2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届甘肃省天水市秦安县第二中学数学高三第一学期期末综合测试模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-2．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-B ．1-C ．3-D ．23．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+C ．263π+D ．362π+4．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．146．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-10．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3C ．1或3D ．1或311．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．12．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 14．已知数列{}n a 满足1211,3a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．15．已知函数32,02()32,02x x x f x x -⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若()()312f m f m ->-，则实数m 的取值范围为__________．16．已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN的最小值为________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）己知函数()2cos xf x e x x =--. （1）当(,0)x ∈-∞时，求证：()0f x >；（2）若函数()()1(1)g x f x n x =++，求证：函数()g x 存在极小值. 18．（12分）已知函数()222()e1e ()x x f x ax ax a R =+--∈.（1）证明：当2e x ≥时，2e x x >；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.19．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.20．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列． 21．（12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+. （1）若()f x 在()0,∞+上为单调函数，求实数a 的取值范围：（2）若32522a ≤≤，记()f x 的两个极值点为1x ，2x ，记()()1212f x f x x x --的最大值与最小值分别为M ，m ，求M m -的值.22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，. F 为椭圆的右焦点， ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若AF FC =，求BFFD的值； ⑶设直线AB ， CD 的斜率分别为1k ， 2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D【解题分析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【题目详解】依题意，()()18368881622a a a aS++===，故364a a+=，故33a=，故63233a ad-==-，故选：D．【题目点拨】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.2、A【解题分析】根据向量投影的定义，即可求解.【题目详解】a在b上的投影为6cos23a babθ⋅-===-.故选:A【题目点拨】本题考查向量的投影，属于基础题.3、D【解题分析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+12•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 4、C 【解题分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【题目详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误. 对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【题目点拨】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础. 5、D 【解题分析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x ay x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划. 6、B 【解题分析】由()2xf x e mx =-是偶函数，则只需()2xf x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.【题目详解】解：显然()2xf x e mx =-是偶函数所以只需()0,x ∈+∞时，()22xxf e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可令20xe mx -=，则2xe m x=令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞ ()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥=()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点，只需24e m > 故选：B 【题目点拨】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题. 7、A 【解题分析】首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【题目详解】因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ====，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<. 故选：A 【题目点拨】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、B 【解题分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【题目详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则2211343411k mkk m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，k =即4433AB CD k k --==，PQ y b k x a -≤=≤-， y bx a --的取值范围⎣⎦，故选B. 【题目点拨】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 9、D 【解题分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【题目点拨】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 10、B 【解题分析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.11、C 【解题分析】 因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．12、C 【解题分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【题目详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【题目点拨】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。