2020-2021学年甘肃省天水市秦安县二中高一上学期期末考试数学试卷 答案和解析
2020-2021学年甘肃省天水一中高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.直线√3x−y+1=0的倾斜角为()A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 8πB. 16πC. 8π3D. 16π33.已知圆C1：x2+y2−2√3x−4y+6=0和圆C2：x2+y2−6y=0，则两圆的位置关系为()A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切4.已知直线l1：(k−3)x+(4−k)y+1=0与直线l2：2(k−3)x−2y+3=0平行，则k的值是()A. 1或3B. 1或5C. 3或5D. 1或25.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是()A. B.C. D.6.将半径为3，圆心角为2π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为()3A. πB. 2√2πC. 3πD. 2√2π37.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √22B. √32C. √52D. √729.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. [−1,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)10.已知边长为2√3的菱形ABCD，A=60°，沿对角线BD把△ABD折起，二面角A−BD−C的平面角是120°，则三棱锥A−BCD的外接球的表面积是()A. 20πB. 28πC. 36πD. 54π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知直线l过点P(1,1)，圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是______ ．12.一个长方体共一顶点的三条棱长分别是√3,√3,√6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的体积是______ ．13.已知圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−4x+4y−12=0相交于A，B两点，则直线AB的方程为______ ．14.不论m取何实数，直线l：(m−1)x+(2m−1)y=m−5恒过定点______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15.已知直线l经过两直线l1：2x−y+4=0与l2：x−y+5=0的交点，且与直线x−2y−6=0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若点P(a,1)到直线l的距离为√5，求实数a的值．16.如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．(1)证明：直线PA//平面EDB；(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为√5的等腰三角形．(1)求证：PB⊥AC；(2)求二面角P−AB−C的大小．18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为(x−1)2+y2=4，M点的坐标为(3,−3)．(1)求过点M且与圆C相切的直线方程；(2)过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由直线√3x−y+1=0可知：直线的斜率k=tanα=√3，解得α=60°，故选C．求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，得到选项．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为半圆柱．×π⋅22⋅4=8π．所以V=12故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的再转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：两圆的标准方程为(x−√3)2+(y−2)2=1，x2+(y−3)2=9，圆心坐标分别为C1(√3,2)，C2(0,3)，半径分别为R=1，r=3，则|C1C2|=√(√3)2+(3−2)2=√3+1=√4=2=3−1=r−R，即两圆相内切，故选：B．求出圆的标准方程，结合两圆的位置关系进行判断即可．本题主要考查两圆位置关系的判断，求出圆的标准方程是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．当k−3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k−3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．【解答】解：由两直线平行得，当k−3=0时，两直线的方程分别为y=−1和y=32，显然两直线平行；当k−3≠0时，由k−32(k−3)=4−k−2≠13，可得k=5．综上，k的值是3或5，故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．6.【答案】D【解析】解：如图所示，半径为3，圆心角为2π3的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的母线长为SA=3，底面圆周长为2π⋅OA=2π3⋅3=2π，所以OA=1；所以圆锥的高为SO=√SA2−OA2=√32−12=2√2，所以圆锥的体积为V=13π⋅OA2⋅SO=13π×12×2√2=2√2π3．故选：D．根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面圆半径和高，再求圆锥的体积．本题考查了圆锥的侧面展开图特征与体积的计算问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m//n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m//n，则n⊥α，再由n//β可得α⊥β，故D正确．故选：D．由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m//n，或m，n异面；由α//β，m⊂α，n⊂β，可得m//n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m//n，则n⊥α，再由n//β可得α⊥β．本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，属于基础题．作出异面直线所成的角，然后求出其正切值即可．【解答】解：如下图，取DD1的中点F，连接EF，AF，因为E，F为CC1，DD1的中点，ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以EF//CD，所以∠AEF为异面直线AE与CD所成角或其补角，由正方体可得EF⊥平面ADD1A1，所以EF⊥AF，设正方体的棱长为1，则EF=1，AF=√1+14=√52，所以tan∠AEF=√52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为√52．故选C．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键．根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【解答】解：如图所示：∵点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4−0−3−1=−1，PB的斜率为2−03−1=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤−1，故选D．10.【答案】B【解析】解：如图所示：设菱形ABCD的对角线交于F，由菱形的性质可得：二面角A−BD−C的平面角是∠AFC=120°，∠AFE=60°，因为菱形的边长为2√3，A=60°，所以AF=√32×2√3=3，AE=3√32，EF=32，设OO′=x，又O′B=2，O′F=1，所以由勾股定理可得：R2=OB2=OA2，即R2=x2+4=(32+1)2+(3√32−x)2，解得x=√3，所以R2=7，所以四面体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×7=28π，故选：B．先作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球半径，即可求出四面体的外接球的表面积．本题考查了三棱锥的外接球表面积的问题，关键是求出外接球的半径，考查了学生的运算推理能力，属于难题．11.【答案】相交【解析】解：因为P(1,1)在圆C ：x 2+y 2=4内， 故直线l 与圆C ：x 2+y 2=4相交． 故答案为：相交．因为P(1,1)在圆C ：x 2+y 2=4内，从而可判断．本题主要考查了直线与圆位置关系的判断，解题的关键是确定P 在圆内．12.【答案】4√3π【解析】解：个长方体共一顶点的三条棱长分别是√3,√3,√6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上， 设球的半径为R ，所以(2R)2=(√3)2+(√3)2+(√6)2，解得R =√3， 则：V 球=43⋅π⋅(√3)3=4√3π． 故答案为：4√3π．首先利长方体的对角线长求出球的半径，进一步求出球的体积．本题考查的知识要点：正方体的对角线长和外接球的半径之间的关系，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】x −y +2=0【解析】解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2−4=0与圆C 2：x 2+y 2−4x +4y −12=0相交于A ，B 两点，联立{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−4x +4y −12=0，可得4x −4y +8=0，即x −y +2=0， 故答案为：x −y +2=0．根据题意，联立两个圆的方程，化简变形可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，涉及相交弦的计算，属于基础题．14.【答案】(9,−4)【解析】解：∵不论m 取何实数，直线ℓ：(m −1)x +(2m −1)y =m −5恒过定点， ∴m(x +2y −1)−x −y +5=0恒成立， ∴{x +2y −1=0−x −y +5=0， ∴{x =9y =−4∴直线ℓ：(m −1)x +(2m −1)y =m −5恒过定点(9,−4)． 故答案为：(9,−4)．将直线ℓ：(m −1)x +(2m −1)y =m −5转化为m(x +2y −1)−x −y +5=0，通过解方程组即可得答案．本题考查恒过定点的直线，转化为关于m 的关系式是关键，考查转化与方程组思想，属于基础题．15.【答案】解：(1)联立两直线l 1：2x −y +4=0与l 2：x −y +5=0，得交点(1,6)， ∵与直线x −2y −6=0垂直， ∴直线l 的方程为2x +y −8=0； (2)∵点P(a,1)到直线l 的距离为√5， ∴|2a−7|√5=√5，∴a =6或1．【解析】(1)求出交点坐标，利用与直线x −2y −6=0垂直，求直线l 的方程； (2)若点P(a,1)到直线l 的距离为√5，根据点到直线的距离公式，建立方程，即可求实数a 的值．本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．16.【答案】证明：(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，∵ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点， ∵E 是PC 的中点，∴OE//PA ，∵PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴直线PA//平面EDB ．解：(2)∵直线PD ⊥底面ABCD ，ABCD 是正方形，PD =DC ， ∴∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成角， 设PD =DC =a ，则BD =√a 2+a 2=√2a ， ∴tan∠PBD =AD BD=a √2a=√22． ∴直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为√22．【解析】(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出O 是AC 中点，OE//PA ，由此能证明直线PA//平面EDB ．(2)由直线PD ⊥底面ABCD ，得∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成角，由此能求出直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)证明：连接AC ，BD ，交于点O ，连接OP ，∵在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形， ∴AC ⊥BD ，O 是BD 中点，∵其他四个侧面都是侧棱长为√5的等腰三角形， ∴PO ⊥AC ，∵PO ∩BD =O ，PO ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ，∵PB ⊂平面PBD ，∴PB ⊥AC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,√3)，A(0,−√2,0)，B(√2,0,0)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√3)， 设平面PAB 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√3z =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√3z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,√3,√2)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 设二面角P −AB −C 的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2√8=12．∴θ=60°．故二面角P −AB −C 的大小为60°．【解析】(1)连接AC ，BD ，交于点O ，连接OP ，推导出AC ⊥BD ，PO ⊥AC ，从而AC ⊥平面PBD ，由此能证明PB ⊥AC ．(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P −AB −C 的大小．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)当直线l 的斜率不存在时，显然直线x =3与圆C 相切，当直线l 的斜率存在时，设切线方程为：y +3=m(x −3)， 圆心到直线的距离等于半径√1+m 2=2，解得m =−512，切线方程为：5x +12y +21=0，综上，过点M(3,−3)且与圆C 相切的直线方程为：x =3或5x +12y +21=0． (2)圆C ：(x −1)2+y 2=4与x 轴正半轴的交点为P(3,0)，依题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y +3=k(x −3)，代入圆C ：(x −1)2+y 2=4=整理得：(1+k 2)x 2−2(3k 2+3k +1)x +9(k +1)2−3=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，且P(3,0)， ∴x 1+x 2=2(3k 2+3k+1)1+k 2，x 1x 2=9(k+1)2−31+k 2，∴直线PA 和PB 的斜率之和为： k PA +k PB =y 1x1−3+y 2x2−3=k(x 1−3)−3x 1−3+k(x 2−3)−3x 2−3=k −3x1−3+k −3x 2−3=2k −3(1x 1−3+1x 2−3)=2k −3×x 2−3+x 1−3(x1−3)(x 2−3)=2k −3×2(3k 2+3k+1)1+k 2−69(k+1)2−31+k 2−3×2(3k 2+3k+1)1+k 2+9=2k −3×6k 2+6k+2−6−6k 29k 2+18k+9−3−18k 2−18k−6+9+9k 2=2k −3×6k−49=2k −6k−43=2k −2k +43=43．【解析】(1)设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；(2)设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．。
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-2．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-B ．1-C ．3-D ．23．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+4．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．146．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-10．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3C ．1或3D ．1或311．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年甘肃省天水市秦安一中重点班高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年甘肃省天水市秦安一中重点班高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列命题中正确的是( )A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. 0⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 角α的终边上有一点P(a,a)(a ≠0)，则sinα的值是( )A. √22B. −√22C. 1D. √22或−√223. 如图所示的程序框图，已知a 1=3，输出的结果为7，则a 2的值是( )A. 9B. 10C. 11D. 124. 已知sin(α−π12)=13，则cos(α+5π12)的值等于( )A. 13B. 2√23C. −13D. −2√235. 根据下面给出的2009年至2018年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A. 逐年比较，2018年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2012年我国治理二氧化硫排放显现成效C. 2011年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2011年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6. 已知A(7,1)，B(1,4)，直线y =12ax 与线段AB 交于点C ，且AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则a 等于( ) A. 2B. 53C. 1D. 457. 函数y =2sin(2x +π3)的图像 ( )A. 关于原点对称B. 关于点(−π6,0)对称 C. 关于y 轴对称D. 关于直线x =π6对称8. 如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. 14 B. π4 C. 13 D. π39. 已知tan θ2=23，则1−cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ的值为( )A. 23B. −23C. 32D. −3210. 设ω>0，函数y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A. 23B. 43C. 32D. 311. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若E 是DC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. 12a⃗ −b ⃗ B. 32a⃗ −b ⃗ C. −12a⃗ +b ⃗ D. −32a⃗ +b ⃗ 12. 已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f(B)=4sinB ⋅cos 2(π4−B2)+cos2B ，若f(B)−m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. m <1B. m >−3C. m <3D. m >1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,2),b ⃗ =(−8,6)，则cos <a ⃗ ,b ⃗ >= ．14. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r =20cm ，则扇形的周长为______ ．15. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点C 的坐标是______ ．16. 如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知角α的终边经过点P(45,−35).(1)求sinα的值． (2)求式sin(π2−α)sin(α+π)⋅tan(α−π)cos(3π−α)的值．18. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ,b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，求k 的值．19. 已知函数f(x)=2cos(π3−2x).(1)若f(x)=1，x ∈[−π6,π4]，求x 的值；(2)求f(x)的单调递增区间．20. 空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数(单位：μg/m 3)为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：空气污染指数(单位：μg/m3)[0,50](50,100](100,150](150,200]监测点个数1540y10(2)在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？21.已知a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．(1)若|a⃗−b⃗ |=√2，求证：a⃗⊥b⃗ ；(2)设c⃗=(0,1)，若a⃗+b⃗ =c⃗，求α，β的值．22.已知函数f(x)=sin2x−√3cos2x．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)=m在x∈[π4,π2]上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，0⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据向量加法、减法的几何意义即可判断出A ，B 都错误，D 正确，根据向量的数乘运算即可判断C 错误．考查向量加法、减法的几何意义，以及相反向量的概念，向量的数乘运算． 2.【答案】D【解析】解：∵P(a,a)，∴|OP|=√a 2+a 2=√2|a|， 当a >0时，|OP|=√2a ，sinα=√2a=√22； 当a <0时，|OP|=−√2a ，sinα=−√2a=−√22． ∴sinα的值是√22或−√22．故选：D ．由已知求得|OP|，对a 分类讨论即可求得sinα的值．本题考查任意角的三角函数的定义，考查分类讨论的数学思想，是基础题． 3.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行过程，如下： 输入a 1=3，a 2，计算b =a 1+a 2=3+a 2， 所以b =3+a 22=7，解得a 2=11． 故选：C ．模拟程序的运行过程，即可得出输入的a 2是多少． 本题考查了程序框图的运行问题，是基础题． 4.【答案】C【解析】 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵sin(α−π12)=13，∴−sin(π12−α)=−cos[π2−(π12−α)]=−cos(5π12+α)=13， ∴cos(5π12+α)=−13． 故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由柱形图可知，逐年比较，2018年二氧化硫年排放量最少，故减少二氧化硫排放量的效果最显著，A 正确；2012年比2011年二氧化硫年排放量明显减少，故2012年我国治理二氧化硫排放显现成效，B 正确； 2011年以来每年我国二氧化硫年排放量除2016年外几乎都在减少，故总体呈减少趋势，C 正确；而2011年以来我国二氧化硫年排放量随年份在逐渐减少，所以二氧化硫年排放量与年份负相关．D 错误； 故选：D ．分析柱形图中的数据和图形走势对每一选项判断可得答案． 本题考查柱形图和相关数据的分析，属于基础题． 6.【答案】A【解析】解：设C(m,n)，由A(7,1)，B(1,4)，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −7,n −1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,4−n)． 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(m −7,n −1)=2(1−m,4−n)，∴{m −7=2−2m n −1=8−2n ，解得m =3，n =3． ∴C(3,3)，代入y =12ax 得，3=32a ，∴a =2． 故选：A ．设出C 的坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 列式求出C 的坐标，代入直线y =12ax 求解a 的值． 本题考查了向量共线的坐标表示，考查了向量相等的条件，是基础的计算题．7.【答案】B【解析】 【解答】解：∵正弦函数y =sinx 的图象如下：其对称中心必在与x 轴的交点处， ∴当x =−π6时，函数值为0． ∴图象关于点(−π6,0)对称． 故选：B ． 【分析】将题中角：2x +π3看成一个整体，利用正弦函数y =sinx 的对称性解决问题．本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决． 8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查几何概型概率的求法，是基础题．设出正方形的边长，得到圆的半径，分别求面积，由几何概型概率的计算公式得答案． 【解答】解：设正方形的边长为2a ，则其内切圆的半径为a ， S 正方形=4a 2，S 圆=πa 2， ∴小鸡在正方形的内切圆中的概率是S 圆S 正方形=πa 24a 2=π4．故选B ．9.【答案】A【解析】解：∵tan θ2=23，∴1−cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin 2θ2+2sin θ2cos θ22cos 2θ2+2sin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2+cos θ2)2cos θ2(cos θ2+sin θ2)=tan θ2=23，故选：A ．利用二倍角的正弦、余弦公式及同角三角函数的基本关系式化简，结合已知得答案．本题考查三角函数的恒等变换，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 10.【答案】C【解析】解：将y =sin(ωx +π3)+2的图象向右平移4π3个单位后为 y =sin[ω(x −4π3)+π3]+2=sin(ωx +π3−4ωπ3)+2，所以有4ωπ3=2kπ，即ω=3k 2，又因为ω>0，所以k ≥1， 故ω=3k 2≥32， 故选：C ．求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度． 11.【答案】C【解析】解：如图所示，平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ， 又E 是DC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(b ⃗ −a ⃗ )+12a ⃗ =b ⃗ −12a ⃗ =−12a ⃗ +b ⃗ ． 故选：C ．根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示，计算即可． 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题． 12.【答案】D【解析】解：f(B)=4sinB ⋅1+cos(π2−B)2+cos2B =2sin 2B +2sinB +1−2sin 2B =2sinB +1．∵f(B)−m <2恒成立，∴m >f(B)−2恒成立． ∵0<B <π，∴f(B)的最大值为3， ∴m >3−2=1． 故选：D ．化简f(B)=2sinB +1，由f(B)−m <2恒成立得出m >f(B)−2恒成立，根据B 的范围解出f(B)−2的最大值极为m 的最小值．本题考查了三角函数的恒等变换，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．13.【答案】−√210【解析】 【分析】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力． 数量积的定义结合坐标运算可得结果 【解答】 解：a ⃗ ⋅b ⃗ =2×(−8)+2×6=−4， |a ⃗ |=√22+22=2√2， |b ⃗ |=√(−8)2+62=10， cos <a ⃗ ，b ⃗ >=22×10=−√210． 故答案为：−√21014.【答案】(6π+40)cm【解析】解：∵一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r =20cm ， 则扇形的弧长l =α⋅r =54180π×20=6π(cm)，则扇形的周长为l +2r =6π+2×20=(6π+40)cm ， 故答案为：(6π+40)cm ．由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l 的值，可得扇形的周长为l +2r 的值． 本题主要考查角度与弧度的互化，弧长公式的应用，属于基础题． 15.【答案】(−2,6)【解析】解：设点C 的坐标是(a,b)，∵已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)， 且AC⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(a +2,b −1)=λ(0,2)，且(a −0,b −2)⋅(2,1)=0， 即a +2=0，且2a +(b −2)=0，求得a =−2，b =6， 则点C 的坐标是(−2,6)， 故答案为：(−2,6)．由题意利用两个向量平行垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，利用待定系数法求出点C 的坐标． 本题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．16.【答案】16【解析】解：∵周角等于360°，∴任作一条射线OA ，它的运动轨迹可以绕原点旋转一周， 所以所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域． ∵射线OT 落在30°角的终边上，∴若OA 落在∠yOT 内，符合题意的事件对应的图形是所成角为60°的两条射线之间区域， 记事件X =“任作一条射线OA ，OA 落在∠yOT 内”， 可得所求的概率为：P(x)=60360=16， 故答案为：16根据周角等于360°，得到所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域，再根据射线OT 落在30°的终边上，得到符合题意的事件对应的图形是所成角为60°的两条射线之间区域．最后用符合题意的图形对应的角度，除以所有的基本事件对应图形的角度，可得OA 落在∠yOT 内的概率本题以作一条射线，求落在指定区域的事件概率为载体，着重考查了用几何图形求概率的知识，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵|OP|=√(45)2+(35)2=1，∴点P 在单位圆上．(2分)由正弦函数的定义得 sinα=−35(5分) (2)原式=cosα−sinα⋅tanα(−cosα)(9分) =sinαsinαcosα=1cosα..(10分)由余弦的定义可知，cosα=45(11分)即所求式的值为54(12分)【解析】(1)求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．(2)利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=45，可得结果．本题考查任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题． 18.【答案】解：(1)∵BA =AC ， ∴A 为BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，而DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −53b ⃗ ． (2)由(1)，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k +1)a ⃗ −53k b ⃗ ， ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即2a⃗ −b ⃗ =λ(2k +1)a ⃗ −53λk b ⃗ ， 根据平面向量基本定理，得{2=λ(2k +1)−1=−53λk，解得k =34．【解析】本题考查了向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．(1)由A 是BC 中点，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，从而算出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，再由向量减法法则即可得到DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −53b ⃗ ；(2)根据(1)的结论，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于向量a ⃗ ,b ⃗ 的表示式，而OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，结合向量共线建立方程组，解之即可得到实数k 的值．19.【答案】解：(1)由f(x)=1，得cos(π3−2x)=12，∴cos(2x −π3)=12，∴2x −π3=2kπ±π3(k ∈Z)，∴x =kπ或x =kπ+π3(k ∈Z)． ∵x ∈[−π6,π4]，∴x =0． (2)f(x)=2cos(π3−2x)=2cos(2x −π3)， 令2kπ−π≤2x −π3≤2kπ(k ∈Z)， 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)．第11页，共12页 ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)．【解析】(1)由f(x)=1，求得cos(2x −π3)=12，结合x 的范围，求出x 的值；(2)由条件根据余弦函数的单调性，求得f(x)的单调区间．本题主要考查诱导公式，解三角方程，余弦函数的单调性，属于中档题． 20.【答案】解：(1)∵0.003×50=15x ，∴x =100．∵15+40+y +10=100，∴y =35．40100×50=0.008，35100×50=0.007，10100×50=0.002，频率分布直方图如图所示：(2)在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取4个和1个监测点，设空气污染指数为50～100的4个监测点分别记为a ，b ，c ，d ；空气污染指数为150～200的1个监测点记为E ，从中任取2个的基本事件分别为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,E)，(b,c)，(b,d)，(b,E)，(c,d)，(c,E)，(d,E)共10种，其中事件A “两个都为良”包含的基本事件为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)共6种，所以事件A “两个都为良”发生的概率是P(A)=610=35．【解析】(1)根据频率分布直方图，利用频率=频数样本容量，求出x 、y 的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；(2)利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．21.【答案】解：(1)由a⃗ =(cosα,sinα)，b ⃗ =(cosβ,sinβ)， 则a ⃗ −b ⃗ =(cosα−cosβ,sinα−sinβ)，由|a ⃗ −b ⃗ |2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2， 得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以a ⃗ ⋅b ⃗ =0.即a ⃗ ⊥b ⃗ ； (2)由a ⃗ +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)得{cosα+cosβ=0 ①sinα+sinβ=1 ②，①2+②2得：cos(α−β)=−12． 因为0<β<α<π，所以0<α−β<π．所以α−β=23π，α=23π+β，代入②得：sin(23π+β)+sinβ=√32cosβ+12sinβ=sin(π3+β)=1．因为π3<π3+β<43π.所以π3+β=π2．所以，α=56π,β=π6．【解析】(1)由给出的向量a⃗,b⃗ 的坐标，求出a⃗−b⃗ 的坐标，由模等于√2列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；(2)由向量坐标的加法运算求出a⃗+b⃗ ，由a⃗+b⃗ =(0,1)列式整理得到α−β=23π，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin2x−√3cos2x=2(12sin2x−√32cos2x)=2sin(2x−π3)，由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．(2)因为x∈[π4,π2]，所以2x−π3∈[π6,2π3,设X=2x−π3，则X∈[π6,2π3]，f(x)=m在x∈[π4,π2]上有两个不相等的实数根，即g(X)=2sinX=m在[π6,2π3]上有两个不相等的实数根，由图象知g(2π3)=2sin2π3=2×√32=√3，则要使g(X)=m在[π6,2π3]上有两个不相等的实数根，则√3≤m<2，即实数m的取值范围是[√3,2)．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．(2)求出角2x−π3的范围，结合三角函数的图象，转化为两个函数图象有两个交点进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，以及求出三角函数角的新范围是解决本题的关键．第12页，共12页。
2020-2021学年甘肃省天水市高一上学期数学期末试卷
甘肃省天水市2020-2021学年高一上学期期末数学考试卷第I 卷（选择题）1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）A. ①是棱台B. ②是圆台C. ③不是棱锥D. ④是棱柱2．点()A 2,5到直线l x 2y 30-+=：的距离为（ ）A. B. C. D. 3．斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值为( )A. a ＝72 ，b ＝0 B. a ＝－72，b ＝－11 C. a ＝72，b ＝－11 D. a ＝－72，b ＝11 4．已知方程22220x y x y a +-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. ()2,-+∞C. (),2-∞D. (),1-∞5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，异面直线BA 1与CC 1所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6．圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的位置关系是（ ）．A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离7．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A. x －y ＋1＝0B. x －y ＝0C. x ＋y －4＝0D. x ＋y ＝08．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）A. B. C. 2+ D. 1+9．已知点()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）．试卷第2页，总4页A. 30x y --=B. 230x y +-=C. 210x y +-=D. 250x y --=10．已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于（ ）．A. 7-或1-B. 7或1C. 7-D. 1-11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为（ ）A. ()2:12ππ+B. ():1ππ+C. ()2:1ππ+D. ():12ππ+12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 121AB BC AA ＝＝，＝，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( )A.B.C.D.第II 卷（非选择题）13．已知空间两点()1,5,2A -， ()2,4,1B ，则它们之间的距离为__________．14．若三点A (2,3)，B (3,2)， 1,2C m ⎛⎫⎪⎝⎭共线，则实数m ＝________.15．已知圆22:4C x y +=，则过点(A 且与圆C 相切的直线方程为_____．16．已知m ，n 是两条不同的直线， ,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的有____________①若αγ⊥， βγ⊥，则//αβ ②若//,//m n m α，则//n α ③若n αβ⋂=， //,//m m αβ，则//m n ④若,m m n α⊥⊥，则//n α三、解答题17．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程．18．(1) 求经过点A （3，2），B （-2，0）的直线方程。
甘肃省天水市一中2020-2021学年高一上学期第二学段考试数学答案
答案第 3页，总 4页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
当 m=2 时，ln3＞ 1 + 3 不成立， 22 13
当 m=3 时，ln4＞ + 不成立， 32 13
当 m=4 时，ln5＞ + 不成立， 42 13
当 m=5 时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞ + =1.7 成立， 52
（2）由（1）知，函数 f (x) g(x) 的定义域关于原点对称，
f (x) g(x) log a(x 1) log a(1 x) log a(1 x) log a(1 x) [ f (x) g(x)]
，
函数 f (x) g(x) 是奇函数.
1
16．（1） ；（2） .
3
6
（1）因为 PA 是四棱锥 P ABCD 的高，
因为 AB AD 1 ， EA 1 PA 1， 2
可得 EB ED BD 2 ，
答案第 1页，总 4页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
所以 BDE 为等边三角形，所以 BED ， 3
又因为 O 为 BD 的中点，所以 BEO ， 6
即异面直线 EB 与 PC 所成的角 6 .
（2）由题意得 20(10 x)(50 8x) 10260 ，化简得： 8x2 30x 13 0 ，
解得 1 x 13 ． 24
又因为 0 x 2
所以 1 x 2 2
答案第 2页，总 4页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
\
x
的取值范围是
1 2
,
2
．
18．（Ⅰ）m=±1（Ⅱ）5 解：（Ⅰ）存在，m=±1，
甘肃省天水市秦安县高中高一数学上学期期末考试试题新人教B版
第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的选项填在答题纸上)1. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是.A 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ .B 若l α⊥，l m //，则m α⊥.C 若l α//，m α⊂，则l m // .D 若l α//，m α//，则l m //2. 如图，一个用斜二侧画法画出来的三角形是一个边长 为a 的正三角形，则原三角形的面积是23.A a 23.B a 26.2C a 2.6D a3. 直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是.A 1,135 .B 1,45- .C 1,45 .D 1,135-4. 如图长方体中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C--的大小为.A 030 .B 045 .C 060 .D 090 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.A 2 .B 1.C 23 .D 136. 过点()2,1且在x 轴、y 轴截距相等的直线方程为.A 03=-+y x .B 03=-+y x 或 01=--y x.C 03=-+y x 或x y 21=.D 01=--y x 或x y 21='x 'y 'o 'A 'B 'C ABC D A 1B 1C 1D 17. 已知点()3,4A --，()6,3B 到直线01:=++y ax l 的距离相等，则a 的值.A 97-.B 31- .C 97-或31- .D 97-或18. 如图在三棱锥BCD A -中，E 、F 是棱AD 上互异的两点，G 、H 是棱BC 上互异的两点,由图可知① AB 与CD 互为异面直线； ② FH 分别与DC 、DB 互为异面直线； ③ EG 与FH 互为异面直线； ④ EG 与AB 互为异面直线. 其中叙述正确的是.A ①③ .B ②④ .C ①②④ .D ①②③④9. 已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y2＝1上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是.A 2，(1452 .B (1452+，(1452.C 545-.D )1522+，)152210. 已知直线(1)20k x y k ++--=恒过点P ，则点P 关于直线20x y --=的对称点的坐标是.(3,2)A - .(2,3)B - .(1,3)C - .(3,1)D -11. 已知点(,)P x y 满足2220,x y y +-= 则1y u x +=的取值范围是.33A u ≤≤.3B u ≤-3u ≥33.C u -≤≤ 3.D u ≤或3u ≥12. 在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD ,BC CD ⊥ 且3,4,AB BD == 则三棱锥A BCD -外接球的半径为.2A .3B .4C5.2DABCDPDCOBAS第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省天水市秦安二中高一数学上学期期末试题(含解析)
2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5} D．{6}2．函数f（x）=的定义域是（）A．[0，+∞）B．[0，1）∪（1，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1）∩（1，+∞）3．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是（）A．①③ B．②C．②④ D．①②④4．直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（）A．﹣2 B．2 C． D．5．下述函数中，在（﹣∞，0]内为增函数的是（）A．y=x2﹣2 B．y=C．y=1+2x D．y=﹣（x+2）26．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=09．已知2a2+2b2=c2，则直线ax+by+c=0与圆 x2+y2=4的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．过圆心C．相切 D．相离10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+1211．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）12．已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（，4）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．在平面直角坐标系xoy中，若三条直线2x+y﹣5=0，x﹣y﹣1=0和ax+y﹣3=0相交于一点，则实数a的值为．14．已知两点A（﹣1，0），B（0，2），点C是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△ABC面积的最小值是．15．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm，则球的体积是．16．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）；（2）．18．直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．19．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0．若f（x）是（﹣1，1）上的减函数，求实数a的取值范围．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．21．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2015-2016学年甘肃省天水市秦安二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（）A．M B．N C．{1，4，5} D．{6}【考点】集合的含义．【专题】计算题．【分析】利用新定义，欲求集合N﹣M，即找属于N但不属于M的元素组成的集合，由已知集合M，N可得．【解答】解；∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴N﹣M={x|x∈N且x∉M}，又∵M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，∴N﹣M={6）故选D【点评】本题主要借助新定义考查了集合之间的关系的判断，属于基础题．2．函数f（x）=的定义域是（）A．[0，+∞）B．[0，1）∪（1，+∞）C．[1，+∞）D．[0，1）∩（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，，解不等式即可求解函数的定义域【解答】解：由题意可得，解不等式可得x≥0且x≠1∴函数f（x）=的定义域是（0，1）∪（1，+∞）故选B【点评】本题主要考查了含有分式及根式的函数的定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件3．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是（）A．①③ B．②C．②④ D．①②④【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据线面垂直的判定定理，只要能证明和两条交线垂直，即可证明线面垂直．【解答】解：因为三角形的任意两边是相交的，所以①可知证明线面垂直．因为梯形的上下两边是平行的，此时不相交，所以②不一定能保证线面垂直．因为圆的任意两条直径必相交，所以③可以证明线面垂直．若直线垂直于正六边形的两个对边，此时两个对边是平行的，所以④不一定能保证线面垂直．故选A．【点评】本题主要考查线面垂直的判定，在线面垂直中必须要求是和平面内的两条交线都垂直才可以证明下面垂直．4．直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】由于直线y=2x+1的斜率为2，所以直线y=kx的斜率存在，两条直线垂直，利用斜率之积为﹣1，直接求出k的值．【解答】解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，由于直线y=2x+1的斜率为2，所以两条直线的斜率之积为﹣1，所以k=故选C．【点评】本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题．5．下述函数中，在（﹣∞，0]内为增函数的是（）A．y=x2﹣2 B．y=C．y=1+2x D．y=﹣（x+2）2【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的单调性判断A、D不对，由反比例函数的单调性判断B不对，根据一次函数的单调性判断C对．【解答】解：A、因为y=x2﹣2在（﹣∞，0）上为减函数，所以A不对；B、因为y=在（﹣∞，0）上为减函数，所以B不对；C、∵y=1+2x在（﹣∞，+∞）上为增函数，故C正确；D、∵y=﹣（x+2）2的对称轴是x=﹣2，∴在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，故D不对．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断，主要利用了二次函数的单调性、反比例函数的单调性、以及一次函数的单调性进行判断．6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如果函数f（x）=ax2+2x﹣3在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；数形结合；分类讨论．【分析】由于a值不确定，此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠o时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减．【解答】解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x﹣3为递增函数，（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（﹣∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；（3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，解得a，又a＜0，故．综合得，故选D．【点评】此题主要考查函数单调性和对称轴的求解，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想．属于基础题．8．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．9．已知2a2+2b2=c2，则直线ax+by+c=0与圆 x2+y2=4的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．过圆心C．相切 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心（0，0）到直线的距离为==，小于半径，从而得出结论．【解答】解：由于圆心（0，0）到直线的距离为==＜2（半径），故直线和圆相交但不过圆心，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12 D．60+12【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．11．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y ﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．12．已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A．（，4）B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】首先根据函数的表达画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与图象恰有三个不同的公共点的关系即可求得实数a的取值范围．【解答】解：画出函数图象如图所示，由图可知，当直线y=mx（m∈R）与函数的图象相切时，设切点A（2+1），则f′（x）=x，∴k=m=x0，即直线y=mx过切点A（2+1）时，有唯一解．∴m=，结合图象得，当直线y=mx与函数y=f（x）的图象恰好有3个不同的公共点时，则实数m的取值范围是m＞，故选B．【点评】本题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，同时考查了导数的几何意义，利用导数求切线的方程．解本题的关键是寻找“临界状态”，即直线与图象相切的时候．数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．在平面直角坐标系xoy中，若三条直线2x+y﹣5=0，x﹣y﹣1=0和ax+y﹣3=0相交于一点，则实数a的值为 1 ．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】联立，可得交点，由该点在直线ax+y﹣3=0上，可得关于a的方程，解之可得．【解答】解：联立，解之可得即直线2x+y﹣5=0和x﹣y﹣1=0的交点为（2，1）由题意可知直线ax+y﹣3=0过点（2，1）代入可得2a+1﹣3=0，即a=1故答案为：1【点评】本题考查直线的交点坐标，涉及直线过点问题，属基础题．14．已知两点A（﹣1，0），B（0，2），点C是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△ABC面积的最小值是2﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，由A和B的坐标求出直线AB 的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，用d﹣r求出△A BC中AB 边上高的最小值，在等腰直角三角形AOB中，由OA=OB=2，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最小值．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵A（﹣1，0），B（0，2），∴直线AB解析式为y=2x+2，∵圆心到直线AB的距离d=，∴△ABC中AB边上高的最小值为d﹣r=﹣1，又AB=，则△ABC面积的最小值为×AB×（d﹣r）=2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题考查了点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的两点式方程，其中求出△ABC中AB边上高的最小值是解本题的关键．15．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm，则球的体积是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；球．【分析】设出球的半径，解出△ABC的中心到顶点的距离，然后求出球的半径，则球的体积可求．【解答】解：设球的半径为2r，如图O为球心，E为BC的中点，D是三角形ABC的中心，那么AO2=OD2+AD2=OD2+，4r2=r2+[32﹣]×，解得：r=1，∴球的半径是2．∴球的体积为：．故答案为：．【点评】本题考查球的半径以及球的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．16．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D﹣ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D﹣ABC的体积是．其中正确命题的序号是①②．（写出所有正确命题的序号）【考点】棱锥的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】作图题．【分析】先作出图来，①根据图可知BD=，再由BC=DC=1，可知面DBC是等边三角形．②由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，从而有AC⊥BD．③三棱锥D﹣ABC的体积=．【解答】解：如图所示：BD=又BC=DC=1∴面DBC是等边三角形①正确．∵AC⊥DO，AC⊥BO∴AC⊥平面DOB∴AC⊥BD②正确．三棱锥D﹣ABC的体积=③不正确．故答案为：①②【点评】本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）；（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用对数的运算性质即可得出；（2）利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式==log363﹣log37==log39=2．（2）原式===a﹣2=．【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键．18．直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【考点】直线的一般式方程；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），即直线l的方程为x﹣2y=0．（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用．19．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0．若f（x）是（﹣1，1）上的减函数，求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）的奇偶性得出f（1﹣a）＜﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），再利用单调性得出1﹣2a＞2a﹣1，结合定义域求出a的范围．【解答】解：∵f（1﹣a）+f（1﹣2a）＜0，∴f（1﹣a）＜﹣f（1﹣2a）．∵f（﹣x）=﹣f（x），x∈（﹣1，1），∴﹣f（1﹣2a）=f（2a﹣1），∴f（1﹣a）＜f（2a﹣1）．又∵f（x）是（﹣1，1）上的减函数，∴，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性的应用，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．21．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点．（1）证明：AM⊥PM；（2）求二面角P﹣AM﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】空间角．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理、线面与面面垂直的判定和性质定理即可证明；（2）利用三垂线定理或线面垂直的性质定理及二面角的定义、正切函数即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=．∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM．∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3，∴EM2+AM2=AE2．∴AM⊥EM．又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．（2）解：由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P﹣AM﹣D的平面角．在Rt△PEM中，tan∠PME===1，∴∠PME=45°．∴二面角P﹣AM﹣D的大小为45°．【点评】熟练掌握线面与面面垂直的判定和性质定理、三垂线定理、二面角的定义、正切函数及勾股定理的逆定理是解题的关键．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，会根据条件求动点的轨迹方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．。
2020-2021高中必修一数学上期末试卷及答案(3)
2020-2021高中必修一数学上期末试卷及答案(3)一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．25．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a b c <<6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011 D ．20228．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．已知函数f(x)＝12log,1, 24,1,xx xx>⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f)等于()A．4B．－2C．2D．111．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，mint后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae=，假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过minm甲桶中的水只有4a升，则m的值为（）A．10B．9C．8D．512．对任意实数x，规定()f x取4x-，1x+，()152x-三个值中的最小值，则()f x （）A．无最大值，无最小值B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值D．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()22ln0210x xf xx x x⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d、、、，有()()()()f a f b f c f d===，则+++a b c d的取值范围是______.14．已知关于x的方程()224log3log+-=x x a的解在区间()3,8内，则a的取值范围是__________.15．己知函数()221f x x ax a=-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a=______. 16．若函数cos()2||xf x xx=++，则11(lg2)lg(lg5)lg25f f f f⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 17．如图，矩形ABCD的三个顶点,,A B C分别在函数2logy x=，12y x=，22xy⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为______.18．对于复数a b c d，，，，若集合{}S a b c d=，，，具有性质“对任意x y S∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．20．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.三、解答题21．已知函数31()31x xf x m -=⋅+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式()21cos sin 32f x a x --<对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 22．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在5)单调递减,在(45,)+∞单调递增. 23．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．24．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.25．如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=o ，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.26．已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围. （注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．B解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-． 令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22x x x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.8．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ， 当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知扇形的圆心角为 ，半径为4，则扇形的面积是
14．函数 的定义域为.
15．已知f（n）= ，n∈Z，则f（1）+ f（2）+ f（3）+……+f（2012）=__________________
10．B
【解析】
试题分析：∵对任意实数x，都有 ，则函数f（x）的图像关于直线 对称，
又 ，所以-4是函数f（x）的最值，所以 ，解得a=-1或-7，故选B
考点：本题考查三角函数 的图像与性质
点评：解决本题的关键是掌握函数的性质，若 ，则函数的图象关于直线x=a对称
11．A
【解析】
试题分析：∵a>1，∴函数 单调递增，∴函数在区间[a,2a]上单调递增，由题意得，
6．D
【解析】
试题分析：由 ，又 ，
解得 故选D
考点：本题考查向量垂直的充要条件，同角三角函数之间的基本关系
点评：解决本题的关键是根据向量垂直的充要条件可得 ，利用向量的数量积的坐标运算，
得出 的关系
7．C
【解析】
试题分析：在同一坐标系中画出函数y=lgx和y=2-x的图象，观察图象两函数图象的交点的横坐标在（1,2）之间，
点评：解决本题的关键是掌握常见函数的定义域，对数函数的真数大于0，分式形式的分母不为0
5．B
【解析】
试题分析：由 ，对称轴为x=2，所以函数在[-1,1]上单调递减，
当x=-1时，y=8，当x=1时，y=0，所以值域为[0,8]，故选B
考点：本题考查配方法求值域
点评：解决本题的关键是掌握求值域的方法，结合二次函数的图象和性质
，故选A
考点：本题考查对数函数的图象和性质
点评：解决本题的关键是熟练掌握对数函数的图象和性质，利用函数的单调性求最值
12．B
【解析】
试题分析：由函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数，排除A,C
对于B选项，开口向上，所以在 单调递增，故选B
对于D选项，当x>0时，函数为 在 单调递增，故错
考点：本题考查函数的奇偶性，单调性
∴ ，故选C
考点：本题考查函数的零点
点评：解决本题的关键是把函数的零点转化为两图象交点情况，也可以利用零点存在定理
8．D
【解析】
试题分析：由 ①，
所以 ②，由①②可得 ③，
由①③得， ，故选D
考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式
点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式
【最新】甘肃省天水市秦安县二中高一上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ， ，则 等于（）
（２）若 ， , ，求 的值．
19．已知向量 = , =（１，２）
（1）若 ∥ ，求tan 的值。
（2）若| |＝ , ，求 的值
20．已知向量 ,函数
（1）求函数 的单调递减区间．
（2）将函数 的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象.求 在 上的值域．
【详解】
由 ，解得 ，∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查求集合的交集，确定集合中的元素是解题关键．题中集合的代表元是有序实数对 ，可以看作是方程的解，因此交集为方程组的解集．结果中集合的元素是一对有序数对，要用括号括起来，表示有序数对．否则易出错．
4．C
【解析】
试题分析：由 ，所以定义域为 ，故选C
考点：本题考查函数的定义域
8．已知 ， ， （ ）
A． B． C． D．
9．在 中， 是 的中点， ，点 在 上且满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．若 ＋ ，对任意实数 都有 且 ，则实数 的值等于（ ）
A．－1B．－7或－1C．7或1D．±7
11．设 ，函数 在区间[ ]上的最大值与最小值之差为 ，则
A．4B．2C． D．
2．D
【解析】
试题分析：由已知得，M={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}，A，B考虑元素与集合的关系，故错；
C,D是集合与集合的关系，故选D
考点：本题考查集合与集合的关系，元素与集合的关系
点评：解决本题的关键是掌握集合与集合的关系表示符号，元素与集合的关系表示符号
3．D
【分析】
列方程组，求出方程组的解后写出解集．
21．关于 的方程 － ＝０在开区间 上．
（1）若方程有解，求实数 的取值范围．
（2）若方程有两个不等实数根，求实数 的取值范围．
22．已知函数 ，若 对 R恒成立，求实数 的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由 ，故选C
考点：本题考查三角函数的诱导公式
点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值
16．对于函数 给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当 时，该函数取得最小值是－1；
③该函数图象关于 对称；
④当且仅当
其中正确命题的序号是___________（请将所有正确命题的序号都填上）
三、解答题
17．（10分）若 ＝ ， 是第四象限角，求 的值.
18．（１）求 的值．
A． B． C． D．
4．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的值域为（ ）
A．[-1,0]B．[0,8]C．[-1,8]D．[3,8]
6．已知向量 ＝（ ）， ＝（１， ）且 ，其中 ，则 等于（）
A． B． C． D．
7．若 是方程 的解，则 属于区间（ ）
A． B． C． D．
9．B
【分析】
由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足 可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【详解】
解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴
又∵AM＝1
∴
∴
故选B．
【点睛】
判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质： 或 取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．
点评：解决本题的关键是熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质
13．
【解析】
试题分析：∵扇形的圆心角为150°，半径为4，∴弧长 ，