泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

1.在实数空间R中, 令Q为有理数全体. 以下选项中, 与“Q在R中稠密" 等价的

是( ).

参考答案:

_

2.设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.

参考答案:

_

3.以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.

参考答案:

有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集

4.设X是Banach空间, 则以下命题中正确的是( ).

参考答案:

X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛

5.在通常的范数意义下, 以下赋范空间是Banach空间的是( ).

参考答案:

__

6.Banach空间必为Hibert空间, 但反之不成立.

参考答案:

错误

7.在不可数集X上定义离散距离d, 则距离空间(X,d)是不可分的.

参考答案:

正确

8.任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.

参考答案:

内积同构

9.具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.

参考答案:

正确

10.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.

参考答案:

错误

11.Banach空间指的是（）.

参考答案:

完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.

12.在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列

13.设M, N是内积空间的两个非空开集, 若【图片】则【图片】

参考答案:

错误

14.以下选项中，不可分的距离空间为（）.

参考答案:

有界数列空间

15.距离空间中的非空开集一定包含一个( ).

参考答案:

接触点_闭球_开球_内点

16.非空开集一定是开球.

参考答案:

错误

17.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图

片】与【图片】具有相同的可分性.

参考答案:

正确

18.距离空间中的非空开集一定包含一个（）.

参考答案:

接触点_闭球_内点_开球

19.连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.

参考答案:

一致收敛

20.在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.

参考答案:

正确

21.在实数空间中, 完全有界集与有界集是等价的.

参考答案:

正确

22.一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.

参考答案:

错误

23.内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.

参考答案:

正确

24.设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.

参考答案:

___

25.在赋范空间中，（）是凸集.

参考答案:

单位开球_子空间_单位闭球

26.记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体, 按照范数【图片】成为赋范空间. 则以

下结论正确的是（）.

参考答案:

赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间

27.设E是赋范空间X的子空间。若E是Banach空间，则E是闭子空间。反

之不成立。

参考答案:

正确

28.设M是内积空间H的紧凸集, 则x在M中的最佳逼近点是存在的, 但不唯一.

参考答案:

错误

29.赋范空间是内积空间的充分必要条件是，其范数满足平行四边形法则。

参考答案:

正确

30.设距离空间X是距离空间E的完备化空间, 在等距同构的意义下, 以下说法

正确的是( ).

参考答案:

E是X的稠子空间

31.在实数空间中，( )在无理数集中稠密.

参考答案:

有理数集

32.以下关于赋范空间的Hamel基以及Schauder基的描述, 正确的是( ).

参考答案:

不可分的赋范空间一定不具有Schauder基_任何非零的赋范空间都具有Hamel基

33.任何非零Hilbert空间都具有标准正交基.

参考答案:

正确

34.在距离空间中, 闭子空间与完备子空间是等价的.

参考答案:

错误

35.距离空间中的任一非空子集, 其闭包未必是闭集.

参考答案:

错误

36.内积空间一定是( ).

参考答案:

距离空间_赋范空间_线性空间

37.在距离空间中, 以下说法正确的是( ).

参考答案:

开球是开集_开球的补集是闭集_开球的闭包是闭集_开球的内部是开集38.设【图片】是Hilbert空间H的一个标准正交基, 【图片】.则以下命题正确

的是( ).

参考答案:

S是完全的_x关于S的Fourier级数收敛于x__S是完备的

39.在列紧的距离空间中, 柯西列与收敛列是等价的.

参考答案:

正确

40.在完备的距离空间中，以下说法正确的是（）.

参考答案:

开子集一定不是完备的子空间_柯西列必为收敛列_闭子集一定是完备的子空间_收敛列必为柯西列