熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键．18．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．解答：解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．点评：本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为x+2y=0，x﹣2y=0；（2）点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；数形结合；转化思想．分析：根据双曲线和其渐近线之间的关系，设出双曲线的方程，根据点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为，转化为双曲线与半径为的圆A相切，联立消去y得，利用△=0即可求得双曲线的方程．解答：解：由渐近线方程为x±2y=0，设双曲线方程为x2﹣4y2=m，∵点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为，说明双曲线与半径为的圆A相切，∵圆A方程为（x﹣5）2+y2=6，与x2﹣4y2=m联立消去y得：4（x﹣5）2+x2=24+m 化简得到：5x2﹣40x+76﹣m=0，△=402﹣4×5×（76﹣m）=0，解得m=﹣4 所以满足条件的双曲线方程为x2﹣4y2=﹣4，即y2﹣=1．或者双曲线的顶点在（5+，0）渐近线为x±2y=0，双曲线方程为：．所以所求双曲线方程为：y2﹣=1，．点评：考查双曲线的简单的几何性质，特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，已知双曲线的方程求其渐近线方程时，令即可，反之，如此题设双曲线方程为x2﹣4y2=m，避免了讨论，条件（2）的设置增加了题目的难度，体现了转化的思想，属中档题．20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2．（1）求双曲线的方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k2≠且k2＜1，再由∠AOB为锐角，得x A x B+y A y B＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．解答：解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2，∴，∴双曲线的方程为；（2）将y=kx+代入双曲线消去y得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0．由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2＜1．①设A（x A，y A），B（x B，y B），则x A+x B=，x A x B=．由∠AOB为锐角，得x A x B+y A y B＞0，即x A x B+y A y B=x A x B+（kx A+）（kx B+）=（k2+1）x A x B+k（x A+x B）+2=＞0．②，∴综上：点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．在平面直角坐标系中，若=（x﹣，y），=（x+，y），且||+||=4，（I）求动点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知定点P（t，0）（t＞0），若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A，B，且对于轨迹C上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得=cosθ•+sinθ成立，试求出满足条件的实数t的值．考点：轨迹方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）||+||=4符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程即可；（Ⅱ）用参数确定M的坐标，代入椭圆方程，可得x1x2+4y1y2=0，利用韦达定理，即可求出满足条件的实数t的值．解答：解：（I）∵，且，∴动点Q（x，y）到两个定点的距离的和为4，∴轨迹C是以为焦点的椭圆，方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x﹣t，代入，消去y得 5x2﹣8tx+4t2﹣4=0，由△＞0得 t2＜5，且，∴y1y2=（x1﹣t）（x2﹣t）=设点M（x，y），由可得∵点M（x，y）在C上，∴==4（cos2θ+sin2θ）+2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）=4+2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）∴2sinθcosθ（x1x2+4y1y2）=0，又因为θ∈[0，2π]的任意性，∴x1x2+4y1y2=0，∴，又t＞0，得t=，代入t=检验，满足条件，故t的值是．点评：定义法是求圆锥曲线中轨迹方程的重要方法，直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理是我们常用的方法．。
甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二数学上学期第四次月考试题 文
数学〔文〕试题第1卷〔选择题 共50分〕一、选择题(本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．函数3323+-=x x y 在〔1，1〕处的切线方程为〔 〕 A ．43+-=x y B ．43-=x y C ．34+-=x y D ．34-=x y2．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，如此 〔 〕A ．1sin ,:≥∈∀⌝x R x p B.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pC.1sin ,:>∈∀⌝x R x pD.1sin ,:>∈∃⌝x R x p3．假设c b a ,,为实数，且0<<b a ，如此如下命题正确的答案是〔 〕A. 22a ab b >>B.22ac bc <C.11a b <D.b a a b> 4．等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，如此数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为〔 〕A. 120B.70C.75D. 100 5． 过双曲线822=-y x 的右焦点F 2的一条弦PQ ，|PQ|=7，F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长 为〔 〕A ．18B ．2814-C ．2814+D ．286. “0=⋅y x 〞是“220x y +=〞的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 三棱锥的三视图如下列图，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，如此此三棱锥的体积等于 AB .334 C. 338 D. 38 侧视图正视图8. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，如下命题中正确的答案是A. 假设n m n m //,//,//则ααB. 假设βαββα⊂α⊂//,//,//,,则n m n mC ．假设β⊥α⊂β⊥αm m 则,, D. 假设αα⊄β⊥β⊥α//,,,,m n m 则9. 假设函数x x y -=2的图象在点)2,2(M 处的切线l 被圆)0(:222>=+r r y x C 所截得的弦长是5102 ,如此=r A.22 B. 1 C. 2 D. 2 10. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，假设点P 是棱上一点，如此满足a PC PA 21=+的点P 的个数为A. 3个B.4个C.5 个D.6个第2卷〔非选择题 共100分〕二、填空题〔本大题共6小题，每一小题5分，共30分．〕11. 在空间直角坐标系中，点A 〔1，0，2〕，B(1，-3，1)，如此|AB|=_________.12.如果直线012=--y x 和1+=kx y 互相垂直，如此实数k 的值为_____________.13.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的顶点都在球面上，如此1AC 的长是_________，球的外表积是___________.14．()f x '是()sin f x x =的导函数，如此(0)f '的值是15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设111a =-,466a a +=-,如此当n S 取最小值时,n 等于＿＿＿＿＿16．x ＞0，y ＞0，且x+y=1，求y x 11+的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. (本小题总分为14分)两点)1,1(-A ，)3,1(--B .〔I 〕 求过A 、B 两点的直线方程；(II 〕 求线段AB 的垂直平分线l 的直线方程；〔III 〕假设圆C 经过A 、B 两点且圆心在直线10x y -+=上，求圆C 的方程.18. (本小题总分为14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，,AB AD =F BD AC PC PA =⋂=,，点E 是PC 的中点.(Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ；(Ⅱ) 求证：平面⊥ADF 平面PBD .19. (本小题总分为14分)函数3)(23--+=x ax x x f 在1-=x 时取得极值．〔I 〕求)(x f 的解析式；〔II 〕求()f x 在区间]1,2[-上的最大值．20.(14分) 围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙〔利用旧墙需维修〕，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如下列图，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x 米，总费用为y(单位：元).〔1〕将y 表示为x 的函数;〔2〕试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.21. 〔14分〕设椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x 22，点A 〔a ，0〕，B 〔0，b -〕，原点O 到直线AB 233〔Ⅰ〕求椭圆M 的方程；〔Ⅱ〕设点C 为〔a -，0〕，点P 在椭圆M 上〔与A 、C 均不重合〕，点E 在直线PC 上，假设直线PA 的方程为4y kx =-，且0CP BE ⋅=，试求直线BE 的方程．数学(文科)试卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每一小题5分，共50分．)二、填空题(本大题共6小题，每一小题5分，共30分．)11. 10 12. 12- 14. 1 15. 6 16. 4三、解答题(本大题共5小题，共70分.)17.(本小题总分为14分)解：〔I 〕略解.02=--y x …………4分(II) 线段AB 的中点坐标〔0.-2〕 1=AB k ,如此所求直线的斜率为-1，故所求的直线方程是02=++y x …………8分(III)设所求圆的方程是022=++++F Ey Dx y x 由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+--+=+-++01220391011E D F E D F E D 解得4,1,3-===F E D所求的圆的方程是04322=-+++y x y x . …………14分18. (本小题总分为14分)〔I 〕证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以F 为AC 中点，又因为E 为PC 中点，所以EF 是PAC ∆的中位线.所以EF //PA ,而EF ⊄平面PAD 内，PA ⊂平面PAD所以EF //平面PAD. ………6分〔II 〕证明：连结PF ，因为PA =PC , F 为AC 中点，所以PF ⊥AF因为平行四边形ABCD , ,AB AD =所以四边形ABCD 是菱形,所以AF ⊥BD ,又因为BD ⋂PF =F , ⊂BD 平面⊂PF PBD ,平面PBD , 所以AF ⊥平面PBD ，而AF ⊂平面ADF所以平面ADF ⊥平面PBD .……… 14分20.解：〔1〕设矩形的另一边长为a m如此=y 45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由xa=360,得a=x360,所以y=225x+)0(3603602>-x x ………7分 (2)108003602252360225,022=⨯≥+∴>xx x ……….9分 104403603602252≥-+=∴xx y 当且仅当225x=x2360，即x=24m 时等号成立…………..13分 ∴当x=24m 时，修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元…….14分21.解 〔Ⅰ〕由22222222112c a b b e a a a -===-=得2a b =………………3分 由点A 〔a ，0〕，B 〔0，b -〕知直线AB 的方程为1x y a b +=-， 于是可得直线AB 的方程为220x y b --=因此22|002|223331(2)b b +-==+，得2b =，22b =，24a =，………………7分。
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甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年下学期期中考试高二数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一． 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数c ax x f +=2)(，且(1)f '=2，则a 的值为 （ ） A.1B.2 C.－1 D. 02. 若复数z 满足i iz 42+=，i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点的坐标是 ( )A ．（4，2）B ．（4，-2）C ．（2，4）D ．（2，-4）3. 用三段论推理：“指数函数xa y =是增函数，因为x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是指数函数，所以xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是增函数”，你认为这个推理 ( )A ．大前提错误 B. 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 4. 若直线的参数方程为()为参数t t y tx ⎩⎨⎧-=+=3221,则直线的斜率为 ( )A.32 B. 32- C.23 D. 23- 5. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()()n i y x i i ,,2,1, =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0-=∧x y ，则下列结论中不正确的是 ( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(y x ,） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 6. 下列结论正确的是( ) A ．当x>0且x≠1时，lgx ＋≥2 B．当x≥2时，x ＋的最小值为2C ．当x>0时，＋≥2 D．当0<x≤2时，x －无最大值．7.在复平面内复数11i ＋，11i－对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点lg x 1x 1xxC 对应的复数是（ ） A ．1 B ． i C ．12 D ．12i 8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-9. 若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为 ().2k π+π4(k ∈Z) .2k π— π4(k ∈Z) .2k π±π4(k ∈Z) .k 2π＋π4(k ∈Z)10. 直线2()1x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）． A ．98 B ．1404C ．82D ．9343+ 11. 若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 03≥-≤m m 或B 03≤≤-mC 3-≥mD 3-≤m12.已知关于x 的不等式012<++c bx x a )0(>b 的解集为R ，则1425+++=ab acab T 的最小值为（ ）A ．3B ． 4C ．32D ．2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．13.若复数是虚数，则a 、b 应满足的条件是________ .14.不等式|x ＋1|＋|x －2|≥4a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________． 15． 设f (n )=()n+()n,n ∈N,如果A{f (n )},则满足条件的集合A 有 个16．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为_________． 17.若x 2y 2z 216，则x-2z 的最大值为 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共65分）18已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i(i 为虚数单位)，求z . ()z a bi a b R =+∈、i-+1i +-1⊆19设函数.|3||22|)(++-=x x x f （I ）解不等式6)(>x f ；（II ）若关于x 的不等式|12|)(-≥a x f 恒成立，试求a 的取值范围.20. （本题满分12分）某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：（已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）甲校高二年级 数学成绩：乙校高二年级 数学成绩：二． 计算,x y 的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分（精确到1分）.三． 若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀.根据以上统计数据填写下面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”. 甲校 乙校 总计 优秀非优秀总计附：()()()()()()d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=2221．（本题满分12分）设函数()212f x x x =--+分组[)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100频数10253530x分组[)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90[]90,100频数153025y 5)(2K K P ≥ 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围． 22. （本题满分12分）已知函数2()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈。
(1)若曲线()f x 与()g x 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数,a b 的值；(2)若1,2a b e =>，求方程()()f x g x x -=在区间(1,)b e 内实根的个数.高二年级数学试题（文科）一、选择题(共12小题，满分60分)：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A D D CCAACDB二、填空题（共5小题，满分25分）：13.10,2⎛⎫⎪⎝⎭14.2 15. 8 16. ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 17. 45三、解答题（共5小题，满分65分）：18已知z 为复数，且|z |2＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i (i 为虚数单位)，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 代入上述方程得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，∴x 2＋y 2＝1且2x ＝－1，解得x ＝－12且y ＝±32.∴复数z ＝－12±32i.19设函数.|3||22|)(++-=x x x f （I ）解不等式6)(>x f ；（II ）若关于x 的不等式|12|)(-≥a x f 恒成立，试求a 的取值范围.（I ）⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-+--≤--=++-=)1(13)13(5)3(13|3||22|)(x x x x x x x x x f∴原不等式可转化为：3516131********>-<⎩⎨⎧>+≥⎩⎨⎧>+-<<-⎩⎨⎧>---≤x x x x x x x x 或解得或或故原不等式的解集为}351|{>-<x x x 或（II ）若|12||)(|-≥a x f 恒成立，只要|12|)(min -≥a x f 由（I ）得25234|12|4)(min ≤≤-≤-∴=a a x f 解得 故所求a 的取值范围是]25,23[-20. 解：（1）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人10,15x y == …………………4分甲校的平均分约为75，乙校的平均分约为71 ……………………8分 （2）甲校 乙校 总计 优秀40 20 60 非优秀70 70 140 总计110 90 200 ()2220040702070 4.7141109060140K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，又因为4.714 3.841> ……………………11分故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”…12分 21. 解 (1) 当 2x ≤-时，12(2)3x x ----≥，0x ≤，2x ∴≤-22.（1）由题意知：()()'',21b fx g x ax x==- 曲线()f x 与()g x 在公共点()1,3有相同的切线得()()1011021f g a b a =⎧⎪=-=⎨⎪=-⎩解得11a b =⎧⎨=⎩.4分（2）()()f x g x x -=转化为2ln 0b x x -=令()()22'2ln ,b x G x b x x G x x -=-=，由()2'20,b x G x x -==得2b x =± ()1,,2,1,22b b b bx e b e e e ∈>∴>>>∴由()2'20,12b x bG x x x -=>⇒<< 由()2'20,2b b x bG x x e x -=<⇒<<()G x ∴在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2b b e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减∴当2b x =时，()max ln ln 12222b b b b G x b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭……………………8分 2,,ln ln 1,0222b b b b e e e G ⎛⎫>∴>∴>=∴> ⎪⎝⎭()()()2110()ln 0bbbbbG G e b e e b eb e =-<=-=+-<所以方程()()f x g x x -=在区间()1,be 内有两个实根. ……………………12分。